高中同步创新课堂数学优化方案习题北师大必修：第四章§应用案巩固提升 含解析

[A 基础达标]1．给出以下几个说法：①水平放置的角的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍相等； ③相等的线段在直观图中仍相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ．由斜二测画法的规则知，结论①与④是正确的，故选B ． 2．如图所示的直观图的原平面图形ABCD 是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析：选B ．原图形ABCD 中，必有AB ⊥AD ，AD ∥BC ，且AD >BC ，故ABCD 是直角梯形．3．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.根据把模型放在水平视线的左下角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知A 正确．4．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D ．圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm ，故选D ．5. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′∥O ′y ′，B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A.732B ．73C ．5D ．52解析：选A.把直观图还原成平面图形如图，得△ABC 为直角三角形，BC ＝8，AC ＝3，则AB 边上的中线为1282＋32＝732.6．如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，则△ABC中，最长的边为________．解析：由B′C′∥O′y′，A′B′∥O′x′知，△ABC为直角三角形，∠B为直角，AC为斜边，故最长边为AC.答案：AC7．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若以长、宽、高所在直线分别为x，y，z轴建立坐标系，按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.答案：4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm8. 如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案：109．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5)．试画出四边形ABCD的直观图．解：(1)先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(如图1)．(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0)．(3)在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝1.5.(4)同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝0.5，C′H′＝3，D′F′＝2.5.(5)连线成图(去掉辅助线)(如图2)．10．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图． 解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°； (2)画下底面．在y 轴的正方向上截取线段OC ，使OC ＝34cm ，在y 轴负半轴上截取OD ＝38cm ，过D 作线段AB ∥x 轴，使D 为AB 中点，AB ＝1.5 cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取O ′D ′＝315cm ，A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝2315cm)．(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC -A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．[B 能力提升]1．如图所示水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A.22 B ．1 C. 2 D ．2解析：选A.如图，由斜二测画法可知，在新坐标系x ′O ′y ′中，B ′C ′＝1，∠x ′C ′B ′＝45°，过B ′作x ′轴的垂线，垂足为D ，在Rt △B ′DC ′中，B ′D ＝B ′C ′sin 45°＝1×22＝22. 2. 如图所示，四边形ABCD 是一平面图形水平放置的直观图．在直观图中，四边形ABCD 是一直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y ′轴平行．若AB ＝6，CD ＝4，则这个平面图形的实际面积是________．解析：由斜二测画法规则知，该图的平面图形A ′B ′C ′D ′也是一直角梯形，其中B ′C ′⊥C ′D ′，A ′B ′＝6，C ′D ′＝4，B ′C ′＝2BC ＝2·6－4sin 45°＝42，所以原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为S A ′B ′C ′D ′＝12(6＋4)×42＝20 2. 答案：20 23．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．4．(选做题)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．解：画法步骤：(1)如图①所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图②所示， 画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图①中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图②中，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．。

第四章函数应用章末复习提升课知识网络▼体系构翱把握宏观理清脉络函数的应用专题突破覃链接高考上聚焦考点拓展升华专题突破专题㈠判定函数零点(方程根)的区间常用方法：(1)零点判定定理；(2)数形结合利用函数的图像与x轴的交点；(3)化为两函数图像交点的判断.例1 (2014-高考北京卷)已知函数/(x)=--log2x.在下列区间中，包含/(兀)零点的区间是(C )A. (0, 1)B. (1， 2)C. (2, 4)D. (4, +8)［解析］由题意知，函数心)在(0, +8)上为减函数，又几1)=6—0=6>0,介2)=3—1=2>0, f(4)=—一log24=—一2=一一4 2 2 V0,由零点存在性定理，可知函数/(©在区间(2, 4)上必存在零点.专题㊁函数零点个数（方程根个数）的判定常用方法：（1）直接求出零点，与二次函数有关的零点个数常利用A判定.（2）利用零点判定定理结合函数性质（如单调性、对称性等）判定零点的个数，把方程/（兀）=0根的个数转化为函数y=f（x）零点个数的判定.⑶函数金）=g（x）—方（兀）的零点或方程g（x）—h （x） = 0（其中g（x）,力（兀）为常见易画图像）根的个数转化为函数y=g（x）. y =仇（劝图像交点个数进行判定.⑴函数Ax）=2x llogo.5xl-1的零点个数为（B ）A. 1B. 2C. 3D. 4⑵已知函数丁=/(兀)和y=g(x)在［一2, 2］上的图像如下图所示：给出下列四个命题:①方程张（劝］=0有且仅有6个根;②方程gl/（x）］=O有且仅有3个根;③方程/1/（兀）］=0有且仅有7个根;④方程瞻（兀）］=0有且仅有4个根. 其中正确命题的序号为①④•［解析］⑴令/(兀)=2x llog0.5xl— 1=0,可得llogo.5Xl = g) •设g(x)= llogo.5xb h(x)=一坐标系下分别画出函数g（x）,仇（兀）的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数/（兀）有2个零点.⑵函数几兀)的三个零点为偽〃和0且X"，由图知2,—1), (1» 2),函数能)的两个零点为c, 〃且cv〃，由图知圧(一2, -1), je(o,1).(i )由九g(x)]= 0知g(x)="或能)=〃或g(x)=O,其中(― 2, -1), bE(l, 2),由g(x)的图像与尸"有2个交点，与y = b和y=0都有2个交点，所以尸九金)]有6个零点，故①正确.(ii)S g[f(x)]= 0 知/(x)=c 或f(x)=d9其中ce(—2, —1), ”W(0, 1),尸心)的图像与直线尸c有1个交点与直线尸〃有3个交点，所以函数y=g[f(x)]有4个零点，故②不对.同理可以判断③不对，④正确.故正确的说法为①④.专题㊂根据函数的零点（方程根）求参数的范围常用方法：（1）二次函数零点（或二次方程根）的分布问题用函数思想求解.（2）利用函数图像数形结合求解.（3）利用分类讨论思想求解.已知函数/(x)=lx—21+1, g(兀)=也•若方程/(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数吃的取值范围是（B ）A. 0,C. (1, 2)D. (2, 4-oo)过4点时斜率为丄,2 故沧)=g&)有两个不相等的实根时，k［解析］先作出函数/(x) = lx-2l+1的图像，如图所示，当直线g(X)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线^=kx专题何）函数模型的应用______________________常用方法：（1）利用所给定的函数模型或图像，用待定系数法求出解析式进而解决实际问题.（2）构造函数模型：一是由题意直接确定模型，进行解决其他问题，二是由题目提供的数据，利用图形确定函数模型.从而解决一些实际问题或预测一些结果•我国加入WTO 时，根据达成的协议，若干年内某产 品市场供应量p 与关税的关系近似满足p(x)= 2(1-kt)(x-为正的常数)，时的市场供应量曲线如图所示.")2(其中/为关税的税率，且炖0o, J X 为市场价格，b 、k_______ I I I I I I I A0 5 7 %⑴根据图像，求b、氐的值;(2)记市场需求量为“，它近似满足a(x)=2n~2f当p=“时的市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格控制在不低于9时，求关税税率的最小值.［解］⑴由图像知即（7—方）2 =0,解得22 x (2)当p=a时，有2(1"6Z)(X"5)=211_2,即(l-60(x-5)2=ll-p 即2(1-60=由兀$9,得x—5M4,即17 1 13则［2( 1—6切叱=石_二=花・131—6/W迈，&17 1 (x—5) 2x—5°19 192 *故关税税率的最小值为19192*解析：令f(x) = \^—A?,由J=x3, y = (|)的单调性可知， f(H)是单调函数，且堆)=傍1毎＜5 故由零点存在定理可知1.若兀0是方程g)=括的解, 贝il 兀0属于区间(D ) D心)在内有零点.e x + a,兀WO,2.已知函数于（劝=若函数/（对在R上有两个2x—1，兀＞0, 不同零点，则“的取值范围是（D）A. [—1, +°°)B. (—1, +°°)C. (-1, 0)D. [-1, 0)解析：当兀=扌时,©)= 2X^—1= 0,故扌是/(工)的一个零点, 故当兀W0时也应有一个零点，当xWO时，e' + a=O,即e* =—ay可得：e (0, 1],故0v—“W1,即一lW“vO・3.中国政府在哥本哈根气候变化会议上做出庄严承诺：2005 年至2020年15年间，中国单位国内生产总值二氧化碳排放 强度下降到40%,则2005年至2020年二氧化碳排放强度平 均每年降低的百分数为5・9% .（参考数据：0.94115^0.4） 丄x= 1-0•扭 ~ 1一 0.941= 0.059= 5.9% • 解析：设平均每年降低的百分数为兀, 由题意得：（1—x ）k =0.4, 丄 1-X= 0.4^5,4 .已知函数/(x) = mx — 2(m + n)x + n , (JW HO)满足/(0)-/(1)>0,设兀1，兀2是方程/(*)=0的两根，贝i\xi—x2的解析：由/(0)・/(1)>0可得如+〃)vo,色j+和0.设吒即r2+r<o,得址(一1, 0).因为加H0,所以J=[-2(/W+H)]2取值范圉是2, 2)■巳2 （加十兀）X1 I 兀2 、1X1 — x2l = V （兀1 + 兀2）2—4X1X2 —n兀1兀2 = _，m2^\^J+ —+1= 2\]t2 + /+1,令巩（）=”+『+1,绘（一1, 0）, 可得gC）w[|，1）故比1一对丘[厉，2）.5.已知函数/(x)=ax2+bx~\~(b— l)(a^0).若函数于(兀)有一个二重零点，求实数偽方满足的关系式. 解：因为二次函数/(X)有一个二重零点，所以方程a?+加+ (b— 1)=0有两个相等的实数根，从而/ = / —4a(b—1)= 0, 即产=4«(方一1),此即实数偽〃满足的关系式.6.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好,但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费, 一个月中30方以内(含30 %)每张球台90元，超过30方的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15仏也不超过40汕⑴设在甲家租一张球台开展活动x h的收费为/3)元(15WxW40),在乙家租一张球台开展活动x h的收费为g(x) 元(15WxW40),试求g(x).(2)问选择哪家比较合算？为什么？解：(l)f(x) = 5x, 15WxW40；90, 15EW30,g(Q=30+2x, 30VxW40・ (2)当5x=90 时，x= 18,即当15WxV 18 时,f(x)<g(x)；当18VxW40 时，/(x)>g(x)；所以15^x<18时，选甲家比较合算；当x=18时，两家一样合算；当18<x^40时，选乙家比较合算.当x= 18时，f(x)=g(x)；本部分内容讲解结束。

[A基础达标]1．为了了解某地1 200名国家公务员的英语水平状况，从中抽取100名公务员的考试成果进行统计分析．在这个问题中1 200名国家公务员的成果是()A．总体B．个体C．一个样本D．样本的容量答案：A2．为确保食品平安，质检部门检查一箱装有1 000件包装食品的质量，抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是()A．总体是指这箱1 000件包装食品B．个体是一件包装食品C．样本是按2%抽取的20件包装食品D．样本容量为20解析：选D.由从总体中抽取样本的意义知D是正确的．3．下列调查方式中合适的是()A．要了解一批节能灯的使用寿命，接受普查方式B．调查你所在班级同学的身高，接受抽样调查方式C．调查沱江某段水域的水质状况，接受抽样调查方式D．调查全市中同学每天的就寝时间，接受普查方式解析：选C.要了解节能灯的使用寿命，由于调查具有破坏性，所以宜实行抽样调查的方式；要调查班级同学的身高，由于人数较少，宜接受普查的方式；对沱江某段水域的水质状况、全市中同学每天的就寝时间的调查都不宜接受普查的方式．4．下列调查：①工厂检查某批产品中次品状况；②学校调查同学桌凳的损坏状况；③某电视台调查近期的收视率；④调查全国同学的视力状况．其中适合用抽样调查的有()A．①③B．③④C．①③④D．①②③④解析：选C.②中学校调查同学桌凳的损坏状况需全面调查，适合用普查，其他三种适合用抽样调查．5．为了了解高一班级同学的视力状况，特殊是近视率问题，抽测了其中100名同学的视力状况．在这个过程中，100名同学的视力状况(数据)是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量解析：选C.100名同学的视力状况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本，故选C.6．某公司新上市一款MP5，为了调查产品在用户中受欢迎的状况，接受________形式调查为好(填“普查”或“抽样调查”)．答案：抽样调查7．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为20的样本，若每个样本被抽取的可能性为0.1，则N＝________.解析：由题意知20N＝0.1，所以N＝200.1＝200.答案：2008．某市有高一同学6 500名，为了了解这些同学入学考试的数学成果，从6 500份数学答卷中随机地抽取了300份进行统计分析．在这个问题中，总体是________，样本是________．解析：调查的对象是“同学入学考试的数学成果”，所以总体是6 500名同学入学考试的数学成果，样本是300名同学入学考试的数学成果．答案：6 500名同学入学考试的数学成果300名同学入学考试的数学成果9．对工业生产线上的产品实行质量监控，我们接受抽样调查的方法，为什么不用普查？解：对工业生产线上的产品实行质量监控，需要实时监控生产线的工作状态，在生产过程中不知道总体所包含的个体数目，不能进行普查，虽然等生产完一批产品之后可以进行普查，但对于实时监控生产线的工作状态没有任何挂念，故不能进行普查．10．某校高一、高二和高三班级分别有同学1 000名、800名和700名，为了了解全校同学的视力状况，要抽取100名同学进行视力测试．某个调查小组调查了高二班级的100名同学，由此作出推断，你认为这样的调查结果精确吗？解：由于不同班级同学的视力状况差异较大，为了精确，应从三个班级中各抽取一部分同学进行调查，只调查高二班级的100名同学，只能代表高二班级同学的视力状况，代表不了全校同学的视力状况．从三个班级分别抽取同学时，应按各班级同学占总同学数的百分比抽取，不能在三个班级中平均抽取．[B力量提升]1．下列调查方式合适的是()A．要了解一批灯泡的使用寿命，接受普查方式B．要了解收看中心电视台的“法制报道”栏目的状况，接受普查方式C．为了保证“天宫一号”太空舱放射成功，对重要零件实行抽查方式D．要了解外国人对“上海世博会”的关注度，可接受抽查方式答案：D2．现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说法中正确的是()A．80件产品是总体B．20件产品是样本C．样本容量是80D．样本容量是20解析：选D.总体是80件产品的质量；样本是抽取的20件产品的质量；总体容量是80；样本容量是20.3．依据下列问题填空(“普查”、“抽样调查”中选一)(1)了解我们班级的每个同学穿几号鞋，应当用________；(2)了解一批灯泡的寿命，应当用________；(3)江西省农科所要考察一块试验田水稻的穗粒饱满状况，应当用________．解析：(1)要了解班中每个同学穿几号鞋，应当用普查．(2)检验灯泡的寿命具有破坏性，应当用抽样调查．(3)一块试验田中水稻株数太多，应当用抽样调查．答案：(1)普查(2)抽样调查(3)抽样调查4．(选做题)在某电视台工作的小张接到一个去调查某电视节目的收视率的任务，他想：地铁站人多且杂，去那里调查所得到的样本会具有代表性，你认为他的想法对吗？解：虽然地铁站人多且杂，但有些人，如老人、残疾人等一般很少乘地铁，且他们在家看电视的时间往往较多，小张这样选择样本忽视了这些人，所以他这样的抽样不具有代表性．。

[A 基础达标]1．已知tan α＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则sin α的值是( ) A ．－55 B.55C.255D ．－255解析：选A.由于α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，所以sin α<0，由tan α＝sin αcos α＝12及sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：选B.由于方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又由于tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋169sin 2α＝1， 所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.3．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值等于( ) A ．0B ．1C ．－1D.5－12解析：选B.由于sin θ＋sin 2θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝cos 2θ，所以原式＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ) ＝sin θ＋sin 2θ ＝1.4．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( )A.153B ．－153C.53 D ．－53解析：选A.由于sin A cos A ＝13>0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＝1＋2sin A cos A ＝1＋23＝153. 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ－2sin θ3cos θ＋sin θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B.由题意知tan θ＝2，所以cos θ－2sin θ3cos θ＋sin θ＝1－2tan θ3＋tan θ＝1－2×23＋2＝－35.6．已知sin α＝45，且α为其次象限角，则tan α的值为________．解析：由于α为其次象限角且sin α＝45，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝45－35＝－43. 答案：－437．化简(1＋tan 2α)·cos 2α＝________．解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：18．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为________．解析：由Δ≥0知，a ≤13.又⎩⎨⎧sin α＋cos α＝23，①sin α·cos α＝a3，②由①式两边平方并化简得：sin αcos α＝－518，所以a 3＝－518，所以a ＝－56.答案：－569．证明：cos 4α－sin 4α1＋2sin （π－α）cos （π＋α）＝1＋tan α1－tan α.证明：左边＝（cos 2α＋sin 2α）（cos 2α－sin 2α）cos 2α＋sin 2α－2sin αcos α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）（cos α－sin α）2＝cos α＋sin αcos α－sin α＝cos αcos α＋sin αcos αcos αcos α－sin αcos α＝1＋tan α1－tan α＝右边，故原等式成立． 10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A ·cos A 的值；(2)推断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)由sin A ＋cos A ＝15，两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－1225.(2)由(1)得sin A ·cos A ＝－1225<0.又0<A <π，所以cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形． (3)由于sin A ·cos A ＝－1225，所以(sin A －cos A )2 ＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0， 所以sin A －cos A >0， 所以sin A －cos A ＝75.又sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35.所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[B 力量提升]1．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1解析：选A.将等式sin α－cos α＝2两边平方，得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0，由sin α－cos α＝2和sin α＋cos α＝0，解得sin α＝22，cos α＝－22，故tan α＝sin αcos α＝－1. 2.1－2sin 2cos 2＝________． 解析：由于2是其次象限角， 所以原式＝sin 22－2sin 2cos 2＋cos 22 ＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2. 答案：sin2－cos2 3．已知tan θ＝2，求： (1)cos θ，sin θ； (2)4sin θ－3cos θ6cos θ＋2sin θ. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝2，sin 2θ＋cos 2θ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ＝2，sin 2θ＋cos 2θ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝2cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1， 即cos 2θ＝15，若θ为第一象限角，则cos θ＝55，sin θ＝255. 若θ为第三象限角，则cos θ＝－55，sin θ＝－255. (2)原式＝4tan θ－36＋2tan θ＝4×2－36＋2×2＝510＝12. 4．(选做题)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的角α的集合．解：由于1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α|＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|.又由于1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，所以2sin α|cos α|＋2sin αcos α＝0，即得sin α＝0或|cos α|＝－cos α≠0， 则α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋32π，k ∈Z ，所以，角α的集合为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π2，k ∈Z .。

[A基础达标]1．已知M＝{x|x－1<2}，那么()A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉MC．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M解析：选A.若x＝2，则x－1＝1<2，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<2，所以－2∈M.故选A.2．设集合A＝{x∈Z|－1<x<2}，则下列可表示集合A的是()A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2}C．{0，1} D．{0，1，2}解析：选C.A＝{x∈Z|－1<x<2}＝{0，1}．3．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}解析：选D.因为A中含有3，7，11，15，A不正确，B中含有无穷多个元素，不正确．对C，当t＝0时，x＝－3，不正确，故选D.4．下列说法正确的个数为()①集合{小于1的正有理数}是一个有限集；②集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；③由1，32，64，|－32|，0.5这些数组成的集合有5个元素．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A.①小于1的正有理数是有无限个的，故①错；②中集合{y|y＝x2－1}的元素为数，而集合{(x，y)|y＝x2－1}的元素是点，故②错；③由集合元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，故③错．5．已知A ＝{1，0，－1，2}，B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝( )A ．{0，2}B ．{1，0，2}C ．{1，2}D ．{1，0}解析：选B.因为x ∈A ＝{1，0，－1，2}．所以|x |＝0，1，2，即B ＝{1，0，2}．6．方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，则a ＝________，c ＝________． 解析：方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，那么12，13是方程的两根，即有⎩⎪⎨⎪⎧12＋13＝－5a ，12×13＝c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1. 答案： －6 －17.如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．解析：题图中阴影部分点的横坐标－1≤x ≤3，纵坐标0≤y ≤3，故用描述法可表示为⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤3，0≤y ≤3. 答案：⎩⎨⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1≤x ≤3，0≤y ≤3 8．集合A ＝{1，2，3，5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．解析：因为x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ，所以A 中的孤立元素为5.答案：19．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N .(1)试判断元素1，2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.解：(1)当x＝1时，62＋1＝2∈N.当x＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B，2∉B.(2)因为62＋x∈N，x∈N，所以2＋x只能取2，3，6.所以x只能取0，1，4.所以B＝{0，1，4}．10．已知集合A＝{5，|a＋1|，2a＋1}，若3∈A，求实数a的值．解：因为3∈A，所以|a＋1|＝3或2a＋1＝3，解得a＝2或－4或1，若a＝2，元素有5，3，5不合题意，舍去；若a＝－4，元素有5，3，－7，符合题意；若a＝1，元素有5，2，3，符合题意．综上知a＝1或－4.[B能力提升]1．现定义一种运算⊗，当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊗n＝m＋n，当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m⊗n＝mn.则集合M＝{(a，b)|a⊗b＝16，a∈N＋，b∈N＋}中元素的个数为()A．22 B．20C．17 D．15解析：选C.①当a，b都是正偶数时，(a，b)可以是(2，14)，(4，12)，(6，10)，(8，8)，(14，2)，(12，4)，(10，6)，共7个；当a，b都是正奇数时，(a，b)可以是(1，15)，(3，13)，(5，11)，(7，9)，(9，7)，(11，5)，(13，3)，(15，1)，共8个；②当a，b中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a，b)可以是(1，16)，(16，1)，共2个．因此满足题意的元素个数为17.2．(2016·山西省重点中学检测)有下面五种表示方法：①{x ＝－1，y ＝2}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2；③{－1，2}；④{(－1，2)}；⑤{x ，y |x ＝－1或y ＝2}． 其中能正确表示方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________． 解析：方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以该方程组的解集应为点集，其正确形式是②④.答案：②④3．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们所表示的集合相同吗？试说明理由．解：因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中的y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3，x ∈R }．4．(选做题)集合M 的元素为自然数，且满足：如果x ∈M ，则8－x ∈M ，试回答下列问题：(1)写出只有一个元素的集合M ；(2)写出元素个数为2的所有集合M ；(3)满足题设条件的集合M 共有多少个？解：(1)M 中只有一个元素，根据已知必须满足x＝8－x，所以x＝4.故含有一个元素的集合M＝{4}．(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，从而含两个元素的集合M应为{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}．(3)满足条件的M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，它包括以下情况：①由以上1个集合中元素组成的集合有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}共5个；②由2个组成的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}共10个；③由3个组成的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}共10个；④由4个组成的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}共5个；⑤由5个组成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，共1个．综上可知，满足题设条件的集合M共有31个．。

[A 基础达标]1．设向量a ＝(2，0)，b ＝(1，1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝12C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b解析：选C.由于a ＝(2，0)，b ＝(1，1)， 所以|a |＝2，|b |＝2，故|a |≠|b |，A 错误； a·b ＝(2，0)·(1，1)＝2×1＋0×1＝2，故B 错误；由于a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝(1，－1)·(1，1)＝0，所以(a －b )⊥b ，故C 正确． 由于2×1－0×1≠0，所以a 与b 不共线，故D 错误．2．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D.152解析：选C.由于a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)．由于(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2，1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.故选C.3．已知A (－2，1)，B (6，－3)，C (0，5)，则△ABC 的外形是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A.由题设知AB →＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB →⊥AC →.所以∠BAC ＝90°. 故△ABC 是直角三角形．4．如图是函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图像，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝1，结合图像可得x ＝3，即B (3，1)，令tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝0，结合图像可得x＝2，即A (2，0)，从而OB →＝(3，1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.5．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：选D.设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(1＋x ，2＋y )，a ＋b ＝(3，－1)，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2（2＋y ）＋3（x ＋1）＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 6．已知点A (－1，1)、B (1，2)、C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在AB →方向上的投影为________． 解析：由于AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB →|＝22＋12＝ 5.设AB →与CD →的夹角为θ，所以向量CD →在AB →方向上的投影为|CD →|cos θ＝AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.答案：3 57．若M (2，0)，N (0，2)，且点P 满足MP →＝12MN →，O 为坐标原点，则OM →·OP →＝________．解析：设P (x ，y )，由MP →＝12MN →，得(x －2，y )＝12(－2，2)＝(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－1，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以OM →·OP →＝(2，0)·(1，1)＝2. 答案：28．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－ 2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：由于a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)， 所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )， 由于(a ＋b )⊥(b －c )，所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4， 故向量MN →＝(－8，8)，|MN →|＝8 2.答案：8 29．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角； (2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解：(1)由于a ＝(1，2)，b ＝(－3，4)， 所以a ＋b ＝(－2，6)，a －b ＝(4，－2)， 设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，所以cos θ＝（－2，6）·（4，－2）40×20＝－2040×20＝－22.又由于θ∈[0，π]，所以θ＝3π4. (2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0， 所以(1，2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0， 则1－3λ＋4＋8λ＝0，所以λ＝－1.10．已知点A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ＋cos θ的值．解：(1)由于A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)，所以AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)，由于|AC →|＝|BC →|，所以（2sin θ－1）2＋cos 2θ＝（2sin θ）2＋（cos θ－1）2，化简得2sin θ＝cosθ.由于cos θ≠0(若cos θ＝0，则sin θ＝±1，上式不成立)，所以tan θ＝12.(2)由于OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， 所以OA →＋2OB →＝(1，2)， 由于(OA →＋2OB →)·OC →＝1， 所以2sin θ＋2cos θ＝1， 所以sin θ＋cos θ＝12.[B 力量提升]1．在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10解析：选C.由于AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，所以AC →⊥BD →，所以S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5.2．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．解析：由于向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：23．已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， (1)当x ，y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由于a 与b 共线，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R ，所以当x ＝13，y 为任意实数时，a 与b 共线．(2)由a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝53y ＝73，所以xy ＝－1或xy ＝359. 所以存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |，此时xy ＝－1或xy ＝359.4．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ， 则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12，所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →， 由于AB →与BC →有公共点B ， 所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ (1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12.所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

2024高三创新方案数学课后针对2024年高三学生的数学课后创新方案，旨在帮助学生们巩固课堂所学知识，提高解题能力，培养创新思维。

以下是一些建议性的方案内容。

一、课后复习与巩固1.制定个性化复习计划：根据自身学习情况，将数学知识点进行梳理，制定切实可行的复习计划。

2.深入理解概念：课后复习时，加强对数学概念、公式、定理的理解，避免死记硬背。

3.做题巩固：针对不同类型的题目，进行有针对性的练习，提高解题速度和正确率。

4.错题整理：将课后练习中出现的错误进行整理，分析错误原因，避免重复犯错。

二、拓展与创新1.研究性学习：结合教材内容，选择合适的研究课题，进行小组合作研究，培养探究能力和团队合作精神。

2.数学竞赛：积极参加数学竞赛，提高自己的数学素养和竞技水平。

3.数学建模：学习数学建模方法，解决实际问题，培养应用数学知识解决实际问题的能力。

4.创新思维训练：通过参加数学讲座、阅读数学文章等方式，拓宽知识面，激发创新思维。

三、课后辅导与交流1.主动请教：在学习过程中遇到问题，主动向老师、同学请教，及时解决问题。

2.组织学习小组：与同学组成学习小组，共同讨论、共同进步。

3.利用网络资源：合理利用网络资源，观看教学视频，参加在线讨论，提高学习效果。

4.定期总结与反思：定期对学习情况进行总结，反思学习方法和策略，不断调整和完善。

四、课后实践活动1.数学实践活动：参加学校组织的数学实践活动，如数学文化节、数学知识竞赛等。

2.社会实践：结合所学数学知识，参与社会实践活动，如统计调查、数据分析等。

3.亲子活动：与家长一起参与数学亲子活动，增进亲子关系，提高数学学习兴趣。

4.数学志愿服务：参加数学志愿服务活动，帮助他人解决问题，提升自身价值。

[A 基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D. 2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →解析：选C.BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.3．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A. 4．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于( ) A ．25 B ．4 5 C ．12D ．6解析：选B.因为AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍，故选B. 5．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a|＋|b|.其中正确的是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．①②解析：选A.因为在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．6．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角． 解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角． 答案：|a |＝|b |7．已知G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________． 解析：如图，连接AG 并延长交BC 于E ，点E 为BC 中点，延长AE 到D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0，所以GA →＋GB →＋GC →＝0. 答案：08．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________(图形)． 解析：如图所示，BC →＋BA →＝BD →，BC →＋AB →＝AC →， 又|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →|，则四边形ABCD 是矩形． 答案：矩形9．如图所示，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明：AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →， 所以AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. 因为PB →与QC →大小相等，方向相反，所以PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力的大小．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30°＝150 3 N ， |OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ， 与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[B 能力提升]1．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝( ) A. 3 B ．3 C ．2 3D ．3 3解析：选D.在平面内任取一点O ，作向量OA →，OB →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →.由题意知四边形OACB 为菱形，又∠AOB ＝60°，所以|OC →|＝2×3×sin 60°＝3 3.2．若|AB →|＝10，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是________． 解析：如图，固定AB →，以A 为起点作AC →，则AC →的终点C 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上，由图可见，当C 在C 1处时，|BC →|取最小值2，当C 在C 2处时，|BC →|取最大值18.答案：[2，18]3．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km ，然后又向西行驶2 km ，你知道此船在整个过程中的位移吗？解：如图，用AC →表示船的第一次位移，用CD →表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知AD →＝AC →＋CD →， 所以AD →可表示两次位移的和位移．由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°， 所以BC ＝12AC ＝1，AB ＝ 3.在等腰△ACD 中， AC ＝CD ＝2， 所以∠D ＝∠DAC ＝12∠ACB ＝30°，所以∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ＝23，所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为2 3 km . 4．(选做题)在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12.求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0， 所以OA →＝CO →，OB →＝DO →， 所以四边形ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|＝1，知四边形ABCD 为菱形． 因为cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)，所以∠DAB ＝π3，所以△ABD 为正三角形， 所以|DC →＋BC →|＝|AB →＋AD →| ＝|AC →|＝2|AO →|＝ 3. |CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.。

[A 基础达标]1．下列抽取样本的方式是简洁随机抽样的有( ) ①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A.①不满足总体的个体数有限；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点． 2．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：10～20，2；20～30，3；30～40，4；40～50，5；50～60；4；60～70，2，则在区间10～50上的数据的频率是( )A ．0.05B ．0.25C ．0.5D ．0.7解析：选D.由题知，在区间10～50上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为1420＝0.7.3．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，打算接受分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 满足2b ＝a ＋c ，则二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解析：选C.由于2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，依据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×13＝1 200.4．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成果的茎叶图如图所示，x 1、x 2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成果的平均数，s 1、s 2分别表示甲、 乙两名运动员这项测试成果的标准差，则有( )A ．x —1＞x —2，s 1＜s 2 B ．x —1＝x —2， s 1＝s 2C ．x —1＝x —2，s 1＜s 2 D ．x —1＝x —2，s 1＞s 2解析：选C.由于x —1＝15，x —2＝15，s 21＝373，s 22＝533，所以x —1＝x —2，s 1＜s 2. 5．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x — B ．2s 2，2x —C ．4s 2，2x —D ．s 2，x —解析：选C.将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍，故答案选C.6．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________、________．解析：甲组数据为：28，31，39，42，45，55，57，58，66，中位数为45.乙组数据为：29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46.答案：45 467．从某地区1 500位中年人中随机抽取100人，其是否常用微信的状况如下表所示：是否常用微信人数性别男 女 常用 32 28 不常用1822解析：设1 500位中年人中女性与男性不常用微信的人数分别为x ，y ，由x 15 00＝22100，得x ＝330；同理可得y ＝270.于是x －y ＝330－270＝60(人)． 答案：608．5 000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如图所示，则时速超过70 km/h 的汽车数量为________．解析：由时速的频率分布直方图可知，时速超过70 km/h 的汽车的频率为图中70到80的矩形的面积，所以时速超过70 km/h 的汽车的频率为0.010×(80－70)＝0.1.由于共有5 000辆汽车，所以时速超过70 km/h 的汽车数量为5 000×0.1＝500. 答案：5009．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. (1)分别计算两组数据的平均数； (2)分别计算两组数据的方差；(3)依据计算结果，估量一下两名战士的射击水平谁更好一些．解：(1) x —甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，x —乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可求得s 2甲＝3.0，s 2乙＝1.2. (3)由x —甲＝x —乙，说明甲、乙两名战士的平均水平相当；又由于s 2甲＞s 2乙，说明甲战士射击状况波动大，因此乙战士比甲战士射击状况稳定． 10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参与其中一组．在参与活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参与活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满足程度，现用分层抽样的方法从参与活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x ＝10%. 解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15.[B 力量提升]1．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x —，方差为s 2，则( )A ．x —＝5，s 2＜2 B ．x —＝5，s 2＞2 C ．x —＞5，s 2＜2 D ．x —＞5，s 2＞2解析：选A.设18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，所以19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，所以x —＝5，由方差定义及意义可知加新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，所以s 2＜2，故选A.2．在某高校数学专业的160名同学中开展一项社会调查，先将同学随机编号为001，002，003，…，160，接受系统抽样的方法抽取样本，已知抽取的同学中最小的两个编号为007，023，那么抽取的同学中最大编号应当是( )A ．150B ．151C ．142D ．143解析：选B.由最小的两个编号为007，023可知，抽样间距为16，因此抽取人数的比例为116，即抽取10名同学，故抽取的同学中最大编号为7＋9×16＝151.3．一个总体中的80个个体编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，要用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本．即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i ，依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取个位数字为i＋k(当i＋k＜10时)或i＋k－10(当i＋k≥10时)的号码．当i＝6时，所抽到的8个号码是________．解析：由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6＋1＝7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6＋2＝8，故应选28，依次类推，应选39，40，51，62，73.答案：6，17，28，39，40，51，62，734．(选做题)从某学校高三班级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量知被测同学身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组155～160；其次组160～165；…；第八组190～195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组人数与第八组人数的和是第七组人数的2倍．(1)估量这所学校高三班级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图．解：(1)由频率分布直方图得前五组频率和为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率和为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9(人)，这所学校高三班级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144(人)．(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2(人)，设第六组人数为m，则第七组人数为9－2－m＝7－m.又m＋2＝2×(7－m)，所以m＝4，所以第六组人数为4人，第七组人数为3分别为0.016，0.012，画图如图所示．人，频率分别为0.08，0.06，相应的f iΔx i。