《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：9.3椭圆及其性质(含答案解析)

所以圆心到直线的距离d = 2ab = a ，整理为 a2 = 3b2 ， a2 + b2
( ) 即 a2 = 3 a2 − c2
2a2
=
3c2
c2
，即
a2
=
2 3
，e = c = 6 ，故选 A． a3
6．A【解析】当0 m 3 ，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB = 120 ，
4.解析 （1）设椭圆 C 的焦距为 2c.
因为 F1(-1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1.
5 又因为 DF1 = 2 ，AF2⊥x 轴，所以 DF2=
DF12 − F1 F22 =
(5 )2 − 22 = 3 ，
2
2
因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2. 由 b2=a2-c2，得 b2 =3.
2.解析：由题意可得：3 p
−
p
=
p 2
2
，解得
p
=
8 ．故选
D．
3.解析（I）由题意得， b2=1，c=1． 所以a2=b2+c2=2．
所以椭圆C的方程为 x2 + y2 = 1． 2
（Ⅱ）设P （x1 ，y1）， Q（x2 ，y2），
则直线AP的方程为 y =
y1 −1 x +1 ． x1
令y=0，得点M的横坐标 x M
=
−
x1 ． y1 −1
又 y1 = kx1 + t ，从而 |OM |= xM
= | x1 |． kx1 + t − 1
同理， |ON |= | x2 |． kx2 + t −1
y = kx + t,

第三节 椭圆及其性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜12.(2016·全国Ⅲ，11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.343.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝14.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.5.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围.6.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值.7.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .8.(2015·福建，18)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.9.(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.10.(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.11.(2014·辽宁，15)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.12.(2014·安徽，14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________. 13.(2014·江西，15)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·青岛模拟)已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A.3 2B.2 6C.27D.7 2.(2016·安徽安庆模拟)已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A.2 B.2或83C.2或6D.2或83.(2015·黄冈质检)F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.22 C.12 D.324.(2015·武汉模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝15.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)已知点P (x ，y )在椭圆x 264＋y 239＝1，若定点A (5，0)，动点M 满足|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是______.6.(2016·福建四地六校第三次联考)已知椭圆的中心在原点，，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4，1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于不同的两点A 、B . (1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)若直线l 不过点M ，求证：直线MA 、MB 的斜率互为相反数.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1. A [由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.] 2.A [设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13.]3.A [由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3. 又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.]4. 63[联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b 2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2,又F (c ,0),则FB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2， 又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 5.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1,A (-2,0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t . 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)， 当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2).6.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2. 所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2.故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.7.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|QF 1|＋|QF 2|＝2a , 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|,有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3. 8.解 法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0.所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2. 所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以|GH |＞|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 法二 (1)同法一.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516 ＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 9.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a,由d ＝12c ,得a ＝2b ＝2a 2－c 2,解得离心率c a ＝32.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1,代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b21＋4k 2， 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.10.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.设M (x M ，0).因为m ≠0，所以－1＜n ＜1.直线PA 的方程为y －1＝n －1mx . 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n ). 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2).11.12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.]12.x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.]13.22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)·(b 2－3)＝0，∴b 2＝3.长轴长为2b 2＋4＝27.]2.D [显然m ＞0且m ≠4,当0＜m ＜4时,椭圆长轴在x 轴上,则1m －141m＝22,解得m ＝2;当m ＞4时,椭圆长轴在y 轴上,则14－1m 14＝22，解得m ＝8.] 3.A [不妨设|PF 2|＝1,则|PF 1|＝2,|F 1F 2|＝2c ＝3,由椭圆的定义得2a ＝3,因此e ＝c a＝2c 2a ＝33.] 4.B [∵a ＝4,e ＝34,∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.11 ∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.] 5. 2 2 [由|AM →|＝1可知点M 的轨迹为以点A 为圆心,1为半径的圆,过点P 作该圆的切线，则|PA |2＝|PM |2＋|AM |2;得|PM |＝|PA |2－1,∴要使得|PM →|的值最小,而|PA →|的最小值为a －c ＝3，此时|PM →|＝2 2.]6.(1)解 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，所以a 2＝4b 2，又因为M (4，1)在椭圆上，所以16a 2＋1b 2＝1，解得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 25＝1.(2)解 将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)＞0，解得－5＜m ＜5.(3)证明 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，只要证明k 1＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝（y 1－1）（x 2－4）＋（y 2－1）（x 1－4）（x 1－4）（x 2－4）分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)(x 1－4)＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2（4m 2－20）5－8m （m －5）5－8(m －1)＝0，所以直线MA 、MB 的斜率互为相反数.。

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。

考纲解读明方向考纲解读考点内容解读要求常考题型预测热度1.椭圆的定义及其标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握选择题解答题★★★2.椭圆的几何性质掌握填空题解答题★★★3.直线与椭圆的位置关系掌握解答题★★★分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.2018年高考全景展示1．【2018年全国卷II文】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（）A. B. C. D.2．【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．3．【2018年天津卷文】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k 的值.4．【2018年文北京卷】已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点共线，求k .2017年高考全景展示1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．592.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][9,)+∞B ．(0,3][9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞3.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．63B ．33C ．23D ．134.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.5.【2017北京，文19】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．6.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）342.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）343.【2016高考新课标2文数】已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当AM AN =2k <<. 4.【2016高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C：22221x ya b+=过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.。