高等数学常用等价替换公式

等价替换公式大全
等价替换是指在数学推导中，通过替换某个数学对象（如变量、函数等）而保持等式的真实性。

下面是一些常见的等价替换公式：
1. 代入公式：当两个数值相等时，我们可以在等式中分别代入这两个数值。

例如：如果$a=b$，则可以将$a$替换为$b$，反之亦然。

2. 合并公式：当两个等式的一侧相等时，我们可以将它们合并成一个等式。

例如：如果$a=b$，$b=c$，则可以合并为$a=c$。

3. 展开公式：可以将复杂的数学表达式展开成更简单的形式。

例如：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。

4. 因式分解公式：可以将一个多项式分解成更简单的乘积形式。

例如：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。

5. 同底数幂等式：当幂的底数相等时，可以合并指数。

例如：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。

6. 对数的指数对应性：对数和指数是互相对应的。

例如：$a^{\log_a x} = x$。

7. 反函数公式：对于一个函数$f$和它的反函数$f^{-1}$，有
$f(f^{-1}(x)) = x$和$f^{-1}(f(x)) = x$。

这只是一部分等价替换公式的示例。

在数学中，还有很多其他的等价替换公式，具体使用哪些公式取决于具体的数学问题和推导过程中的需要。

等价无穷小替换公式表
等价无穷小替换公式如下：
1、sinx~x
2、tanx~x
3、arcsinx~x
4、arctanx~x
5、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。

求极限时使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小比阶：
高低阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=0，则称当x趋近于x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。

同阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=c（c不等于0），ƒ和ɡ为x趋近于x0时的同阶无穷小量。

等价无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=1，则称ƒ和ɡ是当x趋近于x0时的等价无穷小量，记做f（x）~g（x）[x趋近于x0]。

极限等价替换公式大全
极限等价替换是微积分中一个非常重要的概念，它在求解极限的过程中起到了非常关键的作用。

通过等价替换，我们可以将原来复杂的极限问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。

下面，我们将介绍一些常见的极限等价替换公式，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一概念。

1. 当 x 趋于 0 时，sinx 与 x 等价。

当 x 趋于 0 时，我们有 sinx/x=1。

这个等价关系在求解极限时非常有用，可以帮助我们简化复杂的极限表达式。

2. 当 x 趋于 0 时，1-cosx 与 x^2/2 等价。

同样地，当 x 趋于 0 时，我们有 1-cosx=x^2/2。

这个等价关系在某些极限计算中也非常有用。

3. 当 x 趋于 0 时，tanx 与 x 等价。

当 x 趋于 0 时，我们有 tanx/x=1。

这个等价关系在某些极限计算中也可以发挥作用。

4. 当 x 趋于 0 时，e^x 1 与 x 等价。

当 x 趋于 0 时，我们有 e^x-1=x。

这个等价关系在涉及到自然对数的极限计算中非常有用。

5. 当 x 趋于 0 时，ln(1+x) 与 x 等价。

当 x 趋于 0 时，我们有 ln(1+x)=x。

这个等价关系在某些极限计算中也可以简化问题。

通过以上的极限等价替换公式，我们可以将原来复杂的极限计算问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。

在实际应用中，我们需要根据具体的极限表达式选
择合适的等价替换公式，以便更高效地求解极限。

希望以上内容能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。

全部等价无穷小替换公式无穷小是微积分中一个重要的概念，它表示一个趋近于零的量。

在微积分中，我们经常会遇到一些复杂的公式，而使用等价无穷小替换公式可以简化计算过程，并使问题更易解决。

等价无穷小替换公式是一种将复杂的表达式替换为等价的无穷小的方法。

这种方法在求极限、求导数等计算中非常有用。

下面，我们将介绍几个常见的等价无穷小替换公式，并通过实例进行说明。

1. 无穷小的乘积替换公式：当两个无穷小相乘时，可以将其替换为一个无穷小。

例如，当x 趋近于零时，x*sin(x)可以替换为x^2。

这个公式在求极限时经常使用。

2. 无穷小的和差替换公式：当两个无穷小相加或相减时，可以将其替换为一个无穷小。

例如，当x趋近于零时，sin(x)/x可以替换为1。

这个公式在求极限时经常使用。

3. 高阶无穷小替换公式：当一个无穷小的高阶项与其他无穷小相乘时，可以将其忽略。

例如，当x趋近于零时，sin(x)/x可以替换为1。

这个公式在求极限时经常使用。

4. 无穷小的幂替换公式：当一个无穷小的幂趋近于零时，可以将其替换为一个无穷小。

例如，当x趋近于零时，x^n可以替换为0，其中n为正整数。

这个公式在求极限时经常使用。

通过使用等价无穷小替换公式，我们可以将复杂的计算问题简化为求解无穷小的问题。

这样不仅可以提高计算效率，还可以减少计算错误的可能性。

下面，我们通过一个实例来说明等价无穷小替换公式的应用。

例题：求极限lim(x→0) (sin(x) - x)/x^3。

解：根据等价无穷小替换公式，我们可以将sin(x) - x替换为一个等价的无穷小。

当x趋近于零时，sin(x) - x可以替换为0。

因此，原极限可以转化为lim(x→0) 0/x^3。

进一步化简，得到lim(x→0) 0，即极限为0。

通过以上实例，我们可以看到，使用等价无穷小替换公式可以将复杂的计算问题简化为求解无穷小的问题，从而更容易求得极限值。

需要注意的是，在使用等价无穷小替换公式时，我们要确保替换后的无穷小与原表达式在相应的极限下是等价的。

高数等价替换公式正如学生们所知，高数使用等价替换公式是一个能够替换另一个数学公式的有效的方法，这种替换可以有助于更容易理解和求解数学问题。

本文将主要介绍高数等价替换公式，以及等价替换如何来帮助学生解决复杂的数学问题。

首先，让我们来看看什么是等价替换公式。

等价替换公式实际上是把一个数学公式拆分成另一个具有相同性质和结果的数学公式，这样拆分出来的公式就是我们所说的等价替换公式。

举个例子，如果你要处理方程式：P(x)= ax2+bx+c你可以把它拆分成等价的替换公式：P(x)=a(x+b/2a)2+(c-b2/4a)可以看到，经过等价替换，原来复杂的方程式变得非常简单，易于理解和求解。

当然，不只有方程式可以拆分，函数也可以，比如有一个函数： f(x)=x3+bx2+cx也可以拆分成：f(x)=x2(x+b/2)+cx可以看到，经过等价替换，这个函数的计算也变得更加容易了。

接下来，让我们来说说等价替换公式会给学生带来什么好处。

首先，等价替换公式可以帮助学生更加容易理解复杂的数学公式。

拆分出来的公式总是比原来的要简单一些，这样学生们就可以更容易理解了。

其次，等价替换公式也可以帮助学生更高效地求解数学问题。

掌握等价替换技巧，可以让学生避免花费大量时间处理复杂的公式，而是用简单的公式解决复杂的问题，这将大大提高学生的效率。

最后，等价替换公式还能让学生更好地记忆数学公式。

由于拆分后的公式较为简单，学生可以更容易记住它。

这样，学生就可以在解决其他类似问题时，利用这些公式，从而避免重复计算，从而节约时间和精力。

从以上可以看出，等价替换公式是一种有效的数学工具。

它在数学计算中可以发挥重要作用，可以帮助学生更容易理解和求解复杂的数学问题，从而极大地提高学生的效率和学习成绩。

因此，学生应该熟悉等价替换技巧，以便在学习和解决数学问题时发挥它的优势。

所有等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种重要的工具，用于替换函数中的无穷小量，以便更方便地进行计算。

通过等价无穷小替换公式，我们可以将复杂的极限计算问题化简为简单的代数运算。

在本篇文章中，我将介绍一些常见的等价无穷小替换公式。

1.当x趋向于正无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x， tan(x) = x 和 sec(x) = x。

- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。

-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量x替换，即e^x-1=x。

-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量x替换，即1/(1+x)=x。

2.当x趋向于负无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 sin(x) = -x， tan(x) = -x 和 sec(x) = -x。

- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 ln(1+x) =-x。

-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量-x替换，即e^x-1=-x。

-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量-x替换，即1/(1+x)=-x。

3.当x趋向于0时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x。

- 无穷小量 tan(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 tan(x) = x。

- 无穷小量 sec(x) 可以用等价无穷小量 1 替换，即 sec(x) = 1- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。

常用的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中常用的工具，用于将一个无穷小量替换成另一个与之等价的无穷小量，以便更方便地进行计算和求解。

下面是一些常见的等价无穷小替换公式。

1.当x趋于0时，有以下等价无穷小替换公式：- sin(x) ≈ x- tan(x) ≈ x- arcsin(x) ≈ x- arctan(x) ≈ x- ln(1+x) ≈ x-e^x-1≈x- (1+x)^n -1 ≈ nx （n为常数）2.当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小替换公式：-e^x≈∞（指数函数增长非常快）- ln(x+1) ≈ x- sin(x)/x ≈ 1- tan(x)/x ≈ 1- arcsin(x)/x ≈ 1- arctan(x)/x ≈ 13.一些其他常见等价无穷小替换公式：- x^a - 1 ≈ ax^(a-1)（a为常数）-x^a≈∞（当x趋于无穷大且a为正数）-x^a≈0（当x趋于0且a为负数）- 1 - cos(x) ≈ x^2/2- ln(x) ≈ x^a （当 x 趋于无穷大且 a 为正数）这些等价无穷小替换公式的应用可以简化复杂的数学计算和求解问题。

需要注意的是，这些公式只是在特定的条件下成立，并不适用于所有情况，因此在使用时需要根据具体问题进行判断和决策。

除了上述列举的常见等价无穷小替换公式，还有一些与泰勒级数展开相关的公式也可以用于等价无穷小替换：-当x趋于a时，有以下泰勒级数的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...-当x趋于无穷大时，有以下泰勒级数和欧拉-麦克劳林公式的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...这些泰勒级数展开的等价无穷小替换公式可以用于近似计算函数的值和导数的值。

高等数学等价无穷小替换公式
在高等数学中，我们常常会遇到无穷小量。

无穷小量指的是在某个极限下，趋于零的量。

虽然无穷小量在数学中有很多应用，但是它在计算中也会带来一定的麻烦。

因此，我们需要一些替换公式来简化计算。

等价无穷小替换公式是指在某个极限下，用一个更简单的无穷小量来代替原来的无穷小量，从而简化计算。

以下是一些常见的等价无穷小替换公式：
1. 当 $xto 0$ 时，$sin(x)sim x$，$tan(x)sim x$，$arcsin(x)sim x$，$arctan(x)sim x$。

2. 当 $xtoinfty$ 时，$e^{-x}sim 0$，$ln(1+x)sim x$，$1-e^{-x}sim x$。

3. 当 $xto a$ 时，$e^x-1sim x$，
$ln(x+1)-ln(x)simfrac{1}{x}$。

使用等价无穷小替换公式可以简化复杂的计算，但是需要注意的是，这些公式只适用于特定的极限情况下。

在使用时需要结合具体的问题进行判断，避免出现错误。

- 1 -。

x趋于0时，x和sinx是等价无穷小；sinx和tanx是等价无穷小；tanx和ln(1+x)是等价无穷小；ln（1+x）和ex-1是等价无穷小；ex-1和arcsinx、arctanx是等价无穷小；
等价无穷小的替换条件：
①x→0时
②只能在乘除运算中用无穷小替换，不能互相加减，否则误差会增大到不可接受的地步。

（但当加减项作为一个整体的时候，是可以被等价替换的）
③X的位置可以是任意小的无穷函数
一. 无穷小
定义1. 若x→x0时，函数f(x)→0 , 则称函数 f(x) 为x→x0时的无穷小。

注. x0 可以是±∞；无穷小说的是“函数”，唯一的常数无穷小是0，其实不是常数0 而是0 函数。

• 有限个无穷小的和仍是无穷小；(无限个不一定)
• 有限个无穷小的乘积仍是无穷小；(无限个不一定)
• 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

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无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念;2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较;3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换;4、求极限的方法。

【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限. 难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）.最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习(15分钟）. 【授课内容】一、无穷小与无穷大1。

八个等价无穷小替换公式一、等价无穷小的定义在微积分中，等价无穷小是指当自变量趋于某个确定值时，函数的变化趋势与某个已知无穷小函数相同。

等价无穷小的概念在微积分的推导和证明中起到了重要的作用。

下面我们将介绍八个常见的等价无穷小替换公式。

二、公式一：当x趋于0时，sin(x)与x等价在极限计算中，当自变量趋于0时，可以使用sin(x)与x等价的替换公式，即sin(x)与x的极限值相等。

三、公式二：当x趋于0时，tan(x)与x等价同样地，在极限计算中，当自变量趋于0时，可以使用tan(x)与x 等价的替换公式，即tan(x)与x的极限值相等。

四、公式三：当x趋于0时，arcsin(x)与x等价对于反三角函数arcsin(x)，当自变量趋于0时，可以使用arcsin(x)与x等价的替换公式，即arcsin(x)与x的极限值相等。

五、公式四：当x趋于0时，arctan(x)与x等价类似地，在极限计算中，当自变量趋于0时，可以使用arctan(x)与x等价的替换公式，即arctan(x)与x的极限值相等。

六、公式五：当x趋于无穷大时，e^x与x等价在极限计算中，当自变量趋于无穷大时，可以使用e^x与x等价的替换公式，即e^x与x的极限值相等。

七、公式六：当x趋于0时，ln(1+x)与x等价对于对数函数ln(1+x)，当自变量趋于0时，可以使用ln(1+x)与x 等价的替换公式，即ln(1+x)与x的极限值相等。

八、公式七：当x趋于0时，1-cos(x)与(x^2/2)等价在极限计算中，当自变量趋于0时，可以使用1-cos(x)与(x^2/2)等价的替换公式，即1-cos(x)与(x^2/2)的极限值相等。

九、公式八：当x趋于0时，(1+x)^a-1与ax等价对于幂函数(1+x)^a-1，当自变量趋于0时，可以使用(1+x)^a-1与ax等价的替换公式，即(1+x)^a-1与ax的极限值相等。

以上八个等价无穷小替换公式在微积分中应用广泛，可以简化复杂的极限计算。

极限等价替换公式大全极限等价替换是微积分中一个重要的概念，它在求解极限问题时起到了非常重要的作用。

在实际的计算中，我们经常会遇到一些复杂的极限问题，而极限等价替换公式可以帮助我们简化计算，提高求解的效率。

接下来，我们将介绍一些常用的极限等价替换公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。

1. 当 x 趋于 0 时，sinx 与 x 等价。

当 x 趋于 0 时，sinx 与 x 近似相等，这是一个非常常用的极限等价替换公式。

当我们在计算极限时遇到 sinx/x 的形式时，可以直接将 sinx 替换为 x，从而简化计算过程。

2. 当 x 趋于 0 时，1-cosx 与 (1/2)x^2 等价。

同样地，当 x 趋于 0 时，1-cosx 与 (1/2)x^2 近似相等。

这个等价替换公式在一些复杂的极限计算中也经常会用到，可以帮助我们简化计算过程，提高求解效率。

3. 当 x 趋于 0 时，e^x-1 与 x 等价。

e^x-1 与 x 在 x 趋于 0 时也近似相等，这个等价替换公式在求解极限时也非常有用。

通过将 e^x-1 替换为 x，我们可以简化计算过程，提高计算效率。

4. 当 x 趋于 0 时，ln(1+x) 与 x 等价。

在一些极限计算中，我们会遇到 ln(1+x)/x 的形式，这时可以将 ln(1+x) 替换为 x，从而简化计算过程。

5. 当 x 趋于 0 时，tanx 与 x 等价。

当 x 趋于 0 时，tanx 与 x 近似相等，这个等价替换公式在一些复杂的极限计算中也非常有用。

以上就是一些常用的极限等价替换公式，它们在求解极限问题时起到了非常重要的作用。

通过合理地运用这些等价替换公式，我们可以简化计算过程，提高求解效率。

希望大家在学习和工作中能够灵活地运用这些公式，更好地解决各种极限计算问题。

无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。

下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。

例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。

显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。

小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

等价函数公式，也称为等价无穷小替换公式，是数学中的一组常用公式，用于在某些极限计算中将复杂的函数替换为简单的函数，以简化计算过程。

以下是等价函数公式的一些常见类型：
1. 当x → 0 时，arctan(x) ≈ x。

2. 当x → 0 时，ln(1 + x) ≈ x。

3. 当x → 0 时，sin(x) ≈ x。

4. 当x → 0 时，tan(x) ≈ x。

5. 当x → 0 时，e^x ≈ 1 + x。

6. 当x → 0 时，ln(1 - x) ≈ -x。

7. 当x → 0 时，sinh(x) ≈ x。

8. 当x → 0 时，cosh(x) ≈ 1 + x。

这些公式的前提条件是x → 0，也就是说，它们只在 x 趋近于0 时成立。

在使用这些公式时，需要注意函数的定义域和极限的方向。

例如，当x → 0 时，arctan(x) 的定义域是 (-∞, ∞)，而 ln(1 + x) 的定义域是 (-∞, ∞)，但它们的极限方向不同，因此不能直接替换。

需要注意的是，等价函数公式并不是万能的，在某些情况下可能不适用。

例如，当x → 0 时，x^2 ≠ 0，但 ln(1 + x) ≈ x 仍然成立。

因此，在使用等价函数公式时，需要仔细检查函数的定义域和极限的方向，并根据具体情况选择合适的公式。

总的来说，等价函数公式是数学中的一种常用工具，可以帮助我们简化一些极限计算。

通过掌握这些公式，我们可以更好地理解数学中的极限概念，提高数学计算的效率和准确性。