福建省三明市重点名校2019-2020学年高一下学期期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0,0x y >>，且2x y xy += ，则42x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．12C ．16D ．20【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得21 1y x +=，则()214242x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】因为0,0x y >>，且2x y xy +=，即为211y x+=， 则()212828424288216y x y x x y x y y x x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当28=2y xx y x y xy⎧⎪⎨⎪+=⎩，即24y x ==取得等号，则42x y +的最小值为16.故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．2．如图是某个正方体的平面展开图，1l ，2l 是两条侧面对角线，则在该正方体中，1l 与2l （ ）A ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为3π D ．相交且夹角为3π 【答案】D 【解析】 【分析】先将平面展开图还原成正方体，再判断求解. 【详解】将平面展开图还原成正方体如图所示，则B ，C 两点重合，所以1l 与2l 相交，连接AD ，则ABD △为正三角形，所以2l 与2l 的夹角为3π. 故选D. 【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知三棱锥A BCD -，若AB ⊥平面BCD ，90CBD ∠=︒，32CD =23AB =则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．28π B ．30πC ．32πD ．36π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出三棱锥A BCD -的图形，将其放入一个长方体中，容易知道三棱锥A BCD -的外接球半径，利用球的表面积公式求解即可. 【详解】根据题意画出三棱锥A BCD -如图所示，把三棱锥A BCD -放入一个长方体中， 三棱锥A BCD -的外接球即这个长方体的外接球， 长方体的外接球半径等于体对角线的一半， 所以三棱锥A BCD -的外接球半径()()22322330R +==三棱锥A BCD -的外接球的表面积223044302S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题，对于三棱锥三条棱有两两垂直的情况，可以考虑将其放入一个长方体中求解外接球半径，属于基础题. 4．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为1．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23πC ．52πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果. 【详解】由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．4B ．5C 26D ．32【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作图如下：因为点()2,0A ，设其关于直线3x y +=的对称点为()100,A x y故可得00001122322y x x y ⎧-⨯=-⎪-⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得003,1x y ==，即()13,1A故“将军饮马”的最短总路程为()()221321026A B =++-=故选： C. 【点睛】本题考查点关于直线的对称点的坐标的求解，以及两点之间的距离公式，属基础题. 6．在ABC 中，12AN AC =，点P 是直线BN 上一点，若AP mAB AC =+，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．1- C ．14- D ．54【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加减运算法则，通过12AN AC =，把AP 用AB 和AN 表示出来，即可得到m 的值. 【详解】在ABC ∆中，12AN AC =，点P 是直线BN 上一点， 所以2AP mAB AC mAB AN =+=+， 又,,P N B 三点共线，所以21+=m ，即1m =-. 故选：B. 【点睛】A ．2133b c + B ．5233c b -C ．2133b c - D ．1233b c +【答案】A 【解析】 【详解】 试题分析：，故选A ．8．已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为()3,4，两圆的半径之积为9，x 轴与直线()0y mx m =>都与两圆相切，则实数m =（ ） A ．158B ．74C ．35D ．35【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线性质可知连心线过原点,故设连心线y tx =,再代入()3,4,根据方程的表达式分析出12,x x 是方程()()()22234x tx tx -+-=的两根,再根据韦达定理结合两圆的半径之积为9求解即可. 【详解】因为两切线均过原点,有对称性可知连心线所在的直线经过原点,设该直线为y tx =,设两圆与x 轴的切点分别为12,x x ,则两圆方程为：()()()()()()222111222222x x y tx tx x x y tx tx ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,因为圆1Γ与2Γ交于两点,其中一交点的坐标为()3,4. 所以()()()22211134x tx tx -+-=①,()()()22222234x tx tx -+-=②. 又两圆半径之积为9,所以212129tx tx x x t ⋅==③联立①②可知12,x x 是方程()()()22234x tx tx -+-=的两根,化简得()268250x t x -++=,即1225x x =.代入③可得2925t =,由题意可知0t >,故35t =.因为y tx =的倾斜角是连心线所在的直线的倾斜角的两倍.故221tm t =-,故158=m . 故选：A 【点睛】9．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB边上的一点，CD =ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A．B．C．D．【答案】C 【解析】 【分析】先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ．【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022ACAD ACD ACD ∠=∠=，可得sin ACD∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =，由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠===，由sin sin AC BCB A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．10．圆221:1O x y +=与圆222:30O x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程求得两圆的圆心和半径，根据圆心距和两圆半径的关系可确定位置关系. 【详解】由圆的方程可知圆1O 圆心为()0,0，半径11r =；圆2O 圆心为，半径21r =∴2r r ==+本题正确选项：D 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定，关键是能够通过圆的方程确定两圆的圆心和半径，从而根据圆心距和半径的关系确定位置关系.11．某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（ ）摄氏温度（）4 611 用电量度数 10 74A ．12.6B ．13.2C ．11.8D ．12.8【答案】A 【解析】 【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案. 【详解】，，中心点为代入回归方程故答案选A 【点睛】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.12．已知函数3139y x x =-+M ，最小值为m ，则mM 的值为（ ） A ．14B ．12C 3D 23【答案】B 【解析】由10390x x -≥⎧⎨+≥⎩解得31x -≤≤为函数的定义域.令[]()()1,0,239,0,23u x u v x v ⎧=-∈⎪⎨⎡=+∈⎪⎣⎩，消去x 得知，截距y 在点A 处取得最小值，在与椭圆相切的点B 处取得最大值.而()0,23A，故最小值为302323m =⨯+=.联立2231412v u y u v =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去u 得22126120u yu y -+-=，其判别式为零，即()2236412120y y -⋅-=，解得43y =（负根舍去），即43M =，故231243m M ==.【点睛】本题主要考查含有两个根号的函数怎样求最大值和最小值.先用换元法，将原函数改写成为一次函数的形式3y u v =+.然后利用u 和v 的关系，得到,u v 的可行域，本题中可行域为椭圆在第一象限的部分.然后利用3v u y =-+，用截距的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. 二、填空题：本题共4小题13．在正项等比数列{}n a 中，139a a =，524a =，则公比q =________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比中项可求出2a ，再由352a q a =可求出公比.因为21329a a a ==，0n a >，所以23a =，3528a q a ==，解得2q .【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题.14．在四面体ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，3AB AC BC ===，若四面体ABCD 的外接球的表面积为16π，则四面体ABCD 的体积为_______．【解析】 【分析】设AD h =,再根据外接球的直径与AD 和底面ABC 外接圆的一条直径构成直角三角形求解h 进而求得体积即可. 【详解】设AD h =,底面ABC 外接圆直径为d .易得底面是边长为3的等边三角形.则由正弦定理得3sin 60d ==︒又外接球的直径L 与AD 和底面ABC 外接圆的一条直径构成直角三角形有222212L d h h =+=+.又外接球的表面积为16π,即222161216L L h ππ=⇒=+=.解得2h =.故四面体ABCD 体积为21323⨯=【点睛】本题主要考查了侧棱垂直于底面的四面体的外接球问题.需要根据题意建立底面三角形外接圆的直径和三棱锥的高与外接球直径的关系再求解.属于中档题. 15．无限循环小数0.036化成最简分数为________ 【答案】255【解析】 【分析】利用无穷等比数列求和的方法即可.0.0360.0360.0360.0360.000360.0000036...10.2010.9955=+++===-.故答案为：255【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的求和问题,属于基础题型.16．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，设1OA =，则阴影部分的面积是__________.【答案】24π-【解析】 【分析】：设两个半圆交于点,O C ,连接OC BC 、,可得直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和，OC 平分AOB ∠, 可得阴影部分的面积. 【详解】解：设两个半圆交于点,O C ，连接OC BC 、,22111()42ππ⨯⨯=⨯, ∴直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和，由对称性可得：OC 平分AOB ∠, 故阴影部分的面积是：22111222[()(]22224S ππ-=⨯⨯-⨯=. 故答案为：24π-.【点睛】本题主要考查扇形的计算公式，相对不难.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
