【课题】1．2条件判断
【教学目标】
知识目标：
（1）了解逻辑联结词“如果…，那么…”连接的条件判断语句；
（2）了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念．
能力目标：
通过充分条件、必要条件、充分必要条件等概念的学习，提高学生分析与解决问题的能力.
【教学重点】
充分条件、必要条件和充分必要条件．
【教学难点】
充分条件、必要条件和充分必要条件的区别．
【教学设计】
（1）通过介绍条件判断语句“如果p，那么q”，介绍条件p和结论q；
（2）引导学生由条件判断结论，理解推出符号“ ”的意义；
（3）通过概括、归纳的方法，让学生理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件以及四种命题的概念；
（4）通过分析例题，学会尝试应用证明、举反例等方法判断逻辑关系；
（5）通过练习，巩固知识；
（6）教学过程要符合学生思维特点，注重思维能力的培养.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】。
1．2 充分条件与必要条件1．充分条件和必要条件“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件(1)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说：如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．[温馨提示] (1)从逻辑关系上看①如果p ⇒q ，且q p ，那么称p 是q 的充分不必要条件；②如果p q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的必要不充分条件；③如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充要条件；④如果p q ，且q p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)从集合间的关系上看①若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件；②若A ⊇B ，则A 是B 的必要条件；③若A ＝B ，则A 是B 的充要条件；④若A B 且B A ，则A 既不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件．(3)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即p ⇒q ⇔q ⇐p .②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”或“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”．充分、必要条件及充要条件的判断判断下列各题中p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＞B ，q ：BC ＞AC ；(2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；(4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形；(2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4；(3)p ：|a ·b |＝a ·b ，q ：a ·b >0；(4)p ：a >b ，c >0，q ：ac >bc .充要条件的证明已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，求证：d ＝r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.充分条件、必要条件、充要条件的应用如果p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，求实数m的取值范围．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A．a＜0B．a＞0C．a＜－1 D．a＜13．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．(3)已知M＝{x|(x－a)2＜1}，N＝{x|x2－5x－24＜0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．1．若本例中“若p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”其他条件不变，求实数m的取值范围．2．若p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)不变，若綈p是綈q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？3．本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件．A组训练1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在下列三个结论中，正确的有()①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②B．②③C．①③D．①②③6．“lg x >lg y ”是“x >y ”的__________条件．7．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．8．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1.其中，可以为x 2＜1的一个充分条件的所有序号为________．9．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件．(1)p ：f (x )是周期函数，q ：f (x )是正弦函数；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形是矩形，q ：四边形的对角线互相平分；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.10．已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．B 组训练1．已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个必要非充分条件是( )A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜1C.12＜x ＜23D.12＜x ＜2 2．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．3．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．4．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．1．2 充分条件与必要条件参考答案1．充分条件和必要条件“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件(1)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说：如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．[温馨提示] (1)从逻辑关系上看①如果p ⇒q ，且q p ，那么称p 是q 的充分不必要条件；②如果p q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的必要不充分条件；③如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充要条件；④如果p q ，且q p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)从集合间的关系上看①若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件；②若A ⊇B ，则A 是B 的必要条件；③若A ＝B ，则A 是B 的充要条件；④若A B 且B A ，则A 既不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件．(3)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即p ⇒q ⇔q ⇐p .②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”或“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”．充分、必要条件及充要条件的判断判断下列各题中p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＞B ，q ：BC ＞AC ；(2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；(4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1. (链接教材P 9例1、P 10例2及P 11例3)[解] (1)由三角形中大角对大边可知，若A ＞B ，则BC ＞AC ；反之，若BC ＞AC ，则A ＞B .因此，p 是q 的充要条件．(2)由x ＞1可以推出x 2＞1；由x 2＞1得x ＜－1或x ＞1，不一定有x ＞1.因此p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b ＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1；当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件．方法归纳(1)如果命题“若p ，则q ”为真命题，即p ⇒q ，那么p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件．如果命题“若p ，则q ”为假命题，即p q ，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．(2)若原命题“若p ，则q ”为真命题，且逆命题“若q ，则p ”也为真命题，即p ⇔q ，那么p 是q 的充要条件，同时q 是p 的充要条件．1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形；(2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4；(3)p ：|a ·b |＝a ·b ，q ：a ·b >0；(4)p ：a >b ，c >0，q ：ac >bc .解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)令A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．∵A＝B，∴p⇔q，即p是q的充要条件．(3)∵若a·b>0，则|a·b|＝a·b成立，∴q⇒p，当a＝0时，虽有|a·b|＝a·b，但没有a·b>0，∴p q，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵p⇒q，但q p(当c<0时，有a<b)，故p是q的充分不必要条件．充要条件的证明已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．(链接教材P11例4)[证明]如图所示，作OP⊥l于点P，则OP＝d.(1)充分性：若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ，在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r.所以除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P，因此直线l与⊙O相切．(2)必要性：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l，因此d＝OP＝r.所以d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．方法归纳要证明充要条件，就是要证明两个，一个是充分条件，另一个是必要条件；要证明必要不充分条件，就是要证明一个是必要条件，另一个是不充分条件；要证明充分不必要条件，就是要证明一个是充分条件，另一个是不必要条件．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有两不等实根．设为x1，x2，则x1x2＝ca<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca<0，即ac<0.综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.充分条件、必要条件、充要条件的应用如果p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[解] p ：x (x －3)<0，即0<x <3，q ：2x －3<m ，则x <m ＋32.由题意知p ⇒q ，q p ，则在数轴上表示不等式如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3.即实数m 的取值范围为[3，＋∞)．方法归纳根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．一元二次方程ax ＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1[解析] ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1x 2＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＞01a＜0⇔a ＜0， 由于{a |a ＜－1}{a |a ＜0}，故答案应为C.[答案] C[错因与防范] (1)本题极易错选A ，错因是求的一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件，而不是充分不必要条件．(2)解答此类问题要正确区分各种条件的关系是解题的关键．如若要证“p 是q 的充要条件”则p 是条件，q 是结论；若要证“p 的充要条件是q ”，则q 是条件，p 是结论，这是易错点．3．(2013·高考山东卷)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒綈p ，但綈pq ，其逆否命题为p ⇒綈q ，但綈qp ，∴p 是綈q 的充分不必要条件．1.定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要条件．其基本步骤是：(1)(2013·高考福建卷)设点 P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若x ＝2且y ＝－1，则x ＋y －1＝0；反之，若x ＋y －1＝0，x ，y 有无数组解，如x ＝3，y ＝－2等，不一定有x ＝2且y ＝－1，故选A.[答案] A2．等价转化法等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：(2)已知x ，y 为两个正整数，p ：x ≠2或y ≠3，q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的________条件．[解析] 綈p ：x ＝2且x ＝3，綈q ：x ＋y ＝5.可知綈p ⇒綈q ，而綈q 綈p .所以綈q 是綈p 的必要不充分条件，故p 是q 的必要不充分条件．[答案] 必要不充分3．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：(3)已知M ＝{x |(x －a )2＜1}，N ＝{x |x 2－5x －24＜0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] 由(x －a )2＜1，得a －1＜x ＜a ＋1.由x 2－5x －24＜0，得－3＜x ＜8.∵N 是M 的必要条件，∴M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7. 故a 的取值范围为[－2,7]．已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－21＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－21＋m ≤10， 解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．[拓展探究] 根据一个命题是另一个命题的充分条件、必要条件、充要条件确定某个参数的取值范围时，一般利用集合间的包含关系进行求解．1．若本例中“若p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10. 解不等式组得m ＞9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9. 2．若p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)不变，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件．以下解法同衍变1.(略)3．本例中p 、q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件．解：因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m 10＝1＋m ，m 不存在． 故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．单独成册[学业水平训练]1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |.2．(2013·高考福建卷)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件，选A.3．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若“{a n}是公比为2的等比数列，则当n≥2时，a n＝2a n－1成立．当a n＝0，n＝1,2,3,4，…时满足a n＝2a n－1，n＝2,3,4，但此时{a n}不是等比数列，∴“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．4．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由已知p：x＜－1或x＞1，则q⇒p，q p，∴q是p的充分不必要条件．由互为逆否命题的两个命题同真假得綈p是綈q的充分不必要条件．5．在下列三个结论中，正确的有()①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：选C.对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4，但是x2＞4⇒x＞2或x＜－2⇒x3＞8或x3＜－8，不一定有x3＜－8，故①正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错；对于结论③，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故③正确．6．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．解析：由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y.而x>y有可能出现x>0，y＝0的情况，故x>y lg x>lg y.答案：充分不必要7．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分8．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2＜1，即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：f(x)是周期函数，q：f(x)是正弦函数；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形是矩形，q：四边形的对角线互相平分；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解：(1)∵f (x )是周期函数f (x )是正弦函数，但由f (x )是正弦函数⇒f (x )是周期函数， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形，∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，四边形的对角线互相平分四边形是矩形，∴p 是q 的充分不必要条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2， ∴c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立， 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件．10．已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意知，Q ＝{x |1＜x ＜3}，∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，即Q ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3， 解得－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是[－1,5]．[高考水平训练]1．已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个必要非充分条件是( )A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜1C.12＜x ＜23D.12＜x ＜2 解析：选B.x 2－x ＜0⇔0＜x ＜1，运用集合的知识易知．A 中0＜x ＜1是p 的充要条件；B 中－1＜x ＜1是p 的必要条件；C 中12＜x ＜23是p 的充分条件； D 中12＜x ＜2是p 的既不充分也不必要条件．应选B. 2．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )＜0}，故有a ＞2.答案：(2，＋∞)3．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1＞0，当a ＞0时，若Δ＝4－4a ≥0，则a ≤1，即0＜a ≤1.当a ＜0时，∵f (0)＝1，Δ＝4－4a ＞0恒成立，∴方程恒有负实数根．综上所述，a ≤1为所求．4．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716， 因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2. 所以A ＝{y |716≤y ≤2}． 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．。
1．2.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件．( ) (2)若p 是q 的充分条件，则綈p 是綈q 的充分条件．( ) (3)“x ＝1”是“x 2＝x ”的必要条件．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编P 10T 4(1))“x ＝3”是“x 2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)． (2)若p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是r 的________条件． (3)“a >0，b >0”是“ab >0”的________条件．(4)“若p ，则q ”的逆命题为真，则p 是q 的________条件． 答案 (1)充分 (2)充分 (3)充分 (4)必要探究1 充分条件与必要条件的判断例1 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由． (1)p ：x 2＝2x ＋1，q ：x ＝2x ＋1； (2)p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＋b ＝0； (3)p ：a <b ，q ：ab<1；(4)p ：ab ≠0，q ：直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交． [解] (1)∵x 2＝2x ＋1⇒/x ＝2x ＋1，x ＝2x ＋1⇒x 2＝2x ＋1， ∴p 是q 的必要条件，且p 不是q 的充分条件． (2)∵a 2＋b 2＝0⇒a ＝b ＝0⇒a ＋b ＝0，a ＋b ＝0⇒/a 2＋b 2＝0，∴p 是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．(3)由于a <b ，当b <0时，ab >1；当b >0时，a b <1，故若a <b ，不一定有a b<1；当a >0，b >0，a b <1时，可以推出a <b ；当a <0，b <0，ab<1时，可以推出a >b .所以p 不是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．(4)由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0，即ab ≠0，所以p 是q 的充分条件，且p 是q 的必要条件．拓展提升充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直接判断p ⇒q 和q ⇒p 是否成立，然后得结论． (2)等价法：利用命题的等价形式：p ⇒q ⇔綈q ⇒綈p ，q ⇒p ⇔綈p ⇒綈q ，p ⇔q 与綈p ⇔綈q 的等价关系．对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围⇒/小范围．(4)传递法：由推式的传递性：p 1⇒p 2⇒p 3⇒…⇒p n ，则p 1⇒p n .【跟踪训练1】 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：|a |≥2，a ∈R ，q ：方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根； (2)p ：sin α>sin β，q ：α>β；(3)p ：四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1) 当|a |≥2时，如a ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根，则必有a ≤－2或a ≥6，可推出|a |≥2，故p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件．(2)当α＝π2，β＝3π4时，sin α＝1，sin β＝22，此时sin α>sin β，而α<β，故充分性不成立；而当α＝3π4，β＝π2时，sin α＝22，sin β＝1，此时α>β，而sin α<sin β，故必要性也不成立．故p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，故p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件．探究2 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例2 已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且綈p 是綈q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }，则∁R A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54，∁R B ＝(－∞，－2m )，因为綈p 是綈q 的必要条件，所以∁R B ⊆∁R A ，所以－2m ≤－54，解得m ≥58，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞.[解法探究] 此题有没有其他解法？ 解 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为綈p 是綈q 的必要条件， 所以p 是q 的充分条件，∴A ⊆B ， ∴－2m ≤－54，∴m ≥58，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞.[条件探究] 如果把例2中“必要”改为“充分”，其他条件不变，如何解答？解 由已知得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }． 因为綈p 是綈q 的充分条件， 所以p 是q 的必要条件，所以B ⊆A ， 所以－2m ≥－54，解得m ≤58，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，58.拓展提升利用充分、必要条件求参数的思路根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．【跟踪训练2】 已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．解 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1， 由x 2－5x －24<0，得－3<x <8. ∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N . 于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为[－2,7]．探究3 充分条件与必要条件的实际应用例3 在下面电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件？[解] 如题图(1)，闭合开关A 或闭合开关C ，都可使灯泡B 亮．反之，若要灯泡B 亮，不一定非要闭合开关A .因此，闭合开关A 是灯泡B 亮的充分不必要条件；如题图(2)，闭合开关A 而不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，若要灯泡B 亮，开关A 必须闭合，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件；如题图(3)，闭合开关A 但不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，灯泡B 亮也不必闭合开关A ，只要闭合开关C 即可，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件．拓展提升充分、必要条件实际应用的解题策略将问题转化为数学模型，分清条件与结论为解题关键．(1)p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立，但是如果没有p ，q 也可能成立”． (2)q 是p 的必要条件是指“要使p 成立必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”；但即使有q 成立，p 未必会成立．【跟踪训练3】 《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的：曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者路险，但近50余里；后者路平，却远50余里，曹操令人上山观察敌情虚实，回报说：“小路山边有数处起烟，大路并无动静．”曹操说：“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使我军不敢从这条山路上走，他却伏兵于大路等着，吾已料定，偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解释这种现象．解“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”的充分条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有数处起烟，而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的充分条件，因为诸葛亮多谋是事实，所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实之，实则虚之”，曹操不以调查事实为依据，而诸葛亮抓住了曹操的这一心理，所以致使曹操败走华容道．1.充分与必要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假.若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充分条件，也是q的必要条件(也称充要条件)；若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.2.等价转化法的应用一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q且p⇐ /q”等价于“綈p⇐綈q且綈p⇒/綈q”，即“p是q的充分不必要条件”等价于“綈p是綈q的必要而不充分条件”.3.集合观点的应用若p，q对应的数集分别为P，Q，当P⊆Q时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这可以总结为“小范围推出大范围”，简记为：“小充分，大必要”.1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．2．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3答案 A解析x>2⇒x>1，但x>1⇒/x>2.3．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac <bc ”是“a <b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案 B解析 若a ＝b ，则ac ＝bc ；若ac ＝bc ，则a 不一定等于b ，故“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．4．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案 必要解析 a ，b ，c 成等比数列⇒b 2＝ac . 5．下列说法是否正确？请说明理由． (1)x ＝1是(x －1)(x －2)＝0的充分条件；(2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的充分条件； (3)α＝π6是sin α＝12的必要条件；(4)x ＋y >2是x >1，y >1的必要条件． 解 (1)正确，因为x ＝1⇒(x －1)(x －2)＝0.(2)正确，因为△ABC ≌△A ′B ′C ′⇒△ABC ∽△A ′B ′C ′. (3)错误，因为sin α＝12⇒/α＝π6.(4)正确，因为x >1，y >1⇒x ＋y >2.。
