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高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题六 解析几何考向一 直线与圆【高考改编☆回顾基础】2018年北京文理改编】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线错误！未找到引用源。
的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为________．【答案】3【解析】错误！未找到引用源。
P 为单位圆上一点，而直线错误！未找到引用源。
过点A （2，0），所以d 的最大值为OA+1=2+1=3.2018年全国卷Ⅲ文理改编】直线错误！未找到引用源。
分别与错误！未找到引用源。
轴，错误！未找到引用源。
轴交于错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
两点，点错误！未找到引用源。
在圆错误！未找到引用源。
上，则错误！未找到引用源。
面积的取值范围是________．【答案】错误！未找到引用源。
3.【直线与圆，圆与圆的位置关系】【2016·山东卷改编】已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．【答案】相交【解析】由垂径定理得a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4，∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交．4.【椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系】【2017课标3，改编】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 .【解析】【命题预测☆看准方向】从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关的轨迹方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系,圆与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以选择题、解答题的形式出现.另外，从高考试题看，涉及直线、圆的问题有与圆锥曲线等综合命题趋势.复习中应注意围绕圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等,其中经常考查的是圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问题、切线问题、参数的取值范围等.【典例分析☆提升能力】【例1】【江苏省无锡市2019届高三上期末】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(m，0)，B(m＋4，0)，若圆C：错误！未找到引用源。
专题综合检测(六)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值是(D )A.12B.33C.32D. 3 2．(2014·上海卷)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是(B )A ．无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B ．无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C ．存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D ．存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解解析：由题意，直线y ＝kx ＋1一定不过原点O ，P ，Q 是直线y ＝kx ＋1上不同的两点，则OP →与OQ →不平行，因此a 1b 2－a 2b 1≠0，所以二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1一定有唯一解．3．已知椭圆x 2a 2＋y225＝1(a ＞5)的两个焦点为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为(D )A ．10B ．20C ．241D ．4414．已知直线l 1：(3＋m)x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m)y ＝8平行，则实数m 的值为(A ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7 D.1335．椭圆x 225＋y29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为(A )A ．9B ．12C ．10D ．86．椭圆x 216＋y24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是(D )A ．3 B.11 C ．2 2 D.107．(2014·全国大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为(A ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y24＝1 解析：如图，∵e ＝c a ＝33，∴a ＝3c ，∴b 2＝a 2－c 2＝2c 2，∵△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AB|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，∴a ＝3，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴所求的椭圆成为x 23＋y22＝1.故选A.8．已知点P 是椭圆16x 2＋25y 2＝400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为－43，则△PF 1F 2的面积是(C )A ．24 3B ．12 3C ．6 3D ．3 39．(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为(A )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 解析：由已知得b a ＝2，∴b ＝2a ，在方程y ＝2x ＋10中令y ＝0，得x ＝－5，∴－c ＝－5，∴c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，a 2＝5，b 2＝20，∴所求双曲线的方程为x 25－y220＝1.故选A.10．如果椭圆x 236＋y29＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是(D )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －12＝0D ．x ＋2y －8＝011．(2015·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为(A )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y24＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立解得a 2＝8，b 2＝6.12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F ，椭圆与过原点的直线交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为(B )A.35B.57C.45D.67解析：如图，在△AFB 中，由余弦定理，得|AF|2＝|AB|＋|BF|2－2|AB||BF|cos ∠ABF ，∴62＝102＋|BF|2－20|BF|×45，解得|BF|＝8.∴|AF|2＋|BF|2＝|AB|2，△AFB 为直角三角形．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．与椭圆x 24＋y 23＝1具有相同的离心率且过点(2，－3)的椭圆的标准方程是x 28＋y26＝1或3y 225＋4x225＝1．14．(2015·新课标Ⅱ卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．解析：法一：∵ 双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴ 可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵ 双曲线过点(4，3)， ∴ λ＝16－4×(3)2＝4， ∴ 双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵ 渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3＜2，∴ 点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴ 双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为 x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， ∴ 双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.15．若过定点(－1，0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k16．(2015·陕西卷)若抛物线y 2＝2px(p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p解析：抛物线的准线方程为x ＝－p2，p>0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知椭圆C 的焦点为F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长为6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标．解析：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1，所以其标准方程是x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得10x 2＋36x ＋27＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M(x 0，y 0)，那么x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95，所以y 0＝x 0＋2＝15. 也就是说线段AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15.18．(12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．解析：由于椭圆焦点为F(0，±4)，离心率为e ＝45，所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以双曲线方程为y 24－x212＝1.19．(12分)(2014·新课标Ⅱ卷)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN →|＝5|F 1N →|，求a ，b.分析：本题第(1)问，可结合MF 2与x 轴垂直、由勾股定理及椭圆定义求出椭圆的离心率；对第(2)问题，观察到MF 2是三角形的中位线，然后结合向量的坐标运算及椭圆方程，可求出a ，b.解析：由题意知，|MF 2|2c ＝34，所以|MF 2|＝32c ，由勾股定理可得：|MF 1|＝52c ，由椭圆定义可得：32c ＋52c ＝2a ，解得C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a ，由|MN →|＝5|F 1N →|得|DF 1→|＝2|F 1N →|，设N(x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入c 的方程得9c 24a 2＋1b 2＝1，将b 2＝4a 及c＝a 2－b 2代入9c 24a 2＋1b 2＝1得：9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b ＝27.20．(12分)求两条渐近线为x±2y＝0且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程．解析：设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12（36＋λ）＞0，那么|AB|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋1）⎝⎛⎭⎪⎫82－4×36＋λ3＝8（12－λ）3＝833， 解得λ＝4，所以所求双曲线方程是x 24－y 2＝1.21．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)若以线段AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A ，B 两点关于直线y ＝12x 对称？说明理由．解析：(1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－y 2＝1，y ＝ax ＋1，消去y 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a2，x 1x 2＝－23－a2，Δ＝（2a ）2＋8（3－a 2）＞0.由于以线段AB 为直径的圆经过原点，那么OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.所以x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，得(a 2＋1)×－23－a ＋a×2a 3－a ＋1＝0，a 2＜6，解得a＝±1.(2)假定存在这样的a ，使A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称，那么⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝1，3x 22－y 22＝1，两式相减得3(x 21－x 22)＝y 21－y 22， 从而y 1－y 2x 1－x 2＝3（x 1＋x 2）y 1＋y 2.①因为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝12×x 1＋x22，y 1－y2x 1－x 2＝－2，代入①式得到：－2＝6，矛盾．也就是说：不存在这样的实数a ，使A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称．22.(12分)(2015·陕西卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解析：(1)过点(c ，0)，(0，b)的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M(－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k(x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB|＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝10. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB|＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB|＝10，得10（b 2－2）＝10， 解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y23＝1.。
第1讲圆锥曲线的概念、方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程1.(2015广东卷)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)9解析:由4=(m>0)⇒m=3,故选B.2.若圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:解方程组得或因为圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以A(0,-3),B(0,3),所以a=3,2c=18,所以b2=()2-32=72,所以双曲线方程为-=1.故选A.3.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C 的准线上一点,则△ABP的面积为( C )(A)18 (B)24 (C)36 (D)48解析: 设抛物线方程y2=2px(p>0),F为抛物线焦点,则直线l垂直于x轴,AF==6,所以△ABP的边AB上的高h=6,所以S△ABP=×12×6=36.故选C.4.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.答案:75.(2015佛山模拟)设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线与椭圆+=1的一个公共点,则△PF1F2的面积等于.解析:由题知,双曲线和椭圆焦点相同,假设点P是两曲线在第一象限的交点,则有|PF1|-|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=14,解得|PF1|=8,|PF2|=6,又|F1F2|=10,故△PF1F2是直角三角形,则其面积为24.答案:24圆锥曲线的几何性质6.(2014广东卷)若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的( A )(A)焦距相等 (B)离心率相等(C)虚半轴长相等 (D)实半轴长相等解析:因为0<k<5,所以5-k>0,16-k>0,这两个方程表示的是双曲线.焦距都是2.故选A.7.(2013北京卷)若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为( B )(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±x解析:考查双曲线的离心率e=,渐近线方程y=±x及a,b,c之间的关系a2+b2=c2.由=,令a=m,c=m(m>0),则b==m,渐近线方程为y=±x.故选B.8.(2014新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( A )(A)(B)3 (C)m (D)3m解析:-=1,因为m>0,所以双曲线的焦点在x轴上,a2=3m,b2=3,所以一条渐近线为y=x,即y=x,c2=a2+b2=3m+3,则焦点F(,0)到直线y-x=0的距离为d===.故选A.9. (2015黑龙江模拟)已知椭圆+=1(a>b>0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA⊥AP,所以2b2=a2,=,故e==,故选B.10.(2015福建卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( A )(A)(B)(C)(D)解析:设椭圆的左焦点为F1,半焦距为c,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为平行四边形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以8=4a,解得a=2.因为点M到直线l:3x-4y=0的距离不小于,即≥,b≥1,所以b2≥1,所以a2-c2≥1,4-c2≥1,解得0<c≤,所以0<≤,所以椭圆的离心率的取值范围为(0,].故选A.11.(2015甘肃兰州第二次监测)已知椭圆C的中心为O,两焦点为F1,F2,M是椭圆C上的一点,且满足||=2||=2||,则椭圆C的离心率e等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:过M向椭圆的长轴作垂线,垂足为N,则N为OF2的中点,设||=t,则||2-||2=||2-||2,即4t2-c2=t2-c2,所以c=t,而a=t,所以e=.12.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .解析: 如图,在等边三角形ABF中,DF=p,BD=p,所以B点坐标为(p,-).又点B在双曲线上,故-=1.解得p=6.答案:6一、选择题1.(2014安徽卷)抛物线y=x2的准线方程是( A )(A)y=-1 (B)y=-2(C)x=-1 (D)x=-2解析:抛物线的方程化为x2=4y,其准线方程为y=-1.故选A.2.(2015江西景德镇模拟)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( B )(A)10 (B)20 (C)8 (D)16解析:设椭圆的另一焦点为F,由椭圆的定义知|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为4a=4×5=20.3.(2015江西省重点中学协作体模拟)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( A )(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:据题意知2a=12,得a=6,离心率e==,所以c=3,于是b2=9,故椭圆G的方程为+=1.4.(2015济宁模拟)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为( A )(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±4x (D)y=±x解析:设椭圆的焦距为2c,由题意知=,所以c=a,b==a,双曲线-=1的渐近线为y=±x=±2x.5.(2015山西大学附中模拟)若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是( D )(A) (B)(C)或(D)或解析:因为m是2,8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4,若m=4时,则椭圆x2+=1的方程为x2+=1,所以其离心率e=,若m=-4,则双曲线方程为x2-=1,离心率e==.故选D.6.(2014天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y=x与直线y=2x+10平行,所以=2且左焦点为(-5,0),所以a2+b2=c2=25,解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为-=1.故选A.7.(2015赣州市模拟)F1是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,点P是双曲线右支上一点,若线段PF1与y轴的交点M恰为PF1的中点,且|OM|=a(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为( B ) (A)(B)(C)2 (D)3解析:因为M是线段PF1的中点,|OM|=a,所以OM∥PF2,PF2⊥x轴且|PF2|=2a,又由|PF1|-|PF2|=2a知,|PF1|=4a,在直角三角形F1PF2中,sin∠PF1F2==,所以∠PF1F2=30°,故双曲线C的离心率e====.故选B.8.(2015江西上饶模拟)已知抛物线y2=8x,P为其上一点,点N(5,0),点M满足||=1,·=0,则||的最小值为( C )(A)(B)4 (C)(D)2解析:设点P(,y0)由题意知M点的轨迹是以N(5,0)为圆心,1为半径的圆,PM为该圆的一条切线,所以||===≥.故选C.9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( D )(A)(,) (B)(,1)(C)(,1) (D)(,)∪(,1)解析:根据题意,结合椭圆的图形得a-c<2c且a≠2c(a=2c时只有当P点与短轴两个端点重合时,△F1F2P才为等腰三角形).所以<e<1,且e≠.10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F,直线x=与其渐近线交于A,B两点,且△ABF为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( D )(A)(,+∞) (B)(1,)(C)(,+∞) (D)(1,)解析:由题意设直线x=与x轴的交点为D,因为三角形ABF为钝角三角形,且∠BFD=∠AFD,所以∠AFD>,又|DF|=c-=,双曲线的渐近线方程为y=±x,所以可得A,B两点坐标分别为(,),(,-),所以tan∠AFD===>1,即b<a,则e==<=,故e∈(1,).故选D.11.(2015开封模拟)从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为( C )(A)|MO|-|MT|>b-a(B)|MO|-|MT|<b-a(C)|MO|-|MT|=b-a(D)|MO|-|MT|与b-a无关解析:设F1是双曲线的右焦点,连接PF1,由双曲线的定义知|PF|-|PF1|=2a, ①因为OM是△FF1P的中位线,所以|PF1|=2|OM|, ②又因为M是FP的中点,所以|PF|=2|MF|, ③②③代入①得2|MF|-2|OM|=2a,|MF|-|OM|=a. ④因为|MF|=|MT|+|TF|,|FT|2=|OF|2-|OT|2=c2-a2,所以|FT|=b.所以|MF|=|MT|+b. ⑤把⑤代入④得|MT|+b-|OM|=a,所以|OM|-|MT|=b-a.选C.二、填空题12.(2015宁夏石嘴山高三联考)已知双曲线-=1(a,b>0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,则双曲线的离心率是.解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,2x+3y=0可化为y=-x,所以=,e======.答案:13.(2015江西九江二模)已知直线2x-(m+)y-2=0(m>0)与直线l:x=-1,抛物线C:y2=4x及x轴分别相交于A,B,F三点,若=2,则m= .解析:如图所示,点F及直线l分别是抛物线C的焦点和准线,过点B作BD⊥l于D,则|BD|=|BF|,因为=2,所以∠ABD=60°,所以=tan 60°,解得m=.答案:14.已知点P(m,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的内切圆的半径为,则此椭圆的离心率为.解析:一方面△PF1F2的面积为(2a+2c)r;另一方面△PF1F2的面积为|y P|·2c,所以(2a+2c)·r=|y P|·2c,所以(a+c)·r=|y P|·c,所以=,所以(+1)=,又y P=4,所以=-1=-1=,所以椭圆的离心率为e==.答案:15.(2015大连市模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)左、右顶点为A1,A2,左、右焦点为F1,F2,P为双曲线C上异于顶点的一动点,直线PA1斜率为k1,直线PA2斜率为k2,且k1k2=1,又△PF1F2内切圆与x轴切于点(1,0),则双曲线的方程为.解析:A1(-a,0),A2(a,0),F1(-c,0),F2( c,0),直线PA1的方程为y-0=k1(x+a),直线PA2的方程为y-0=k2(x-a),于是有y2=k1k2(x2-a2),又k1k2=1,所以x2-y2=a2,因此a=b,又由△PF1F2内切圆与x轴切于点(1,0),知||PF1|-|PF2||=|1+c-(c-1)|=2a,解得a=1.故双曲线的方程为x2-y2=1.答案:x2-y2=1。
专题六 自选模块第1讲 “复数与导数”模块第1课时 复数(建议用时：40分钟)一、选择题1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D. 答案 D2．(2015·湖北卷)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )．A ．iB ．－iC ．1D ．－1解析 法一 i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A. 法二 i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.答案 A3．设复数z ＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z 的虚部为( )．A ．－2B ．2C ．－2iD ．2i解析 z ＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i ，所以复数z 的虚部为2. 答案 B4．(2015·山东卷)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )．A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i 解析 ∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.答案 A5．(2015·新课标全国Ⅱ卷)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B. 答案 B 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝ ( )．A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－i )2(1＋i )(1－i ) 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2i 2 2 014＝(－i)2 104＝i 2 014＝i 4×503＋2＝－1. 答案 C7．(2015·四川卷)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )．A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i 解析 i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i.选C. 答案 C8．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( )．A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i解析 法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i.法二 令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0，即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，解得a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i. 答案 A 二、填空题9．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 解析 ∵z ＝(2－i)2＝3－4i ， ∴|z |＝32＋(－4)2＝5. 答案 510.⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析 ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝1. 答案 111．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，则m ＝________.解析 由题意知⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.答案 －212．(2015·重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析 由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案 3 三、解答题13．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.14．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限．解 (1)若z 为实数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得m ＝－2.(2)若z 为虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0，m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎨⎧m 2－m －6m ＋3＜0，m 2＋5m ＋6＞0，即⎩⎨⎧m ＜－3或－2＜m ＜3，m ＜－3或m ＞－2，∴m ＜－3或－2＜m ＜3. 15.如图，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO→所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA→所表示的复数；(3)求B 点对应的复数． 解 (1)AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC→＝AO →， ∴BC→所表示的复数为－3－2i. (2)CA→＝OA →－OC →， ∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.。
高考数学（理）-解析几何（练）-专题练习1．练高考1．【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）4-（B ）3-（C（D ）2（A （B ）3（C（D ）212e ,e 分别为12C ,C 的离心率，则（ ）A ．12m n e e 1>>且B ．12m n e e 1><且C ．12m n e e 1<>且D ．12m n e e 1<<且4．【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ．B 两点,交C 的准线于D ．E 两点.已知|AB|=则C 的焦点到准线的距离为（ ） TA TP TQ +=,求实数的取值范围2x（I ）求直线y kx 1=+被椭圆截得的线段长（用a ．k 表示）；（II ）若任意以点A 0,1（）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.2．练模拟1．【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】直线3y kx =+被圆()()22234-+-=x y 截得的弦长为，则直线的倾斜角为（ ） A ．566或ππB ．33-或ππC ．66-或ππD ．6π 2．【广东省惠州市2017届第二次调研考试】已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的一个焦点到一条渐近线的（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ） （A ）37 （B ）273（C ）73（D ）773 3．【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试】已知点F 是抛物线x y 42=的焦点，N M 、是该抛物线上两点，||||6+=MF NF ，则MN 中点的横坐标为（ ） A ．23B ．2C ．25 D ．44．【河南省开封市2017届高三上学期10月月考】过双曲线22221-=x y a b(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224+=a x y 的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2=-OP OE OF ，则双曲线的离心率是__________.2x 1．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）2．已知动点),(y x P 满足5|1243|)2()1(22++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆3．已知,A B 是椭圆22221(0)+=>>x y a b a b长轴的两个端点，,M N 是椭圆上关于轴对称的两点，直线,AM BN的斜率分别为12,k k )0(21≠k k ，则12k k +的最小值为（ ）A ．B ．2C ．3D ．4．已知圆C 经过点(2,0)A ，与直线2x y +=相切，且圆心C 在直线210x y +-=上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线经过点（0,1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线的方程.5．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率12=e，且椭圆C经过点(2,3)P，过椭圆C的左焦点1F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求1∆PFG的面积S的取值范围．答 案1．练高考 1.A 2.A 3.A 4.B5.（1）22(x 6)(y 1)1-+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22t -≤+6.（I ）22221a ka k+（II ）02e <≤ 2．练模拟1.A2.D3.B4.5105.（1）22x y =-，214x y +=；（2）22k ⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3．练原创 1.A 2.B 3.A4.（1） 22(1)(y 1)2x -++=；（2）0x =，3440x y +-=.5.（1）2211612x y +=；（2）9(,3)4.1．4.5（3）设因为,所以……①因为点Q 在圆M 上，所以 …….②将①代入②，得.于是点既在圆M 上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，()()1122,,Q ,.P x y x y ()()2,4,,0,A T t TA TP TQ+=212124x x t y y =+-⎧⎨=+⎩()()22226725.x y -+-=()()22114325x t y --+-=()11,P x y ()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦()()226725x y -+-=()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦6.所以．⎣⎦()()22222222121212120kk k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．练模拟1.3.由2OP OE OF=-得：aOEF=='2，E为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分123．练原创1.3,22⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭3.。
专题六 解析几何真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·广东高考)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝02．(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．104．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C.3D. 25．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋16．(2015·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1二、填空题7．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．8．(2015·湖南高考)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．9．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________． 三、解答题10．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．11.(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．12．(2015·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．专题六 解析几何经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·河南名校联考)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝02．(2015·西安模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72B.52C ．3D ．23．(2015·烟台模拟)等轴双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的左、右顶点分别为A 、B ，P 是双曲线上在第一象限内的一点，若直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β，且β＝2α，那么β的值是( ) A.π3B.π4C.π6D.π124．(2015·济南模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．45．(2015·大庆质检)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F ()－25，0为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1D.x 245＋y 225＝16．(2015·石家庄质检)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x2a 2－y 2＝1的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0二、填空题7．(2015·北京东城调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则C 的渐近线方程为________．8．(2015·潍坊三模)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________． 9．(2015·石家庄质检)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O 、F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________． 三、解答题10．(2015·哈尔滨调研)椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且短轴长与长轴长的比是32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m ，0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当 |MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．11.(2015·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点⎝⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设P 是曲线E 上的动点，点B ，C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，求△PBC 面积的最小值．12．(2015·潍坊三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，点O 为坐标原点，椭圆C 与曲线|y |＝x 的交点分别为A ，B (A 在第四象限)，且OB →·AB →＝32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)定义：以原点O 为圆心，a 2＋b 2为半径的圆称为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的“伴随圆”．若直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，交其“伴随圆”于P ，Q 两点，且以MN 为直径的圆过原点O .证明：|PQ |为定值．专题六 解析几何专题过关·提升卷(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·长沙调研)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21B ．19C ．9D ．－112．(2015·福建高考)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11B ．9C ．5D ．33．(2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1D ．y 2－x24＝14．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝ |OA→－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 的值为( ) A ．1或 2 B ．1或－1 C.2或－ 2D ．－2或25．(2015·广东高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝16．(2015·郑州质检)已知点P (a ，b )是抛物线x 2＝20y 上一点，焦点为F ，|PF |＝25，则|ab |＝( ) A ．100B ．200C ．360D ．4007．(2015·唐山调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.3－12 C.32D.3－18．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－349．(2015·青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( ) A.53 B.73 C.103D.15310．(2015·潍坊模拟)已知抛物线C 1：y 2＝2x 的焦点F 是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个顶点，两条曲线的一个交点为M ，若|MF |＝32，则双曲线C 2的离心率是( ) A. 2 B.173 C.263D.33311．已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 216＋y 212＝1上，点F 为椭圆C 的右焦点，若点Q 满足|QF →|＝1，且QP →·QF →＝0，则|PQ →|的最大值( ) A. 3 B ．6 C.35D ．3512．(2015·河北衡水中学冲刺卷)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，M 为该双曲线右支上一点，且|MF 1|2，12|F 1F 2|2，|MF 2|2成等差数列，该点到x 轴的距离为c2，则该双曲线的离心率为( ) A. 2B ．2C. 5D ．5第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．(2015·陕西高考)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．15．(2015·长沙模拟)双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A ，B (不同于O 点)，则|AB |＝________．16．(2015·合肥质检)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．18．(本小题满分12分)(2015·太原模拟)已知动点A 在椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上，动点B 在直线x ＝－2上，且满足OA→⊥OB →(O 为坐标原点)，椭圆C 上的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3到两焦点距离之和为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝3的位置关系，并证明你的结论．19.(本小题满分12分)(2015·兰州模拟)已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F (1，0)为定点，且满足PN →＋12NM →＝0，PM →·PF →＝0.(1)求动点N 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立，请说明理由．20．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)(2015·德州模拟)如图，已知椭圆：x 24＋y 2＝1，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．(1)若ED→＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．22．(本小题满分12分)(2015·衡水中学冲刺)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M .点P (m ，n )(m >p )在抛物线C 上，且△FOP 的外接圆圆心到准线l 的距离为32. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线PF 与抛物线C 交于另一点A ，证明：k MP ＋k MA 为定值； (3)过点P 作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，与y 轴分别交于D 、E 两点，求△PDE 面积取得最小值时对应的m 值．专题六 解析几何真题体验·引领卷1．D [设所求的切线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，依题意，得|0＋0＋c |22＋12＝5，则c ＝±5.∴所求切线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.] 2．A [由题设，a 2＝2，b 2＝1，则c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0， 解之得－33<y 0<33.]3．C [易知AB→＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)． 则AB →·BC→＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →， 故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25. 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解之得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋2 6. 因此|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6.]4．D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)．∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°.在Rt △BMN 中，y 1＝|MN |＝2a sin 60°＝3a ， x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2， 所以双曲线E 的离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝ 2.]5．A [由几何图形知，S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A.由抛物线定义，|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1， ∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1. 因此S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.]6．D [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，又渐近线过点(2，3)， 所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①又抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得－a 2＋b 2＝－7，即a 2＋b 2＝7，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1.] 7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知，圆过椭圆的顶点(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点．设圆心为(a ，0)，其中a >0. 由4－a ＝4＋a 2，解得a ＝32，则半径r ＝52.所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]8.5 [不妨设F (－c ，0)，虚轴的一个端点为B (0，b )． 依题意，点B 恰为线段PF 的中点，则P (c ，2b )，将P (c ，2b )代入双曲线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝5，因此e ＝ 5.]9.22 [双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0. 又直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，所以两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋（－1）2＝22，由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立． 所以c ≤22，故c 的最大值为22.]10．(1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x . 设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎨⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m3（k 2＋9）.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9），解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i >0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形． 11．解(1)当k ＝0时，联立⎩⎨⎧y ＝a ，y ＝x 24可得，M (2a ，a )，N (－2a ，a )或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x2. 故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，因此曲线C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.又曲线y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a .所以曲线C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即a x ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝（kx 1＋a －b ）x 2＋（kx 2＋a －b ）x 1x 1x2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2 ＝k （a ＋b ）a. ∴b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0.则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意． 12．解 (1)由于椭圆的离心率e ＝33，且a 2＝b 2＋c 2， ∴a 2＝3c 2，且b 2＝2c 2，设直线FM 的斜率为k (k >0)，且焦点F (－c ，0)． 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫|kc |k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0， 解之得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，则点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23c 3. 由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立．⎩⎨⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0.因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0. 因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. 经典模拟·演练卷1．A [易知点A (1，1)是一个切点．由圆的几何性质，过点(3，1)、(1，0)的直线与直线AB 垂直．∴k AB ＝－11－03－1＝－2.所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.]2．C [如图所示，过点Q 作直线l 的垂线，垂足为E .由FP →＝4FQ →，得|FP ||FQ |＝4. 所以|EQ ||AF |＝34.由抛物线C ：y 2＝8x 知|AF |＝p ＝4， ∴|EQ |＝3，根据抛物线定义，|FQ |＝|EQ |＝3.] 3．A [由β＝2α，得∠APB ＝α， 则|PB |＝|AB |＝2a ，设P (x ，y )．∴x ＝a ＋2a cos β，y ＝2a sin β，则P (a ＋2a cos β，2a sin β)， 代入双曲线方程(a ＋2a cos β)2－(2a sin β)2＝a 2，cos 2β＋cos β＝0. ∴2cos 2β＋cos β－1＝0，则cos β＝12，cos β＝－1(舍去)，故β＝π3.]4．B [由∠APB ＝90°，知点P 在以线段AB 为直径的圆上，设该圆的圆心为O ，则O (0，0)，半径r ＝m ，由圆的几何性质，当圆C 与圆O 相内切时，圆的半径取得最大值． ∴|OC |＝32＋42＝m －1，∴m ＝6.故m 的最大值为6.]5．B [设椭圆C 的右焦点为F ′，连接PF ′.在△PFF ′中，|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝25，知∠FPF ′＝90°. 又|PF |＝4，∴|PF ′|2＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝64，则|PF ′|＝8， 因此2a ＝|PF |＋|PF ′|＝12，a ＝6.由c ＝25，得b 2＝a 2－c 2＝36－20＝16， 故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.]6．A [依题意，不妨设点M 在第一象限，且M (x 0，y 0)， 由抛物线定义，|MF |＝x 0＋p2，得5＝x 0＋2.∴x 0＝3，则y 20＝24，所以M (3，26)，又点M 在双曲线上，∴32a 2－24＝1，则a 2＝925，a ＝35，因此渐近线方程为259x 2－y 2＝0，即5x ±3y ＝0.]7．y ＝±2x [由题意知：c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，则ba ＝2，所以渐近线的方程为y ＝±2x .]8．(x ＋1)2＋y 2＝2 [由题设，圆C 的圆心C (－1，0)，设半径为r ， 又圆C 与圆C ′：(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切， ∴|CC ′|＝22＋r . 又|CC ′|＝[2－（－1）]2＋32＝32，则r ＝2，故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.] 9．y 2＝16x [由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p 2， 设满足条件的圆心为C ′，圆的半径为r . 由πr 2＝36π，得r ＝6.又圆C ′与抛物线的准线x ＝－p2相切， ∴p 4＋p2＝6，∴p ＝8.故抛物线方程为y 2＝16x .] 10．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由焦点F (－2，0)知c ＝2. ∴a 2＝4＋b 2，① 又b a ＝32，②联立①，②得a 2＝16，b 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 故－4≤x ≤4.由点M (m ，0)在椭圆的长轴上，则－4≤m ≤4.① 由MP→＝(x －m ，y )， 所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－x 216＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. ∵当|MP→|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点． ∴当x ＝4时，|MP→|2取得最小值． 由于x ∈[－4，4]，故4m ≥4，则m ≥1，② 由①，②知，实数m 的取值范围是[1，4]．11．解 (1)∵动圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切， ∴动圆的圆心到定点⎝⎛⎭⎪⎫12，0的距离等于到定直线x ＝－12的距离．根据抛物线定义，圆心的轨迹方程为y 2＝2x . (2)设点P (x 0，y 0)，B (0，b )，C (0，c )， 则直线PB 的方程为(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0， 又△PBC 的内切圆方程为(x －1)2＋y 2＝1， ∴圆心(1，0)到直线PB 的距离为1.则|y 0－b ＋x 0b |（y 0－b ）2＋x 20＝1，整理得(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0， 同理，得(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0，因此，b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， 所以b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2.依题意，得bc <0，即x 0>2.则(b －c )2＝4x 20＋4y 20－8x 0（x 0－2）2，因为y 20＝2x 0，所以|b －c |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0x 0－2.因此△PBC 的面积S ＝12|b －c ||x 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20x 0－2＝x 0＋2＋4x 0－2＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥2（x 0－2）·4x 0－2＋4＝8，当且仅当x 0－2＝2，即x 0＝4时上式等号成立． 故△PBC 面积的最小值为8.12．(1)解 由椭圆的对称性，知点A 、B 关于x 轴对称． 依题意，设点A (x ，－x )，B (x ，x )，则AB →＝(0，2x )． 由OB →·AB →＝(x ，x )·(0，2x )＝32，且x >0.∴2x 2＝32，x ＝32，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32， 代入椭圆方程，得34a 2＋34b 2＝1.① 又e ＝c a ＝63，∴69＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2②联立①，②，得b 2＝1，a 2＝3. 所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明 由题意可得“伴随圆”方程为x 2＋y 2＝4，①当直线l 斜率不存在时，设l ：x ＝n ，代入椭圆方程得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1－n 23，N ⎝⎛⎭⎪⎫n ，－1－n 23，由OM →·ON →＝0得n ＝±32，代入x 2＋y 2＝4得y ＝±132， 所以|PQ |＝13.②当直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝kx ＋m (k ，m ∈R )且与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)>0，即m 2<3k 2＋1， ∵x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1·x 2＝3m 2－31＋3k 2，可得y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－3k 21＋3k 2，由OM →·ON →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， 即3m 2－31＋3k 2＋m 2－3k 21＋3k 2＝4m 2－3k 2－31＋3k 2＝0， 所以m 2＝34(k 2＋1)，代入验证Δ>0成立．则原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2＝32， ∵“伴随圆”的半径为2，∴|PQ |＝24－34＝13，综合①，②知，|PQ |为定值13.专题过关·提升卷1．C [圆C 1：x 2＋y 2＝1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1.圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0的圆心为C 2(3，4)，半径为r 2＝25－m .由于两圆外切，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，所以5＝1＋25－m ，解之得m ＝9.]2．B [由双曲线定义，||PF 2|－|PF 1||＝6，又|PF 1|＝3，知点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝6.所以|PF 2|＝9.]3．C [由双曲线性质，A 、B 项中焦点在x 轴上，不合题意．对于选项D ，其渐近线方程为y 2－x 24＝0，即y ＝±x 2.经检验，只有选项C 中y24－x 2＝1满足．]4．B [∵|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|， ∴以OA→，OB →为邻边作出的平行四边形OACB 为矩形， 则OA→⊥OB →，所以△OAB 为直角三角形，因此|AB |＝ 2. 于是圆心O 到直线x ＋y ＝a 的距离d ＝|AB |2＝22， 从而，得|0＋0－a |12＋12＝22，∴a ＝±1.]5．B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y29＝1.]6．D [由x 2＝20y 知其准线y ＝－5. ∴|PF |＝b ＋5＝25，则b ＝20.又点(a ，b )在抛物线x 2＝20y 上，∴a 2＝400，|a |＝20， 因此|ab |＝|20×20|＝400.]7．D [设F (－c ，0)，点A (m ，n )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧nm ＋c ·（－3）＝－1，3（m －c ）2＋n2＝0，解之得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c . 代入椭圆方程，有c 24a 2＋3c 24b 2＝1.又b 2＝a 2－c 2代入，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0. 所以e 4－8e 2＋4＝0，e 2＝4－23，e ＝3－1.]8．D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心M (－3，2)，半径r ＝1.点N (－2，－3)关于y 轴的对称点N ′(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点N ′(2，－3)且斜率存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －(2k ＋3)＝0. ∵反射光线与已知圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k＝－43.]9．C [设P (x P ，y P )，依题设x P >0，且y P >0.由S △OFP ＝12·c ·y P ＝a 2＋b 28＝c 28，∴y P ＝c4.又直线PF 的方程为y ＝－(x －c )，∴x P ＝3c 4，又点P 在双曲线的渐近线bx －ay ＝0上， ∴3c 4·b －ac 4＝0，则a ＝3b ，c ＝10b ， 故双曲线的离心率e ＝c a ＝103.] 10．D [由抛物线方程知p ＝1，∴焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则a ＝12.设M (x M ，y M )，由抛物线定义，|MF |＝x M ＋p 2＝32， ∴x M ＝1，则y M ＝±2，即M (1，±2)， 代入双曲线方程，得b 2＝23，从而c 2＝1112，故双曲线c 2的离心率e 2＝c a ＝333.]11．C [如图所示，由方程x 216＋y 212＝1知：顶点A (－4，0)，B (4，0)、右焦点F (2，0)．又|QF→|＝1， ∴点Q 的轨迹是以焦点F (2，0)为圆心，以1为半径的圆． 由|QP →|·|QF→|＝0，知PQ ⊥FQ . 因此直线PQ 是圆F 的切线，且Q 为切点，∴|PQ |2＝|PF |2－1，当|PF |最长时，|PQ |取最大值． 当点P 与椭圆的左顶点A 重合时，|PF |有最大值|AF |＝6. 所以|PQ→|的最大值为62－1＝35.]12．A [依题意，|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2. ∴△MF 1F 2是以M 为直角顶点的直角三角形． 因此|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|·c 2＝2c ·c 2＝c 2.又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1||MF 2|＝4c 2.∴(2a )2＋2c 2＝4c 2，则c 2＝2a 2，故双曲线的离心率e ＝ca ＝ 2.]13．22 [由于x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故p2＝2，则p ＝2 2.] 14．(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)． ∴当P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，且R ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]15．23 [由双曲线x 2－y23＝1，右焦点F (2，0)，渐近线方程分别为y ＝±3x ，代入圆F 的方程(x －2)2＋y 2＝4，得x ＝1，y ＝±3. 故|AB |＝2 3.]16．x 2＋32y 2＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)， 由|AF 1|＝3|F 1B |，得AF 1→＝3F 1B →， 故⎩⎨⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2.代入方程25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23， 故所求椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.]17．解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ，∴c ＝a 2－b 2＝3b ， 因此椭圆E 的离心率e ＝c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10， 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 18．解(1)由题意得⎩⎨⎧2a ＝43，9a 2＋34b 2＝1，∴a 2＝12，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为y 212＋x 23＝1.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝3相切，证明如下： 由题意可设A (x 0，y 0)，B (－2，t )(t ∈R )，则直线AB 的方程为(y 0－t )x －(x 0＋2)y ＋(tx 0＋2y 0)＝0， ∵OA →⊥OB →，∴2x 0＝ty 0，∴t ＝2x 0y 0，∵动点A 在椭圆C 上，∴y 2012＋x 203＝1，∴y 20＝12－4x 20， ∴原点O 到直线AB 的距离d ＝|tx 0＋2y 0|（y 0－t ）2＋（x 0＋2）2 ＝|tx 0＋2y 0|y 20－2ty 0＋t 2＋x 20＋4x 0＋4＝|tx 0＋2y 0|y 20＋t 2＋x 20＋4＝2|x 20＋y 20|x 20y 20＋y 40＋4x 20＋4y 20＝6|4－x 20|12（x 40－8x 2＋16）＝3， ∴直线AB 与圆x 2＋y 2＝3相切．19．解 (1)设N (x ，y )，则由PN →＋12NM →＝0得P 为MN 的中点．∴P ⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x ，0)． ∴PM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x . ∴动点N 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 消去x 得y 2－4k y －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.假设存在点C (m ，0)满足条件，则CA →＝(x 1－m ，y 1)，CB →＝(x 2－m ，y 2)， ∴CA →·CB →＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－m ⎝⎛⎭⎪⎫y 21＋y 224＋m 2－4 ＝－m4[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2－3＝m 2－m ⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋2－3.∵Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋22＋12>0，∴关于m 的方程m 2－m ⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋2－3＝0有解．故在x 轴上存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立． 20．解 (1)由点P (0，1)在椭圆上，知b ＝1， 又离心率e ＝c a ＝22且a 2＝b 2＋c 2.解得c 2＝1，a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n. “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. 因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．21．解 (1)依题设得椭圆的顶点A (2，0)，B (0，1)， 则直线AB 方程分别为x ＋2y －2＝0， 设EF 的方程为y ＝kx (k >0)．如题图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，联立直线l 与椭圆的方程⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx消去y 得方程(1＋4k 2)x 2＝4，则x 2＝－x 1＝21＋4k2， 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0－2＝0，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解之得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式知，点A ，B 到EF 的距离分别为 h 1＝2k 1＋k 2，h 2＝11＋k 2.又|EF |＝41＋k 21＋4k 2， 所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|EF |(h 1＋h 2)＝2（1＋2k ）1＋4k 2 ＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋44k ＋1k≤22， 当且仅当4k ＝1k ，即当k ＝12时，取等号． 所以S 的最大值为2 2.22．(1)解 依题意，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，△FOP 的外接圆圆心的横坐标为p 4. 故圆心到准线的距离d ＝p 2＋14p ＝32，则p ＝2， 所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，(2)证明 由(1)知F (1，0)，准线x ＝－1，故M (－1，0)． 设直线的方程为x ＝ty ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4. 则k MP ＋k MA ＝y 1y 214＋1＋y 2y 224＋1＝4（y 1＋y 2）（y 1y 2＋4）（y 21＋4）（y 22＋4）＝0(定值)． (3)解 过P (m ，n )在抛物线C 上，则n 2＝4m ，由题意可知，过点P 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线斜率存在．设切线方程为y －n ＝k (x －m )，即kx －y －km ＋n ＝0.其与y 轴交点为(0，n －km )，所以|DE |＝|m (k 1－k 2)|. 又直线与圆相切得d ＝r ⇒|k －km ＋n |k 2＋1＝1， 整理得(m 2－2m )k 2－2(m －1)nk ＋n 2－1＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝2（m －1）nm 2－2m ，k 1k 2＝n 2－1m 2－2m，并结合n 2＝4m ，得|DE |＝m （k 1－k 2）2＝4m 2＋8m（m －2）2.S △PDE ＝12|DE |·m ＝12m ·4m 2＋8m（m －2）2＝m 2（m 2＋2m ）（m －2）2.记f (m )＝m 2（m 2＋2m ）（m －2）2，且m >2.则f ′(m )＝2m 2（m 2－3m －6）（m －2）3.令f ′(m )＝0，则m 2－3m －6＝0， ∴m ＝3＋332，当2<m <3＋332时，f ′(m )<0，函数f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3＋332上单调递减． 当m >3＋332时，f ′(m )>0，函数f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，＋∞上单调递增， ∴当m ＝3＋332时，f (m )取得最小值．因此，△PDE 的面积取得最小值时，m 的值为3＋332.。
【导与练】（新课标）2016⾼考数学⼆轮复习专题6解析⼏何第4讲圆锥曲线中的综合问题⽂第4讲圆锥曲线中的综合问题圆与圆锥曲线的综合问题训练提⽰:充分挖掘题⽬条件,寻找圆⼼与圆锥曲线焦点的位置关系,圆的半径与给定线段长度之间的关系,充分利⽤“圆的直径所对圆周⾓为直⾓”等性质解决问题.1.已知圆⼼为F1的圆的⽅程为(x+2)2+y2=32,F2(2,0),C是圆F1上的动点,F2C的垂直平分线交F1C于M.(1)求动点M的轨迹⽅程;(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交M的轨迹于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.(1)解:由线段的垂直平分线的性质得|MF2|=|MC|.⼜|F1C|=4,所以|MF1|+|MC|=4,所以|MF2|+|MF1|=4>4.所以M点的轨迹是以F1,F2为焦点,以4为长轴长的椭圆.由c=2,a=2得b=2.故动点M的轨迹⽅程为+=1.(2)证明:当直线l的斜率存在时,设其⽅程为y+2=k(x+1),由得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.从⽽k1+k2=+==2k-(k-4)3=4.当直线l的斜率不存在时,得A(-1,),B(-1,-),得k1+k2=4.综上,恒有k1+k2=4.2.设椭圆M:+=1(a>)的右焦点为F1,直线l:x=与x轴交于点A,若=2(其中O为坐标原点).(1)求椭圆M的⽅程;(2)设P是椭圆M上的任意⼀点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意⼀条直径(E,F为直径的两个端点),求2的最⼤值.解:(1)由题设知,A(,0),F1(,0),由=2.得=2(-),解得a2=6.所以椭圆M的⽅程为+=1.(2)设圆N:x2+(y-2)2=1的圆⼼为N,则2=(-)2(-)=(--)2(-)=-=-1.从⽽求2的最⼤值转化为求的最⼤值.因为P是椭圆M上的任意⼀点,设P(x0,y0),所以+=1,即=6-3,因为点N(0,2),所以=+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.因为y0∈[-,],所以当y0=-1时,取得最⼤值12.所以2的最⼤值为11.圆锥曲线中的定点、定值问题训练提⽰:由直线⽅程确定定点,若得到直线⽅程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线⽅程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变量)⽆关;也可令系数等于零,得出定值.3.如图,等边三⾓形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的⽅程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点.(1)解:依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,y=|OB|cos 30°=12.因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p312,解得p=2.故抛物线E的⽅程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=x2,y′=x.设P(x0,y0),则x0≠0,且l的⽅程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以Q(,-1).设M(0,y1),令2=0对满⾜y0=(x0≠0)的x0,y0恒成⽴.由于=(x0,y0-y1),=(,-1-y1),由2=0,得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满⾜y0=(x0≠0)的y0恒成⽴,所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).4.已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(a>b>0)的离⼼率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的⽅程;(2)过圆O上任意⼀点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值.解:(1)设椭圆半焦距为c,圆⼼O到l的距离d==,则l被圆O截得的弦长为2,所以b=.由题意得⼜b=,所以a2=3,b2=2.所以椭圆E的⽅程为+=1.(2)证明:设点P(x0,y0),过点P的椭圆E的切线l0的⽅程为y-y0=k(x-x0),整理得y=kx+y0-kx0,联⽴直线l0与椭圆E的⽅程得消去y得2[kx+(y0-kx0)]2+3x2-6=0,整理得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,因为l0与椭圆E相切,所以Δ=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0,整理得(2-)k2+2x0y0k-(-3)=0,设满⾜题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-.因为点P在圆O上,所以+=5,所以k1k2=-=-1.所以两条切线斜率之积为常数-1.圆锥曲线中的存在性问题训练提⽰:存在性问题,先假设存在,进⾏⼀系列推理,若推理正确则存在,若得出⽭盾则不存在.5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,离⼼率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,O为坐标原点.(1)求椭圆C的⽅程;(2)设椭圆的上顶点为N,是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,使点F为△PQN的垂⼼?若存在,求出直线l的⽅程;若不存在,请说明理由.解:(1)设F(c,0),则=,知a= c.过点F且与x轴垂直的直线⽅程为x=c,代⼊椭圆⽅程,有+=1,解得y=± b.于是b=,解得b=1.⼜a2-c2=b2,从⽽a=,c=1.所以椭圆C的⽅程为+y2=1.(2)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F为△PQN的垂⼼.设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为N(0,1),F(1,0),所以k NF=-1.由NF⊥PQ,知k PQ=1.设直线l的⽅程为y=x+m,由得3x2+4mx+2m2-2=0.由Δ>0,得m2<3,且x1+x2=-,x1x2=.由题意,有2=0.因为=(x1,y1-1),=(x2-1,y2),所以x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,即x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,所以2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,于是23-m(m-1)+m2-m=0,解得m=-或m=1.经检验,当m=1时,△PQN不存在,故舍去m=1.当m=-时符合,直线l的⽅程为y=x-.6.(2015河北沧州4⽉质检)已知点M在椭圆G:+=1(a>b>0)上,H(-2,0)是M在x轴上的射影.F1是椭圆G的左焦点,且=(O为坐标原点),2=.(1)求椭圆G的⽅程;(2)在x轴上是否存在定点P0,过P0任意作直线l交椭圆G于A,B两点,使得直线HM始终平分∠AHB?若存在,则求出P0;若不存在,请说明理由.解:(1)依题可设M(-2,y0),由=得F1为HO的中点,于是F1(-1,0),⼜由2=得(0,-y0)2(1,-y0)=,解得=,于是有+=1,整理得5a4-29a2+20=(5a2-4)(a2-5)=0,解得a2=5或a2=(舍去).所以椭圆G的⽅程是+=1.(2)设P0(m,0),A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不等于零时,可设直线l为x=ty+m,联⽴+=1,消去x得(4t2+5)y2+8mty+4m2-20=0,有y1+y2=,y1y2=,注意到HM平分∠AHB?k AH=,k BH=满⾜k AH+k BH=0,即+=0?y1(x2+2)+y2(x1+2)=0?y1(ty2+m+2)+y2(ty1+m+2)=2ty1y2+(m+2)(y1+y2)=0?2t2+(m+2)2=0?t(2m+5)=0,故m=-,定点P0(-,0).若直线l的斜率为零,定点P0(-,0)也满⾜条件,故定点P0(-,0)为所求.类型⼀:圆锥曲线中的最值(范围)问题1.在平⾯直⾓坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满⾜∥,2=2,M点的轨迹为曲线C.(1)求C的⽅程;(2)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l距离的最⼩值.解:(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),⼜A(0,-1),所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).再由题意可知(+)2=0,即(-x,-4-2y)2(x,-2)=0.所以曲线C的⽅程为y=x2-2.(2)设P(x0,y0)为曲线C:y=x2-2上⼀点.因为y′=x,所以l的斜率为x0.因此直线l的⽅程为y-y0=x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-=0.所以O点到l的距离d=.⼜y0=-2,所以d==(+)≥2.当x0=0时取等号,所以O点到l距离的最⼩值为2.2.(2015云南模拟)如图,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离⼼率为,且过点(2,),四边形ABCD的顶点在椭圆E上,且对⾓线AC,BD过原点O, k AC2k BD=-.求2的取值范围.解:?所以椭圆E的⽅程为+=1.当直线AB的斜率存在时,设l AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 由?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2()+km()+m2=.由k OA2k OB=-得2=-.所以=-2?m2=4k2+2,2=x1x2+y1y2=+==2-,所以-2≤2<2,当k=0时,2=-2,当k不存在即AB⊥x轴时,2=2,所以2的取值范围是[-2,2].3.(2015郑州第⼀次质量预测)已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之⽐为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n 与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于⼀点(与A,B不重合).(1)求曲线E的⽅程;(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的⾯积是否有最⼤值,若有,求出其最⼤值及对应的直线l的⽅程;若没有,请说明理由.解:(1)设点P(x,y),由题意可得=,整理可得+y2=1,曲线E的⽅程是+y2=1.(2)有最⼤值,设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=.当m=0时,不合题意.当m≠0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得=1,即m2+1=n2.联⽴消去y得(m2+)x2+2mnx+n2-1=0.Δ=4m2n2-4(m2+)(n2-1)=2m2>0,x1+x2=,x1x2=,S四边形ACBD=|AB||x2-x1|===≤.当且仅当2|m|=,即m=±时等号成⽴,此时四边形ABCD⾯积的最⼤值为,n=±,经检验可知,直线y=x-和直线y=-x+符合题意.4.如图,过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k1和k2,切点分别为P,Q.(1)求证:k12k2为定值,并且直线PQ过定点;(2)记△APQ的⾯积为S△APQ,当最⼩时,求2的值.(1)证明:设过A点的直线为y=k(x-a),与抛物线联⽴得整理得x2-kx+ka+1=0,Δ=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k12k2=-4为定值.抛物线⽅程y=x2+1,求导得y′=2x,设切点P,Q的坐标分别为(x p,y p),(x q,y q),则k1=2x p,k2=2x q,所以x p+x q=+=2a,x p x q=2=-1.直线PQ的⽅程:y-y p=(x-x p),由y p=+1,y q=+1,得到y=(x p+x q)x-x p x q+1,整理可得y=2ax+2,所以直线PQ过定点(0,2).(2)解:设A到PQ的距离为d.S△APQ=|PQ|3,所以===,设t=≥1,所以==(t+)≥,当且仅当t=时取等号,此时a=±.因为2=(x p-a,y p)2(x q-a,y q)=x p x q-a(x p+x q)+a2+y p y q,y p y q=(2x p a+2)(2x q a+2)=4a2x p x q+4+4a(x p+x q)=4a2+4,所以2=3a2+3=.类型⼆:证明问题5.如图,已知点A(1,)是离⼼率为的椭圆C:+=1(a>b>0)上的⼀点,斜率为的直线BD交椭圆C于B,D两点,且A,B,D三点互不重合.(1)求椭圆C的⽅程;(2)求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.(1)解:由题意,可得e==,将(1,)代⼊椭圆⽅程, 得+=1,⼜a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=.所以椭圆C的⽅程为+=1.(2)证明:设直线BD的⽅程为y=x+m,⼜A,B,D三点不重合,所以m≠0,设D(x1,y1),B(x2,y2),由得4x2+2mx+m2-4=0.所以Δ=-8m2+64>0?-2x1+x2=-m,①x1x2=,②设直线AB,AD的斜率分别为k AB,k AD,则k AD+k AB=+=+=2+m2(*)将①、②式代⼊(*),整理得2+m2=2-2=0,所以k AD+k AB=0,即直线AB,AD的斜率之和为定值0. 6.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于B的上⽅),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线.解:(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当解得所以m的取值范围是(,5).(2)当m=4时,曲线C的⽅程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).由得(1+2k2)x2+16kx+24=0.因为直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点,所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)324>0,即k2>.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直线BM的⽅程为y+2=x,点G的坐标为(,1).因为直线AN和直线AG的斜率分别为k AN=,k AG=-,所以k AN-k AG=+=+=k+=k+=0.即k AN=k AG.故A,G,N三点共线.。
专题6 解析几何检测文(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.某工厂生产A,B,C三种不同的型号的产品,产品数量之比依次为k∶5∶3,现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本,已知A种型号产品共抽取了24件,则C种型号产品抽取的件数为( )(A)24 (B)30 (C)36 (D)402.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a,从{2,3,4}中随机选取一个数b,则b>a的概率是( )(A)(B)(C)(D)3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m,n的比值等于( )(A)1 (B)(C)(D)4.(2015郑州模拟)通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:若由K2=,得K2的观测值k=≈7.8.则得到的正确结论是( )(A)有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”(B)有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”(C)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”(D)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”假设根据上表数据所得线性回归直线方程=x+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b′x+a′,则以下结论正确的是( )(A)>b′,>a′ (B)>b′,<a′(C)<b′,>a′ (D)<b′,<a′6.若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m等于( )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)27.(2015辽宁模拟)连续抛掷两次骰子,得到的点数分别为m,n,记向量a=(m,n),b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是( )(A)(B)(C)(D)8.(2015沈阳模拟)某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机调查了24名笔试者的成绩,如表所示:据此估计允许参加面试的分数线大约是( )(A)75 (B)80 (C)85 (D)909.(2015大连模拟)对于下列表格所示五个散点,已知求得的线性回归方程为=0.8x-155,则实数m的值为( )(A)8 (B)8.2 (C)8.4 (D)8.510.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图,如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频率成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a,b的值分别为( )(A)0.27,78 (B)0.27,83(C)2.7,78 (D)2.7,8311.(2015广西模拟)下列说法:①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变;②设有一个线性回归方程=3-5x,变量x增加1个单位时,y平均增加5个单位;③设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则|r|越接近于0,x和y之间的线性相关程度越强;④在一个2×2列联表中,由计算得K2的值,则K2的值越大,判断两个变量间有关联的把握就越大.其中错误的个数是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)012.一个三位数的百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是( )(A)(B)(C)(D)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本,若编号为58的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为.14.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示,则7个剩余分数的方差为.15.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别有关系,现随机抽取50名学生,得到如下已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据,得到K2的观测值k=≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为.16.小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋,求小波去下棋的概率为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(本小题满分14分)(2015唐山市一模)为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,预测t=8时,细菌繁殖个数.18.(本小题满分14分)“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动,活动规定:被邀请者要么在24小时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战),并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响.(1)若某参与者接受挑战后,对其他3个人发出邀请,则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少?(2)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随机抽样调查,调查得到如下2×2列联表:根据表中数据,能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”?附:K2=19.(本小题满分14分)(2015山西模拟)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成绩相同.(1)求x的值,并判断哪组学生成绩更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.20.(本小题满分14分)(2015江西模拟)2015年清明节小长假期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]后得到如图的频率分布直方图.(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值;(2)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆,求恰有一辆车速在[65,70)的概率.21.(本小题满分14分)(2015河南模拟)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名,25周岁以下的工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,并将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名,求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率;(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件作出2×2列联表,并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?附表:专题检测(六)1.C2.C3.D4.A5.C 散点图如图所示,画出大致的回归直线和直线y=b′x+a′,由图知b′>,>a′,故选C.6.C 由题意易知m>0,则不等式组对应可行域如图所示,则x+y在点A处取最大值,解得A(4,5),而点A在直线x-my+1=0上,代入求得m=1.7.C 连续抛掷两次骰子基本事件总数是36,由a,b夹角θ∈(0,]知a·b≥0,所以m-n≥0,所求事件包含的基本事件数为21,P==.8.B 因为参加笔试的400人中择优选出100人,故每个人被择优选出的概率P==,因为随机调查24名笔试者的成绩,则估计能够参加面试的人数为24×=6,观察表格可知,分数在[80,85)的有5人,分数在[85,90]的有1人,故面试的分数线大约为80分,故选B.9.A ==200,==.样本中心点为(200,),将样本中心点(200,)代入=0.8x-155,可得m=8.故选A.10.A 由题意4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27,后6组的频率成等差数列,设公差为d,则有6×0.27+15d=1-0.01-0.03-0.09,解得d=-0.05,所以b=100×[0.27×4+×(-0.05)]=78.11.B 方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,故①正确;在回归方程=3-5x中,变量x增加1个单位时,y平均减小5个单位,故②不正确;根据线性回归分析中相关系数的定义:在线性回归分析中,相关系数为r,|r|越接近于1,相关程度越强,故③不正确;K2越大,“x与y有关系”的可信程度越大,故④正确.综上所述,错误结论的个数为2,故选B.12.C 由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321,共6个.由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421,共6个;由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431,共6个;由2,3,4组成的三位数有234,243,324,342,432,423,共6个.所以共有6+6+6+6=24个三位数.当b=1时,有214,213,314,412,312,413,共6个“凹数”;当b=2时,有324,423,共2个“凹数”.所以这个三位数为“凹数”的概率P==.13.解析:样本间隔为80÷10=8,设第一个号码为x,则58=8×7+2,则第一个号码为2,则最大的编号为2+8×9=74.答案:7414.解析:由题图可知去掉的两个分数是87,99,所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4.所以s2=×[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]=.答案:15.解析:因为K2的观测值k≈4.844,根据假设检验的基本原理,应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立,并且这种判断出错的可能性约为5%.答案:5%16.解析:X的所有可能取值为-2,-1,0,1.数量积为-2的有·,共1种;数量积为-1的有·,·,·,·,·,·,共6种;数量积为0的有·,·,·,·,共4种;数量积为1的有·,·,·,·,共4种.故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为P=.答案:17.解:(1)由表中数据计算得=5,=4,(t i-)(y i-)=8.5,(t i-)2=10,==0.85,=-=-0.25.所以,所求线性回归方程为=0.85t-0.25.(2)将t=8代入(1)中的回归方程得=0.85×8-0.25=6.55.故预测t=8时,细菌繁殖个数为6.55千个.18.解:(1)这3个人接受挑战分别记为A,B,C,则,,分别表示这3个人不接受挑战.这3个人参与该项活动的可能结果为:{A,B,C},{,B,C},{A,,C},{A,B,},{,,C},{,B,},{A,,},{,,}.共有8种; 其中,至少有2个人接受挑战的可能结果有:{A,B,C},{,B,C},{A,,C},{A,B,},共有4种. 根据古典概型的概率公式,所求的概率为P==.(2)根据2×2列联表,得到K2的观测值为k==≈1.79.因为1.79<2.706,所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”.19.解:(1)=(9+9+11+11)=10,=(8+9+10+x+12)=10,解得x=1,又=[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2]=1;=[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=,所以<.所以甲组成绩比乙组稳定.(2)记甲组4名同学为:A1,A2,A3,A4;乙组4名同学为:B1,B2,B3,B4;分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16个基本事件,其中得分之和低于20分的共6个基本事件,所以得分之和低于20分的概率是P==.20.解:(1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于77.5,从左向右各组的频率分别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.25,0.1,于是这40辆小型车辆车速的中位数位于第四组.其估计值为75+×5=77.5.(2)从题图中可知,车速在[60,65)的车辆数为m1=0.01×5×40=2(辆),车速在[65,70)的车辆数为m2=0.02×5×40=4(辆),设车速在[60,65)的车辆为a,b,车速在[65,70)的车辆为c,d,e,f,则所有基本事件有: (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15种,其中恰有一辆车速在[65,70)的事件有:(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f)共8种,所以,恰有一辆车速在[65,70)的概率为P=.21.解:(1)由已知得,样本中25周岁以上(含25周岁)的工人有60名,25周岁以下的工人有40名,所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上(含25周岁)的工人有60×0.05=3(名),记为A1,A2,A3;25周岁以下的工人有40×0.05=2(名),记为B1,B2.从中随机抽取2名工人,所有可能的结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种.其中,至少抽到一名25周岁以下的工人的可能的结果为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共7种.故所求概率P=.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,25周岁以上(含25周岁)的生产能手有60×0.25=15(名),25周岁以下的生产能手有40×0.375=15(名),据此可得2×2列联表如下:所以K2的观测值k=≈1.79.因为1.79<2.706,所以没有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.11。
