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1.4定积分与微积分基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分如图，阴影部分是由直线x＝1，x ＝2，y ＝0和曲线f (x )＝x 2所围成的曲边梯形，问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． 问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？ 提示：不能．问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以．1．曲边梯形曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，称为曲边梯形． 2．求曲边梯形面积的方法求由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形如图①的面积的步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．[对应学生用书P25]问题1：求曲边梯形的面积与变力所做功的步骤是什么？ 提示：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：你能将区间[a ，b ]等分吗？ 提示：可以．定积分的概念设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .把区间[a ，b ]分成n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i =0n －1f (ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝li m λ→0 ∑i =0n －1f (ξi )Δx i .其中f (x )叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，f (x )d x 叫做被积式，此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”．例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等分数越多，这种“代替”就越精确．当n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如⎠⎛a bx 2d x ＝⎠⎛a bt 2d t .[对应学生用书P26][例1] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[思路点拨] 按分割、近似代替、求和、取极限求值四步骤进行． [精解详析] 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎡⎦⎤2i －2n，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i =1nf ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝i =1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i =1n i 2＋2. ＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143. [一点通] 求曲边梯形面积的过程：1．下列关于函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 内各点处的函数值的说法正确的是( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 解析：当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 内的值相差很小，所以函数值相差很小，故选D.2．用以直代曲的思想，求由y ＝3x ，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积． 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替：用小矩形面积ΔS i (i ＝1,2，…，n )近似代替小曲边梯形面积，ΔS i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n 2()i －1，(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i =1nΔS i ＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n. (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i =1nΔS i ＝li m n →∞32·n －1n ＝32.[例2] 利用定积分表示由曲线y ＝x －2，x ＝y 2围成的平面区域的面积S .[思路点拨] 用定积分表示平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分函数，再确定积分上、下限，当公式S ＝⎠⎛a b|f (x )－g (x )|d x 中的f (x )或g (x )是分段函数时，面积要分块表示．[精解详析] 曲线所围成的平面区域如图所示， S ＝A1＋A 2，其中，A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成， A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成． ∴A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ＝⎠⎛012x d x .A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x .∴S ＝⎠⎛012 x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .(1)定积分的几何意义：当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是以曲线f (x )为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图像以及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题．定积分的值可正可负可为零，而面积是正值．3．利用定积分表示下图中阴影部分的面积，答案：(1)⎠⎛121⎠⎛2121xd x (2)⎠⎛-11(－x 2＋1)d x 4．利用定积分表示由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．解：由题意，作图形，并解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0，得x ＝2，y ＝4.所以y 2＝8x 与直线x ＋y －6＝0的交点为(2,4)． 所以所求面积为S ＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x .[例3] (12分)说明下列定积分的几何意义，并根据其几何意义求出定积分．(1)⎠⎛023d x ； (2)⎠⎛232x d x ；(3)⎠⎛-a a a 2－x 2d x .[精解详析] (1)⎠⎛023d x 表示的是图(1)中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积是6，所以⎠⎛023d x ＝6.(4分)(2)⎠⎛232x d x 表示的是图(2)中阴影所示的梯形面积，其面积为5. ∴⎠⎛232x d x ＝5.(8分)(3)⎠⎛-a aa 2－x 2d x 表示的是图(3)中阴影部分的面积，该图形是一个以原点为圆心，半径为a 的上半圆的面积，其面积为π2a 2.∴⎠⎛-a aa 2－x 2d x ＝π2a 2.(12分)[一点通] 利用定积分的几何意义求定积分⎠⎛a bf (x )d x ，关键是确定由曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的图形的形状，若图形是三角形、梯形、矩形、圆(或一部分)，则可用相应面积公式计算．5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式．(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ；(2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x ；(3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .答案：(1)＞ (2)< (3)＜6．利用定积分的几何意义，说明下列等式． (1)⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，而S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛-111－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方部分的面积．由S 半圆＝π2，得⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.几类曲边梯形的面积与定积分的关系1．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为( )A.1n B.2n C.2n －1D.2n ＋1解析：每个小区间长度为：1－(－1)n ＝2n .答案：B2．求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎡⎦⎤t (i －1)n ，ti nD.⎣⎡⎦⎤t (i －2)n ，t (i －1)n 解析：每个小区间长度为t n ，故第i －1个区间的左端点为：0＋(i －2)×t n ＝t (i －2)n ，右端点为t (i －2)n ＋t n ＝t (i －1)n.答案：D3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)解析：当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．答案：C4．如图，阴影部分的面积为( )[对应课时跟踪训练(十)]A.⎠⎛a bf (x )d x B.⎠⎛a bg (x )d x C.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛a b[g (x )－f (x )]d x解析：由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )， ∴阴影部分的面积为⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x . 答案：C5．把y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵当0<x <π2时，sin x >0，∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎛02πsin x d x .答案：⎠⎛2πsin x d x .6．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S 1＝________(如图1)； (2)S 2＝________(如图2)； (3)S 3＝________(如图3)．答案：(1)⎠⎛3π0⎠⎛ππ3sin x d x (2)⎠⎛-42x 22d x (3)⎠⎛49x 12d x 7．利用定积分表示曲线y ＝x 2与x ＋y ＝2所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2得交点的横坐标为x ＝1及x ＝－2，如图，∴S ＝⎠⎛-21[(2－x )－x 2]d x ＝⎠⎛-21(2－x －x 2)d x .8．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x 2d x .解：由y ＝4－x 2可化为x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛-114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.S 矩形＝AB ·BC ＝2 3.∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。
