(陕西版)届高三数学上学期第一次月考试题理【含答案】

西安中学高2020届高三第一次月考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则正确的是( )A. B. C. D.2.已知函数的导函数为，且满足，则=（）A. B. C. 1 D. e3.若，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.4.设则等于( )A. B. C. D.5.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。

在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数约为_________。

(素数即质数，，结果四舍五入保留整数)A. 768B. 144C. 767D. 1456.下列大小关系正确的是( )A. B.C. D.7.下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若,则”的否命题为：“若,则”B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“,使得”的否定是：“,均有”D. 命题“若,则”的逆否命题为真命题8.函数y=（2x-1）e x的图象是（）A. B.C. D.9.定义在上的奇函数满足，且在上，则=（）A. B. C. D.10.已知点满足，，，则的最大值为（）A. B. C. 0 D. 不存在11.若f( x), g( x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f( x) -g( x) =e x,则有( )A. B. gC. D. g12.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式的解集为____________；14.已知函数在上不单调，则k的取值范围是______；15.对于函数，部分和的对应关系如下表：1 2 3 4 5 6 7 8 93 7 5 9 6 1 8 2 4数列满足：，且对于任意的，点都在函数的图像上，则___________；16.狄利克雷是19世纪德国著名的数学家，他定义了一个“奇怪的函数”，下列关于狄利克雷函数的叙述正确的有：___________。

2020-2021学年陕西省西安中学高三（上）第一次月考数学（理科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知i是虚数单位，计算i+i2+i3+…+i2015=（）A．﹣i B．﹣1﹣i C．1 D．﹣12．（5分）若集合M={y|y=3x}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[0，] B．（0，] C．（0，+∞）D．（﹣∞，]3．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）4．（5分）已知点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（）A．（，）∪（π，）B．（，）∪（π，）C．（，）∪（，）D．（，）∪（，π）5．（5分）函数y=2cos（x﹣）（≤x≤π）的最小值是（）A．1 B．﹣C．﹣1 D．﹣26．（5分）设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．+B．+3 C．+D．+37．（5分）设a=log2，b=log3，c=（）0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c8．（5分）函数f（x）=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则a等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±19．（5分）下列命题中，正确的是（）A．存在x0＞0，使得x0＜sinx0B．若sinα≠，则α≠C．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件D．若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=310．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，则a2+b2的取值范围（）A．B． C．D．11．（5分）已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对于任意的x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则（）A．f（）＞f（） B．f（）＞f（1） C．f（）＜f（）D．f（）＜f（）12．（5分）已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）= ．14．（5分）（﹣）6的二项展开式中常数项为﹣20，则实数 a= ．15．（5分）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x+1）=．当x∈[0，1）时，f （x）=2x+1．给出下列命题：①f（2013）+f（﹣2014）=；②f（x）是定义域上周期为2的周期函数；③直线y=8x与函数y=f（x）图象只有1个交点；④y=f（x）的值域为（，]∪[2，4）其中正确命题的序号为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设若点（，）在函数y=f（x+）的图象上，求φ的值．18．（12分）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O 的直径AB=2，C是弧的中点，D为AC的中点．（1）证明：AC⊥平面POD；（2）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．19．（12分）随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求1件产品的平均利润；（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75万元，则三等品率最多是多少？20．（12分）点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．21．（12分）设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1）（a≥0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若方程f（x）﹣t=0在[﹣，1]上有两个实数解，求实数t的取值范围；（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．定义在R上的函数f（x）=|2x+5|+|2x﹣1|≥a恒成立，（1）求a的最大值；（2）若m，n，p是正实数，且满足m+n+p=1，求证：mn+np+mp≤．2016-2017学年陕西省西安中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知i是虚数单位，计算i+i2+i3+…+i2015=（）A．﹣i B．﹣1﹣i C．1 D．﹣1【分析】直接利用复数单位的幂运算化简求解即可．【解答】解：由复数单位的幂运算的性质可得：i+i2+i3+…+i2015=i+i2+i3=﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数的单位的幂运算，是基础题．2．（5分）若集合M={y|y=3x}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[0，] B．（0，] C．（0，+∞）D．（﹣∞，]【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=3x＞0，得到M=（0，+∞），由N中y=，得到1﹣3x≥0，解得：x≤，即N=（﹣∞，），则M∩N=（0，]，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．4．（5分）已知点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（）A．（，）∪（π，）B．（，）∪（π，）C．（，）∪（，）D．（，）∪（，π）【分析】根据点的坐标与象限之间的关系，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，∴，即，∵α∈[0，2π]，∴，即＜α＜或π＜α＜，故∈（，）∪（π，），故选：B【点评】本题主要考查三角函数符号的判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．5．（5分）函数y=2cos（x﹣）（≤x≤π）的最小值是（）A．1 B．﹣C．﹣1 D．﹣2【分析】由≤x≤π，可求得﹣≤x﹣≤，由正弦函数的图象可知：≤cos（x﹣）≤，即可求得y=2cos（x﹣）的取值范围，即可求得其最小值．【解答】解：由题意可知：≤x≤π，则﹣≤x﹣≤，∴≤cos（x﹣）≤，∴1≤2cos（x﹣）≤，∴函数y=2cos（x﹣）（≤x≤π）的最小值1，故选A．【点评】本题考查余弦函数图象及性质，考查特殊角的三角函数值，考查转化思想，属于基础题．6．（5分）设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．+B．+3 C．+D．+3【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得．【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，∴f（x）dx=+（），=+，故答案选：A．【点评】本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．7．（5分）设a=log2，b=log3，c=（）0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【分析】依据对数的性质，指数的性质，分别确定a、b、c数值的大小，然后判定选项．【解答】解：，并且，所以c＞a＞b故选D．【点评】本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题．8．（5分）函数f（x）=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则a等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【分析】利用函数是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），结合在（0，+∞）上单调递增，即可求得a的值．【解答】解：∵函数是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴=﹣[]∴1﹣a2=0∴a=±1a=1时，，f′（x）=1+0，∴函数在（0，+∞）上单调递增，a=﹣1时，，f′（x）=1﹣，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，综上知，a=1故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的结合，考查奇函数的定义，属于中档题．9．（5分）下列命题中，正确的是（）A．存在x0＞0，使得x0＜sinx0B．若sinα≠，则α≠C．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件D．若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3【分析】A，函数y=x与函数y=sinx的图象只有一个交点（0，0）； B，sinα≠，则α≠+2kπ且α≠+2kπ； C，根据函数的单调性及零点存在性定理判定；D，经检验，a=1，b=3时函数无极值．【解答】解：对于A，函数y=x与函数y=sinx的图象只有一个交点（0，0），故错；对于B，sinα≠，则α≠+2kπ且α≠+2kπ，故正确；对于C，函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上单调增，函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点，则f（）f（2）＜0，⇒“﹣3＜m＜，所以“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”既不充分也不必要条件，故错；对于D，经检验，a=1，b=3时，导函数的判别式等于0，函数无极值，故错．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑中充要条件的判定，需要掌握大量的基础知识，属于基础知识．10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，则a2+b2的取值范围（）A．B． C．D．【分析】由函数在区间（﹣1，0）上是单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f′（﹣1）≤0且f′（0）≤0代入得到一个不等式组，可以把而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值．【解答】解：（1）依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在（﹣1，0）上恒成立．只需要即可，也即，而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，由点到直线的距离公式d2==，∴a2+b2的最小值为．则a2+b2的取值范围．故选C．【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，理解二元一次不等式组与平面区域的关系，考查数形结合思想．属于基础题．11．（5分）已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对于任意的x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则（）A．f（）＞f（） B．f（）＞f（1） C．f（）＜f（）D．f（）＜f（）【分析】构造函数g（x）=，利用导数判断出函数g（x）的单调性，即可判断个选项．【解答】解：构造函数g（x）=，则f′（x）=＜0在x∈（0，）恒成立，∴g（x）在（0，）单调递减，∴g（）＞g（）＞g（1）＞g（），∴＞＞＞，∴f（）＞f（），f（）＞f（），f（）＞f（），sin f（1）＞sin1f（），故无法比较f（）与f（1）故选：A【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）= ．【分析】由题意函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，f（）=f（﹣）=﹣，在根据在[0，2]上的解析式即可求解．【解答】解：由题意：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，则有：f（x+4）=f（x）f（﹣x）=﹣f（x）∴f（）=f（﹣）=﹣，又∵在[0，2]上的解析式为f（x）=，∵∴=sin=所以：f（）=f（﹣）=﹣==故答案为：．【点评】本题考查了周期性函数的计算和函数值的带值计算能力（注意定义域范围）．属于基础题．14．（5分）（﹣）6的二项展开式中常数项为﹣20，则实数 a= 1 ．【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：（﹣）6的二项展开式中的通项公式：T r+1==（﹣a）r x3﹣r，令3﹣r=0，解得r=3．∴常数项为（﹣a）3=﹣20，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是（0，）．【分析】求出函数的导数，根据函数的极值的应用以及二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：f′（x）=+2ax﹣1=，（x＞0），若函数f（x）=lnx+ax2﹣x+1有两个极值点，则方程2ax2﹣x+1=0有2个不相等的正实数根，∴，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．【点评】本题考查了函数的极值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x+1）=．当x∈[0，1）时，f （x）=2x+1．给出下列命题：①f（2013）+f（﹣2014）=；②f（x）是定义域上周期为2的周期函数；③直线y=8x与函数y=f（x）图象只有1个交点；④y=f（x）的值域为（，]∪[2，4）其中正确命题的序号为：①③④．【分析】①②，当x≥0时，f（x+1）=⇒T=2，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（2013）+f （﹣2014）=f（2013）+f（2014）=f（1）+f（0）=+f（0）=，③，直线y=8x在区间[0，1）递增，值域为[0，8），函数y=f（x）在区间[0，1）递增，值域为[0，4），依据图象可得只有1个交点；④，当x∈[1，2）时，x﹣1∈[0，1），f（x）==．【解答】解：当x≥0时，f（x+1）=⇒T=2，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2013）+f （﹣2014）=f（2013）+f（2014）=f（1）+f（0）=+f（0）=，①故正确，②错；对于③，直线y=8x在区间[0，1）递增，值域为[0，8），函数y=f（x）在区间[0，1）递增，值域为[0，4），依据图象可得只有1个交点，故正确；对于④，当x∈[1，2）时，x﹣1∈[0，1），f（x）==∈（]，故正确．故答案：①③④．【点评】本题考查了函数的奇偶性、周期、值域等基本性质，属于基础题．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设若点（，）在函数y=f（x+）的图象上，求φ的值．【分析】（1）根据两角和与差的正弦函数对已知函数关系式进行化简得到f（x）=sin（2x+φ），所以结合正弦函数的性质来求最小正周期和值域；（2）把（，）代入函数y=f（x+），根据0＜φ＜π求φ的值．【解答】（1）解：∵f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ），即f（x）=sin（2x+φ），∴函数f（x）的最小正周期为π，值域为[﹣1，1]；（2）解：∵函数y=f（x+）=sin（2x++φ），又点（，）在函数y=f（x+）的图象上，∴sin（+φ）=．∵0＜φ＜π，＜+φ＜，∴+φ=，解得：φ=．【点评】本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．18．（12分）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O 的直径AB=2，C是弧的中点，D为AC的中点．（1）证明：AC⊥平面POD；（2）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【分析】（1）连结OC，推导出AC⊥OD，AC⊥PO，由此能证明AC⊥平面POD，（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）连结OC，因为OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD，又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，解：（2）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），D（﹣，0），设=（x，y，z）是平面PAC的一个法向量，则，取z=1，得=（﹣）．又因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为=（0，1，0），设向量和的夹角为θ，则cosθ===，由图可知，二面角B﹣PA﹣C的平面角与θ相等，所以二面角B﹣PA﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求1件产品的平均利润；（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75万元，则三等品率最多是多少？【分析】（I）ξ的所有可能取值有6，2，1，﹣2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．（II）由ξ的分布列，能求出1件产品的平均利润．（III）设技术革新后的三等品率为x，求出此时1件产品的平均利润为E（x）=4.76﹣x（0≤x≤0.29），由此能求出三等品率最多为1%．【解答】（满分12分）解：（I）ξ的所有可能取值有6，2，1，﹣2，，，，，故ξ的分布列为：ξ 6 2 1 ﹣2P 0.63 0.25 0.1 0.02（II）由ξ的分布列，得：1件产品的平均利润为：Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（﹣2）×0.02=4.34（万元）．（III）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E（x）=6×0.7+2×（1﹣0.7﹣0.01﹣x）+x+（﹣2）×0.01=4.76﹣x（0≤x ≤0.29）依题意，E（x）≥4.75，即4.76﹣x≥4.75，解得x≤0.01∴三等品率最多为1%．【点评】本题考查概率分布列的求法，考查产品的平均利润的求法，考查三等品率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．20．（12分）点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．【分析】（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】解：（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即 x﹣y+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有 d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，∴当x=时，d取得最小值．【点评】本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M的坐标，是解题的难点．21．（12分）设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1）（a≥0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若方程f（x）﹣t=0在[﹣，1]上有两个实数解，求实数t的取值范围；（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．【分析】（1）求导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；（2）由上知，f（x）在[﹣，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，即可求实数t的取值范围；（3）设g（x）=，求导数g'（x），根据x﹣（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a，①当a=0时，f′（x）=1＞0，∴f（x）的单调递增区间为（﹣1，+∞）；②当a＞0时，由f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜﹣1，由f′（x）＜0，解得：x＞﹣1，∴f（x）的单调递增区间为（﹣1，﹣1），单调递减区间为（﹣1，+∞）；（2）由上知，f（x）在[﹣，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，∵f（0）=0，f（1）=1﹣ln4，f（﹣）=﹣+ln2，∴f（1）﹣f（﹣）＜0，∴t∈[﹣+ln2，0），方程f（x）=t有两解；（3）证明：设g（x）=，则g'（x）=，由（1）知，x﹣（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n＞0，所以g（m）＜g（n），得＞，得mln（1+n）＞nln（1+m），故（1+m）n＜（1+n）m．【点评】本题考查了函数的单调性，考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，题目难度中等．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．【分析】（1）首先把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程（2）利用直线和曲线没有交点，利用点到直线的距离求的最值，中间涉及相关的三角函数知识【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）转化为直角坐标方程：曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4转化为直角坐标方程：x+y﹣8=0（2）显然直线和椭圆没有公共点，则椭圆上点P（cosα，sinα）到直线的距离d=当时，此时P（，）【点评】本题考查的知识点：，椭圆上的点到直线的距离，三角函数的最值及相关的运算问题．[选修4-5：不等式选讲]23．定义在R上的函数f（x）=|2x+5|+|2x﹣1|≥a恒成立，（1）求a的最大值；（2）若m，n，p是正实数，且满足m+n+p=1，求证：mn+np+mp≤．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，即可得到a的最大值．（2）通过平方，利用基本不等式证明即可．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x+5|+|2x﹣1|≥|2x+5﹣2x+1|=6，定义在R上的函数f（x）=|2x+5|+|2x﹣1|≥a恒成立，可得a≤6，a的最大值为：6．（2）证明：∵（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mp+2np+2nm=1．∵m，n，p是正实数，m2+n2≥2mn，n2+p2≥2np，m2+p2≥2mp，∴m2+n2+p2≥mp+np+nm，∴m2+n2+p2+2mp+2np+2nm≥3mp+3np+3nm．．∴（m+n+p）2≥3mp+3np+3nm，∴mn+np+mp≤．【点评】本题考查绝对值的几何意义，不等式的证明，考查计算能力．。

2021-2022学年陕西省渭南市韩城市西庄中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．∅2．已知a，b∈R，那么是3a＜3b成立的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且＝1，则f′（x0）等于（）A．﹣B．﹣C．1D．﹣14．函数f（x）＝x+lnx﹣3的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝，满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，3]D．（0，）7．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）8．已知，则tanα＝（）A．B．C．D．9．sin20°sin10°﹣cos10°sin70°＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．设，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]12．已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知P（﹣1，3）为角α终边上的一点，则＝．14．函数y＝的定义域是．15．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于．16．有下列说法：①α＝﹣5是第一象限角；②函数y＝a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点是（0，1）；③若α为第三象限角，则终边在二四象限；④终边在y轴上的角的集合是．其中，正确的说法是．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．计算下列各值①；②；③sin cos+sin cos．18．设f（x）＝log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．已知函数f（x）＝f'（0）e x+x2﹣（f（0）﹣1）x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣mx在[1，2]上单调递增，求m的取值范围．21．已知函数f（x）＝x4﹣x3﹣x2+cx+1有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．22．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．∅【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．解：由M中y＝x2﹣1≥﹣1，得到M＝[﹣1，+∞），由N中y＝，得到4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，即N＝[﹣2，2]，则M∩N＝[﹣1，2]，故选：A．2．已知a，b∈R，那么是3a＜3b成立的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用集合间的关系，进一步利用充分条件和必要条件的应用求出结果．解：由于知a，b∈R，当，整理得0＜a＜b；故3a＜3b，当3a＜3b时，整理得：a＜b，故那么是3a＜3b成立的充分不必要条件，故选：C．3．设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且＝1，则f′（x0）等于（）A．﹣B．﹣C．1D．﹣1【分析】变形利用导数的运算定义即可得出．解：∵＝（﹣）＝（﹣）f′（x0）＝1，∴f′（x0）＝﹣，故选：A．4．函数f（x）＝x+lnx﹣3的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】对f（x）进行求导，得到其单调性，再利用零点定理进行判断；解：函数f（x）＝x+lnx﹣3，（x＞0）∴f′（x）＝1+，可得f′（x）＞0，f（x）为增函数，f（1）＝1+0﹣3＝﹣2＜0，f（2）＝2+ln2﹣3＝ln2﹣1＜0，f（3）＝3+ln3﹣3＝ln3＞0，∵f（2）f（3）＜0，所以f（x）的零点所在区间为（2，3），故选：C．5．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．解：函数（﹣π≤x≤π且x≠0），f（﹣x）＝（﹣x+）（﹣sin x）＝（x﹣）sin x＝f（x），函数是偶函数，排除选项C、D．当x＝时，f（）＝（）×＜0，排除A，故选：B．6．已知函数f（x）＝，满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，3]D．（0，）【分析】根据已知条件及减函数的定义知f（x）在R上是减函数，所以y＝a x在（﹣∞，0）上是减函数，y＝（a﹣3）x+4a在[0，+∞）上是减函数，所以a x＞1，（a﹣3）x+4a≤4a≤1，这样即可得到，解该不等式组即得a的取值范围．解：由已知条件知f（x）在R上是减函数；∴；∴解得0＜a；∴a的取值范围为（0，]．故选：B．7．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解：由x2﹣2x﹣8＞0得x＞4或x＜﹣2，设t＝x2﹣2x﹣8，则当x＞4时，g（x）为增函数，此时y＝lnt为增函数，则f（x）为增函数，即f（x）的单调递增区间为（4，+∞），故选：D．8．已知，则tanα＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式和同角的三角函数关系求出sinα、cosα的值，即可求得tanα．解：因为cos（α+）＝﹣sinα＝，所以sinα＝﹣；又因为﹣＜α＜0，所以cosα＝＝，所以tanα＝＝﹣．故选：D．9．sin20°sin10°﹣cos10°sin70°＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】已知利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．解：sin20°sin10°﹣cos10°sin70°＝cos70°•sin10°﹣cos10°sin70°＝sin（10°﹣70°）＝﹣sin60°＝﹣．故选：B．10．设，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，log32＜b＝ln2＜lne＝1，c＝＞50＝1，∴a，b，c的大小为c＞b＞a．故选：C．11．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．12．已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据题意构造函数g（x）＝，由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0求出g（﹣1）＝0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性，再转化f（x）＞0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．解：由题意设g（x）＝，则g′（x）＝∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0，∴当x＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）＝在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，g（x）在（﹣∞，0）上递减，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0，∴或，即或，即有x＞1或﹣1＜x＜0，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：B．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知P（﹣1，3）为角α终边上的一点，则＝．【分析】由题意利用任意角的三角函数定义可求sinα，cosα的值，代入所求即可计算得解．解：P（﹣1，3）为α角终边上一点，可得sinα＝＝，cosα＝﹣，所以＝＝．故答案为：．14．函数y＝的定义域是{x|}．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得答案．解：由2sin x+1≥0，得sin x．∴，k∈Z．∴函数y＝的定义域是{x|}．故答案为：{x|}．15．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于﹣2．【分析】利用奇函数的定义以及已知的恒等式，求出函数的周期，然后利用周期转化f （2019）即可．解：因为f（x）在R上是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，所以f（2019）＝f（505×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2×1＝﹣2．故答案为：﹣2．16．有下列说法：①α＝﹣5是第一象限角；②函数y＝a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点是（0，1）；③若α为第三象限角，则终边在二四象限；④终边在y轴上的角的集合是．其中，正确的说法是①③．【分析】利用任意角的概念和性质、指数型函数过定点的性质，逐项判断即可．解：对于①，α＝﹣5≈﹣286.5°∈（﹣360°，﹣270°），是第一象限角，①正确；对于②，令x﹣1＝0，得y＝3，故函数y＝a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点（1，3），②错误；对于③，α为第三象限角，则，k∈Z，所以，当k为偶数时，终边落在第二象限，k为奇数时，终边落在第四象限，故③正确；对于④，当k为偶数时，（k∈Z）终边落在x轴上，故④错误．故答案为：①③．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．计算下列各值①；②；③sin cos+sin cos．【分析】根据题意，直接计算可得答案．解：①原式＝+×＝25+4＝29；②原式＝dx+xdx＝×π+＝+；③原式＝﹣sin cos+（﹣sin）（﹣cos）＝（﹣×）+×＝0．18．设f（x）＝log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．【分析】（1）由f（1）＝2，求出a的值，由对数的真数大于0，求得x的取值范围，即得定义域；（2）化简f（x），考查f（x）在区间[0，]上的单调性，求出最大值．解：（1）∵f（x）＝log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），∴f（1）＝log a2+log a2＝2log a2＝2，∴a＝2；∴f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x），∴，解得﹣1＜x＜3；∴f（x）的定义域是（﹣1，3）．（2）∵f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x）＝log2（1+x）（3﹣x）＝log2[﹣（x﹣1）2+4]，且x∈（﹣1，3）；∴当x＝1时，f（x）在区间[0，]上取得最大值，是log24＝2．19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（I）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式；（II）当0＜x＜8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥8时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．解：（I）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：当0＜x＜8时，L（x）＝5x﹣（）﹣3＝﹣x2+4x﹣3，当x≥8时，L（x）＝5x﹣（6x+﹣38）﹣3＝35﹣（x+），∴L（x）＝．（II）当0＜x＜8时，L（x）＝﹣（x﹣6）2+9，此时，当x＝6时，L（x）取得最大值9；当x≥8时，L（x）＝35﹣（x+）≤35﹣2＝15，此时，当x＝即x＝10时，L（x）取得最大值15；∵9＜15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．20．已知函数f（x）＝f'（0）e x+x2﹣（f（0）﹣1）x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣mx在[1，2]上单调递增，求m的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，取x＝0求得f（0），进一步求得f′（0），则函数解析式可求；（2）把问题转化为g'（x）＝e x+2x﹣m≥0在[1，2]上恒成立，分离参数m，再求出函数y＝e x+2x在[1，2]上的最小值，则答案可求．解：（1）∵f（x）＝f′（0）e x+x2﹣（f（0）﹣1）x，∴f′（x）＝f′（0）e x+2x﹣f（0）+1，令x＝0，解得f（0）＝1，则f（x）＝f′（0）e x+x2，令x＝0，得f′（0）＝f（0）＝1，∴f（x）＝e x+x2．（2）∵g（x）＝f（x）﹣mx＝e x+x2﹣mx在[1，2]上单调递增，∴g'（x）＝e x+2x﹣m≥0在[1，2]上恒成立，∴m≤e x+2x在[1，2]上恒成立．又∵函数y＝e x+2x在[1，2]上单调递增，∴y min＝e+2，∴m≤e+2，故m的取值范围为（﹣∞，e+2]．21．已知函数f（x）＝x4﹣x3﹣x2+cx+1有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．【分析】（1）利用极值点的定义，将问题转化为f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c＝0有三个不等的实根，构造函数g（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c，利用导数研究其性质，列出不等式，求解即可；（2）当c＝27时，利用导数求出函数f（x）的单调递减区间，结合题意，列出关于a的不等关系，求解即可．解：（1）因为函数有三个极值点，则f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c＝0有三个不等的实根，设g（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c，则g'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），当x∈（﹣∞，﹣1）或（3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（﹣1，3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，故，即，解得﹣5＜c＜27，所以c的取值范围为（﹣5，27）；（2）当c＝27时，f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+27＝（x﹣3）2（x+3），由f'（x）＜0，可得x＜﹣3，所以f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，又函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，所以a+2≤﹣3，故a的取值范围为（﹣∞，﹣5]．22．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x＝1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k＝0，0＜k＜1，k＝1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．解：（I）当k＝2时，由于所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3＝0（II）f'（x）＝﹣1+kx（x＞﹣1）当k＝0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k＝1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．。

2022-2023学年度第一学期高三年级第一次月考数学（理科）宏志班试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，(){|ln 1}B x y x ==+，则A B =（ ） A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的12x x ，（12x x ≠）恒有11122122()()()()0x f x x f x x f x x f x --+>，若(0)a f =，(1)b f =，(2)c f =，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．c a b <<D ．a c b <<3．下列判断错误．．的是（ ） A ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B ．命题“x R ∀∈，3210x x --≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -->”C ．若,p q 均为假命题，则p q ∧为假命题D ．命题“若21x =，则1x =或1x =-”的逆否命题为“若1x ≠或1x ≠-，则21x ≠” 4．已知22111()x x f x x x++=+，则f (x )等于（）A ．x 2-x +1，x ≠0 B ．2211x x x++，x ≠0C ．x 2-x +1，x ≠1D ．1+211x x+，x ≠1 5．sin1a =，lgsin1b =，sin110c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关总 分 值： 150分 试题范围：一轮复习第一章一第二章考试时间：120分钟7．函数e e ()x xf x x-+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知(1)f x -是定义为R 上的奇函数，f (1)＝0，且f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，则不等式()230xf -<的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞9．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数 以下结论错误的是（ ） A ．)()21D D <B ．函数()y D x =不是周期函数C ．()()1D D x =D ．函数()y D x =在(),-∞+∞上不是单调函数10．设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上是减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解11．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x x =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则m 的取值范围是（ ） A ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西省西安高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分命题人：）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A.{}10x x -≤≤ B.{}10x x -<≤ C.{}10x x -≤< D.{}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4.已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6.已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.{}e B.[)e,+∞ C.{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.{}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=的图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x在(,3-∞-，)3+∞上单调递增，(,)33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 不正确；对应B ，因323()1039f -=+>，323()1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为4424x x x x+≥⋅=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大的根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211()x x '=-B.(e )e x x--'= C.21(tan )cos x x'=D.1(ln )x x'=【答案】ACD 【解析】【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x +''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a +<+B.333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c a b c b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以<1或>2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16.为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x123456体重超标人数y987754483227ln z y = 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆn i i i n i i x y nx yb x nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83e x y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b 则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i ii i i x z x zb x x ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83a z bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83z y x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17.已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或224t +≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<<1，则+1≥(2−1)22−1>0，∴42−5≤0>12⇒12<≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ单调递减，当4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U <--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或2.4t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得24t ±=，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒224t +=；②在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有>0Δ>0−1<−12<2o −1)>0o2)>0或<0Δ>0−1<−12<2o −1)<0o2)<0，解得214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或2.4t ≥18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈.)（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16（2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，121010320C C 15(2)C 38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P 21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19.已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x 二次求导，判断()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e 2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。

2020-2021学年陕西省某校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合，N＝{x|x2−2x−3>0}，则M∩N＝（）A. B.(3, +∞) C. D.(1, +∞)2. 已知z(1−2i)=i，则下列说法正确的是()A.复数z的虚部为i5B.复数z对应的点在复平面的第二象限C.复数z的共轭复数z¯=25−i5D.|z|=153. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.m // α，n // α，则m // nB.m // n，m // α，则n // αC.m⊥α，m⊥β，则α // βD.α⊥γ，β⊥γ，则α // β4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2020这2020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列共有（）A.98项B.97项C.96项D.95项5. 某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是A′B′C′，如图(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′=√3，则该几何体的表面积为（）A.36+12√3B.24+8√3C.24+12√3D.36+8√36. 设p:|4x−3|≤1；q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A.[0, 12] B.(0, 12)C.(−∞, 0]∪[12, +∞) D.(−∞, 0)∪(12, +∞)7. 数列{a n}满足若，则a2021等于（）A. B. C. D.8. 若<<0，则下列不等式：①<；②|a|+b>0；③a−>b−；④ln a2>ln b2中，正确的不等式是（）A.①④B.②③C.①③D.②④9. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日10. 设a>0，b>0，且不等式1a +1b+ka+b≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）A.4B.0C.−2D.−411. 已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB=4．若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成角为θ，则cosθ=（）A.−√154B.√154C.−14D.1412. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C:ρsin2θ＝2a cosθ(a>0)，过点P(−2, −4)的直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）已知圆锥侧面展开图的圆心角为90∘，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________．已知变量x，y满足约束条件，则z＝2x−y的最大值为________．若存在x（其中x≠0）使得不等式|2t−1|≤成立，则t的取值范围是________．已知底面是正六边形的六棱锥PABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为，则球O的体积为________．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．(Ⅰ)请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；(Ⅱ)证明：直线MN // 平面BDH；(Ⅲ)求二面角A−EG−M的余弦值．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3+b5＝21，a5+b3＝13，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）数列{c n}中，c1＝a1，且c n＝c n+1−T n，求{c n}的通项公式．已知函数f(x)=|2x+1|+|x−2|，集合A={x|f(x)<3}．（1）求A；（2）若s，t∈A，求证：|1−ts |<|t−1s|．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．在以平面直角坐标系的原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xOy取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：＝0．（1）求曲线C1的普通方程以及曲线C2的平面直角坐标方程；（2）若曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，求这三个点的极坐标．已知数列{a n}的前n项和为S n，且−1与a n+1的等差中项是S n，n∈N∗，a1＝1，函数f(x)＝log3x．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小．已知函数f(x)=a ln x(a>0)，e为自然对数的底数．(1)过点A（2, f(2)）的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x>0时，求证：f(x)≥a(1−1)；x(3)在区间(1, e)上，e x a−e1a x<0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年陕西省某校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，共60分）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】根据定义域的要求可求出集合M，根据一元二次不等式的解法求出集合N，最后根据交集的定义求出所求．【解答】若使函数y＝的解析式有意义，则2x−1>8，即x，故M＝（，+∞)，N＝{x|x2−7x−3>0}＝{x|x<−8或x>3}，∴M∩N＝(3, +∞)．2.【答案】B【考点】复数的基本概念共轭复数复数的模复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个命题得答案．【解答】解：由z(1−2i)=i，得z=i1−2i =i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+i5，∴复数z的虚部为15，故A错误；复数z对应的点的坐标为(−25,15)，在复平面的第二象限；复数z 的共轭复数z ¯=−25−i5，故C 错误； |z|=√(−25)2+(15)2=√55，故D 错误． 故选B . 3. 【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】对每个选项，利用线面平行的关系判断线线平行，线面平行，面面平行的判定方法，可得结论． 【解答】解：对于A ，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A 不正确； 对于B ，m // n ，m // α，则n // α或n ⊂α，故B 不正确； 对于C ，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C 正确；对于D ，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D 不正确． 故选C ． 4.【答案】 B【考点】 归纳推理 【解析】由题意可a n −1是21的倍数，所以a n −1＝21(n −1)，即a n ＝21n −20，通过计算即可得到数列共有的项数． 【解答】将题目转化为a n −1既是3的倍数，也是3的倍数， 即a n −1＝21(n −1)，a n ＝21n −20，当n ＝97时，a 97＝21×97−20＝2017<2020， 当n ＝98时，a 98＝21×98−20＝2038>2020， 故n ＝2，2，∗∗∗，数列共有97项， 5.【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】由俯视图的直观图可得原图形：为边长为4的等边三角形．可得原几何体为四棱锥P −ABC ．其中PC ⊥底面ABC ． 【解答】由俯视图的直观图可得原图形：为边长为4的等边三角形． 可得原几何体为四棱锥P −ABC ．其中PC ⊥底面ABC ． ∴ 该几何体的表面积S =√34×42+2×12×4×6+12×4×√62+(2√3)2＝24+12√3．6.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件命题的否定【解析】先化简命题p，q即解绝对值不等式和二次不等式，再求出¬p，¬q，据已知写出两集合端点的大小关系，列出不等式解得．【解答】∵p:|4x−3|≤1，∴p:12≤x≤1，∴¬p:x>1或x<12；∵q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0，∴q:a≤x≤a+1，¬q:x>a+1或x<a．又∵¬p是¬q的必要而不充分条件，即¬q⇒¬p，而¬p推不出¬q，∴{a≤1 2a+1≥1⇒0≤a≤12．7.【答案】B【考点】数列递推式【解析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论．【解答】∵a1＝，∴a2＝2a7＝2×＝，a3＝2a2−6＝2×−1＝，a4＝2a8−1＝2×−1＝，a5＝3a4＝2×＝，故数列的取值具备周期性，周期数是4，则a2021＝a505×4+8＝a1＝，8.【答案】C【考点】不等式的概念【解析】<<0，可得：0>a>b．再利用基本不等式的基本性质即可得出．【解答】<<7．则下列不等式：①<，成立；②|a|+b>8，不成立；③a−−(b−>0>b−；④ln a2<ln b2，因此④不成立；正确的不等式是①③．9.【答案】C【考点】进行简单的合情推理分析法的思考过程、特点及应用【解析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．【解答】由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，10.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】先分离出参数k，得k≥−(1a +1b)(a+b)，然后利用基本不等式求得−(1a+1b)(a+b)的最大值即可．【解答】由1a +1b+ka+b≥0，得k≥−(1a+1b)(a+b)，∵−(1a +1b)(a+b)＝−(2+ba+ab)≤−(2+2√ba⋅ab)=−4，当且仅当a＝b时取等号，∴k≥−4，即实数k的最小值等于−4，11.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】本题主要考查面面垂直的性质、异面直线所成的角．【解答】解：如图，取BC的中点O，取BD的中点E，取AC的中点F，连结OA，OE，OF，EF，则OE//CD，OF//AB，则∠EOF或其补角为异面直线AB与CD所成的角，依题得OE=12CD=2，OF=12AB=2，过点F作FG⊥BC于点G，易得FG⊥平面BCD，且FG=12OA=√3，G为OC的中点，则OG=1，又OE=2，∠BOG=60◦，所以由余弦定理得EG=√OG2+OE2−2OG⋅OE cos∠EOG=√12+22−2×1×2×cos60◦=√3，由勾股定理得EF2=FG2+EG2=(√3)2+ (√3)2=6，在ΔOEF中，由余弦定理得cos∠EOF=OE 2+OF2−EF22OE⋅OF=22+22−62×2×2=14，所以cosθ=14．故选D．12.【答案】A【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】首先把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程，把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系、t的几何意义及|PM|，|MN|，|PN|成等比数列列式求解a的值．【解答】由曲线C:ρsin2θ＝2a cosθ，得ρ5sin2θ＝2aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y6＝2ax(a>0)将直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程，得：．设交点M，N对应的参数分别为t1，t3，则，t1t2＝32+3a．若|PM|、|MN|，则，∵a>4，∴，解得a＝1．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）【答案】【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】根据圆锥的侧面展开图圆心角，列出等式求出圆锥的底面半径与母线长的比值．【解答】设圆锥的母线长为L、底面圆半径为r，由侧面展开图的圆心角为90∘，所以＝，解得＝，即圆锥的底面半径与母线长的比为．【答案】【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】由z＝2x−y得y＝2x−z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝4x−z由图象可知当直线y＝2x−z过点A时，直线y＝2x−z的截距最小，由，解得，）．代入目标函数z＝5x−y，得z＝2×-＝，∴目标函数z＝2x−y的最大值是．【答案】[−1, 2]【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】问题转化为|2t−1|≤（）max即可，根据绝对值不等式的性质求出≤3，得到|2t−1|≤3，解出即可．【解答】若存在x（其中x≠0）使得不等式|2t−6|≤成立，则只需|2t−1|≤（）max即可，而≤＝＝3，故|2t−5|≤3，则−3≤4t−1≤3，【答案】【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体【解析】由对称性和底面六边形的面积为定值可知，当六棱锥P−ABCDEF为正六棱锥时，体积最大，从而求出正六棱锥的高，再利用平面截球面的性质结合勾股定理，即可求出球O的体积．【解答】因为六棱锥PABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，所以由对称性和底面六边形的面积为定值可知，当六棱锥P−ABCDEF为正六棱锥时，设正六棱锥的高为H，则，解得H＝8，设球O的半径为R，根据平面截球面的性质2+12＝R2，解得R＝，所以球O的体积V＝＝，三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】（1）F、G、H的位置如图；证明：(Ⅱ)连接BD，设O是BD的中点，∵BC的中点为M、GH的中点为N，∴OM // CD，OM=1CD，2HN // CD ，HN =12CD ，∴ OM // HN ，OM ＝HN ， 即四边形MNHO 是平行四边形， ∴ MN // OH ，∵ MN ⊄平面BDH ；OH ⊂面BDH ， ∴ 直线MN // 平面BDH ； (Ⅲ)方法一：连接AC ，过M 作MH ⊥AC 于P ，则正方体ABCD −EFGH 中，AC // EG ， ∴ MP ⊥EG ，过P 作PK ⊥EG 于K ，连接KM ， ∴ EG ⊥平面PKM 则KM ⊥EG ，则∠PKM 是二面角A −EG −M 的平面角， 设AD ＝2，则CM ＝1，PK ＝2， 在Rt △CMP 中，PM ＝CM sin 45∘=√22， 在Rt △PKM 中，KM =√PK 2+PM 2=3√22， ∴ cos ∠PKM =PKKM =2√23， 即二面角A −EG −M 的余弦值为2√23．方法二：以D 为坐标原点，分别为DA ，DC ，DH 方向为x ，y ，z 轴建立空间坐标系如图： 设AD ＝2，则M(1, 2, 0)，G(0, 2, 2)，E(2, 0, 2)，O(1, 1, 0)， 则GE →=(2, −2, 0)，MG →=(−1,0,2)， 设平面EGM 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GE →=0n →⋅MG →=0 ，即{2x −2y =0−x +2z =0 ，令x ＝2，得n →=(2, 2, 1)， 在正方体中，DO ⊥平面AEGC ，则m →=DO →=(1, 1, 0)是平面AEG 的一个法向量， 则cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=2+2√9×√2=43√2=2√23．二面角A−EG−M的余弦值为2√23．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行【解析】(Ⅰ)根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；(Ⅱ)利用线面平行的判定定理即可证明直线MN // 平面BDH；(Ⅲ)法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解．法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）F、G、H的位置如图；证明：(Ⅱ)连接BD，设O是BD的中点，∵BC的中点为M、GH的中点为N，∴OM // CD，OM=12CD，HN // CD，HN=12CD，∴OM // HN，OM＝HN，即四边形MNHO是平行四边形，∴MN // OH，∵MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH，∴直线MN // 平面BDH；(Ⅲ)方法一：连接AC，过M作MH⊥AC于P，则正方体ABCD−EFGH中，AC // EG，∴MP⊥EG，过P作PK⊥EG于K，连接KM，∴EG⊥平面PKM则KM⊥EG，则∠PKM是二面角A−EG−M的平面角，设AD＝2，则CM＝1，PK＝2，在Rt△CMP中，PM＝CM sin45∘=√22，在Rt△PKM中，KM=√PK2+PM2=3√22，∴cos∠PKM=PKKM =2√23，即二面角A−EG−M的余弦值为2√23．方法二：以D 为坐标原点，分别为DA ，DC ，DH 方向为x ，y ，z 轴建立空间坐标系如图： 设AD ＝2，则M(1, 2, 0)，G(0, 2, 2)，E(2, 0, 2)，O(1, 1, 0)， 则GE →=(2, −2, 0)，MG →=(−1,0,2)， 设平面EGM 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GE →=0n →⋅MG →=0 ，即{2x −2y =0−x +2z =0，令x ＝2，得n →=(2, 2, 1)， 在正方体中，DO ⊥平面AEGC ，则m →=DO →=(1, 1, 0)是平面AEG 的一个法向量， 则cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=2+2√9×√2=43√2=2√23． 二面角A −EG −M 的余弦值为2√23．【答案】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0，且解得d ＝2，q ＝4．所以a n ＝1+(n −1)d ＝8n −1，．由（1）知T n ＝＝4n −1，∴ c 2−c 7＝21−5， c 3−c 2＝52−1， ……，c n −c n−4＝2n−1−3(n ≥2)，以上各式相加得c n −c 1＝−(n −4)(n ≥2)．又c 1＝a 7＝1，∴ c n −1＝7n −n −1(n ≥2)， ∴ c n ＝7n −n(n ≥2)． 当n ＝1时，c 2＝1满足上式， 故c n ＝2n −n ．【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，且q >0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）由等比数列的求和公式和累加法，计算可得所求通项公式． 【解答】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0，且解得d ＝2，q ＝4．所以a n ＝1+(n −1)d ＝8n −1，．由（1）知T n ＝＝4n −1，∴ c 2−c 7＝21−5， c 3−c 2＝52−1， ……，c n −c n−4＝2n−1−3(n ≥2)，以上各式相加得c n −c 1＝−(n −4)(n ≥2)． 又c 1＝a 7＝1，∴ c n −1＝7n −n −1(n ≥2)， ∴ c n ＝7n −n(n ≥2)． 当n ＝1时，c 2＝1满足上式， 故c n ＝2n −n ． 【答案】f(x)=|2x +1|+|x −2|={−3x +1，x <−12x +3，−12≤x <23x −1，x ≥2 ，当x <−12时，解不等式−3x +1<3得x >−23，故而−23<x <−12， 当−12≤x <2时，解不等式x +3<3得x <0，故而−12≤x <0，当x ≥2时，解不等式3x −1<3得x <43，不等式无解．∴ 不等式f(x)<3解集为：A ={x|−23<x <0}． (Ⅱ)证明：∵ s ，t ∈A ，∴ s ，t ∈(−23, 0)．∴ (1−t s )2−(t −1s )2=1+t 2s 2−t 2−1s 2=1s 2(1−t 2)(s 2−1)<0，∴ (1−ts )2<(t −1s )2，故|1−ts |<|t −1s |． 【考点】函数的图象变换 不等式的证明【解析】(1)讨论x 的范围，去绝对值符号解不等式得出集合A ； (2)两边平方，使用作差法证明． 【解答】f(x)=|2x +1|+|x −2|={−3x +1，x <−12x +3，−12≤x <23x −1，x ≥2 ，当x <−12时，解不等式−3x +1<3得x >−23，故而−23<x <−12， 当−12≤x <2时，解不等式x +3<3得x <0，故而−12≤x <0， 当x ≥2时，解不等式3x −1<3得x <43，不等式无解． ∴ 不等式f(x)<3解集为：A ={x|−23<x <0}．(Ⅱ)证明：∵ s ，t ∈A ，∴ s ，t ∈(−23, 0)． ∴ (1−t s )2−(t −1s )2=1+t 2s 2−t 2−1s 2=1s 2(1−t 2)(s 2−1)<0，∴ (1−ts )2<(t −1s )2，故|1−ts |<|t −1s |． 【答案】由（φ为参数）得sin φ＝x +y ，将两式平方相加得2＝(x +y)2+(x −y)2，化简得．故曲线C1的普通方程为．即．又由，得，即为，即曲线C2的平面直角坐标方程为．∵圆心O到曲线C2：的距离，如图所示，∴直线x−y+1＝0与圆的切点A以及直线x−y＝7与圆的两个交点B．∵OA⊥BC，则k OA＝−1，直线l OA的倾斜角为，即A点的极角为，∴B点的极角为，C点的极角为，∴三个点的极坐标为，，．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）在直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和极径的应用求出结果．【解答】由（φ为参数）得sinφ＝x+y，将两式平方相加得2＝(x+y)2+(x−y)2，化简得．故曲线C1的普通方程为．即．又由，得，即为，即曲线C2的平面直角坐标方程为．∵圆心O到曲线C2：的距离，如图所示，∴直线x−y+1＝0与圆的切点A以及直线x−y＝7与圆的两个交点B．∵OA⊥BC，则k OA＝−1，直线l OA的倾斜角为，即A点的极角为，∴B点的极角为，C点的极角为，∴三个点的极坐标为，，．【答案】因为−1与a n+1的等差中项是S n，故5S n＝a n+1−1，①当n≥3时，2S n−1＝a n−4，②，①-②可得2a n＝a n+1−a n，即a n+4＝3a n，当n＝1时，2S1＝a2−5＝2a1＝8，即有a2＝3，所以，所以a n＝3n−8；＝＝（-），所以T n＝（-+-+-+…+-+-）＝（+--）＝-，比较T n与的大小．2(n+8)(n+3)−312＝2(n8+5n−150)＝2(n+15)(n−10)，因为n∈N∗，所以当3≤n≤9，2(n+6)(n+3)<312n<-，当n＝10时，2(n+5)(n+3)＝312n＝-，当n>10时，且n∈N∗时，即T n>-．【考点】数列的求和【解析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得所求；（2）求得bn的通项公式，运用数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，可得大小关系．【解答】因为−1与a n+1的等差中项是S n，故5S n＝a n+1−1，①当n≥3时，2S n−1＝a n−4，②，①-②可得2a n＝a n+1−a n，即a n+4＝3a n，当n＝1时，2S1＝a2−5＝2a1＝8，即有a2＝3，所以，所以a n＝3n−8；＝＝（-），所以T n ＝（-+-+-+…+-+-） ＝（+--）＝-， 比较T n 与的大小．2(n +8)(n +3)−312＝2(n 8+5n −150)＝2(n +15)(n −10)， 因为n ∈N ∗，所以当3≤n ≤9，2(n +6)(n +3)<312n <-， 当n ＝10时，2(n +5)(n +3)＝312n ＝-， 当n >10时，且n ∈N ∗时，即T n >-．【答案】(1)解： f′(x)=a x ，f′(2)=a 2=2，a =4． (2)证明：令g(x)=a(ln x −1+1x )，g′(x)=a(1x −1x 2)．令g ′(x)>0，即a(1x −1x 2)>0，解得x >1，所以g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增． 所以g(x)最小值为g(1)=0，所以f(x)≥a(1−1x )． (3)解：由题意可知e x a <e 1a x ，化简得x−1a <ln x ，a >x−1ln x ． 令ℎ(x)=x−1ln x ，则ℎ′(x)=ln x−(x−1)⋅1x (ln x)2， ∴ ℎ′(x)=ln x−1+1x (ln x)2．由(2)知，在x ∈(1, e)上，ln x −1+1x >0，∴ ℎ′(x)>0，即函数ℎ(x)在(1, e)上单调递增，∴ ℎ(x)<ℎ(e)=e −1．∴ a ≥e −1．【考点】利用导数证明不等式利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a 的值；（2）求函数的导数，利用导数法即可证明表达式；（3）利用导数和函数最值之间的关系即可求解．【解答】(1)解： f′(x)=a x ，f′(2)=a 2=2，a =4．(2)证明：令g(x)=a(ln x −1+1x )，g′(x)=a(1x −1x 2)． 令g ′(x)>0，即a(1x −1x 2)>0，解得x >1，所以g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增． 所以g(x)最小值为g(1)=0，所以f(x)≥a(1−1x )．(3)解：由题意可知e x a <e 1a x ，化简得x−1a <ln x ，a >x−1ln x ． 令ℎ(x)=x−1ln x ，则ℎ′(x)=ln x−(x−1)⋅1x (ln x)2， ∴ ℎ′(x)=ln x−1+1x (ln x)2．由(2)知，在x ∈(1, e)上，ln x −1+1x >0，∴ ℎ′(x)>0，即函数ℎ(x)在(1, e)上单调递增，∴ ℎ(x)<ℎ(e)=e −1．∴ a ≥e −1．。

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

2021届陕西省西安中学高三上学期第一次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一.选择题(本大题共12小题,共60分)1. 已知集合M x y ⎧⎫==⎨⎩,{}2230N x x x =-->,则M N =（ ） A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. ()3,+∞ C. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ()1,+∞【答案】B【解析】求定义域得集合M ,解一元二次不等式得集合N ,再由交集定义求解．【详解】由210x ,得12x >,所以1,2M ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭；由{}2230N x x x =-->,即()()130x x +->,得3x >或1x <-,所以()(),13,N =-∞-⋃+∞.故()3,MN =+∞.故选：B ．2. 已知(12)z i i -=,则下列说法正确的是（ ） A. 复数z 的虚部为5i B. 复数z 对应的点在复平面的第二象限 C. 复数z 的共轭复数255i z =- D. 15z = 【答案】B【解析】由复数除法求出复数z ,然后可判断各选项．【详解】由已知得1(121)212(12)(12)55i i z i i i +===-+--+,所以复数z 的虚部为15,而不是5i ,A 错误； 在复平面内,复数z 对应的点为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第二象限,B 正确.255i z =--,C 错误；||z ==,D 错误； 故选：B ．3. 已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法中正确的是（ ）A. 若//m α,//n α,则//m nB. 若//m n ,//m α,则//n αC. 若m α⊥,m β⊥,则//αβD. 若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ 【答案】C【解析】根据线面平行垂直的判定与性质证明或者举出反例即可.【详解】对A,当m n ⋂时,也可满足//m α,//n α,故A 错误.对B,当n ⊂α时,//m n ,//m α也能成立,故B 错误.对C,根据线面垂直的性质可知若m α⊥,m β⊥,则//αβ成立.故C 正确.对D,当,,αβγ为墙角三角形的三个面时,αγ⊥,βγ⊥,αβ⊥.故D 错误.故选：C 4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题：将1至2020这2020个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列共有（ ） A. 98项 B. 97项C. 96项D. 95项 【答案】B【解析】由于能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故2120n a n =-,然后由12020n a ≤≤可求出n 的取值范围,从而可得结果 【详解】能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故2120n a n =-,。

鄠邑二中2022—2023学年度高三级（23届）第一次检测考试数学试题一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U ={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A ={-1，0，1，2}，B ={-3，0，2，3}，则A ∩（∁U B ）=（ ）A.{-3，3}B.{0，2}C.{-1，1}D.{-3，-2，-1，1，3}2.函数1()ln 1f x x x =+-的定义域是（ ）A.(1,)+∞B.(0,1)C.(0,)+∞D.(0,1)(1,)+∞3.下列函数中在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A.1y x = B.y =ln x C.y =sin x D.y =2-x4.已知函数()22x x f x -=-，则()f x 是（ ）A.偶函数且在R 上单调递减B.奇函数且在R 上单调递减C.奇函数且在R 上单调递增D.偶函数且在R 上单调递增5.若函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则函数f （x ）的值域是（）A.（-∞，2）B.（-∞，2]C.[0，+∞）D.（-∞，0）∁（0，2）6.设x ∁R ，则“|x -2|<1”是“x 2+2x -3>0”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知2513log 3,2log 3,log 2,a b c ===，则a b c ，，的大小关系为（）A.a c b >>B.a b c >>C.b a c >>D.c b a >>8.函数()x f x e x =+的零点所在的一个区间是（ ）A.(2,1)--B.(1,0)-C.(0,1)D.(1,2)9.已知函数()()21,13,1x x f x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()9f =（）A.2B.9C.65D.51310.函数cos sin y x x x =+在区间[,]ππ-的图像大致为（ ）A. B.C. D.11.函数()()23log 23f x x x =--的单调增区间为（ ）A.(),1-∞-B.()1,+∞C.(),1-∞D.()3,+∞12.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=-，且当12x ≤≤时，()1f x x =-，则72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于（ ） A.52 B.32 C.12 D.12- 二､填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 14.已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若f （x ）=1，则x =________.15.已知命题:p x R ∀∈，20x x a +->为假命题，则实数a 的取值范围是___________.16.已知函数()f x 在区间(],2-∞上为增函数，且()2f x +是R 上的偶函数，若()()3f a f ≤，则实数a 的取值范围是___________.三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）设函数()()22133f x x x x =---≤≤.（1）证明：函数()f x 是偶函数；（2）画出这个函数的图象；18.（本小题满分12分）已知集合{|210}P x x =-，{|11}Q x m x m =-+.（1）求集合R P ；（2）若P Q ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若P Q Q ⋂=，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知二次函数2()1()f x x kx k R =-+∈.（1）若g （x ）1x k=--，且g （x ）和()f x 都在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围； （2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知0a >，函数()221f x ax ax b =-++在区间[]2,3上的最小值为1，最大值为4.（1）求a ，b 的值；（2）若()y f x mx =-在区间[]1,2-上是单调函数，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前()*n n ∈N 年的材料费､维修费､人工工资等共为2552n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，每年的销售收入55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元. （1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用新设备若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合算？并说明理由.22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l ：cos sin 10ρθθ+=，曲线C 的参数方程为5cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）. （1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）在曲线C 上求一点Q ，使得Q 到直线l 的距离最小，并求出这个最小值.鄠邑二中2022—2023学年度高三级（23届）第一次检测考试数学试题一､选择题1.C2.D3.B4.C5.A6.A7.B 8.B 9.A 10.A 11.D 12.D二､填空题1 214.0或e 15.1,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.(,1][3,)∞∞-⋃+13.。

西安市第一中学2019届高三年级第一次模拟考试数学试题(理科)一、选择题（共12小题，每题3分,共36分）1．设全集U 是实数集R ，函数)4ln(2-=x y 的定义域为集合M ，集合)42|≤≤=x x N ，则N M C u I )(为A.{)2|-=x x }B.{)22|≤≤-x x }C.{)2|=x x }D.{)2＜1|≤x x } 2．已知条件p ：，条件q ：，且是的充分不必要条件，则a 的取值范围是A.B.C.D.3．下列说法错误．．的是 A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” B ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题．D ．若命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥” 4．函数ln 1()1x f x x-=-的图象大致为5．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A ．3y x =B ．ln y x =C ．21y x=D ．cos y x = 6．已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4()1(),4(2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为A ．32B ．16C ．8D ．647．设f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则ʃ20 f(x)d x 等于( )A.34B.45C.56D.不存在8已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时 ()21xf x =-，则A. ()()11672f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭ B. ()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭ C. ()()11762f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D.()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭9．已知函数53)(23-+-=x ax x x f 在区间[1，2]上单调递增，则a 的取值范围是A ．]5,(-∞B ．)5,(-∞C ．]437,(-∞ D ．]3,(-∞10．将函数f(x)＝3cos 2x2＋12sinx －32的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再将所得图像向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的解析式为 A.g(x)＝cos x 2 B.g(x)＝－sin2x C.g(x)＝sin(2x-3π)D.g(x)＝sin(62π+x)11．已知不等式32sin x 4cos x 4＋6cos 2x 4－62－m ≤0对任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，则实数m 的取值范围是A.[3，＋∞)B.(－∞，3]C.[－3，＋∞)D.(－∞，－3] 12．设f(x)，g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，)('),('x g x f 为导函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''⋅+⋅>且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是A ．(－3,0)∪(3,＋∞) B．(－3,0)∪(0, 3) C ．(－∞,－3)∪(3,＋∞) D .(－∞,－3)∪(0,3)二、填空题：（共4小题，每题4分共16分）13．已知cos(3πα-)＝13，则sin(26πα-)＝___．14．在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =的图象与x e y =的图象关于直线x y =对称．而函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于y 轴对称，若1)(-=m g ，则m 的值是 ． 15．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=)0(,3)0( ,2)(2x a ax x x a x f x ,有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____．16．关于函数f(x)=4sin(2x-)(x ∈R),有下列命题:①y=f(x+π)为偶函数;②要得到函数g(x)=-4sin 2x 的图像,只需将f(x)的图像向右平移个单位长度;③y=f(x)的图像关于直线x=-对称;④y=f(x)在[0,2π]内的增区间为[0,]和[π,2π].其中正确命题的序号为 .三、解答题（共4大题，共48分） 17．（本小题共12分）已知函数f (x )＝23sin (42π+x)·cos (42π+x)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． 18．（本小题共12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B ＝3sin C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 19．（本小题共12分）设函数f(x)＝ax －bx ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 20．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax bx =++（其中,a b 为常数且0a ≠）在1x =处取得极值． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值．市一中2018-2019学年度第一学期第一次模拟考试高三数学试题答案 （理科）一、 选择题（共12题，每题3分，共36分）二、填空题（共4题，每题4分，共16分）13. －79 14. e1- 15. 491a <≤ 16. ②③三、解答题（共5大题，共48分）17. 解：(1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是T ＝2π1＝2π. (2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2]．故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.18. 解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即 3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35.(2)由b sin B ＝csin C ，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3， 所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334. 19. 解: (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x)＝a ＋bx2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f(x)＝x －3x .(2)设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x0－3x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.20. 解:（1）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x '=++因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++=当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）， 单调递减区间为1(,1)2(2)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =- 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- 当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+<所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a <=<矛盾 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾 综上所述，12a e =-或 2a =-．。