河南省中考数学压轴题图形规律探索题含解析强烈推荐

2023年河南省各地市中考数学三模压轴题精选之四边形和相似三角形1.(2023·河南省商丘市·三模)如图，平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作∠ABO的平分线，交OA于点P，交AC于点Q.若OP=2，则点Q的坐标为( )A. (3,2)B. (2+1,1)C. (2+2,2)D. (3,1)2.(2023·河南省天宏大联考·三模)如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若∠ABC=120°，AB=2，则PE―PF的值为( )A. 32B. 3 C. 2 D. 523.(2023·河南省天一大联考·三模)如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF//AB交AC于点E，交BC于点F，若AD=5，则DF的长为( )A. 32B. 3+3C. 4+3D. 3+324.(2023·河南省天宏大联考·三模)如图，在△ABC中，OA=4，OB=3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ=∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是______．5.(2023·河南省天一大联考·三模)如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，BC=1，点E是直线AB上一点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠，点B落在点B′处，若四边形BEB′C是菱形，则CE的长为______．6.(2023·河南省商丘市·三模)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD=6，∠ABD=30°，点E为CD 的中点，点P为BC，AB上一个动点，将△PEC沿PE折叠得到△PEQ，点C的对应点为点Q，当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，PC的长为______．7.(2023·河南省郑州市外国语学校·三模)如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点E是边AC 上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是．8.(2023·河南省郑州一中·三模)如图，在△ABC中，AB=AC=3+1，∠BAC=120°，P、Q是边BC上两点，将△ABP沿直线AP折叠，△ACQ沿直线AQ折叠，使得B、C的对应点重合于点R.当△PQR为直角三角形时，线段AP的长为______．9.(2023·河南省洛阳市·三模)如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F.且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H.EN=1，AB=4，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．10.(2023·河南省濮阳市·三模)矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为______．11.(2023·河南省商丘一中·三模)折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A=60°，AC=1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPB，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC 时，AP的长为______．12.(2023·河南省驻马店市二中·三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，AC=12，E为AB上的点，将EB绕点E在平面内旋转，点B的对应点为点D，且点D在△ABC的边上，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．13.(2023·河南省驻马店市确山县·三模)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=23，∠B=30°，点D在AB上且AD=2，点P为AC的中点，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ、DQ.当∠DAQ=60°时，DQ的长为______．14.(2023·河南省周口市西华县·三模)如图1，将两个等腰直角△ABC和△DEF如图1放置，∠C=∠F=90°，AC=DF=2，D为AB的中点.如图2，将△DEF绕点D在平面内旋转，当△DEF的边恰好经过点C时，AF的长为______．15.(2023·河南省天宏大联考·三模)(1)如图1，正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB>DE)，连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系______，位置关系______；(2)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG，3AB=2DE，DC=DG，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，连接AG，CE交于点H，(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG=6，3AB=2DE=12，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，直线AG，CE交于点H，当点B、E、G在同一条直线上时，请直接写出线段BE的长．16.(2023·河南省天一大联考·三模)综合与实践【问题发现】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于点O.试猜想线段EG与FH的数量关系为______；【类比探究】(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，连接EG，FH，且EG⊥FH，垂足为O.试写出线段EG与FH的数量关系，并说明理由；【拓展应用】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=60°，点M，N分别在边AB，BC上，连接CM，DN，且CM⊥DN，垂足为O.已知AB=3，BC=DC=4，若点M为AB的三等分点，直接写出线段DN的长．17.(2023·河南省郑州市外国语学校·三模)【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图1，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6，点M和点P分别是斜边AB上的动点，并且满足AM=BP，分别过点M和点P作AC边的垂线，垂足分别为点N和点Q，那么MN+PQ的值是一个定值．问题：若AM=BP=2时，MN+PQ值为______；【操作探究】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AB=m；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当AM=BP时，MN+PQ的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图2进行证明，并用含α和m的式子表示MN+PQ的值．【解决问题】如图3，在菱形ABCD中，AB=8，BD=14.若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM=BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为______．18.(2023·河南省郑州市十九中·三模)如图，在矩形ABCD中，点M、N分别为AD、BC上的点，将矩形ABCD 沿MN折叠，使点B落在CD边上的点E处(不与点C，D重合)，连接BE，过点M作MH⊥BC于点H．(1)如图①，若BC=AB，求证：△EBC≌△NMH；(2)如图②，当BC=2AB时，①求证：△EBC∽△NMH；②若点E为CD的三等分点，请直接写出AM的值．BN【问题背景】如图(1)，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边上的点C′处．(1)【问题解决】填空：AC′的长为______；(2)如图(2)，展开后，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C′的对应点与点B重合，得到△D′BE′，D′E′与BC 交于点F，求线段EF的长．(3)【拓展探究】如图(3)，在△DC′E沿射线AB向右平移的过程中，设点C′的对应点为C″，则当△D′C″E′在线段BC上截得的线段PQ的长度为1时，直接写出平移的距离．=k，F是AC边上一动点，将△AFB沿着BF翻折得点A 【问题情景】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,ACBC的对应点D，连接CD，将射线CD绕点C顺时针旋转90°交BF于点E．【问题发现】(1)如图1，若k=1，设∠ABF=α．①求∠DAC的度数.(用含α的式子表示)②求证：CD=CE．【拓展应用】(2)如图2，若k=3，BC=2，在点F移动的过程中，当△ACD为直角三角形时，请直接写出BE的长．21.(2023·河南省商丘一中·三模)如图，矩形ABCD中，点M为CD上一点，AM⊥BM，点P为直线CD上一个动点，将射线PB绕点P逆时针旋转90°交直线AM于点Q．(1)当△AMB为等腰直角三角形时，①如图1，当点Q落在线段MA上时，试判断MB，MQ，MP的数量关系______；②如图2，当点Q落在射线MA上时，①中的结论是否变化，若不变，请证明.若变化，请说明理由；(2)如图3，若其他条件不变，Rt△AMB中，∠ABM=60°，AB=4，MQ=3，请直接写出MP的长．22.(2023·河南省周口市西华县·三模)实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．(1)折痕BM______(填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答______；进一步计算出∠MNE=______；(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN=______；拓展延伸：(3)如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA′交ST于点O，连接AT、A′S.求证：四边形SATA′是菱形．解决问题：(4)如图④，矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB 边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值______．23.(2023·河南省驻马店二中·三模)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是(美)乔治⋅波利亚.本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题(有些是非数学的))进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型．共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形．共高定理：如图①，设点M在直线AB上，点P为直线外一点，则有S△PAMS△PBM =AMBM．下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作PQ⊥AB于点Q，……按要求完成下列任务：(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；(2)如图②，△ABC，①画出∠BAC的平分线(不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)；②若∠BAC的平分线交BC于D，求证：ABAC =BDCD．(3)如图③，E是平行四边形ABCD边CD上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，CF，若△ADE的面积为2，则△CEF的面积为______．24.(2023·河南省新乡市封丘县·三模)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：正方形透明纸片ABCD，点E在BC边上，如图1，连接AE，沿经过点B的直线折叠，使点E的对应点E′落AE在上，如图2，把纸片展平，得到折痕BF，如图3，折痕BF交AE于点G．根据以上操作，请直接写出图3中AE与BF的位置关系：______，BE与CF的数量关系：______．(2)迁移探究小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下：将矩形透明纸片ABCD按照(1)中的方式操作，得到折痕BF，折痕BF交AE于点G，如图4.若mAB=nAD，改变点E在BC上的位置，那么BFAE 的值是否能用含m，n的代数式表示？如果能，请推理BFAE的值，如果不能，请说明理由；(3)拓展应用如图5，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D 向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：______，点G的运动路径长度为：______(直接写出答案即可)．参考答案1.【答案】B【解析】解：如图，过顶点P作PE⊥OB于点E，∵四边形ABCD为正方形，∴OC=BC=AB=OA，∠OAB=90°，∴∠AOB=45°，∵PE⊥OB，∴△OPE为等腰直角三角形，∴PE=OP2=22=2，∵BP为∠ABO的平分线，PA⊥AB，PE⊥OB，∴PE=PA=2，∴OA=OP+PA=2+2，∴C(0,2+2)，A(2+2,0)，P(2,0)，B(2+2,2+2)，设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将C(0,2+2)，A(2+2,0)代入得，b=2+2(2+2)k+b=0，解得：k=―1b=2+2，∴直线AC的解析式为y=―x+2+2，设直线BP的解析式为y=mx+n(m≠0)，将P(2,0)，B(2+2,2+2)代入得，2m+n=0(2+2)m+n=2+2，解得：m=2+1n=―22―2，∴直线BP的解析式为y=(2+1)x―22―2，联立直线AC 与直线BP 的解析式得，y =―x +2+ 2y =( 2+1)x ―2 2―2，解得：x = 2+1y =1，∴Q( 2+1,1)．故选：B ．过顶点P 作PE ⊥OB 于点E ，根据矩形的性质可得∠AOB =45°，则△OPE 为等腰直角三角形，PE =OP 2= 2，根据角平分线的性质可得PE =PA = 2，进而求出OA =2+ 2，于是C(0,2+ 2)，A(2+ 2,0)，P(2,0)，B(2+ 2,2+ 2)再利用待定系数法分别求出直线AC 与直线BP 的解析式，最后联立求解即可．本题主要考查正方形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、用待定系数法求一次函数解析式，解题关键是利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键．2.【答案】B【解析】解：设AC 交BD 于O ，如图：∵菱形ABCD ，∠ABC =120°，AB =2，∴∠BAD =∠BCD =60°，∠DAC =∠DCA =30°，AD =AB =2，BD ⊥AC ，Rt △AOD 中，OD =12AD =1，OA = AD 2―OA 2= 3，∴AC =2OA =2 3，Rt △APE 中，∠DAC =30°，PE =12AP ，Rt △CPF 中，∠PCF =∠DCA =30°，PF =12CP ，∴PE ―PF =12AP ―12CP =12(AP ―CP)=12AC ，∴PE ―PF = 3，故选：B ．设AC 交BD 于O ，根据已知可得AC =2 3，而PE ―PF =12AP ―12CP =12(AP ―CP)=12AC ，即可得到答案．本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC ，把PE ―PF 转化为12AC ．3.【答案】C【解析】解：在等边△ABC 中，AB =BC =AC =8，在等腰△ADC 中，AD =DC =5，∴BD 垂直平分AC ，∴AO =4，∠AOD =∠AOB =90°，∴∠ABO =∠CBO =30°，根据勾股定理，得OD = AD 2―AO 2= 52―42=3，BO = AB 2―AO 2= 82―42=4 3，∴BD =3+4 3，∵DF//AB ，∴∠FDB =∠ABD =30°，∴∠FDB =∠FBD =30°，∴DF =BF ，过点F 作FH ⊥BD 于点H ，则H 是BD 的中点，∴DH =12BD =3+432，设DF =x ，则FH =12x ，根据勾股定理，得(12x )2+(3+4 32)2=x 2，解得x =4+ 3或x =―4― 3(舍去)，∴DF =4+ 3，故选：C ．根据等边三角形和等腰三角形的性质可知BD 垂直平分AC ，再根据勾股定理求出OD 和BO 的长，进一步可得BD 的长，根据平行线的性质进一步可得DF =BF ，过点F 作FH ⊥BD 于点H ，根据等腰三角形的性质可得DH 的长，设DF =x ，则FH =12x ，根据勾股定理列方程，求解即可．本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．4.【答案】1或78【解析】【分析】分为三种情况：①PQ =BP ，②BQ =QP ，③BQ =BP ，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，题目综合性比较强，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．【解答】解：∵OA=4，OB=3，C点与A点关于直线OB对称，∴BC=AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB=PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO=∠BCO，∵∠BPQ=∠BAO，∴∠BPQ=∠BCO，∵∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠BCO+∠CBP，∴∠APQ=∠CBP，在△APQ与△CBP中，∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP(AAS)，∴PA=BC=5，此时OP=5―4=1；②当BQ=BP时，∠BPQ=∠BQP，∵∠BPQ=∠BAO，∴∠BAO=∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP>∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB=QP时，∠QBP=∠BPQ=∠BAO，∴PB=PA，设OP=x，则PB=PA=4―x在Rt△OBP中，PB2=OP2+OB2，∴(4―x)2=x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，．此时OP=78∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或7．8故答案为：1或7．85.【答案】1【解析】解：∵四边形BEB′C是菱形，∴BC=BE=B′E=B′C=1，∵∠B=60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE=BC=1，故答案为：1．根据菱形的性质证明△BCE是等边三角形，进而可以解决问题．本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．6.【答案】3或63【解析】解：当点P在BC上时，如图：由折叠的性质可知，DE=EQ，PC=PQ，∠EQP=90°，∵∠ABD=30°，四边形ABCD是矩形，∴∠EDQ=∠EQD=30°，∠PBQ=60°，∴∠PQB=60°，∴△PBQ是等边三角形，BC=3，∴PC=PQ=PB=12当点P在AB上时，Q刚好和点D重合，如图：由勾股定理得AB=63，∵E是中点，∴DE=33，由折叠的性质知PE⊥DC，在Rt△PEC中，CE=33，PE=6，∴PC=CE2+PE2=63．故答案为：3或63．分两种情况讨论，当点P在BC上时，可得△PBQ是等边三角形，从而得出PC=PQ=PB，此时PC=3，当点P在AB上时，Q刚好和点D重合，此时PC=63．本题考查矩形的性质和折叠的性质及勾股定理，本题要数形结合即可解答．7.【答案】2【解析】【分析】取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，可证得△BCF≌△BDE(SAS)，得出CF=DE，当且仅当AD=2为DE的最小值，即可得出CF的最小值为2．DE⊥AC，即点E与点H重合时，DE=DH=12本题考查了直角三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．【解答】解：如图，取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，则AD =BD =12AB ，∠AHD =∠ACB =90°，∵∠A =30°，BC =4，∴AB =2BC =8，∠ABC =90°―30°=60°，由旋转得：BF =BE ，∠EBF =60°，∴∠EBC +∠CBF =60°，∵∠EBC +∠DBE =60°，∴∠CBF =∠DBE ，∵AD =BD =12AB =4，∴BC =BD ，在△BCF 和△BDE 中BF =BE ∠CBF =∠DBE BC =BD∴△BCF ≌△BDE(SAS)，∴CF =DE ，当且仅当DE ⊥AC ，即点E 与点H 重合时，DE =DH =12AD =2为DE 的最小值，∴CF 的最小值为2．故答案为：2．8.【答案】 2或 6+ 22【解析】【分析】由翻折的性质，等腰三角形的性质可得∠PRQ =60°，要使△PQR 为直角三角形，于是有两种情况：即∠RPQ =90°或∠RQP =90°，分别画出相应的图形，根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可．本题考查翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，掌握翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的前提．【解答】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由翻折可知，∠ARQ =∠C ，∠ARP =∠B ，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC = 3+1，∴∠B =∠C =30°，AD =12AB = 3+12，BD =CD = 32AB =3+32，∴∠PRQ =∠B +∠C =60°，①当∠RPQ =90°时，如图1，设AR 与BC 交于点E ，∴RP//AD ，∴∠EAD =∠ERP =∠B =30°，在Rt △ADE 中，AD =3+12，∠EAD =30°，∴DE = 33AD =3+ 36，设BP =a ，则PR =a ，PE =BD ―BP ―DE =3+ 32―a ―3+ 36=3+33―a ，在Rt △PRE 中，∠PRE =30°，∴PR = 3PE ，即a = 3×(3+33―a)，解得a =1，∴BP =PR =1，PE =3+ 33―1=33，∴PD =PE +DE = 33+3+ 36=3+12=AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，∴AP = 2AD = 6+22；②当∠RQP =90°时，如图2，由①可得，CQ =QR =1，DQ =AD =3+12，设PD =b ，则BP =PR =BD ―PD =3+32―b ，在Rt △PQR 中，由勾股定理得，PR 2―PQ 2=QR 2，即(3+ 32―b )2―( 3+12+b )2=1，解得b =3―12，即PD =3―12，在Rt △APD 中，由勾股定理得，AP 2=AD 2+PD 2=( 3+12)2+(3―12)2=2，∴AP=2，综上所述，AP=2或AP=6+22，故答案为：2或6+22．9.【答案】73―12或3【解析】【分析】根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN=∠MNG，得到MG=NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，根据勾股定理列方程求出x即可．本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．【解答】解：当HN=13GN时，GH=2HN，∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，∴MF=MD，CN=EN，∠E=∠C=∠D=∠MFE=90°，∠DMN=∠GMN，AD//BC，∴∠GFH=90°，∠DMN=∠MNG，∴∠GMN=∠MNG，∴MG=NG，∵∠GFH=∠E=90°，∠FHG=∠EHN，∴△FGH∽△ENH，∴FG EN =GHHN=2，∴FG=2EN=2，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，则MG =GN =x +2，∴CG =x +3，∴PM =3，∵GP 2+PM 2=MG 2，∴42+32=(x +2)2，解得：x =3或―7(舍去)，∴MD =3；当GH =13GN 时，HN =2GH ，∵△FGH ∽△ENH ，∴FG EN =GH HN =12，∴FG =12EN =12，∴MG =GN =x +12，∴CG =x +32，∴PM =32，∵GP 2+PM 2=MG 2，∴42+(32)2=(x +12)2，解得：x =73―12或― 73―12(舍去)，∴MD = 73―12；故答案为：73―12或3．10.【答案】0.5或1.5【解析】解：①∠BMG 是直角，如图，过O 点作OH ⊥BC 于H ，∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴AC=5，∴BH=CH=2，∴CO=2.5，∴OH=1.5，由折叠的性质可得∠OMH=45°，∴MH=OH=1.5，∴BM=BH―MH=4―2―1.5=0.5；②∠BGM是直角，如图，由折叠的性质可得OE=OC=2.5，∠ACB=∠E，∵∠ABC=∠EGO=90°，∴△OEG∽△ACB，∴OG：OE=AB：AC，即OG：2.5=3：5，解得OG=1.5，∴BG=2.5―1.5=1，∵∠ACB=∠MBG，∠ABC=∠MGB=90°，∴△ABC∽△MGB，∴BM：BG=CA：CB，即BM：1=5：4，解得BM=1.25．综上所述，线段BM的长为0.5或1.25．故答案为：0.5或1.25．分两种情况：①∠BMG是直角和②∠BGM是直角，进行讨论即可求解．本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，勾股定理是解决问题的关键．11.【答案】12或32【解析】【分析】分两种情形：如图1中，当DP ⊥BC ，延长DP 交BC 于点J.如图2中，当PD ⊥BC 于点J 时，分别求出PB ，可得结论．本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图1中，当DP ⊥BC ，延长DP 交BC 于点J ．∵∠C =90°，AC =1，∠A =60°，∴∠B =30°，∴AB =2AC =2，BC = 3AC = 3，由翻折变换的性质可知，∠D =∠B =30°，DM =BM =32，∴JM =12DM =34，∴BJ =BM ―JM =34，∴PB =BJ cos 30∘=12，∴AP =AB ―PB =2―12=32．如图2中，当PD ⊥BC 于点J 时，同法可得MJ =JC =34，∴BJ =334，∴PB =BJ cos 30∘=32，∴AP =AB ―PB =2―32=12．综上所述，AP 的值为12或32．故答案为：12或32．12.【答案】458或457【解析】解：∵∠ACB =90°，AB =15，AC =12，∴BC = 152―122=9.△ADE 为直角三角形时分两种情况：①如图，当∠ADE =90°时，设DE =x =BE ，由∠ADE =∠ACB ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE CB =AE AB，∴x 9=15―x 15，解得x =458；②当∠AED =90°时，设DE =y =BE ，同理可得：△AED ∽△ACB ，∴DE CB =AE AC，∴y 9=15―y 12，解得y =457．故答案为：458或457．先求解BC =9，再分两种情况讨论：如图，当∠ADE =90°时，当∠AED =90°时，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，作出正确的图形是解本题的关键．13.【答案】 7或 3【解析】解：∵∠ACB =90°，BC =2 3，∠B =30°，点P 为AC 的中点，∴∠BAC =60°，AC =BC ⋅tan30°=2，AP =12AC =1，AB AC 2+BC 2= 22+(2 3)2=4．∵AD =2，∴D 是AB 的中点．当∠DAQ =60°时，存在两种情况，当点Q 与点P 重合时，如图1所示，AQ =AP =1，此时DQ 为△ABC 的中位线，∴DQ=1BC=3；2当点Q在AP延长线上时，连接DP、DQ，如图2所示，∵PD为△ABC的中位线，∴PD//BC，∴∠DPQ+∠ACB=180°，∴∠DPQ=90°，∴DQ=PD2+PQ2=(3)2+22=7，综上，DQ的长为7或3，故答案为：7或3．AC=1，AB AC2+BC2=根据直角三角形的性质得到∠BAC=60°，AC=BC⋅tan30°=2，AP=1222+(23)2=4.求得D是AB的中点．当∠DAQ=60°时，存在两种情况，当点Q与点P重合时，如图1所示，AQ=AP=1，当点Q在AP延长线上时，连接DP、DQ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．14.【答案】2或6【解析】【分析】分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=2，利用勾股定理和平行四边形的性质可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【解答】解：如图，当点C落在DF上时，∵AC=DF=2，∠CAB=∠EDF=45°，∠ACB=∠DFE=90°，△ACB和△DFE都是等腰直角三角形，∴AB=DE=22，∵点D是AB的中点，∴AD=CD=2，∴AF=AD2+DF2=2+4=6；当点C落在DE上时，连接CF，∵DE=AB=22，CD=2，∴CE=CD=2，∵△EFD是等腰直角三角形，∴CF=CD=2=AD，CF⊥DE，∴CF//AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF=CD=2，故答案为：2或6．15.【答案】相等垂直【解析】解：(1)如图1，在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，即∠ADG=∠CDE，∵DG=DE，DA=DC，∴△GDA≌△EDC(SAS)，∴AG=CE，∠GAD=∠ECD，∵∠COD=∠AOH，∴∠AHO=∠CDO=90°，∴AG⊥CE，故答案为：相等，垂直；(2)不成立，新结论：3CE=2AG，AG⊥CE，理由如下：如图2，由(1)知，∠EDC=∠ADG，∵3AD=2DG，3AB=2DE，AD=DE，∴DG AD =32，DECD=DEAB=32，∴DG AD =EDDC=32，∴△GDA ∽△EDC ，∴AG CE =AD DC =32，即3CE =2AG ，∵△GDA ∽△EDC ，∴∠ECD =∠GAD ，∵∠COD =∠AOH ，∴∠AHO =∠CDO =90°，∴AG ⊥CE ；(3)①当点G 在线段BE 上时，如图3―1，连接BD ，过点D 作DT ⊥BE 于点T ．∵3AD =2DG =6，3AB =2DE =12，∴AD =2，DG =3，AB =4，DE =6，∵∠A =∠EDG =90°，∴BD = AD 2+AB 2= 22+42=2 5，EG = DG 2+DE 2= 32+62=3 5，∵DT ⊥EG ，∴12⋅DE ⋅DG =12⋅EG ⋅DT ，∴DT =3×63 5=6 55，∴ET =DE 2―DT 2=12 55，BT =BD 2―DT 2=(25)2―(655)2=855，∴BE =ET +BT =4 5．②当点G在EB放延长线上时，如图3―2，同法可得BE=ET―BT=1255―855=455，综上所述，满足条件的BE的值为45或455．(1)证明△GDA≌△EDC(SAS)，即可求解；(2)根据两边对应成比例且夹角相等证明△GDA∽△EDC，即可求解；(3)①当点G在线段BE上时，如图3―1，利用勾股定理求出ET，TB即可；②当点G在EB的延长线上时，如图3―2，同法可解．本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中(3)正确画图和分类讨论是解题的关键．16.【答案】EG=FH【解析】(1)证明：过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴MG=HN，∵HF⊥EG，∴∠MGE=∠NHF，∴△HFN≌△GEM(ASA)，∴HF=EG；故答案为：HF=EG；(2)解：EG=2FH；理由：过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P，由(1)可得，∠QHF=∠PGE，∴△QHF∽△PGE，∴HF GE =HQPG，∵AB=a，BC=2a，∴PG=2a，HQ=a，∴HF GE =a2a=12；∴EG=2FH；(3)解：如图3，过点D作DS⊥BC于S，∴∠DSN=∠DSC=∠B=90°，∵∠DCS=60°，CD=4，∴DS=32CD=23，∵点M为AB的三等分点，AB=3，∴BM=2或BM=1，∵BC=4，∴CM=BC2+BM2=25或17，由(1)知△BCM∽△SDN，∴CM DN =BCSD，∴25DN =423或17DN=423，解得DN=15或512．(1)过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M，证明△HFN≌△GEM(ASA)即可求解；(2)过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P，由(1)可得△QHF∽△PGE；(3)如图3，过点D作DS⊥BC于S，根据垂直的定义得到∠DSN=∠DSC=∠B=90°，根据已知条件得到BM=2或BM=1，根据勾股定理得到CM=BC2+BM2=25或17，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．17.【答案】解：【问题发现】3；【操作探究】对，证明：∵MN⊥AC于点N，PQ⊥AC于点Q，AM=BP，∴∠ANM=∠AQP=∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，△APQ∽△ABC，∴MNBC =AMAB，PQBC=APAB，∵AP=AM+MP=BP+MP=MB，∴PQ BC =MBAB，∴MNBC +PQBC=AMAB+MBAB=ABAB=1，∴MN+PQ=BC，∵BCAB=sinA，∠A=α，AB=m，∴BC=AB⋅sinA=m⋅sinα，∴MN+PQ=m⋅sinα，∴MN+PQ的值为定值，MN+PQ=m⋅sinα．【解决问题】15．【解析】【分析】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．【问题发现】由∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∠A =30°，得MN =12AM ，PQ =12AP =12(AM +PM)，而AM =BP ，则MN +PQ =12AM +12BM =12AB =3，于是得到问题的答案．【操作探究】由∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∠A =∠A ，可证明△AMN ∽△ABC ，△APQ ∽△ABC ，得MN BC=AM AB ，PQ BC =APBC ，因为AP =AM +MP =BP +MP =MB ，则PQ BC =MB AB ，于是可推导出MN BC +PQ BC =AB AB=1，所以MN +PQ =BC =m ⋅sinα；【解决问题】连AC 交BC 于点O ，在BC 上截取BL =DM ，作LI ⊥BO 于点I ，由菱形的性质得BC =AB =AD =8，BO =DO =12BD =7，∠BOC =90°，可求得CO = BC 2―BO 2= 15，再由AD =BC ，AM =BN ，证明DM =CN ，再证明△BLI ≌△DME ，得LI =ME ，则BL =CN ，由∠BOC =90°，LI ⊥BO ，NF ⊥BO ，得LI +NF =CO = 15，则ME +NF = 15．【解答】解：【问题发现】∵MN ⊥AC 于点N ，PQ ⊥AC 于点Q ，∴∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∵∠A =30°，∴MN =12AM ，PQ =12AP =12(AM +PM)，∵AM =BP ，∴PQ =12(BP +PM)=12BM ，∴MN +PQ =12AM +12BM =12AB ，∵AB =6，∴MN +PQ =12×6=3，故答案为：3．【操作探究】见答案；【解决问题】如图3，连AC 交BC 于点O ，在BC 上截取BL =DM ，作LI ⊥BO 于点I ，∵四边形ABCD 是菱形，AB =8，BD =14，∴BC =AB =AD =8，BO =DO =12BD =12×14=7，AC ⊥BD ，∴∠BOC =90°，∴CO = BC 2―BO 2= 82―72= 15，∵AD =BC ，AM =BN ，∴AD ―AM =BC ―BN ，∴DM =CN ，∵BC//AD ，∴∠LBI =∠MDE ，∵ME ⊥BD ，LI ⊥BO ，∴∠BIL =∠DEM =90°，在△BLI 和△DME 中，∠LBI =∠MDE∠BIL =∠DEM =90°BL =DM ,∴△BLI ≌△DME(AAS)，∴LI =ME ，∵AM =BN ，AD =BC ，∴DM =CN ，∴BL =CN ，∵∠BOC =90°，LI ⊥BO ，NF ⊥BO ，∴△BIL ∽△BFN ∽△BOC ，∴LI CO =BL BC ,NF CO =BN BC ，∴LI CO +NF CO =BL BC +BNBC ，即LI +NF CO =BL +BNBC=1，∴LI +NF =CO = 15，∴ME +NF = 15，故答案为： 15．18.【答案】(1)证明：如图①，BE 与MN 的交点记作点O ，由折叠知，∠BON =90°，∴∠CBE+∠BNM=90°，∵MH⊥BC，∴∠MHN=90°，∴∠HMN+∠BNM=90°，∴∠CBE=∠HMN，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=90°=∠BHM，∴四边形ABHM是矩形，∴AB=MH，∵BC=AB，∴BC=MH，在△EBC和△NMH中，∠C=∠BHMBC=MH∠CBE=∠HMN，∴△EBC≌△NMH(ASA)；(2)①证明：同(1)的方法得，∠C=∠BHM，∠CBE=∠HMN，∴△EBC∽△NMH；②解：设DE=x(x>0)，∵点E为CD的三等分点，Ⅰ、当CE=2DE时，∴CE=2x，CD=3x，∵BC=2BA，∴BC=6x，同①的方法得，四边形CDMH是矩形，∴MH=CD=3x，由①知，△EBC∽△NMH，∴EC NH =BCMH，∴2xNH =6x 3x，∴NH =x ，设AM =y(y >0)，同①的方法得，四边形AMHB 是矩形，∴BH =AM =y ，∴BN =x +y ，∴CN =BC ―BN =5x ―y ，由折叠知，EN =BN =x +y ，在Rt △ECN 中，根据勾股定理得，CN 2+CE 2=EN 2，∴(5x ―y )2+(2x )2=(x +y )2，∴y =73x 或x =0(舍)，∴AM =73x ，BN =x +y =103x ，∴AM BN =73x 103x =710，Ⅱ、当DE =2DE 时，同Ⅰ的方法得．AM BN=3137，即AMBN=710或3137． 【解析】(1)根据同角的余角相等得出∠CBE =∠HMN ，再判断出四边形ABHM 是矩形，得出AB =MH ，进而判断出△EBC ≌△NMH ；(2)①同(1)的方法得，∠C =∠BHM ，∠CBE =∠HMN ，即可得出结论；②设DE =x(x >0)，Ⅰ、当CE =2DE 时，则CE =2x ，CD =3x ，BC =6x ，进而得出MH =CD =3x ，再根据△EBC ∽△NMH ，得出NH =x ，设AM =y(y >0)，表示出BH =AM =y ，BN =x +y ，CN =BC ―BN =5x ―y ，再根据勾股定理得，CN 2+CE 2=EN 2，建立方程得出y =73x 或x =0(舍)，Ⅱ、当DE =2CE 时，同Ⅰ的方法，即可求出答案．此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理得出y =73x 是解本题的关键．19.【答案】解：(1)3．(2)由(1)得：AC′=3，∴BC′=AB ―AC′=2，由折叠的性质得：C′E =CE ，设BE =x ，则C′E =CE =4―x ，在Rt △BEC′中，BE 2+BC′2=C′E 2，即x 2+22=(4―x )2，解得x =32，即BE =32，CE =4―32=52，连接EE′，如图所示：由平移的性质得：E′E =BC′=2，EE′//AB//CD ，D′E′//DE ，∴△FEE′∽△FCD′∽△ECD ，∴EF EE′=CE CD =525=12，∴EF =12EE′=1．(3)45或195．【解析】【分析】本题考查四边形综合，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．(1)由矩形的性质得∠A =90°，AB =CD =5，BC =AD =4，再由折叠的性质得C′D =CD =5，然后由勾股定理求解即可；(2)由折叠的性质得C′E =CE ，设BE =x ，则C′E =CE =4―x ，在Rt △BEC′中，由BE 2+BC′2=C′E 2求出BE =32，CE =52，连接EE′，根据相似三角形的判定可得△FEE′∽△FCD′∽△ECD ，即可求解；(3)分类讨论：当C″在AB 内(B 的左侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得E′E E′Q =45，根据平移的性质和等角对等边的性质可得PQ =QE′=1，即可求得；当C″在射线AB 上(B 的右侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得CD′=2CP ，CD′=34CQ ，求解可得CP =35，即可求得．【解答】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠B =90°，AB =CD =5，BC =AD =4，由折叠的性质得：C′D =CD =5，∴AC′= C′D 2―AD 2= 52―42=3，故答案为：3．(2)见答案．(3)当C″在AB 内(B 的左侧)时，连接EE′，如图所示：由平移的性质得：E′E =C′C″，EE′//AB ，C″E′//C′E ，∴△QEE′∽△QBC″∽△EBC′，∴E′E E ′Q =C′B C ′E =252=45，∵∠CPD′=∠EPE′=∠CED =∠D′E′Q ，∴PQ =QE′=1，∴E′E =45E′Q =45；当C″在射线AB 上(B 的右侧)时，连接EE′，如图，由平移的性质得：E′E =DD′，DE//D′E ，DC′//D′C″，∴△CD′P ∽△CDE ，△CD′Q ∽△AC′D ，。

狂押到底·扫扫刊——数学特殊题型猜押题型一几何图形的折叠与动点问题1.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，点P在线段BC上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），设BP=x，当点E落在线段AB 上，点F落在线段AD上时，x的取值范围是.第1题图第2题图2.已知三角形纸片（△ABC）中，AB=AC=5，BC=8，点E、F分别为线段AB、BC上的动点，将三角形沿折痕EF折叠，使得点B落在边AC上，记为点B΄，若以点B΄、F、C为顶点的三角形与△ABC，则CF的长为.题型二特殊四边形的探究题1.如图，已知∆ABC，过点B作DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点，连接DE.（1）求证：BC=DE；（2）填空：①连接AD、BE，当△ABC满足条件，四边形DBEA是矩形，②在①的条件下，当∠C=______.四边形DBEA是正方形．第1题图2.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线BD =8cm ，AC =4cm ，点E 从点B 出发沿BD 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，同时点F 从点D 出发沿DB 方向以同样的速度向点B 运动，设点E 、F 运动的时间为t （s ），其中0＜t ＜8. （1）求证：△BEC ≌△DF A ； （2）填空：①以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形一定是 形；②当t 的值为 时，以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为矩形.第2题图题型三 类比、拓展探究题1.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图①，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是BC 边上一点，AE 与BD 交于点G ，过点E 作EF ⊥AE 交AC 于点F . 若2=CE BE ，求EGEF的值.第1题图（1）尝试探究在图中①，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，作EN ⊥AC 于点N ，则EM 和EN 的数量关系是 ，EGEF的值是 . （2）类比延伸如图②，在原题的条件下，若n CE BE =（n ＞0），则EGEF的值是 （用含n 的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移 如图③，在矩形ABCD 中，过点B 作BH ⊥AC 于点O ，交AD 于点H ，点E 是BC 边上一点，AE 与BH 相交于点G ，过点E 作EF ⊥AE 交AC 于点F ，若a CE BE =，b ABBC=（a ＞0，b ＞0），则EGEF的值是 （用含a 、b 的代数式表示）.2.已知∆ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF.(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；(2)如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.第2题图创新题猜押命题点函数关系式如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，12BE DE=，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A.3+xy=-（44）B.121xyx=--B.C.3+xy=-（44）D.124xyx=--命题点几何动点问题如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，点D为BC 的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当△BDE是直角三角时，t的值为 .名校内部模拟题命题点 二次函数图像与性质（2015信阳中学模拟8题3分）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，其对称轴为x =-3，且过点（-3，0）.下列说法：①abc ＜0；②2a -b =0； ③4a +2b +c ＜0；④若（-5，y 1），（25，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中说法正确的有 （ ）A.4个B.3个C.2个D.1个命题点 概率计算（2015平顶山一模13题3分）一个口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，在随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是 .狂押到底·扫扫刊——数学答案特殊题型猜押题型一 几何图形的折叠与动点问题1.5－21≤x ≤22.1340 题型二 特殊四边形的探究题1.【思路分析】（1）由已知判定四边形DBEA 是平行四边形即可求证；（2）①从矩形的判定着手，对角线相等的四边形是矩形解题；②由①和四边形DBEA 是正方形判断△BEC 是等腰直角三角形即可求解.（1）证明：∵E 是AC 的中点，∴EC =12AC ， 又∵DB =12AC ，∴DB =EC ， 又∵DB ∥AC ，∴四边形DBCE 是平行四边形， ∴BC =DE ；（2）①AB =BC ；②45°. 【解法提示】①△ABC 添加BA =BC ，同（1）可证四边形DBEA 是平行四边形，又∵BA =BC ，BC = DE ，∴AB =DE ，∴四边形DBEA 是矩形；②∵四边形DBEA 是正方形，∴BE =AE ，∠BEC =90°，∴△BEC 是直角三角形，又∵E 是AC 的中点，∴AE =EC ，∴BE =EC ，又∵△BEC 是直角三角形，∴△BEC 是等腰直角三角形，∴∠C =45°． 2.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ，AD ∥BC ， ∴∠EBC =∠FDA . 在△BEC 和△DF A 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DA BC FDA EBC DF BE ， ∴△BEC ≌△DF A .（2）解：平行四边形；2或6.【解法提示】①平行四边形,理由如下：连接CF ，AE ， 由（1）得：∠BEC =∠DF A ，EC =AF ， ∴∠FEC =∠AFE ，即EC ∥AF∴以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形一定是平行四边形.②2或6，理由如下： ∵四边形AECF 为矩形， ∴AC =EF ，∵BD =8cm ，AC =4cm ， ∴EF =4，BE =2cm 或6cm . ∵速度为1cm/s ， ∴t=2或6.题型三 类比、拓展探究题1.（1）解：EM =2EN ，12. 【解法提示】∵四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 是对角线， ∴∠MBE =∠NCE =45°， 又∵EM ⊥BM ，EN ⊥CN ， ∴∠EMB =∠ENC =90°， ∴△EMB ∽△ENC ， ∴2EM EBEN EC==即EM =2EN. 由正方形性质得BD ⊥AC 于点O ，则四边形OMEN 为矩形， ∴∠MEN =90°， 又∵AE ⊥EF ，∴∠GEM +∠GEN =90°，∠FEN +∠GEN =90°， ∴∠MEG =∠FEN ，又∵∠EMG =∠ENF =90°，∴△EMG ∽△ENF ，1.2EF EN EG EM ∴==（2）解：1n. 【解法提示】如解图①，过点E 分别作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥AC 于点N . ∴∠BME =∠CNE =90°，∵四边形ABCD 是正方形，AC 、BD 是对角线， ∴∠OBC =∠OCB =45°， ∴△BME ∽△CNE ， ∴.EM EBn EN EC== ∴∠MEG +∠NEG =90°，∠NEF +∠NEG =90°， ∴∠MEG =∠FEN ，又∵∠EMG =∠ENF =90°， ∴△EMG ∽△ENF ，,EM EGn EN EF ∴== 1.EF EG n ∴=第1题解图① （3）解：1.ab解法提示：如解图②，分别作EM ⊥BO 交BO 于点M ，EN ⊥AC 交AC 于点N . ∴∠ENC =∠BME =90°，又∵BH ⊥AC 于点O ，则EN ∥BM ， ∴∠NEC =∠MBE ， ∴△BME ∽△ENC ， ∴.BM BEa EN EC==又∵EN ⊥AC ， ∴△CEN ∽△CAB ，即,EN CNAB BC=∴1EN AB CN BC b==，又∵△BME ∽△ENC ，则1BM EN ME CN b==，即BM =ME b ， ∴.MEMEb a ab EN EN==，即 ∵AE ⊥EF ， AC ⊥BH ， ∴∠AOG =∠AEF =90°， 又∵∠GAO =∠F AE ，∴Rt △AGO ∽Rt △AFE ，∴∠AGO =∠NFE ， 又∵∠MGE =∠AGO ，∴∠MGE =∠NFE ， ∵EM ⊥BO ，FN ⊥AC ， ∴∠EMG =∠ENF =90°， ∴△EMG ∽△ENF ，1,.EG EM EF ab EF EN EG ab===∴即第1题解图② 2.解：（１）证明：如解图①，∵四边形ADEF 是菱形，∴AF ＝AD ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠BAC ＝60°＝∠DAF ， ∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAF －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF ， 在△BAD 和△CAF 中AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF ，∴CF ＝BD ，即证BD ＝CF ；∴AC ＝BC ＝BD ＋CD ＝CF ＋CD ，即证AC ＝CF ＋CD ； （2）如解图②，AC ＝CF ＋CD 不成立，AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC ＝CF －CD ，理由是：由（1）知：AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝60°， ∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAF ＋∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中AC AB BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF ，∴BD ＝CF ，∴CF －CD ＝BD －CD ＝BC ＝AC ；即AC ＝CF －CD ． （3）AC ＝CD －CF ． 【解法提示】如解图③，∵∠BAC ＝∠DAF ＝60°，∴∠DAB ＝∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中,AB AC DAB FAC AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴CF ＝BD ，∴CD －CF ＝CD －BD ＝BC ＝AC ，即AC ＝CD －CF ．第2题解图创新题猜押命题点 函数关系式A命题点 几何动点问题2或3.5名校内部模拟题命题点 二次函数图像与性质B命题点 概率计算163狂押到底·扫扫刊——数学特殊题型猜押题型一几何图形的折叠与动点问题1.如图，已知矩形ABCD，点M、N分别为AB、CD的中点，连接MN，点E为线段BC上的动点，将△ABE沿AE折叠使得点B落在MN上，点B的对应点为B'，若AB=3，则折痕AE的长为.第1题图2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在线段AC上，点F是线段AB上的动点，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB上的F处，并且FD∥BC，则CD的长为.第2题图题型二与特殊四边形判定有关的证明及计算如图，已知∆ABC，在边BC的同侧分别作三个正方形．它们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，连接AD、DE、EG，试探究：（1）求证四边形ADEG是平行四边形；（2）填空：①当∠BAC= 时，四边形ADEG是矩形；②在①的条件下，AC与AB满足条件时，四边形ADEG是正方形.题型三 类比、拓展探究题已知点P 是矩形ABCD 边AB 上的任意一点（与点A 、B 不重合）. （1）操作发现如图①，现将△PBC 沿PC 翻折得到△PEC ；再在AD 上取一点F ，将△P AF 沿PF 翻折得到△PGF ，并使得线段PE 、PG 重合，试问FG 与CE 的位置关系为 ； （2）猜想论证在（1）中，如图②，连接FC ，取FC 的中点H ，连接GH 、EH ，请你猜想线段GH 和线段EH 的大小关系，并说明你的理由； （3）拓展延伸 如图③，分别在AD 、BC 上取点F 、C ′，使得∠APF ＝∠BPC ′，将△P AF 沿PF 翻折得到△PFG ，并将△PBC ′ 沿PC' 翻折得到△PEC ′，连接FC ′，取FC ′的中点H ，连接GH 、EH ，试问（２）中的结论还成立吗？请说明理由创新题猜押1.抛物线与x 轴交于A(1x ，0)、 B(2x ，0)两点，且1x ＜2x ，与y 轴交于点C (0，－4)，其中1x ，2x 是方程01242=--x x 的两个根，则抛物线的解析式 . 2.如图，已知AB 为⊙O 的直径，过⊙O 上的点C 的切线交AB 的延长线于点E ，AD ⊥EC 于点D 且交⊙O 于点F ，连接BC ，CF ，AC ． （1）求证：BC =CF ；（2）若AD =3，DE =4，求BE 的长；第2题图名校内部模拟题命题点 实数的相关概念（2015郑州一模1题3分）下列各组数中，互为相反数的两个数是 （ ）A.-3和+2B.5和51C.-6和6D.2131和 命题点 阴影部分图形的面积计算（2015平顶山二模15题3分）如图，将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A'B'C'，当两个三角形重叠的面积为32时，则它移动的距离AA' 等于 .命题点 实际应用题（2015平顶山二模21题10分）节能灯在城市已基本普及，今年我省面向县级农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表： 类别进价（元/只） 售价（元/只） 甲型25 30 乙型 45 60（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）若何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30％，此时利润为多少元？狂押到底·扫扫刊——数学答案特殊题型猜押题型一 几何图形的折叠与动点问题1. 22.940 题型二 与特殊四边形判定有关的证明及计算【思路分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS 证得△BDE ≌△BAC ，所以全等三角形的对应边DE =AG ．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA +∠DAG =180°，易证ED ∥GA ；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG =90°．然后由周角的定义求得∠BAC =135°；（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG =90°，且AG =AD ．由正方形ABDI 和正方形ACHG 的性质证得，AC =2AB ．证明：图中四边形ADEG 是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形，∴AC =AG ，AB =BD ，BC =BE ，∠GAC =∠EBC =∠DBA =90°．∴∠ABC =∠EBD （同为∠EBA 的余角）．在△BDE 和△BAC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE ABCDBE BA BD∴△BDE ≌△BAC （SAS ），∴DE =AC =AG ，∠BAC =∠BDE ．∵AD 是正方形ABDI 的对角线，∴∠BDA =∠BAD =45°．∵∠EDA =∠BDE -∠BDA =∠BDE -45°，∴∠DAG =360°-∠GAC -∠BAC -∠BAD =360°-90°-∠BAC -45°=225°-∠BAC ，∴∠EDA +∠DAG =∠BDE -45°+225°-∠BAC =180°，∴DE ∥AG ，∴四边形ADEG 是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）①135°；②AC =2AB .【解法提示】①当四边形ADEG 是矩形时，∠DAG =90°，则∠BAC =360°-∠BAD -∠DAG -∠GAC =360°-45°-90°-90°=135°，即当∠BAC =135°时，平行四边形ADEG 是矩形；②当四边形ADEG 是正方形时，∠DAG =90°，且AG =AD ．由（2）知，当∠DAG =90°时，∠BAC =135°． ∵四边形ABDI 是正方形，∴AD =2AB ．又∵四边形ACHG 是正方形，∴AC =AG ，∴AC =2AB ，∴AC =2AB 时，四边形ADEG 是正方形．题型三 类比、拓展探究题解：（１）FG ∥CE ；【解法提示】在矩形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，由题意得∠G ＝∠A ＝90°，∠PEC ＝∠B ＝90°.∴∠GEC ＝90°，∴∠G ＝∠GEC ，∴FG ∥CE ．（２）GH ＝EH ．如解图①，延长GH 交CE 于点M ，由（１）得FG ∥CE ，∴∠GFH ＝∠MCH ．∵H 为CF 的中点，∴FH ＝CH ．又∵∠GHF ＝∠MHC∴△GFH ≌△MHC （ASA ），∴GH ＝HM ＝21GM ， ∵∠GEC ＝90°，∴EH =21GM ， ∴GH ＝EH .解图① 解图②（３）（２）中的结论还成立．如解图②，取PF 的中点M ，PC ′的中点N ，连接GM ，EN ，HM ，HN ，∵∠FGP ＝90°，M 为PF 的中点，∴GM =21PF ，PM =21PF ，HM ∥PC'， ∴GM ＝PM ，∴∠GPF ＝∠MGP ，∴∠GMF ＝∠GPF ＋∠MGP ＝２∠GPF ．∵H 为FC ′的中点，M 为PF 的中点，∴HM =21PC'. 同理HN =21PF ，EN =21PC'，HN ∥PF ，∠ENC'=2∠EPC'， ∴GM ＝HN ，HM ＝EN ．∵∠GPF ＝∠FP A ，∠EPC ′＝∠BPC ′．∴∠BPC ′＝∠APF ，∴∠GPF ＝∠EPC ′，∴∠GMF ＝∠ENC ′．∵HM ∥PC ′，HN ∥PF ，∴四边形HMPN 为平行四边形，∴∠HMF ＝∠HNC ′，∴∠GMH ＝∠HNE ．∵GM ＝HN ，HM ＝EN ，∴△GMH ≌△HNE ，∴GH ＝HE ．创新题猜押 1.434312--=x x y 2.（1）证明：如解图，连接OC ，∵ED 切⊙O 于点C ，∴CO ⊥ED ，∵AD ⊥EC ， ∴CO ∥AD ，∴∠OCA =∠CAD ，∵∠OCA =∠OAC ， ∴∠OAC =∠CAD ，∴»»BC CF =，∴BC =CF ；第2题解图（2）在Rt △ADE 中，AD =3，DE =4，则根据勾股定理得AE =5，∵CO ∥AD ，∴△EOC ∽△EAD ，∴ADOC EA EO =， 设⊙O 的半径为r ，则OE =5-r ，∴553r r -=，解得815=r ， ∴EB =5-2r =45. 名校内部模拟题命题点实数的相关概念C命题点阴影部分图形的面积计算4或8命题点实际应用题解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200–x）只，由题意，得25x+45（1200﹣x）=46000，解得：x=400，∴购进乙型节能灯1200﹣400=800只．答：购进甲型节能灯400只、购进乙型节能灯800只，进货款恰好为46000元；（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200–a）只，商场的获利为y元，由题意，得y=（30–25）a+（60–45）（1200–a），y=–10a+18000．∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，∴–10a+18000≤[25a+45（1200–a）]×30%，∴a≥450．∵y=–10a+18000，∴k=–10＜0，∴y随a的增大而减小，∴a=450时，y最大=13500元．∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．。

2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1， ，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55， ，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝ －52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二 图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性 1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解. 3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =234ax x c ++经过B 、C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△BEC 的面积最大时，求出点E 的坐标和最大值； （3）在（2）条件下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，△B(0,3)，C(4,0)，将B(0,3)，C(4,0)代入y= 234ax x c++得：16303a cc++=⎧⎨=⎩，解得：383ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，△抛物线的解析式为：233384y x x=-++.（2）过点E作EF△x轴于F，交BC于M，设E（x，233384x x-++），则M（x，334x-+），△ME=233384x x-++－（334x-+）=23382x x-+△S△BEC=12×EM×OC=2EM=2(23382x x-+)=()23234x--+,△当x=2时，△BEC的面积取最大值3，此时E(2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0), 设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )△当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； △当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； △当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1，即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ △AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3，顶点M 的坐标为：（1，－4）； （2）连接BC ，BM ，CM ，过M 作MD △x 轴于D ，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，△S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.△当点Q在x轴上方时，过Q作QF△x轴于F，如图所示，△四边形ACPQ为平行四边形，△QP△AC，QP=AC△△PFQ△△AOC，△FQ=OC=3，△3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，△Q，3)或(1，3)；△当点Q在x轴下方时，过Q作QE△x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ△△AOC，△EQ=OC=3，△﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，△Q(2，﹣3)；综上所述，点Q 的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx －5与x 轴交于A (-1,0),B (5,0)两点，与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE △x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC 、CE 分别交于点F 、G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；（3）点M 是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N 是反比例函数y =kx图象上一点，若以点B 、C 、M 、N 为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k 的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), △CE △x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， △E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， △FH △CE ， △F (m ，m －5)，△FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ，S四边形CHEF=12·FH·CE=12（－m2+5m）×4=－2（m－52）2+252，当m=52时，四边形CHEF的面积取最大值252，此时H(52，354-).（3）设M（2，m），N(n，kn)，B(5,0)，C(0，－5)，△当BC为矩形对角线时，此时：2+n=5+0，m+kn=0－5，即n=3，设BC与MN交于点H，则H(52，52-)，MH=12BC△22255222m⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：m=1或m=－6，当m=1时，k=－18；m=－6时，k=3，△当BC为矩形边时，分两种情况讨论：（i）当点M在直线BC下方时，即四边形BCMN为矩形，则△BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH△y轴于H，则由OB=OC知，△OCB=45°，△△MCH=△CMH=45°，即CH=MH，△－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则△CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x 轴交于点H ，同理可得：BH =MH ， △3=m ，n =－3，k =6；综上所述，k 的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，且与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E ，连接BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式．（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE =PC 时，求点 P 的坐标．（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF △x 轴于点 F ，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点， △10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-，由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）△M 在x 轴上，N 在直线PF 上， △△NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， △|-n 2+2n +3|=|n -2|， 解得：nn或n或n， 故点M 的坐标为：（32+，0），（320），（12+，0），（12-，0）. 【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分△PMO ，求t 的值. （3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），△31640ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434cba⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y=34-x294-x+3.（2）由A(-4,0)，C(0,3)得直线AC的解析式为：y=334x+，△点P的横坐标为t，△M(t, 334t+)，△PN△y轴，△△PMC=△MCO，△MC平分△PMO，△△PMC=△OMC，△△MCO=△OMC，即OM=OC=3，△OM2=9，即223394t t⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得：t=0（舍）或t=7225，△当MC平分△PMO时，t=72 25.（3）设P(t,34-t294-t+3)，△当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，则PD△y轴，CD=PD，则D(t，33 4t+),△PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD=54t -，△34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536；△当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）△矩形OBDC的边CD＝1，△OB＝1，由AB＝4，得OA＝3，△A（﹣3，0），B（1，0），△抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，△a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=23-，b=43-，△抛物线解析式为y＝23-x243-x+2；（2）以AC为边或对角线分类讨论：A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝23-x243-x+2的对称轴为x＝﹣1，设M(m, y M)，N(－1，n)，y M=23-m243-m+2△当四边形ACMN为平行四边形时，有：312Mmy n-+=-⎧⎨=+⎩，解得：m=2，y M=103-，即M(2，103-)；△当四边形ACNM为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m=－4，y M=103-，即M(－4，103-)；△当四边形AMCN为平行四边形时，有：312Mmy n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m=－2，y M=2，即M(－2，2)；综上所述，点M的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）．2.（2019·开封模拟）如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣12x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP＝90°，求出点P坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）△OA＝OB＝4，△△ABO＝45°，△△ABP＝90°，则△PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，△当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，△n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；△当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；△当四边形OFBE是平行四边形时，有：41Fnm y=+⎧⎨=+⎩,即n=3，F点坐标为（3，52）；综上所述：点F的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）．3.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B 两点，与y轴交于点C，EC△x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC △x 轴 △点E 的纵坐标为2， △点E 在直线y ＝﹣x 上， △点E （﹣2，2），△将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+； （2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1， 设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，△A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF △x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．△A（﹣3，0）．△抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，△109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣﹣1），（，﹣1），（﹣4，3）．△当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；△当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；△当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，△当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH△x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：△APO=△MAH，△tan△APO= tan△MAH，即OA MHOP AH=2，△OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），△点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，△T(0，92 )；△当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数k yx =（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN△x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN△OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，△82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=或m=－，△点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）△二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），△493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y =43x 2﹣83x ﹣4； （2）过点D 作DM △y 轴于点M ，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， △点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4），S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF △AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ △AP =AQ =t ， △AP =AQ =QE =EP ， △四边形AQEP 为菱形， △FQ △OC ，△AF FQ AQOA OC AC ==， △345AF FQ t ==△AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ）， △E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上， △﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4， △t =14564或t =0（舍去）， △E （﹣58，﹣2916）． 8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4， 即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得：21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， △抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++， △MN =2712(2)22t t t -++--+ =2(2)4t --+，△当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH △x 轴于点H ，再过点F 作FG △x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，△4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：13a b =-⎧⎨=⎩， 即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4.（2）△四边形EFGH 是矩形，△当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E (m , －m 2+3m +4)，则F (3－m ，－m 2+3m +4)，m >32， △EF =2m －3，EH =|－m 2+3m +4|，△2m －3=|－m 2+3m +4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍） △正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH 的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，抛物线y =ax 2+bx －3经过A 、C 两点，点C 坐标为（a ，5）. 点M 为直线AC 上一点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为F ，交抛物线于点N .（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M ，使得以点D 、E 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M 的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：△直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，△A (－1,0)，D (0，1)，△点C （a ，5）在直线y =x +1上，△a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， △抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3.（2）存在，E （0，－3），△DE =4，由题意知：DE △MN ，△当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形，设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)，△| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m = 或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），（32，52），（32，52）. 11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF △AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-， △抛物线的解析式为：239344y x x =-++， 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， △4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， △直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）△点C 的横坐标为m ，△D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)， AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+， △BC △y 轴， △43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， △CE =()344m -，AE =()544m -， △△DF A =△DCA =90°，△DBF =△AEC ，△△DFE △△ACE ，△S 1=4S 2，△AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56. （3）如图，过点G 作GM △DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+， 2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，△MG =4-2m ， 由45MG EG =得：EG =()5424m -, △C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++ =23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，△当m=13时，C最大，此时n=113，即G(113，14)，E(13，114),由图象可知当E、G互换位置时满足题意，即G(13，114),E(113，14)，综上所述，G点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．△当△MBA＝△BDE时，求点M的坐标；△过点M作MN△x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，△抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）△过点M作MG△x轴于G，连接BM．则△MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），△MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，△DE△x轴，D（1，4），B（3，0），△△DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，△△MBA＝△BDE，△tan△MBA＝tan△BDE＝12，△2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）△满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；△△MN△x轴，△点M、N关于抛物线的对称轴对称，△四边形MPNQ是正方形，△OP＝1，由△QPM=△MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。

专题01 动点与函数图象【例1】（2019·郑州外国语测试）如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（）A B C D【变式1-1】（2019·洛阳二模）如图，点P是边长为2 cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设DP=x cm，则△POD的面积y（cm2）随x（cm）变化的关系图象为（）A B C D【变式1-2】（2019·叶县一模）如图，在△ABC中，△ABC＝60°，△C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE△BC，BD＝DE＝2，CE＝52，BC＝245．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ△BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【例2】（2019·省实验一模）如图，正方形ABCD，对角线AC和BD交于点E，点F是BC边上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF的垂线交CD于点G，连接FG交EC于点H．设BF＝x，CH＝y，则y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2019·名校模考）如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF△BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE【变式2-2】（2018·洛宁县模拟）如图1，正△ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点，且△APD =60°，PD 交AC 于点D ，设线段PB 的长度为x ，图1中某线段的长度为y ，y 与x 的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（ ）图1 图2 A ．线段ADB ．线段APC ．线段PDD ．线段CD【例3】（2019·周口二模）如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE -ED -DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2 cm /s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则CDBE的值为（ ） ABCD图1 图2【变式3-1】（2019·枫杨外国语三模）如图 1，动点 K 从△ABC 的顶点 A 出发，沿 AB ﹣BC 匀速运动到点 C 停止．在动点 K 运动过程中，线段 AK 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，其中点 Q 为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是，则 a 的值为图1 图2图1图2【变式3-2】（2019·中原名校大联考）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN△AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．20B．18C．10D．91. （2019·濮阳二模）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM△x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．2.（2019·南阳模拟）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE△AC，交BC于E点；过E点作EF△DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y 与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．3.（2019·平顶山三模）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．4.（2017·预测卷）如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ 的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：△当0＜t≤5时，y=25t2 △tan△ABE=34△点H的坐标为（11，0）△△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）5.（2019·焦作二模）如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设xAP ，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为.6.（2019·三门峡一模）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）ABCD7.（2019·许昌月考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.（2019·信阳模拟）如图1，在△ABC 中，△C =90°，动点P 从点C 出发，以1cm /s 的速度沿折线CA →AB 匀速运动，到达点B 时停止运动，点P 出发一段时间后动点Q 从点B 出发，以相同的速度沿BC 匀速运动，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点C ，并停止运动，设点P 的运动时间为t s ，△PQC 的面积为S cm 2，S 关于t 的函数图象如图2所示（其中0＜t ≤3，3≤t ≤4时，函数图象均为线段（不含点O ），4＜t ＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：△AC =3cm ；△当S =65时，t =35或6．下结论正确的是（ ）A ．△△都对B ．△△都错C ．△对△错D ．△错△对9.（2018·新乡一模）如图，平行四边形ABCD 中，ABcm ，BC =2cm ，△ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动，到达点A 为止，设运动时间为t (s )，△ABP 的面积为S (cm 2)，则S 与t 的函数表达式为.10.（2019·郑州外国语模拟）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，△B =30°，点P 从点Bcm /s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发以2cm /s 的速度沿B →A →C 运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y ，运动时间为t （s ），则y 与t 的函数关系式为：.11.（2019·安阳一模）如图，在四边形ABCD 中，AD △BC ，DC △BC ，DC =4 cm ，BC =6 cm ，AD =3 cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2 cm /s 的速度沿折线BA -AD -DC 运动到点C ，点Q 以1 cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发t s 时，△BPQ 的面积为y cm 2，则y 与t 的函数图象大致是（ ）ABCDBBC12.（2019·开封模拟）如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，△B =60°，动点P 以1 cm /s 的速度从点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止，动点Q 以2 cm /s 的速度从点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ，Q 同时出发，运动了t s ，记△BPQ 的面积为S cm 2，则下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．13. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以lcm /s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm ／s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ）时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（）14.（2019·信阳一模）如图,锐角三角形ABC 中,BC =6,BC 边上的高为4,直线MN 交边AB 于点M ,交AC 于点N ,且MN △BC ,以MN 为边作正方形MNPQ ,设其边长为x (x >0),正方形MNPQ 与△ABC 公共部分的面积为y ,则y 与x 的函数图象大致是( )A B C D15.（2018·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,1),B0)，以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上. 若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）图1 图2A B C D。

2024年河南省各地市中考数学一模压轴题精选温馨提示：1.本卷共45题，题目均选自2024年河南省各地市一模真题。

2.本卷共分为六部分，解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。

3.本卷难度较大，适合基础较好的同学。

第一部分动点问题和函数图象1.(2024·河南省开封市·一模)如图1，在△ABC中，∠B=60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为1cm/s.点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D.点D运动2s时，点P与点A重合.△PBD的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点.当S(cm2)取最大值时，PD的长为( )A. 23cmB. (1+3)cmC. (1+23)cmD. (2+23)cm2.(2024·河南省南阳市·一模)如图1，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D(AD>BD).动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为( )A. 6B. 8C. 10D. 133.(2024·河南省开封市·一模)如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°.设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的( )A. 线段CGB. 线段AGC. 线段AHD. 线段CH4.(2024·河南省南阳市·一模)如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是( )A. B.C. D.5.(2024·河南省洛阳市·一模)正方形ABCD与正方形BEFG按照如图所示的位置摆放，其中点E在AB上，点G、B、C在同一直线上，且AB=4，BE=2，正方形BEFG沿直线BC向右平移得到正方形B′E′F′G′，当点G′与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形B′E′F′G′与正方形ABCD的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为( )A. B.C. D.6.(2024·河南省驻马店市·一模)如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高ℎ=6，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x.则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为( )A. B.C. D.7.(2024·河南省漯河市·一模)如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为s(cm2)，则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )A. B.C. D.第二部分一次函数与反比例函数8.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．B，与反比例函数y=mx(1)求k，m的值；(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．(m≠0)的图象相9.(2024·河南省漯河市·一模)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx交于点A(1,2)，B(a,―1)．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；<0的解集．(2)请直接写出不等式kx+b―mx(3)若直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC=4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．10.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数y=k的图象x在第一象限内交于A(a,4)和B(4,2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥k的解集；x(3)请用无刻度的直尺和圆规过点B作BD//x轴，交OA于点D，(提示：即作一个角∠ABD等于已知角∠ACO，保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出梯形OCBD的面积．11.(2024·河南省洛阳市·一模)如图，双曲线y=k与直线y=mx+n交于A(6,6)，B(a,―1)，直线AB交y轴于x点M，交x轴于点N．(1)求双曲线与直线AB的解析式；≥mx+n的解集；(2)直接写出不等式kx(3)请用无刻度的直尺和圆规作出线段ON的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)，交直线AB于点P，交双曲线于点Q.求出点Q的坐标．12.(2024·河南省周口市·一模)如图，在平面直角坐标系中，扇形AOB上的点A(1,3)在反比例函数y=k的图象x上，点B(3,―1)在第四象限，菱形OCDE的顶点D在x轴的负半轴上，顶点E在反比例函数y=k的图象上．x(1)k的值为______；(2)求∠AOB的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．13.(2024·河南省开封市·一模)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(1,0)，C(2,3)，反比例函数y=k(x>0)的图象经过点C．x(1)求k的值．(x>0)的图象上，且BD⊥AC于点E，DE=BE，请说明四边形ABCD是菱形．(2)点D在反比例函数y=kx(3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第三部分圆与扇形14.(2024·河南省开封市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D 两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积=．15.(2024·河南省南阳市·一模)如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为______．16.(2024·河南省开封市·一模)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PB经过圆心O，且与⊙O交于点B，C，若AP=AB=3，则直径BC的长为______．17.(2024·河南省南阳市·一模)如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E.连接AC．(1)求证：AC平分∠BAE；(2)若AC=5，tan∠ACE=3，求⊙O的半径．418.(2024·河南省开封市·一模)如图，⊙O的直径AB与其弦CD相交于点E，过点A的切线交CD延长线于点F，且∠AED=∠EAD．(1)求证：AD=FD；(2)若AE=6，sin∠AFE=3，求⊙O半径的长．519.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．(1)求证：BE=EC．(2)填空：①若∠B=30°，AC=23，则DE=______；②当∠B=_____°时，四边形DECO是正方形．20.(2024·河南省驻马店市·一模)阅读与思考九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．求证：AP⋅BP=CP⋅DP．证明：如图1，连接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∠D．∴△APC∽△DPB，(根据)∴AP=@，DP∴AP⋅BP=CP⋅DP，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：______；@：______．(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径．第四部分全等与相似三角形21.(2024·河南省开封市·一模)已知∠ABC=30°，AB=4，P是BC边上一点，当△ABP是以PA为腰的等腰三角形时，BP的长为______．22.(2024·河南省洛阳市·一模)折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A=60°，AC=1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPB，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC时，AP的长为______．23.(2024·河南省驻马店市·一模)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，连接CF，点P为射线AE上一个动点，连接BP，若AD=3，当△ABP与△BFC相似时，AP的长为______．24.(2024·河南省周口市·一模)矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C，且AB=1，AD=3.当以点A，E，O为顶点的三角形为直角三角形时，AE的长为______．25.(2024·河南省商丘市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，AB=4，斜边AB是半圆O 的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为______．26.(2024·河南省开封市·一模)如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，D为边AC的中点，E为边AB上的一个动点，连接DE，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A′，当A′E⊥AC时，BE的长度为______．27.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在△ABC和△ADE中，AB=BC=42，AD=DE=2，∠ABC=∠ADE=90°，连接CE，CD，点O为CE的中点，连接OD.将△ADE绕点A在平面内旋转，当∠CDE=90°时，OD的长为______．28.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC.点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB′E=30°，CE=3，则BC的长为______．29.(2024·河南省周口市·一模)如图1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点F，G，H分别为BC，DE，DC的中点．(1)观察猜想图1中，线段GH与FH的数量关系是______，∠GHF的度数为______；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接GF，BD，CE，判断△GHF的形状，并说明理；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2，AB=6，请直接写出△GHF面积的最大值．30.(2024·河南省开封市·一模)转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵话应用．如图1，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=3.请解答下面的问题：(1)基础巩固：如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则BC与BM之间的数量关系是______；(2)拓展探究：如图2，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN．①求证：△BCM∽△ACN；②用等式表示AC与AN之间的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C旋转得到△CMN，请直接写出点A，M，N在同一直线上时BM的长．31.(2024·河南省南阳市·一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF的长．32.(2024·河南省驻马店市·一模)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．【问题探究】(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：______．(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3，AB=47，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．第五部分特殊四边形33.(2024·河南省南阳市·一模)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH.求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．34.(2024·河南省漯河市·一模)综合与实践数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在▱ABCD中(∠ADC>∠DAB)，点P是边AD上一点.将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．数学思考：(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF//AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD的形状一定是______(选填“菱形”“矩形”或“正方形”)；拓展探究：(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF.试判断PF与PC 的位置关系，并说明理由；问题解决：(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：若点P是射线DA上一点，当点E恰好落在▱ABCD 的边或边的延长线上时，AP=3，AD=7，CD=10，直接写出BE的长．35.(2024·河南省商丘市·一模)综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断：如图1，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与BC交于点G.请写出线段FG与线段BG的数量关系，并说明理由；(2)迁移思考：如图1，若AB=4，按照(1)中的操作进行折叠和作图，当CG=2时，求AD的值；(3)拓展探索：如图2，四边形ABCD为平行四边形，其中∠A与∠C是对角，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F 处，把纸片展平，延长DF与射线BC交于点G.若AD=2，CG=0.5，请直接写出线段DG的值．36.(2024·河南省洛阳市·一模)【问题背景】：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=43，∠BAC=30°，点E是斜边AC的中点，过点E作ED⊥AB交AB于点D．【实验探究】：= (1)数学活动课中，小明同学将图1中的△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①BDCE______；②直线BD与CE所夹锐角的度数为______；(2)若我们继续将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．【拓展延伸】：(3)在以上探究中，当△ADE旋转至D、E、C三点共线时，则△BCD的面积为______．37.(2024·河南省开封市·一模)某数学兴趣小组对具有公共顶点，且其中某个角等于大角一半的几何图形中，边与边之间的数量关系进行了如下探索：初步探索(1)如图1，E，F分别是正方形ABCD的BC边和CD边上的点，并且∠EAF=45°，我们可通过如下方法探索EF 与BE和DF之间的数量关系：因为AD=AB，∠D=∠ABE=90°，所以我们以点A为旋转中心，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与点B重合，则点F的对应点恰好落在CB的延长线上，记为点F′，由△ADF≌△ABF′且易证△AEF≌△AEF′，从而可知，EF，BE，DF的数量关系是______．探索延伸(2)如图2，E，F是等腰直角△ABD的底边BD上的点，∠EAF=45°，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．拓展应用(3)如图3，在矩形ABCD中，E是BC边的三等分点，F为CD边上的点，且∠EAF=45°，当AB=4，AD=3时，直接写出DF的长．第六部分二次函数x2+bx+c经过A(―1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，38.(2024·河南省周口市·一模)如图，抛物线y=―12点G为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；(2)连接AC，将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出m的取值范围．39.(2024·河南省开封市·一模)如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴P，把开关开至最大时，喷出的形状接近于抛物线y=ax2+bx+1，当水柱距地面2m时，距喷嘴的水平距离为4m，水柱落地点距喷嘴的水平距离OA=6m．(1)求水柱所在抛物线的解析式．(2)已知在水柱正下方OA的范围内开有一些鲜花．①若鲜花的高度为1m，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，才不会被水柱直接喷到．②开在距喷嘴水平距离为0.4m处的高度为1.3m的鲜花，是否会被水柱直接喷到？判断并说明理由．40.(2024·河南省南阳市·一模)一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如x刻画.若小球到达最高点的坐标为(4,8)．图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12(1)求抛物线的函数解析式(不写自变量x的取值范围)；(2)小球在斜坡上的落点A的垂直高度为______米；(3)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由．41.(2024·河南省开封市·一模)跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=―1x2+bx+c.已知OA=70m，OC=60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．16(1)点A的坐标是______，点P的坐标是______；(2)求满足的函数关系式y=―1x2+bx+c；16(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．42.(2024·河南省漯河市·一模)掷实心球是某市中考体育考试的选考项目.如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度m处．为2m，当水平距离为4.5m时，实心球行进至最高点258(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准(男生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m，此项考试得分为满分17分.按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．43.(2024·河南省南阳市·一模)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．44.(2024·河南省洛阳市·一模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米.如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．45.(2024·河南省商丘市·一模)某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以ED的中点O为原点建立平面直角坐标系(甲位于x轴的点E处，乙位于x轴的点D处)，正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点，B点，且AB的水平距离为4m，绳子甩到最高点C处时，他们握绳的手到地面的距离AE与BD均为1.2m，最高点到地面的垂直距离为2m．(1)求出该抛物线的解析式；(2)如果身高为1.8m的小亮，站在ED之间，且与点E的距离为tm，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出t的取值范围；(3)经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于0.4m才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？参考答案1.【答案】B【解析】解：由题意知，点D运动2s时，点P，D的位置如图1所示．此时，在Rt△PBD中，BD=2cm，∠B=60°，PD⊥BC，∴PB=2BD=4(cm)，∴PD=PB2―BD2=23(cm)．由函数图象得BC=(2+23)×1=(2+23)cm，∴DC=BC―BD=2+23―2=23(cm)，∴PD=DC．由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．当2≤t≤2+23时，点P在AC边上，如图2，此时BD=t×1=t(cm)，PD=DC=(2+23―t)cm，∴S△PBD=12×BD×PD=12×t×(2+23―t)=―12t2+(1+3)t．∵S△PBD=―12[t―(1+3)]2+2+3，又∵―12<0，∴当t=1+3时，S△PBD的值最大，此时PD=CD=2+23―(1+3)=(1+3)cm．故选：B．先根据点D运动2s时，点P与点A重合．从而求得PD=PB2―BD2=23(cm)，再由函数图象求得BC=(2+23)×1=(2+23)cm，从而求得DC=BC―BD=2+23―2=23(cm)，得出PD=DC，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．所以当2≤t≤2+23时，点P在AC边[t―(1+上，此时BD=t×1=t(cm)，PD=DC=(2+23―t)cm，根据三角形面积公式求得S△PBD=―123)]2+2+3，最后根据二次函数的性质求解即可．本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．2.【答案】A【解析】解：由图2知，AB+BC=213，∵AB=BC，∴AB=13，∵AB=BC，BD⊥AC，∴AC=2AD，∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2=13①，设点M到AC的距离为ℎ，AD⋅ℎ，∴S△ADM=12∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即ℎ=BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴1AD⋅BD=3，2∴AD⋅BD=6②，①+2×②得，AD2+BD2+2AD⋅BD=13+2×6=25，∴(AD+BD)2=25，∴AD+BD=5(负值舍去)，∴BD=5―AD③，将③代入②得，AD(5―AD)=6，∴AD=3或AD=2，∵AD>BD，∴AD=3，∴AC=2AD=6，故选：A．先根据AB=BC结合图2得出AB=13，进而利用勾股定理得，AD2+BD2=13，再由运动结合△ADM的面AD⋅BD=3，进而建立二元二次方积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值为3，即12程组求解，即可得出结论．此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出AB=13和点M和点B重合时，△ADM的面积为3是解本题的关键．3.【答案】D【解析】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；故选D．根据选项中的各线段，可以分别得到它们各自随x的变化如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．4.【答案】D【解析】【分析】分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式．【解答】×4x=2x，当x=4时，y=8；解：当P在BC上，即0<x≤4时，y=12×4×4=8，当P在CD上，即4<x≤8时，y=12×4(12―x)=―2x+24；当P在AD上，即8<x<12时，y=12观察4个选项，符合题意的为D；故选：D．5.【答案】A【解析】【分析】把运动距离分0≤x≤2，2<x≤4和4<x≤6三种情况讨论求解即可本题主要考查了动点问题的函数图象，分析出重叠部分面积的变化情况是解题关键．【解答】解：①当0≤x ≤2时，S 随x 的增大而增大，最大值为4；②当2<x ≤4时，S 随x 的增大而不变，此时S =4；③当4<x ≤6时，S 随x 的增大而减小，最小值为0．故选：A ．6.【答案】D【解析】解：过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似比可知：EF 12=6―x 6，即EF =2(6―x)所以y =12×2(6―x)x =―x 2+6x.(0<x <6)该函数图象是抛物线的一部分，故选：D ．可过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似三角形的性质可求出EF ，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．7.【答案】B【解析】解：根据题意BE =CF =t ，CE =8―t ，∵四边形ABCD 为正方形，∴OB =OC ，∠OBC =∠OCD =45°，∵在△OBE 和△OCF 中OB =OC ∠OBE =∠OCF BE =CF，∴△OBE ≌△OCF(SAS)，∴S △OBE =S △OCF ，∴S 四边形OECF =S △OBC =14×82=16，∴S =S 四边形OECF ―S △CEF =16―12(8―t)⋅t =12t 2―4t +16=12(t ―4)2+8(0≤t ≤8)，∴s(cm 2)与t(s)的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4,8)，自变量为0≤t ≤8．故选：B ．由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8―t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE(8―t)⋅t，然后配方得到S= =S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF―S△CEF=16―121(t―4)2+8(0≤t≤8)，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．2本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．8.【答案】解：(1)∵OA=1，∴点A的坐标为(―1,0)，则―k+2=0，解得：k=2，∴直线l的解析式为y=2x+2，∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，∴点C的纵坐标为2×2+2=6，∴点C的坐标为(2,6)，∴m=2×6=12；)，(2)设点D的坐标为(n,2n+2)，则点E的坐标为(n,12n∴DE=|2n+2―12|，n∵OB//DE，∴当OB=DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，∵直线y=2x+2与y轴交于点B，∴OB=2，|=2，∴|2n+2―12n=2时，n1=6，n2=―6(舍去)，当2n+2―12n此时，点D的坐标为(6,26+2)，=―2时，n1=7―1，n2=―7―1(舍去)，当2n+2―12n此时，点D的坐标为(7―1,27)，综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为(6,26+2)或(7―1,27).【解析】(1)根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；(2)分2n+2―12n =2、2n+2―12n=―2两种情况，计算即可．本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9.【答案】解：(1)把点A(1,2)代入y=mx 得，2=m1，∴m=2，∴反比例函数的解析式为y=2x；把B(a,―1)代入y=2x得，a=―2，∴B(―2,―1)，把点A(1,2)，B(―2,―1)代入y=kx+b得k+b=2―2k+b=―1，解得：k=1 b=1，∴一次函数的解析式为y=x+1；(2)当y=0时，0=x+1，解得：x=―1，∴C(―1,0)，设P(x,0)，∴S△APC=12×|x+1|×2=4，∴x=3或x=―5，∴P(3,0)或(―5,0)．【解析】(1)把点A(1,2)代入y=mx得到反比例函数的解析式为y=2x；把点A(1,2)，B(―2,―1)代入y=kx+b得到一次函数的解析式为：y=x+1；(2)当y=0时，得到C(―1,0)，设P(x,0)，根据三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．10.【答案】解：(1)∵反比例函数图象点B(4,2)，∴k=4×2=8，∴反比例函数的表达式为：y=8把A(a,4)代入y=8x得：a=2，∴A(2,4)，∵一次函数y=mx+n的图象过点A，点B，∴4m+n=22m+n=4，解得：m=―1 n=6，∴一次函数的表达式为y=―x+6；(2)观察函数图象可得，―x+6≥的解集为：2≤x≤4；(3)用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，如下图：由一次函数的表达式知，点C(6,0)，由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y=2x，当y=2时，2y=2x，则x=1，即点D(1,2)，则BD=4―1=3，则梯形OCBD的面积=12×(BD+OC)×y B=12×(3+6)×2=9．【解析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)利用数形结合思想可求解；(3)用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，由梯形OCBD的面积=12×(BD+OC)×y B=12×(3+6)×2=9，即可求解．本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到面积的计算、函数作图、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．11.【答案】解：(1)将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k=6×6=36，则反比例函数表达式为：y=36，将点B的坐标代入上式得：―1=36a，则a=―36，即点B的坐标为：(―36,―1)，将A、B的坐标代入一次函数表达式得：―1=―36m+n 6=6m+n，解得：m=16n=5，则直线AB的表达式为：y=16x+5；(2)从函数图象看，不等式kx≥mx+n的解集为：0<x≤6或x≤―36；(3)分别以点O、N为圆心，以大于12NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，令y=16x+5=0，则x=―30，即点N(―30,0)，则ON的中垂线为x=―15，当x=―15时，y=36x =―125，即点Q的坐标为：(―15,―125).【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)观察函数图象即可求解；(3)分别以点O、N为圆心，以大于12NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，得到ON 的中垂线为x=―15，即可求解．本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，线段垂直平分线的性质，不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．12.【答案】3。

中考数学压轴大题冲刺专项训练综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C为格点，D为小正方形边的中点.（1）AC的长等于_________；取得最小值时，请在如图所示的网格中，用（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQPQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.无刻度．．．的直尺，画出线段PD，3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数是．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ，探究：(1)如图②，当点Q 在DC 上时，求证：PQ PB =.(2)如图③，当点Q 在DC 延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值． 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接AN ，如图①．（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN 的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答： ；进一步计算出∠MNE ＝ °；（2）继续折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点H 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，把纸片展平，如图②，则∠GBN ＝ °； 拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD ，使点A 落在BC 边上的点A '处，并且折痕交BC 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平，连接AA '交ST 于点O ，连接AT ． 求证：四边形SATA '是菱形． 解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD 中，AB ＝10，AD ＝26，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处，并且折痕交AB 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT 的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值 ． 8．综合与实践 问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB ，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ 等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与： （1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号； （3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）． ①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．11．综合与实践：折纸中的数学 问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD 按如图①所示方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 落到D ′处，折痕为EF ．这时同学们很快证得：△AEF 是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题． 操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？ 实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？ (3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G 的形状．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB ＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．参考答案与试题解析1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴60,2∠=∠=︒==，ABC FED BC EF∴90∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF是矩形，AB=4∴，C F FAC∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==，∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分， ∴33OC EC ==，∴23CF =， 故答案为：菱形，23； （3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒ ∵//,DE BC DEF ABC ≌ ∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒ ∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴= ∵2EF BC AE EF ==∴= ∴AEF ∆为等边三角形 ∴60FAE ABC ∠=︒=∠∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形 ∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC 的长等于_________；（2）点P ，Q 分别为线段BC ，AC 上的动点，当PD PQ +取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD ，PQ ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（不要求证明）. 【解析】解：（1）由图可得： 22345+=， 故答案为：5；（2）如图，BC 与网格线相交，得点P ；取格点E ，F ，连接EF ，与网格线相交，得点G ，取格点M ，N ，连接MN ，与网格线相交，得点H ，连接GH ，与AC 相交，得点Q .连接PD ，PQ .线段PD ，PQ即为所求.如图，延长DP ，交网格线于点T ，连接AB ，GH 与DP 交于点S ， 由计算可得：20，5AC=5， ∴△ABC 为直角三角形，∠ABC=90°， ∴tan ∠ACB=2， ∵tan ∠BCT=PT ：TC=2，∴∠ACB=∠BCT ，即BC 平分∠ACT ， 根据画图可知：GH ∥BC ，∴∠ACB=∠CQH ，∠BCT=∠GHC ， ∵∠BCT=∠BCA ，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：2222122a b ab a b ab ++⨯=++， 图形的面积也可表示：22122c ab c ab +⨯=+， ∴a 2+b 2+ab =c 2+ab ，∴a 2+b 2=c 2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：(a +b )2，大正方形的面积也可以表示为：221422c ab c ab +⨯=+， ∴22()2a b c ab +=+，∴a 2+b 2+2ab =c 2+2ab ，∴a 2+b 2=c 2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C ．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB ＝145°，则∠ACE 的度数是 ，∠DCB 的度数 ，∠ECD 的度数是 ．②如图1，你发现∠ACE 与∠DCB 的大小有何关系？∠ACB 与∠ECD 的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD 与△BCE 没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①1459055ACE DCB ∠=∠︒︒︒=﹣=，905535ECD BCE BCD ∠∠-∠︒︒=︒==﹣；②结论：ACE DCB ∠=∠，180ACB ECD ∠+∠︒=；证明：∵90ACE ACB BCE ACB ∠=∠-∠=∠-︒，90DCB ACB ACD ACB ∠=∠-∠=∠-︒ ∴ACE DCB ∠=∠∵9090180ACB ACD BCE ECD ECD ECD ∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠=︒-∠∴180ACB ECD ∠+∠︒=（2）结论：当ACD 与BCE 没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵90ACD ECB ∠=∠=︒，∴ACD DCE ECB DCE ∠+∠=∠+∠，∴ACE DCB ∠=∠，∵90ACD ECB ∠=∠=︒，∴180ACD ECB ∠+∠︒=，∵360ACD ECD ECB ACB ∠+∠+∠+∠︒=，∴180ACB ECD ∠+∠︒=，∴ACE DCB ∠=∠，180ACB ECD ∠+∠︒=．∴上述②中发现的结论依然成立．故答案为：（1）①55°， 55°， 35°；②∠ACE ＝∠DCB ，∠ACB +∠ECD ＝180°；（2）当△ACD 与△BCE 没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：=.(1)如图②，当点Q在DC上时，求证：PQ PB(2)如图③，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.MN，分别交AB于点M，交CD于点N，【解析】(1)证明：过点P作//BC则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立.⊥于N,PN交CD于点M过点P作PN AB在正方形ABCD 中//AB CD ,45ACD ∠=∴90PMQ PNB CBN ∠=∠=∠=∴CBNM 是矩形，∴CM BN =，∴CMP ∆是等腰直角三角形，∴PM CM BN ==，∵90PBN BPN ∠+∠=，90BPN MPQ ∠+∠=∴MPQ PBN ∠=∠，在PMQ ∆和BNP ∆中，90MPQ PBN PNB PMQ BN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴()PMQ BNP AAS ∆≅∆，∴BP QP =；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【解析】（1）解：∵ABCD 是平行四边形，∴'////AD BC EA ，'//AE DA∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处∴'AED A ED ≌∴'AE A E =∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形；（2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE =∵四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠，∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，又EC C E ''=，∴Rt EC A Rt C EB '''≌∴C EA EC B '''∠=∠∴MC ME '=（3）∵Rt EC A Rt C EB '''≌，∴AC B E ''=由折叠知：B E BE '=，∴AC BE '=∵2(cm)4(cm)AC DC ''==，∴()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=-解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ ∴3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' ∴3(cm)2AG =∴3156(cm)22EG =+= ∵//DF EG ，∴DNF ENG ∽ ∴152::3:25DN EN DF EG === 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接AN ，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA'T是平行四边形，又∵AA'⊥ST，∴边形SATA'是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，∴AT＝A'T，在Rt△A'TB中，A'T＞BT，∴AT＞10﹣AT，∴AT＞5，∵点T在AB上，∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，∴5＜AT≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9．8．综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB =，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．【解析】（1）∵ACD 和BCE 是两个等边三角形，∴AC=CD ，BC=CE ，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,即∠ACE=∠DCB ，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=BD ；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°，过点B 作BF ⊥AC ，交AC 的延长线于F ，∴∠BCF=180°-∠ACD-∠ECB=60°，∠F=90°，∴∠CBF=30°，∴CF=12BC=1cm ， ∴BF=223BC CF -=cm ，∴115322ABC S AC BF =⋅=⨯⨯=53；（3）由题意得∠ACD=E C B '''∠=60°，∵∠ACB '=90°，∴30C CB ''∠=,∵C CB C B C E C B '''''''∠+∠=∠,∴30C B C ''∠=,∴C C C B '''==2cm ，∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ 等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号； （3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数； （2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ；②如图3，弦AB 与弦CD 不相交：③如图4，点B 与点C 重合．【解析】解：（1）连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD ===∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD 、OC 、AC ，如图：∵1OD OC CD ===∴OCD 为等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DAC ∠=︒∵90ADB ∠=︒∴903060E ∠=︒-︒=︒②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD ===∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴903060BED ∠=︒-︒=︒③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B 与点C 重合时，则直线BE 与O 只有一个公共点 ∴EB 恰为O 的切线∴90ABE ∠=︒∵90ADB ∠=︒，1CD =，2AD =∴30A ∠=︒故答案是：（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解． 11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD 按如图①所示方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 落到D ′处，折痕为EF ．这时同学们很快证得：△AEF 是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G 的形状．【解析】解：（1）矩形ABCD 3证明：设BE a =，AEF ∆等边三角形，60EAF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，90BAD ABE ∴∠=∠=︒，30BAE BAD EAF ∠=∠-∠=︒．在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，30BAE ∠=︒，BE a =，2sin BE AE a BAE ∴==∠，3tan BE AB a BAE==∠，AE EC =，3BC BE EC a ∴=+=， ∴33BC AB a==． （2）四边形B EFG '是平行四边形．证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，B EF BFE ∴∠'=∠，EB F GFB ∠'=∠'，DB G FGB ∠'=∠'． 由翻折的特性可知：BFE B FE ∠=∠'，DB G FB G ∠'=∠'，B EF B FE ∴∠'=∠'，FB G FGB ∠'=∠'，又EB F GFB ∠'=∠'，B FE FB G ∴∠'=∠'，//EF B G ∴'，又//B E FG '，∴四边形B EFG '是平行四边形．（3）△BB G '为直角三角形．证明：连接BB '交EF 于点M ，如图所示．//AD BC ，EB B FBB ∴∠'=∠'，BF B F ='，FBB FB B ∴∠'=∠'，EB B FB B ∴∠'=∠'．B EF B FE ∠'=∠'，∴△B EF '为等腰三角形，B M EF ∴'⊥，90∴∠=︒．BMFEF B G'，//∴∠'=∠=︒，BB G BMF90∴△BB G'为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB ＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD沿DB方向平移，∴MD'∥DN，∴四边形MNDD'是平行四边形，∵∠BD'M＝90°，∴四边形MNDD'是矩形；（3）由图形（1）可得AB＝10cm，BD＝8cm，∴AD6cm，∵四边形MNDD'为正方形，∴D'M∥DN，D'M＝D'D＝acm，∴△BD'M∽△BDA，∴BD MD BD AD''=，∴886a a -=，∴a＝247；（4）如图5，过点D作DG⊥AB于点G，∵DP＝DQ，∴∠DQP＝∠DPQ，QG＝PG，又∵∠A＝∠PDQ，∴△DQP∽△AQD，∴∠ADQ＝∠DPQ，∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴AG AD AD AB=，∴6 610 AG=，∴AG＝185，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣185＝125，∴PG＝QG＝125，∴AP＝AG﹣PG＝185﹣125＝65，故答案为：65．。

2024年河南省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，数轴上点P表示的数是（）A．1-B．0C．1D．2【答案】A【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为1-，从而求解．【详解】解：根据题意可知点P表示的数为1-，故选：A．2．据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A．8⨯D．12⨯0.5784105.78410⨯C．11⨯B．105784105.784103．如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．【详解】解：如图，由题意得，50BAC ∠=︒，AB CD ∥，∴150BAC ∠=∠=︒，故选：B ．4．信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可． 从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面．【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形；故选A ．5．下列不等式中，与1x ->组成的不等式组无解的是（ ）A ．2x >B ．0x <C ．<2x -D ．3x >-【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．【详解】根据题意1x ->，可得1x <-，A 、此不等式组无解，符合题意；B 、此不等式组解集为1x <-，不符合题意；C 、此不等式组解集为<2x -，不符合题意；D 、此不等式组解集为31x -<<-，不符合题意；故选：A6．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（ ）A ．12B ．1C ．43D ．2故选：B ．7．计算3···a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个的结果是（ ）A ．5a B ．6a C ．3a a +D ．3aa 【答案】D 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．【详解】解：()()333···a a a a a a a a == 个，故选D8．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）A ．19B ．16C ．15D ．13【答案】D【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．【详解】解：把3张卡片分别记为A 、B 、C ，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，9．如图，O 是边长为ABC 的外接圆，点D 是 BC的中点，连接BD ，CD ．以点D 为圆心，BD 的长为半径在O 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）A ．8π3B ．4πC ．16π3D ．16π∵O 是边长为43∴43B C =，A ∠=∴120BDC ∠=︒，∵点D 是 BC的中点，10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）A ．当440W P =时，2A I =B ．Q 随I 的增大而增大C ．I 每增加1A ，Q 的增加量相同D ．P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．【详解】解∶根据图1知：当440W P =时，2A I =，故选项A 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，故选项B 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C 错误，符合题意；根据图1知：I 随P 的增大而增大，又Q 随I 的增大而增大，则P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多，故选项D 正确，但不符合题意；故选：C ．二、填空题11．请写出2m 的一个同类项： ．【答案】m （答案不唯一）【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．【详解】解：2m 的一个同类项为m ，故答案为：m12．2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 分．【答案】9【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数．根据众数的概念求解即可．【详解】解：根据得分情况图可知：9分数的班级数最多，即得分的众数为9．故答案为：9．13．若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20-，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．【答案】()3,10【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，则四边形AOGD 是矩形，∴OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，∵折叠，∴BF BC a ==，CE FE =，∵点A 的坐标为()20-，，点F 的坐标为()06，，∴2AO =，6FO =，∴2BO AB AO a =-=-，在Rt BOF △中，222BO FO BF +=，∴()22226a a -+=，解得10a =，∴4FG OG OF =-=，8GE CD DG CE CE =--=-，在Rt EGF 中，222GE FG EF +=，∴()22284CE CE -+=，解得5CE =，∴3GE =，∴点E 的坐标为()3,10，故答案为：()3,10．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为 ，最小值为 .则CD AE ⊥，∴90ADE CDE ∠=∠=︒，∴222231AD AC CD =-=-∵ AC AC =，∴45CED ABC ==︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，则CD AE ⊥，∴90CDE ∠=︒，∴222231AD AC CD =-=-=∵四边形ABCE 为圆内接四边形，∴180135CEA ABC =︒-=︒∠∠，∴18045CED CEA =︒-=︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，三、解答题16．（1(01；（2）化简：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．【答案】（1）9（2）2a +【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：17．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．18．如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．（3）解：∵()6,4E 向左平移后，E 在反比例函数的图象上，∴平移后点E 对应点的纵坐标为4，当4y =时，64x=，解得32x =，∴平移距离为39622-=．故答案为：9．19．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，∥B E DC 交AC 的延长线于点E ．(1)请用无刻度的直尺和圆规作ECM ∠，使ECM A ∠=∠，且射线CM 交BE 于点F （保留作图痕迹，不写作法）．(2)证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：（2）证明：∵ECM A ∠=∠∴CM AB ∥，∵∥B E DC ，∴四边形CDBF 是平行四边形，∵在Rt ABC △中，CD 是斜边20．如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）．则AMB APB ∠=∠．∵AMB ADB ∠>∠，∴APB ADB ∠>∠．（2）解：在Rt AHP 中，APH ∠∵tan AH APH PH∠=，答：塑像AB的高约为6.9m．21．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．(1)若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包(2)选用A种食品3包，B种食品4包【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质”列方程组求解即可；（2）设选用A种食品a包，则选用B种食品()7-a包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于90g”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得7009004600, 101570.x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组，得4,2. xy=⎧⎨=⎩答：选用A种食品4包，B种食品2包．（2）解：设选用A种食品a包，则选用B种食品()7-a包，根据题意，得()1015790a a +-≥．∴3a ≤．设总热量为kJ w ，则()70090072006300w a a a =+-=-+．∵2000-<，∴w 随a 的增大而减小．∴当3a =时，w 最小．∴7734a -=-=．答：选用A 种食品3包，B 种食品4包．22．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =-+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．23．综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30︒和45︒角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）．(3)拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长．∵四边形ABCD 是邻等对补四边形，∴180ABC D ∠+∠=︒，∵180ABC ABE ∠+∠=︒，∴ABE D ∠=∠，∵AE AC =，∴()()1112222m n CF CE BC BE BC DC +==+=+=，∵2BCD θ∠=，∴ACD ACB θ∠=∠=，∴22218AM AB BM =+=，在Rt AMN 中22MN AM AN =-在Rt CMN 中22MN CM CN =-∴()()22218435AN AN -=---∵AM AM =，∵90MNC ABC ∠=∠=︒，C ∠∴CMN CAB ∽△△，∴CN MN BC AB=，即543CN CN -=解得20CN =，∵AM AM =，∴Rt Rt ABM ANM ≌，∴AN AB =，故不符合题意，舍去；。

中考数学压轴题----《图形规律》例题讲解例1、（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，…，第n个图案中有（4n+1）个正方形，∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，故选：C．【变式1-1】（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297B．301C．303D．400【答案】B【解答】解：观察图形可知：摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；…第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．故选：B．【变式1-2】（2022•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解答】解：从俯视图可看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2层高，中间最高是2层，要是最多就都是2层，最前面的最高是1层，所以最多的为：2+2×2+1×2＝8．故选：B．【变式1-3】（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，……则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，故选：C．【变式1-4】（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是．【答案】49【解答】解：由题意得：第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，..．∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，故答案为：49．【变式1-5】（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为cm．【答案】91【解答】解：由题意得：1节链条的长度＝2.8cm，2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，..．∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），故答案为：91．【变式1-6】（2022•遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为．【答案】127【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个），故答案为：127．【变式1-7】（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有．【答案】485【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2＝2×32﹣1＝17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2＝2×33﹣1＝53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2＝2×34﹣1＝161，第五个图形正三角形的个数为161×3+2＝2×35﹣1＝485．如果是第n个图，则有2×3n﹣1个故答案为：485．本课结束。

专题19 动点问题与几何图形综合题型题型一、动点问题与几何图形最值问题主要有：线段最值；点到直线距离的最值；周长最值；面积最值等等.题型二、动点问题与几何问题相结合主要有：相似三角形的存在性；角平分线存在性；角度间的关系问题；面积关系问题等等.【例1】（2018·河南第一次大联考）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为().A．4B．13C．7D．8【答案】D.【分析】如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，利用勾股定理及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE与AE的长，由AE+EP求出AP的最大值即可．【解析】解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN=4，NE=12MN=3，根据勾股定理得：PE=5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，△AE =12MN =3， 则AP 的最大值为：AE +PE =3+5=8， 故选D ．【点评】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-1】（2019·济源一模）如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，E 在 AC 上且 AE =23AC ，D 是直线 BC 上一动点，线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90°，得到线段 EF ，当点 D 运动时， 则线段 AF 的最小值是.【答案】322. 【解析】解：先确定F 点的轨迹，过E 作的直线BC 的平行线，分别过D 、F 作该平行线的垂线，垂足为G ，H ， 如图所示，BCDEG由折叠性质，知△DEG △△EFH ， △EH =DG ，△△ABC 是等边三角形，AE =2，CE =1，△DG =CE ·sin 3， 即EH 为定值，△点F 落在直线FH 上，且FH △BC ，根据垂线段最短，当AF △FH 时，AF 的值最小， 如下图所示，过A 作AN △FH ，延长AC 交FH 于点M ，AN 的长即为所求线段AF 的最小值，△EH =DG 3，△AMN =30°， △EM =2EH 3，△AM 3+2，△AN =12AM 32+，32+. ABCDEGNM【例2】（2019·开封二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝43x﹣4与抛物线y＝43x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上，如图2，作DM△直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM 中某个角恰好是△ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）在y＝43x﹣4中，当x＝0，y＝﹣4，即C（0，﹣4）；当y＝0，x＝3，即A（3，0）；把点A、C坐标代入y＝43x2+bx+c，并解得：b=83-，c=－4，△抛物线解析式为：y＝43x283-x－4；（2）存在，作△ACO的平分线CP交x轴于点P，过P作PH△AC于点H，则CH＝CO＝4，OP＝PH，设OP＝PH＝x，则P A＝3﹣x，△OC＝4，OA＝3，△AC＝5，AH＝1，在Rt△PHA中，PH2+AH2＝AP2，即x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝43，△tan△PCH＝tan△PCO=13，△过点D作DG△x轴于点G，过点M作ME△x轴，与y轴交于点E，与DG交于点F．设M（m，43m﹣4），则ME＝m，FG＝OE＝4﹣43m，CE＝43m，可得：△CEM△△MFD，△当△DCM=12△ACO时，可得：3CE ME CMMF DF DM ===， 即MF =49m ，DF =13m ， △DG =DF +GF =13m +4﹣43m =4－m ，EF =EM +FM =139m ，即点D (139m , m －4)，将其坐标代入y ＝43x 283-x －4得： 2413813443939m m m ⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭， 解得：m =0（舍）或m =1179676， △D 点横坐标为：139m =13152. △当△MDC ＝12△ACO ＝△PCH 时， 同理可得：MF ＝4m ，DF ＝3m ， △EF ＝EM +MF ＝m +4m ＝5m ， DG ＝DF +FG ＝3m ﹣43m +4＝53m +4， △D （5m ，﹣53m ﹣4）， △﹣53m ﹣4=()()24855433m m ⨯-⨯-，解得m ＝0（舍去）或m ＝720, 此时D 点横坐标为：5m =74； 综上所述，点D 横坐标为13152或74． 【变式2-1】（2019·洛阳模拟）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形AECP 的最大面积；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (0,1)，B （9,10）代入y =13x 2+bx +c 得： 127810c b c =⎧⎨++=⎩，解得：12c b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：y =13x 2－2x +1. （2）由y =13x 2－2x +1知，抛物线的对称轴是x =3，l∵AC∥x轴，A(0,1)，∴A与C关于对称轴对称，C(6,0)，AC=6由A(0,1),B(9,10)得直线AB的解析式为：y=x+1，设P（m，13m2－2m+1），则E(m，m+1)，∴PE=－13m2+3m，∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=12·AC·EF+12·AC·PF=12×6×（－13m2+3m）=298124m⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当m=92时，四边形AECP的面积取最大值814，此时点P(92，54-).（3）存在，点Q坐标为（4,1）或（－3,1）.由y=13x2－2x+1知点P(3, -2)，∴PF=3，CF=3，∴∠PCF=45°，同理，∠EAF=45°，即∠PCF=∠EAF，由勾股定理得：AB=92AC=6，PC=32，设Q（n，1），①当△CPQ∽△ABC时，CQ PC AC AB=，即632692n-=，解得：t=4，即Q(4,1).②当△CQP∽△ABC时，CQ PC AB AC=，即3292=，解得：t=－3，即Q(－3,1).综上所述，符合题意的点Q坐标为：(4,1)或(－3,1).1.（2019·济源一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线3944y x=-+与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线29 4y ax bx=++（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C(-1，0)，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；（3）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）在3944y x =-+中，当x =0时，y =94；当y =0时，x =3，即A (3，0)，B (0，94)， 将A (3，0)，C (－1，0)代入294y ax bx =++得： 99304904a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△抛物线的解析式为：2339424y x x =-++.（2）过点E 作EM △x 轴交AB 于M ，过E 作EN △AB 于N ，点E 到AB 的距离为EN ， 可得△ENM △△AOB ，△EN EMOA AB=, 在Rt △AOB 中，OA =3，OB =94， 由勾股定理得：AB =154， △1534EN EM=， 即EN =45EM ，设E （m ，2339424m m -++），M （m ，3944m -+），则EM =2339424m m -++－（3944m -+）=23944m m -+，△EN =45EM =2439544m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=233275220m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， △当m =32时，E 到直线AB 的距离的最大值为2720. （3）△点P 到直线BD ，DF 的距离相等，△点P 在△BDF 或△BDF 邻补角的平分线上，如图所示，由2339424y x x =-++知D 点坐标为（1,3），△B （0，94）， △BD =54， △DP 平分△BDF ，△△BDP=△PDF，△DF△y轴，△△BPD=△PDF，△△BPD=△BDP,△BD=DP，△P(0,1),设直线PD的解析式为：y=kx+n，△n=1，k+n=3，即直线PD的解析式为：y=2x+1，当y=0时，x=12 -，△当P在△BDF的角平分线上时，坐标为（0,1）或（12-，0）；同理可得：当P在△BDF邻补角的平分线上时，坐标为：（0,72）或（7，0），综上所述，点P的坐标为：（0,1），（12-，0），（0,72），（7，0）.2.（2019·洛阳二模）如图，抛物线y=ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-4经过点B，C. 点P是直线BC上方抛物线上一动点，直线PC交x轴于点D．（1）直接写出a，c的值；（2）当△PBD的面积等于△BDC面积的一半时，求点P的坐标；（3）当△PBA= 12△CBP时，直接写出直线BP的解析式．【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=x-4经过点B，C，△B(4，0),C(0,－4),将B(4，0),C(0,－4)代入y=ax2+5x+c得：c=－4，a=－1，（2）抛物线解析式为：y=－x2+5x－4，过点P作PH△x轴于H，如图所示，设P(m, －m2+5m－4)，△△PBD的面积等于△BDC面积的一半，△PH=12OC=2，即－m2+5m－4=2，或－m2+5m－4=－2，解得：m=2或m=3或m 517+或m517-，△0<m<4，△m=2或m=3或m 517 -（3）y=－x+4或y=（23）x38，理由如下：△当点P在x轴上方时，此时由△PBA= 12△CBP可得：△PBA=△ABC=45°，可得直线BP的解析式为：y=－x+4；△当点P在x轴下方时，此时△PBA= 13△ABC=15°，△CBP=30°，设直线BP交y轴于点Q，过点Q作QE△BC于E，如图所示，设Q(0,m)，则OQ=－m，QC=4+m，△QE=CE=22（4+m），BE36（4+m），△CE+BE2，2（4+m）6（4+m）2，解得：m38，即Q（0，38），由B（4,0），可得直线BP的解析式为：y=（23）x38，综上所述，直线BP的解析式为：y=－x+4或y=（23x3－8.3.（2019·洛阳三模）在平面直角坐标系中，直线y=12x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．过点D作DM△BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=12x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，△B(4,0),C(0,－2),△B、C在抛物线y=12x2+bx+c上，△8402b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：b=32-，c=－2，即抛物线解析式为：y=12x232-x－2.（2）过点D作DF△x轴于F，交BC于E，△D(m, 12m232-m－2)，E(m，12m－2)，F(m，0)，其中0<m<4，△DE=12-m2+2m，△DM△BC，△△DME=△BFD=90°，△△BOC=△DME=90°，△△OBC△△MDE，△DM OB DE BC=,即25 DM OBDE BC==△DM25=)2545255m -+， △5<0， △当m =2时，DM 454.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若D (2，m )在该抛物线上，连接CD ，DB ，求四边形OCDB 的面积；（3）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH △x 轴于点H ，再过点F 作FG △x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，△4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，CBA O xy解得：a=-1，b=3，即抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4.（2）△抛物线y=-x2+3x+4与y轴交于点C △C（0,4），△D(2,m)在抛物线上，△m=6，即D(2,6),S四边形OCDB=S△OCD+S△OBD= 12×4×2+12×4×6=16，即四边形OCDB的面积为16.（3292292，理由如下：△EFGH为正方形，△EF=EH，设E(n，-n2+3n+4)，则F(3-n，-n2+3n+4)，△抛物线的对称轴为x=32，△n>3 2 ,△n－（3-n）=-n2+3n+4或n－（3-n）=-（-n2+3n+4），解得：n= 129+或n=129-(舍)或n=529+或n=529-(舍)△边长EF=2n-3，得：EF292292.5.（2019·濮阳二模）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的动点，当S△P AB＝2S△AOB时，求点P的坐标.【答案】见解析．【解析】解：（1）将A（1，0）代入y＝﹣3x+c，得：c＝3，即B（0，3），将A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：-1+b+c=0，c=3，解得：b=-2，c=3，△抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接OP，抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，设P （m ，﹣m 2﹣2m +3），其中m ＜﹣1， S △P AB ＝S △POB +S △ABO ﹣S △POA ， △S △P AB ＝2S △AOB ， △S △POB ﹣S △POA ＝S △ABO ，△()2111312313222m m m ⨯⨯--⨯⨯--+=⨯⨯， 解得：m =－2或m =3（舍）， 即P 点坐标为（－2,3）.6.（2019·商丘二模）如图．在平面直角坐标系中．抛物线y ＝12x 2+bx +c 与x 轴交于A 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，﹣2）．已知点E （m ，0）是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE △x 轴交抛物线于点P ．交BC 于点F ．（1）求该抛物线的表达式；（2）当线段EF ，PF 的长度比为1：2时，请求出m 的值；（3）是否存在这样的m ，使得△BEP 与△ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A （﹣1，0）、C （0，﹣2）代入y ＝12x 2+bx +c 得： 2102c b c =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：b =32-，c =－2， △抛物线的表达式为：y ＝12x 232-x ﹣2； （2）在y ＝12x 232-x ﹣2中，当y =0时，x =－1或x =4， 即B (4,0),设直线BC 的解析式为：y ＝kx +n ，将点C （0，﹣2）、B (4,0)代入y ＝kx +n ，得：2420n k =-⎧⎨-=⎩，解得：212n k =-⎧⎪⎨=⎪⎩△直线BC 的表达式为：y ＝12x ﹣2， △E （m ，0），△P (m ，12m 232-m ﹣2)，F (m ，12m ﹣2) △当E 在线段AO 上时，EF >PF ，不符合题意； △当E 在线段OB 上时， EF =2－12m ，PF =12m ﹣2－（12m 232-m ﹣2）=－12m 2+2m ，△2EF =PF ， △2（2－12m ）=－12m 2+2m ， 解得：m =2或m =4， △E 不与A 、B 重合， △m ≠4， 即m =2；（3）△A （﹣1，0）、C （0，﹣2）、B (4,0), △AB 2=25，AC 2=5，BC 2=20， △AB 2=AC 2+BC 2△△ABC 是直角三角形， 当△BEP 与△ABC 相似，则△EPB ＝△CAB 或△EPB ＝△ABC ，△tan △EPB ＝tan △CAB ，或tan △EPB ＝tan △ABC ， △当tan △EPB ＝tan △CAB 时， 即：24213222mm m -=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，解得：m ＝0或4（舍去）， △当tan △EPB ＝tan △ABC ， 即：241132222m m m -=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，解得：m ＝3或4（舍去），综上所述，m 的值为0或3．7.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC △x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线y ＝﹣x 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线于点G ，作PH △EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC △x 轴 △点E 的纵坐标为2， △点E 在直线y ＝﹣x 上， △点E （﹣2，2），△将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）△OC =CE =2，△△ECO =△CEO =45°， △PG △x 轴，PH △EO ， △△PGH =45°，即△PGH 为等腰直角三角形，P (m ，224233m m --+)，G （m ，﹣m ），△l 2PG 2（224233m m --++m ） ＝2214923448m ⎫-++⎪⎝⎭ △2<0， △当m =－14时，l 取最大值，最大值为：248.8.（2019·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣2x +10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，P A =QA ？【答案】见解析．【解析】解：（1）△直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，△A（5，0），B（0，10），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，△抛物线过点B（0，10），C（8，4），O(0,0)，△c=0，25a+5b=0，64a+8b=4，△a=16，b=56-，c=0抛物线解析式为y=16x256-x，△A（5，0），B（0，10），C（8，4），△AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，△AC2+BC2=AB2，△△ABC是直角三角形．（2）由（1）知BC=10，AC=5，OA=5，OP=2t，BQ=t，CQ=10﹣t，△AC=OA，△ACQ=△AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，AC=OA，P A=QA，△Rt△AOP△Rt△ACQ，△OP=CQ，即2t=10﹣t，解得：t=103，即当运动时间为103s时，P A=QA.9.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0，y＝5，当y＝0，x＝5，点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时，x＝﹣1或5，△A（﹣1，0），OB＝OC＝2，∴△OCB＝45°；过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，△△OCB＝45°，∴CD″△x轴，点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3，直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，∴N(34，0).联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=85，y=175，即M(85，175).10.（2019·郑州模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，OB=OC．点D 在函数图象上，CD∥x 轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b，c的值．（2）如图1，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′恰好在线段BE 上，求点 F 的坐标．（3）如图2，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵CD∥x轴，CD=2，C在y轴上，∴抛物线的对称轴为：x=1，即b=－2，∵OB=OC，C(0，c)，∴B(-c,0)，即c2+2c+c=0，解得：c=0（舍）或c=－3，即b=-2，c=-3，（2）抛物线的解析式为：y= x2-2x-3，可得：E(1,-4)，A(-1,0)，B(3,0),C(0,-3),则直线BE的解析式为：y=2x-6，设F(0,m)，则其关于直线l对称点为F’(2,m)，∵F’在直线BE上，∴m=－2，即F(0，－2).(3)存在，理由如下：过点Q作QD⊥PN于D，连接PQ、NQ，设点P(x，0)，由B(3,0),C(0,-3)得直线BC的解析式为：y=x－3则M(x，x-3)，N(x,x2-2x-3)，AP=x+1，PM=3-x，PN= -x2+2x+3∵S△PQN=S△APM，∴PN·DQ=AP·PM，∴（-x2+2x+3）DQ=(x+1)(3-x)，即DQ=1，①当点D在直线PN右侧时，D(x，x2-4),Q(x+1,x2-4)，则DN=|2x-1|,在Rt△DNQ中，由勾股定理得：NQ2=(2x-1)2+12=4212x⎛⎫-⎪⎝⎭+1,当x=12时，NQ取最小值，此时Q(32，154-)；②当点Q在直线PN的左侧时，由对称性求得：此时Q(12，154-)；11.（2019·郑州模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c和直线y=x+1交于A、B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C.（1）求抛物线的解析式.（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B 点横坐标为3，在y =x +1上，∴B （3，4），∵A 点在y =x +1上，∴A （﹣1，0），将A （﹣1，0），B （3，4）代入y =﹣x 2+bx +c 得：10934b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y =﹣x 2+3x +4（2）①过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，由题意得：E （﹣1+t ，0），Q （3﹣2t ，0），∴EQ =4﹣3t ，PE =t∵∠PQE +∠NQC =90°，∠PQE +∠EPQ =90°，∴∠EPQ =∠NQC ，∴△PQE ∽△QNC ，∴12 PQ PENQ CQ==,∴S矩形PQNM=PQ•NQ=2PQ2∵PQ2=PE2+EQ2∴S=20t2﹣36t+18=2616 2055t⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当t=65时，S最小为165.②由①知：△PQE∽△QNC，C（3﹣2t，0），P（﹣1+t，t），∴NC=2QO=8﹣6t，∴N（3，8﹣6t），∴M（3t﹣1，8﹣5t），（i）当M在抛物线上时，可得：8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得：t 1027+或t1027-；（ii）当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2，（iii）当N在抛物线上时，8﹣6t=4，∴t=23，综上所述，当t 1027+1027-，2，23时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．12.（2019·郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3,1），（3,0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是【答案】14-≤b≤1.【解析】解：当点A与点N重合时，MN⊥AC，B、M、N共线，∵N（3，1）∴b=1；当点A与点M重合时，延长NM交y轴于E，易知∠CAN=∠BAE，即tan∠CAN=tan∠BAE，∴11252BE=，∴BE=54，即b=14-，∴b 的取值范围是:14 ≤b ≤1.。