《证明(一)》回顾与思考

3.已知:如图，∠1+∠2=180 . ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ证: ∠3=∠4.
分析:要证明∠3=∠4，只要证明 CD∥EF ；而由∠1+∠2=1800，可 得∠1+∠5=1800.从而可得CD∥EF
“行家”看“门 道” 0
C O 3 D 4 B F 3题图 E 2 A
15
证明:∵ ∠1+∠2=1800 (已知) ，
D
用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
关注▲外角
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内涵与外延
A 2
在这里,我们通过三角形内角 和定理直接推导出两个新定理. 像这样,由一个公理或定理直接 推出的定理,叫做这个公理或定 理的推论. 3 B 推论可以当作定理使用.
∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个外角的和).
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
小结
拓展
回味无穷
• 理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. • 三角形内角和定理 • 三角形三个内角的和等于1800.△ABC中, ∠A+∠B+∠C=1800. • 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和. • 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角. • 关注三角形的外角. • 推论3: 直角三角形的两锐角互余. • 你准备如何提高证明命题的能力呢?
D
试一试
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你认识外角吗?
B D E C A
已知: 如图所示. 求证: (1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角意义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻 的任何一个外角). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义), ∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角). ∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
能证明你的结论吗? ∠1+∠4=1800 ; ∠1>∠2; 3 4 1 ∠1>∠3; B C ∠1=∠2+∠3. 证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
“行家”看“门 道” A 1.如图：将正方形的四个顶点用线
段连接，什么样的线段最短？研究发 现，并非对角线最短，而是如图所示 的连法最短（即用线段AE，DE，EF， BF，CF把四个顶点连接起来） . B
E F
D
已知图中∠DAE=∠ADE=300，∠AEF=∠BFE=1200 . 你能证明此时的AB∥EF吗？. 证明：∵∠DAB=900(正方形性质) ，∠DAE=300(已知)， ∴∠BAE=600(等式性质). ∵∠AEF=1200(已知)， ∴∠BAE+∠AEF=1800(等式性质) . ∴ AB∥EF(同旁内角相等，两直线平行).
1题图
C
“行家”看“门 道” 2.已知：如图，直线 a,b被 直线c所截，a∥b.
求证：∠1+∠2=1800.
a 证明1:∵ a∥b(已知) ∴∠2=∠3 (两直线平行，内错角相等) b 又∵∠1+∠3= 1800 (平角意义) 1 ∴∠1+∠2= 1800 (等量代换) 证明2:∵ a∥b(已知) 2题图 ∠1=∠4 ( 对顶角相等) ∴∠2+∠4=1800 ( 两直线平行，同旁内角互补) ∴∠1+∠2= 1800 (等量代换). c 3 4 2
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
几何的三种语言
☞ 关注三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. A △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3.
八年级
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6.回顾与思考
回顾与思考
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直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗人, 你还能找到这样的例子吗?
a a b b a bc
d
回顾与思考
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知多少
定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确 的规定,也就是给出它们的定义. 命题:判断一件事情的句子,叫做命题
每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项, 结论是由已事项推断出的事项. 一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式, 其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是 结论. 正确的命题称为真命题不正确的的命题称为假命题 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使 之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为
c
a
b
2
1
回顾与思考
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三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B ∠B+∠C=1800-∠A. ∠A+∠C=1800-∠B.
试一试
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你认识外角吗?
B D E A
已知: 如图所示. 求证: (1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 C (外角意义), ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
· C ·
例题欣赏
☞ “行家”看“门道”
D 2 C
5
例2 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是它的一个外角,
E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知),
∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于 任何一个和它不相邻的内角). A
3
E
c
1
2
几何的三种语言
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平行线的性质
c
公理: 两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理1: 两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理2: 两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
a b
a
b
2
1
c
1 2
C
D
∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
例题欣赏 ☞
你认识外角吗?
A H
2 1F
已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 分析:设法利用外角把这五个角“凑 B ”到一个三角形中,运用三角形内角 和定理来求解.
B 2
3
4 1 C
D
这个结论以后可以直接运用.
回顾与思考
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胜者的“钥匙”
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论; (2)根据题意画出相应的图形;
(3)根据题设和结论写出已知,求证;
(4)分析证明思路,写出证明过程.
探索思考
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“行家”看“门道”
2
如图：∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的 A 其它角有什么关系?
∠5=∠2(对顶角相等)， ∴∠1+∠5=1800 (等量代换).
∴ CD∥EF (同旁内角互补，两直线平行).
∴∠3=∠4(两直线平行，同位角相等).
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角 相等”,“内错角相等”或“同旁内角互 B 补”. 证明: ∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), 1 例题是运 ∴ ∠C= ∠EAC(等式性质). 2 用了定理 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). “内错角 1 相等,两直 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 2 线平行” ∴∠DAC=∠C(等量代换). 得到了证 实. ∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
回顾与思考
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知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理 的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).
本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等, 那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边及夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
几何的三种语言
☞ 平行线的判定
c
公理: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
a b
a
b
2
1
c
1 2
判定定理2: a 同旁内角互补,两直线平行.b 0 ∵∠1+∠2=180 , ∴ a∥b.