下载文档原格式
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。
反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。
放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
首先介绍反证法。
对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。
具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。
3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。
4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。
举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。
然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。
然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。
因此，假设错误，原不等式成立。
接下来介绍放缩法。
放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。
具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。
2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
3.对新形式的不等式进行证明。
4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。
举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。
我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。
化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。
数学人教B选修4-5第一章1.5.3 反证法和放缩法1．理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法．2．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．1．反证法假设要证明的命题是______的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)____的结论，从而得出原来结论是____的，这种方法称作______．用反证法证明不等式必须把握以下几点：(1)必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，推导出的矛盾必须是明显的．【做一做1－1】应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【做一做1－2】实数a，b，c不全为0的等价条件为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为02．放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值__________使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．其关键在于__________．用放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式的值增大；缩小分子、扩大分母，分式的值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和．【做一做2－1】设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则()A．M＝1 B．M＜1C．M＞1 D．M与1的大小关系不确定【做一做2－2】lg 9·lg 11与1的大小关系是________．答案：1．不正确矛盾正确反证法【做一做1－1】C【做一做1－2】D2．适当放大(或缩小)放大(缩小)要适当【做一做2－1】B分母全换成210，共有210个单项．【做一做2－2】lg 9·lg 11＜1∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1.∴lg 9·lg 11＜1.1．反证法中的数学语言是什么？剖析：反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法．下面我们假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此．2．放缩法的尺度把握等问题有哪些？ 剖析：(1)放缩法的理论依据主要有： ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考查．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：(a ＋12)2＋34＞(a ＋12)2；将分子或分母放大(缩小)：1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等．题型一 用反证法证明否定性结论命题【例题1】已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有一种情况，因此适宜用反证法证明．反思：(1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与显然成立的事实相矛盾．题型二 用反证法证明“至多”“至少”类问题【例题2】已知f (x )＝x 2＋bx ＋c ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.分析：问题从正面证明不易入手，适合应用反证法证明．反思：(1)在所要证明的问题中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明． (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．题型三 用放缩法证明不等式【例题3】(1)设a ，b 为不相等的两个正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1＜a ＋b ＜43.(2)求证：1n ＋1(1＋13＋…＋12n －1)＞1n (12＋14＋…＋12n )(n ≥2)．分析：运用放缩法进行证明．反思：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩等．放缩时要注意适度，否则不能同向传递．题型四 易错辨析易错点：在证明不等式时，因不按不等式的性质变形，从而导致证明过程错误．【例题4】已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2(a ＋b )2≥12.错解：证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab ， ∴a 2＋b 2(a ＋b )2≥2ab (2ab )2＝2ab 4ab ＝12. 错因分析：上面证明时应用了“⎭⎬⎫a >b c >d a c ＞bd ”这个错误结论．答案：【例题1】证明：证法一：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 同时大于14，即有(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ＞164.∵a ∈(0,1)，∴1－a ＞0，∴(1－a )a ≤⎝⎛⎭⎫1－a ＋a 22＝14.同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.∴(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164(当且仅当a ＝b ＝c ＝12时等号成立)，与假设矛盾， ∴原结论正确．证法二：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 同时大于14.∵0＜a ＜1，∴1－a ＞0，又b ∈(0,1)， ∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12.同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得32＞32，矛盾．∴原结论成立．【例题2】证明：证法一：假设|f (1)|＜12，|f (2)|＜12，|f (3)|＜12，则⎩⎪⎨⎪⎧|1＋b ＋c |<12，|4＋2b ＋c |<12，|9＋3b ＋c |<12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －32<b ＋c <－12，－92<2b ＋c <－72，－192<3b ＋c <－172.①②③①＋③，得－112＜2b ＋c ＜－92，与②矛盾．∴假设不成立，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证法二：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2. 而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)| ≥|f (1)＋f (3)－2f (2)| ≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋b ＋c )＋(9＋3b ＋c )－2(4＋2b ＋c )＝2. 两式显然矛盾， ∴假设不成立．∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.【例题3】证明：(1)由题设，得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ， 于是(a ＋b )2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，故a ＋b ＞1.又(a ＋b )2＞4ab ，而(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋(a ＋b )24，即34(a ＋b )2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43.所以1＜a ＋b ＜43.(2)因为12＝12，13＞14，15＞16，…，12n －1＞12n ，12＞12＋14＋…＋12n n ，将上述各式两边分别相加，得1＋13＋15＋…＋12n －1＞⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ·n ＋1n . 所以1n ＋1(1＋13＋…＋12n －1)＞1n ⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n . 【例题4】正解：证明：a 2＋b 2(a ＋b )2＝(a ＋b )2－2ab (a ＋b )2＝1－2ab (a ＋b )2≥1－2×⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ＋b )2＝1－12＝12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．即a 2＋b 2(a ＋b )2≥12.1用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数．下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 中至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 中至多有两个偶数2设x ，y ∈(0，＋∞)，且xy －(x ＋1)＝1，则( ) A ．x ＋y ≤22＋1 B ．x ＋y ≥22＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．x ＋y ≥(2＋1)23若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24比较大小：1＋12＋13＋…＋1n__________n .5若正数a ，b 满足ab ≥1＋a ＋b ，则a ＋b 的最小值为__________． 答案： 1．B2．B 由x ，y ∈(0，＋∞)，xy －(x ＋1)＝1，得y ＝x ＋2x ＝1＋2x ，则x ＋y ＝(x ＋2x)＋1≥22＋1，当且仅当x ＝2时等号成立．3．D 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，则(a ＋b ＋c )＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＜6. ∵1a ＋a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2， ∴(a ＋b ＋c )＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．这与假设矛盾． ∴三个数中至少有一个不小于2.4．≥ 1＋12＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n .5．2＋22 由于ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，故1＋a ＋b ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，∴a ＋b ≥2＋22或a ＋b ≤2－2 2.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2＋2 2.当且仅当a ＝b ＞0时等号成立．1设12M a a =+-(2＜a ＜3)，2121log ()16N x =+(x ∈R )，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M ＜N B ．M ＝N C ．M ＞N D ．不能确定 答案：C∵2＜a ＜3，∴a －2＞0，∴M ＝12a a +-＝1(2)+22a a -+-≥2＝4， 当且仅当a －2＝1，即a ＝3时等号成立，但2＜a ＜3，所以等号不成立，所以M ＞4. 又2121=log ()16N x +121log =416≤，∴M ＞N .2已知a ，b ，c ，d 都是正数，a b c dS a b c a b d c d a c d b=+++++++++++，则有( )A ．S ＜1B ．S ＞1C ．S ＞2D ．以上都不对答案：B ∵a ，b ，c ，d ∈(0，＋∞)， ∴=a b c dS a b c a b d c d a c d b+++++++++++>=1a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d+++++++++++++++. 3已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中成立的是( ) A ．cos 2θ·lg a ＋sin 2θ·lg b ＜lg(a ＋b )B ．cos 2θ·lg a ＋sin 2θ·lg b ＞lg(a ＋b )C ．a cos 2θ·b sin 2θ＝a ＋bD ．a cos 2θ·b sin 2θ＞a ＋b 答案：A cos 2θ·lg a ＋sin 2θ·lg b ＜cos 2θ·lg(a ＋b )＋sin 2θ·lg(a ＋b )＝lg(a ＋b )． 4对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C 对于①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，不符合题意，故①正确．对于②，当a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②正确．对于③，显然不正确．5已知x ，y ∈(0，＋∞)，且x ≠y ，记11()(+)M x y x y =+，11()(+)N x y y x=+，1P xy xy =+，11()Q x y x y ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，则M ，N ，P ，Q 中最大的一个是( ) A ．M B ．N C ．P D ．Q 答案：A 11=()()M x y x y ++＝1y x xy xy x y+++， 11=()()N x y y x ++＝1+2xy xy +，1=P xy xy+，11=()Q x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝+2y xx y+.∵x ，y ∈(0，＋∞)，且x ≠y ， ∴>2y x x y+，1xy xy +＞2，∴M ＞N ，M ＞Q ，显然M ＞P ，∴最大的一个是M .6若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为__________． 答案：a ，b 都不是正数(或a ≤0且b ≤0)7在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若∠C ＝90°，则a bc+的取值范围为__________．答案：(1 在△ABC 中，显然有a ＋b ＞c .又∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2.又a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a ＋ba ＝b 时等号成立． ∴c ＜a ＋b，∴1＜a bc+8若a ＞0，则1a a ++__________．答案：2∵a ＞0，∴1a a +≥2，2212a a +≥，当且仅当a ＝1时等号成立，∴1a a +2≥9证明：在△ABC 中，若∠C 是直角，则∠B 一定是锐角． 答案：证明：假设∠B 不是锐角，则∠B 是直角或钝角． (1)当∠B 是直角时，∵∠C 是直角， ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°.(2)当∠B 是钝角时，∵∠C 是直角， ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°. 这与三角形的内角和为180°相矛盾． ∴假设∠B 不是锐角不正确． ∴∠B 一定是锐角． 10已知23sin1sin2sin3sin 2222n n nS =++++ ，求证：对于正整数m ，n ，当m ＞n 时，有1||<2m n nS S -. 答案：证明：记sin =2k k k a (k ∈N *)，则|a k |≤12k . 于是，当m ＞n 时，|S m －S n |＝|a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a m |≤|a n ＋1|＋|a n ＋2|＋…＋|a m |≤12111222n n m ++ +++＝111[1]22112m nn -+⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝111[1]<222m nn n -⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
选修4－5 不等式选讲第2课时不等式证明的基本方法(对应学生用书(理)200～202页)1. 设a 、b ∈R ＋，试比较a ＋b2与a ＋b 的大小． 解：∵ (a ＋b)2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝（a －b ）22≥0，∴ a ＋b ≥a ＋b2. 2. 若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值．解：(1·a ＋1·b ＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c)＝3，即a ＋b ＋c 的最大值为 3.3. 设a 、b 、m ∈R ＋，且b a <b ＋m a ＋m ，求证：a ＞b.证明：由b a <b ＋m a ＋m ，得b a －b ＋m a ＋m ＝（b －a ）m a （a ＋m ）＜0.因为a 、b 、m ∈R ＋，所以b －a ＜0，即b ＜a.4. 若a 、b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，求M 与N 的大小关系． 解：∵ a ≠b ，∴ a b ＋b>2a ，ba＋a>2b ， ∴a b ＋b ＋b a ＋a>2b ＋2a ，即a b ＋ba>b ＋a ，即M>N. 5. 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n>1，n ∈N *)的过程中，用n ＝k ＋1时左边的代数式减去n ＝k 时左边的代数式的结果是A ，求代数式A.解：当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）＋（k ＋1），故左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1，即A ＝1（2k ＋1）（2k ＋2）.1. 不等式证明的常用方法(1) 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．(2) 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．(3) 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．2. 不等式证明的其他方法和技巧(1) 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．(2) 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥C n≥B，利用传递性达到证明的目的．(3) 数学归纳法[备课札记]题型1 用比较法证明不等式例1求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.证明：∵ (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0. ∴ a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 备选变式（教师专享） 已知a>0，b>0，求证：a b ＋ba≥a ＋ b. 证明：(证法1)∵ ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －(a ＋b)＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa ＝（a －b ）（a －b ）ab ＝（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，∴ 原不等式成立．(证法2)由于a b ＋b a a ＋b ＝a a ＋b b ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）ab （a ＋b ）＝a ＋bab－1≥2abab－1＝1.又a>0，b>0，ab>0，∴a b ＋ba≥a ＋ b. 题型2 用分析法、综合法证明不等式 例2 已知x 、y 、z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.证明：(证法1：综合法)因为x 、y 、z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z .同理可得yzx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y .将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. (证法2：分析法)因为x 、y 、z 均为正数，要证x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .只要证x 2＋y 2＋z 2xyz ≥yz ＋zx ＋xyxyz ，只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy ，只要证(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0，而(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．变式训练已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，只需证a 2＋1a 2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a2＋2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 即证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只需证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋2， 即证a 2＋1a 2≥2，此式显然成立．∴ 原不等式成立．题型3 均值不等式与柯西不等式的应用 例3 求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3. 证明：∵ (12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c)2， ∴ a 2＋b 2＋c 23≥（a ＋b ＋c ）29，即a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.变式训练若实数x 、y 、z 满足x ＋2y ＋3z ＝a(a 为常数)，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解：∵ (12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z)2＝a 2，即14(x 2＋y 2＋z 2)≥a 2， ∴ x 2＋y 2＋z 2≥a 214，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为a 214.备选变式（教师专享）用数学归纳法证明：当n 是不小于5的自然数时，总有2n >n 2成立． 证明：(1) 当n ＝5时，25>52，结论成立．(2) 假设当n ＝k(k ∈N ，k ≥5)时，结论成立，即有2k >k 2，那么当n ＝k ＋1时，左边＝2k ＋1＝2·2k >2·k 2＝(k ＋1)2＋(k 2－2k －1)＝(k ＋1)2＋(k －1－2)(k －1＋2)>(k ＋1)2＝右边.∴ 也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立．∴ 由(1)、(2)可知，不等式 2n >n 2对n ∈N ，n ≥5时恒成立．例4 求函数y ＝1－x ＋4＋2x 的最大值．解：∵y 2＝(1－x ＋2·2＋x)2≤[12＋(2)2](1－x ＋2＋x)＝3×3，∴ y ≤3，当且仅当11－x ＝22＋x时取“＝”号，即当x ＝0时，y max ＝3.备选变式（教师专享）(2011·湖南改编)设x 、y ∈R ，求⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值． 解：由柯西不等式，得⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2≥(1＋2)2＝9.∴ ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为9.1. (2013·陕西)已知a 、b 、m 、n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，求(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值．解：利用柯西不等式求解，(am ＋bn)(an ＋bm)≥(am·an ＋bn·bm)2＝mn·(a ＋b)2＝2·1＝2，且仅当am an ＝bn bmm ＝n 时取最小值2.2. (2013·湖北)设x 、y 、z ∈R ，且满足x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值．解：由柯西不等式可知(x ＋2y ＋3z)2＝14≤(x 2＋y 2＋z 2)·(12＋22＋32)，因为x 2＋y 2＋z 2＝1，所以当且仅当x 1＝y 2＝z3时取等号．此时y ＝2x ，z ＝3x 代入x ＋2y ＋3z ＝14得x ＝1414，即y ＝21414，z ＝31414， 所以x ＋y ＋z ＝3147. 3. (2013·江苏)已知a ≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：∵ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ＝(2a 3－2ab 2)＋(a 2b －b 3) ＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a ＋b)(a －b)(2a ＋b)，又a ≥b>0，∴ a ＋b>0，a －b ≥0，2a ＋b ≥0， ∴ (a ＋b)(a －b)(2a ＋b)≥0， ∴ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， ∴ 2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b. 4. (2013·新课标Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1) ab ＋bc ＋ca ≤13；(2) a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1) 由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca. 由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2) 因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a ＋b ＋c)， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c. 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.1. 已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求证：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)≥27. 证明：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立)． 2. 已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1) 求m 的值；(2) 若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1) ∵ f(x ＋2)＝m －|x|≥0，∴ |x|≤m ，∴ m ≥0，－m ≤x ≤m ，∴ f(x ＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m ＝1.(2) 由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，a 、b 、c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥(a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9. 3. 已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1(1) 若2x 2＋3y 2＋6z 2＝1，求x ，y ，z 的值．(2) 若2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，求正数t 的取值范围．解：(1) ∵ (2x 2＋3y 2＋6z 2)(12＋13＋16)≥(x ＋y ＋z)2＝1，当且仅当2x 12＝3y 13＝6z16时取“＝”．∴ 2x ＝3y ＝6z ，又∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x ＝12，y ＝13，z ＝16.(2) ∵ (2x 2＋3y 2＋tz 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋1t ≥(x ＋y ＋z)2＝1，∴ (2x 2＋3y 2＋tz 2)min ＝156＋1t . ∵ 2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立， ∴156＋1t ≥1.∴ t ≥6. 4. (1) 求函数y ＝x －1＋5－x 的最大值；(2) 若函数y ＝a x ＋1＋6－4x 最大值为25，求正数a 的值．解：(1) ∵ (x －1＋5－x)2≤(1＋1)(x －1＋5－x)＝8, ∴ x －1＋5－x ≤2 2. 当且仅当1·x －1＝1·5－x 即x ＝3时，y max ＝2 2.(2) (a x ＋1＋6－4x)2＝⎝⎛⎭⎫a x ＋1＋232－x 2≤(a 2＋4)(x ＋1＋32－x)＝52(a 2＋4)， 由已知52(a 2＋4)＝20得a ＝±2，又∵ a>0，∴ a ＝2.1. 算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n>1且n ∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a nn叫做这n 个正数的算术平均数，na 1a 2…a n 叫做这n 个正数的几何平均数．基本不等式：a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，a i ∈R ＋，1≤i ≤n)．2. 绝对值三角形不等式若a 、b 是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 推论1：|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.推论2：如果a 、b 、c 是实数，那么|a －c|≤|a －b|＋|b －c|，当且仅当(a －b)(b －c)≥0时，等号成立．3. 柯西不等式若a 、b 、c 、d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2. 4. 三角不等式设x 1、y 1、x 2、y 2∈R ，则x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
