高三数学(理科)二轮复习教案专题七第二讲椭圆双曲线抛物线

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线考点1 圆锥曲线的定义及标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[例1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 (2)[2019·全国卷Ⅲ]设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．【解析】 (1)由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.(2)本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．【答案】 (1)B (2)(3，15)求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法． (2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1来说，抓住a 、b 、c 间的关系是关键.『对接训练』1．[2019·江西九江模拟]点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析：当a >0时，可得y ＝112x 2；当a <0时，可得y ＝－136x 2.答案：D2．[2019·吉林长春模拟]双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为( )A.y 24－x 25＝1B.y 25－x 24＝1C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：由题意，可得c ＝3.又由e ＝c a ＝32，得a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选C. 答案：C考点2 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[例2] (1)[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8(2)[2019·全国卷Ⅰ]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．【解析】 (1)本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2＝2p ，解得p ＝8，故选D.(2)本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，平面向量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．通解 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan∠BF 1O ＝ab ，tan∠BOF 2＝b a .因为tan∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a ＝2×a b 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.优解 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt△F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c,0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 【答案】 (1)D (2)2圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.『对接训练』3．[2019·河北衡水中学一模]椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，得5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c 2＝k －5，由c a ＝45，得k －54＋k ＝1625，得k ＝21.综上可知，选C.答案：C4．[2019·全国卷Ⅲ]双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B.322C ．2 2D ．3 2解析：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 答案：A考点3 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．[例3] [2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【解析】 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32， 由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解．提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0.『对接训练』5．[2019·湖北武汉调研]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k2. 又点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k21＋2k 2， 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，得k ＝±1. 所以当△AMN 的面积为103时，k ＝±1.课时作业15 椭圆、双曲线、抛物线1．[2019·江西南昌一模]已知抛物线方程为x 2＝－2y ，则其准线方程为( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝1 C ．y ＝12 D ．y ＝－12解析：由题意得，抛物线的准线方程为y ＝12，故选C.答案：C2．[2019·河南南阳期末]若双曲线y 2a 2－x 29＝1(a >0)的一条渐近线与直线y ＝13x 垂直，则此双曲线的实轴长为( )A ．2B ．4C ．18D ．36解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±a 3x ，由题意可得－a 3×13＝－1，得a ＝9，∴2a ＝18.故选C.答案：C3．[2019·安徽合肥二检]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段F 1A 为直径的圆交线段F 1B 的延长线于点P ，若F 2B ∥AP ，则该椭圆的离心率是( )A.33 B.23 C.32 D.22解析：如图，由题意知，P 为以F 1A 为直径的圆上一点，所以F 1P ⊥AP ，结合F 2B ∥AP 知F 1P ⊥F 2B .又|F 1B |＝|F 2B |，所以△BF 1F 2为等腰直角三角形，所以|OB |＝|OF 2|，即b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，即a ＝2c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝22，故选D.答案：D4．[2019·湖北六校联考]已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 22＝1B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1 解析：依题意得2b ＝22，tan60°＝2c b 2a＝3，于是b ＝2，2c ＝3×2a，∴ac ＝3，a a 2＋2＝3，得a ＝1，因此该双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1，故选D.答案：D5．[2019·湖南四校联考]已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三点，且A ，B 的连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k PA ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k PA ·k PB ＝y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a2＝2，故选C. 答案：C6．[2019·湖南长沙一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，a (a >0)在C上，|AF |＝3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB |＝( )A ．12B ．10C ．9D ．4.5解析：由抛物线的定义知|AF |＝p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，A (1，a )(a ＞0)，则a 2＝8，解得a ＝22或a ＝－22(舍去)，所以A (1,22)．又焦点F (2,0)，所以直线AF 的斜率为－22，直线AF 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线C 的方程y 2＝8x ，得x 2－5x ＋4＝0，所以x A ＋x B ＝5，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝5＋4＝9，故选C.答案：C7．[2019·湖南长沙模拟]已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0解析：由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0，故选A.答案：A8．[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D. 答案：D9．[2019·云南昆明诊断]已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3解析：如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，|BF 1|＝|BF 2|＝a ，所以|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A. 答案：A10．[2019·广东仲元中学模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( )A.13B.23 C.12D ．1 解析：由c a ＝32，得c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，把A ，B 的坐标代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝4b 2，①x 22＋4y 22＝4b 2，②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－－44×2＝12. ∴直线l 的斜率为12.故选C.答案：C11．[2019·河北衡水中学五调]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x解析：如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ，∵F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，∴|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，∴|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理，得b ＝2a ，∴b a＝2， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A12．[2019·重庆七校联考]已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22＝( )A ．4B ．2 3C ．2D ．3解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，不妨设焦点在x 轴上且点P 与点F 2在y 轴同一侧，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，所以在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos∠F 1PF 2，即4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，两边同除以c 2，得3e 21＋1e 22＝4.故选A.答案：A13．[2019·吉林长春质检]若椭圆C 的方程为x 23＋y 24＝1，则其离心率为________．解析：解法一 由已知可得a ＝2，c ＝1，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.解法二 由已知得椭圆C 的离心率e ＝ca＝1－b 2a2＝1－34＝12. 答案：1214．[2019·河南郑州一中摸底测试]从抛物线y ＝14x 2上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5.设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．解析：由题意，得x 2＝4y ，则抛物线的准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，则由抛物线的定义知|PM |＝y 0＋1，所以y 0＝4，所以|x 0|＝4，所以S △MPF ＝12×|PM |×|x 0|＝12×5×4＝10.答案：1015．[2019·河南安阳二模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________． 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1， ∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线C 1的焦点F 的坐标为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1.设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值．易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.答案：216．[2019·辽宁五校协作体联考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线C 虚轴的一个端点，若线段AF 2与双曲线右支交于点B ，且|AF 1BF 1BF 2|＝，则双曲线C 的离心率为________．解析：由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，因为|BF 1BF 2|＝，所以|BF 1|＝4|BF 2|，所以3|BF 2|＝2a .又|AF 1|＝|AF 2|，|AF 1BF 2|＝，所以|AF 2|＝3|BF 2|，所以|AF 2|＝2a .不妨设A (0，b )，因为F 2(c,0)，所以|AF 2|＝b 2＋c 2，所以2a ＝b 2＋c 2，又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝2c 2，所以c 2a 2＝52，所以e ＝c a ＝102，即双曲线C 的离心率为102.答案：102。

∴方程组的解
不妨设A，B.
设点M的坐标为(x，y)，那么A＝，B＝(x，y＋c)．由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是A＝，
B＝(x，x)，由A·B＝－2，得
·x＋·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，得c＝>0，
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
[探究提升](1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，假设能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，那么可考虑用定义法求解或者者用待定系数法求解；否那么利用直接法或者者代入法．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．
【变式训练3】(2021·高考)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．
当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线AM的斜率为－. ∴切点A，切线AM：y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是
y0＝－(2－)＋＝－，
y0＝－＝－.
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B(x2，)，x1≠x2，由N为线段AB中点知
x＝，
y＝.
切线MA、MB的方程为
y＝(x－x1)＋.。

芯衣州星海市涌泉学校第二讲椭圆、双曲线、抛物线研热点〔聚焦打破〕类型一椭圆1．定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．2．标准方程：焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)；焦点不确定：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．3．离心率：e＝＝<1.4．过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为.[例1](2021年高考卷)如图，点F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.(1)假设点Q的坐标是(4，4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．[解析]解法一由条件知，P(－c，)，故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－.因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝x－，故Q(，2a)．由题设知，＝4，2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为＋＝1.解法二设直线x＝与x轴交于点M.由条件知，P(－c，)．因为△PF1F2∽△F2MQ，所以＝，即＝，解得|MQ|＝2a.所以解得故椭圆方程为＋＝1.(2)证明：直线PQ的方程为＝，即y＝x＋a.将上式代入＋＝1得x2＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．跟踪训练1．圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c，0)，假设垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，那么a的值是()A. B．1 C．2 D．4解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，那么由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，∴m＝－1，那么圆心M的坐标为(1，0)．由题意知直线l的方程为x＝－c，又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.答案：C2．(2021年师大附中一测)点P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P点在第一象限时，P点的纵坐标为()A. B.C. D.解析：由题意知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，设点P的纵坐标为yp，由题意易知S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×1＝|F1F2|·yp，所以yp＝＋1＝.答案：A类型二双曲线1．定义式：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．2．标准方程焦点在x轴上：－＝1(a>0，b>0)，焦点在y轴上：－＝1(a>0，b>0)，焦点不明确：mx2＋ny2＝1(mn<0)．3．离心率与渐近线问题(1)焦点到渐近线的间隔为b；(2)e＝＝>1，注意：假设a>b>0，那么1<e<，假设a＝b>0，那么e＝，假设b>a>0，那么e>.；(3)焦点在x轴上，渐近线的斜率k＝±，焦点在y轴上，渐近线的斜率k＝±；(4)与－＝1一一共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．[例2](1)(2021年高考卷)双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，那么C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1(2)(2021年高考卷)在平面直角坐标系xOy中，假设双曲线－＝1的离心率为，那么m的值是________．[解析](1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵双曲线－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝，故应选A.(2)建立关于m的方程．∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝＝＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.[答案](1)A(2)2跟踪训练1．(2021年模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，作圆x2＋y2＝a2的切线FM交y轴于点P，切圆于点M，，那么双曲线的离心率是()A. B.C．2 D.解析：由条件知，点M为直角三角形OFP斜边PF的中点，故OF＝OM，即c＝a，所以双曲线的离心率为.答案：A2．双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，那么双曲线的渐近线方程为__________________．解析：根据得点P的坐标为(c，±)，那么|PF2|＝，又∠PF1F2＝，那么|PF1|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：y＝±x类型三抛物线1．定义式：|PF|＝d.2．根据焦点及开口确定标准方程．注意p>0时才有几何意义，即焦点到准线的间隔．3．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A、B两点，那么有：(1)通径的长为2p；(2)焦点弦公式：|AB|＝x1＋x2＋p＝；(3)x1x2＝，y1y2＝－p2；(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切；(5)＋＝.[例3](2021年高考卷)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．[解析](1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，那么x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12.因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明：证法一由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，那么x0≠0，y0＝x，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由，,y＝－1))得－4,2x0)，,y＝－1.))所以Q为(－4,2x0)，－1)．⋅=0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．设M(0，y1)，令MP MQ由于MP=(x0，y0－y1)，MQ=(－4,2x0)，－1－y1)，⋅=0，得－4,2)－y0－y0y1＋y1＋y＝0，由MP MQ即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0. (*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以＋y1－2＝0，))解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．证法二由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，那么x0≠0，y0＝x，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由,y＝－1))，得－4,2x0)，,y＝－1.))所以Q为(－4,2x0)，－1)．取x0＝2，此时P(2，1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于点M1(0，1)、M2(0，－1)；取x0＝1，此时P(1，)，Q(－，－1)，以PQ为直径的圆为(x＋)2＋(y＋)2＝，交y轴于点M3(0，1)、M4(0，－)．故假设满足条件的点M存在，只能是M(0，1)．以下证明点M(0，1)就是所要求的点．因为MP=(x0，y0－1)，MQ=(－4,2x0)，－2)，=－4,2)－2y0＋2所以MP MQ＝2y0－2－2y0＋2＝0.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．跟踪训练(2021年模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，那么此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x解析：过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，那么依题意得＝＝，所以|BB1|＝|FF1|＝，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|＝.令A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意知F(，0)，可设直线l的方程为y＝k(x－)．联立方程，消去y得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，那么x1＋x2＝，x1·x2＝.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，那么可得＋＝，于是有＋＝，解得2p＝3，所以此抛物线的方程是y2＝3x，选C.答案：C析典题〔预测高考〕高考真题【真题】(2021年高考卷)椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有一样的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C1和C2上，2OBOA =，求直线AB 的方程．【解析】(1)由可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，解得a ＝4.故椭圆C2的方程为＋＝1. (2)解法一A ，B 两点的坐标分别记为(xA ，yA)，(xB ，yB)，由2OB OA =及(1)知，O ，A ，B 三点一一共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx.将y ＝kx 代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x ＝.将y ＝kx 代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x ＝.又由2OB OA =，得x ＝4x ，即＝，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或者者y ＝－x.解法二A ，B 两点的坐标分别记为(xA ，yA)，(xB ，yB)，由2OB OA =及(1)知，O ，A ，B 三点一一共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx.将y ＝kx 代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x ＝.由2OB OA =，得x ＝，y ＝.将x ，y 代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或者者y ＝－x.【名师点睛】此题主要考察椭圆的简单性质及直线与椭圆的位置关系的应用．考察化归思想及运算求解才能．难度中上．此题(2)中＝2的作用是：一是说明直线AB 过原点可设出直线AB 的方程．二是利用向量知识可得A 、B 点之间横坐标的关系以便建立方程求斜率k.考情展望高考对椭圆、双曲线、抛物线的考察，各种题型都有．选择、填空中主要考察这三种圆锥曲线的定义及几何性质与应用．解答题中着重考察直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，涉及方程求法、范围、最值、定点、定值的探究与证明问题等内容．难度中上．名师押题【押题】抛物线C ：y2＝2px(p>0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO|＝|BO|＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)假设P 为抛物线C 上的动点，求PM PF ⋅的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．【解析】(1)易得B(1，)，A(－1，－)，设圆M 的方程为(x －a)2＋y2＝a2(a>0)，将点B(1，)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，因为点A(－1，－)在准线l 上，所以＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y2＝4x.(2)由(1)得，M(2，0)，F(1，0)，设点P(x ，y)，那么PM =(2－x ，－y)，＝(1－x ，－y)，又点P 在抛物线y2＝4x 上，所以PF ＝(2－x)(－x)＋y2＝x2－3x ＋2＋4x ＝x2＋x ＋2，因为x≥0，所以PMPF ⋅≥2，即PM PF ⋅的最小值为2.(3)设点Q(－1，m)，那么|QS|＝|QT|＝，以Q 为圆心，为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m)2＝m2＋5，即x2＋y2＋2x －2my －4＝0①又圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x ＝0②由①②两式相减即得直线ST 的方程：3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点(，0)．。