同角三角函数的基本关系式知识讲解

同角三角函数的基本关系式知识讲解The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: αααααtan cos sin ,1cos sin 22==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。

【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sin cos 1αα+=(2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形：2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±2．商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。

【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．已知tan α=－2，求sin α，cos α的值。

【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos ααα==-,求出sin α=－2cos α，然后结合sin 2α+cos 2α=1，求出sin α，cos α。

【解析】 解法一：∵tan α=－2，∴sin α=－2cos α。

①又sin 2α+cos 2α=1， ②由①②消去sin α得(－2cos α)2+cos 2α=1，即21cos 5α=。

当α为第二象限角时，cos α=，代入①得sin α=当α为第四象限角时，cos 5α=，代入①得sin 5α=-。

解法二：∵tan α=－2＜0，∴α为第二或第四象限角。

又由sin tan cos ααα=，平方得222sin tan cos ααα=。

∴2222sin 1tan 11cos cos αααα+=+=，即221cos 1tan αα=+。

当α为第二象限角时，cos α===。

sin tan cos (2)ααα⎛=⋅=-⨯= ⎝⎭。

当α为第四象限角时，cos 5α===。

sin tan cos (2)55ααα=⋅=-⨯=-。

【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。

在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。

举一反三：【变式1】已知A 是ABC ∆的一个内角，且5tan 4A =-，求sin ,cos .A A 【思路点拨】根据tan 0A <可得A 的范围：2A ππ<<再结合同角三角函数的关系式求解. 【解析】5tan 0,4A A =-<∴为钝角，sin 0,cos 0.A A ∴><由sin tan ,cos A A A=平方整理得221cos ,cos 411tan A A A =∴==-+sin tan cos A A A ∴=⋅= 例2．已知cos α=m （－1≤m ≤1），求sin α的值。

【解析】（1）当m=0时，角α的终边在y 轴上，①当角α的终边在y 轴的正半轴上时，sin α=1；②当角α的终边在y 轴的负半轴上时，sin α=－1。

（2）当m=±1时，角α的终边在x 轴上，此时，sin α=0。

（3）当|m|＜1且m ≠0时，∵sin 2α=1―cos 2α=1―m 2，∴①当角α为第一象限角或第二象限角时，sin α=，②当角α为第三象限角或第四象限角时，sin α=【总结升华】 当角α的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。

类型二：利用同角关系求值例3．已知：tan cot 2,θθ+=求：（1）sin cos ⋅θθ的值；（2）sin cos θθ+的值；（3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。

【答案】（1）12（2）3）0（4）22或22--【解析】（1）由已知sin cos 2cos sin θθθθ+= 22sin cos 2sin cos θθθθ+∴= 1sin cos 2θθ∴=（2）()2sin cos 12sin cos 112θθθθ+=+=+=sin cos θθ∴+=（3）()2sin cos 12sin cos 110θθθθ-=-=-=sin cos 0θθ∴-= （4）由sin cos sin cos 0θθθθ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 2cos 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 【总结升华】本题给出了sin cos ,sin cos θθθθ+-及sin cos θθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了22sin cos 1θθ+=这个隐含条件。

举一反三：【变式1】已知sin cos αα+=，求下列各式的值： （1）221tan tan αα+；（2）sin 3α+cos 3α。

【解析】因为sin cos αα+=，所以221(sin cos )2αα+==， 所以1sin cos 4αα⋅=-。

（1）222211sin 2cos 2tan tan 22tan tan sin cos αααααααα+⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222122141sin cos 16αα=-=-= （2）3322sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )αααααααα+=+-+1148⎛⎫=+= ⎪⎝⎭。

【总结升华】 对于已知sin α±cos α=m 型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得±2sin αcos α=m 2－1，联立以上两个式子解出sin α，cos α的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子进行变形，化为sin α±cos α，sin α·cos α的形式代入求解，解题时注意正、负号的讨论与确定。

例4．已知tan α=3，求下列各式的值。

（1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+；（2）2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin αααααα---；（3）2231sin cos 42αα+。

【思路点拨】由已知可以求出sin ,cos αα，进而代入得解，但过程繁琐。

在关于sin ,cos αα“齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan α的式子，然后利用已知求解.【解析】（1）原式的分子分母同除以cos α（cos α≠0）得， 原式4tan 1431113tan 533514αα-⨯-===+⨯+。

（2）原式的分子分母同除以cos 2α（cos 2α≠0）得， 原式222tan 2tan 19231243tan 43323ααα---⨯-===---⨯。

（3）用“1”来代换， 原式222222313131sin cos tan 929424242sin cos tan 19140αααααα++⨯+====+++。

【总结升华】 ①已知tan α的值，求关于sin α、cos α的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos α≠0，所以可用cos n α（n ∈N*）除之，将被求式转化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α=m 的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin 2α+b sin αcos α+c cos 2α的值，注意将分母的1化为1=sin 2α+cos 2α代入，转化为关于tan α的表达式后再求值。

举一反三：【变式1】（1）已知tan α=3，求sin 2α－3sin αcos α+1的值；（2）已知4sin 2cos 65cos 3sin 11θθθθ-=+，求44cos sin θθ-的值。

【解析】（1）∵tan α=3，1=sin 2α+cos 2α，∴原式222sin 3sin cos (sin cos )ααααα=-⋅++2222222sin 3sin cos cos 2tan 3tan 11sin cos 1tan ααααααααα-⋅+-+===++。

（2）由4sin 2cos 65cos 3sin 11θθθθ-=+，得4tan 2653tan 11θθ-=+，解得：tan 2θ= ∴442222cos sin (cos sin )(cos sin )θθθθθθ-=+-22222222cos sin 1tan 143cos sin cos sin 1tan 145θθθθθθθθ---=-====-+++。

类型三：利用同角关系化简三角函数式例5．化简：44661cos sin 1cos sin αααα----。

【解析】 解法一：原式224422366(cos sin )cos sin (cos sin )cos sin αααααααα+--=+-- 2222222cos sin 23cos sin (cos sin )3αααααα==+。

解法二：原式44661(cos sin )1(cos sin )αααα-+=-+ 22222242241[(cos sin )2cos sin ]1(cos sin )(cos cos sin sin )αααααααααα-+-=-+-+ 22222222222112cos sin 2cos sin 21[(cos sin )3cos sin ]3cos sin 3αααααααααα-+===-+-。

解法三：原式2242246(1cos )(1cos )sin (1cos )(1cos cos )sin ααααααα-+-=-++- 2222244sin (1cos sin )sin (1cos cos sin )ααααααα+-=++- 2222222cos 1cos (cos sin )(cos sin )αααααα=+++- 2222222cos 2cos 21cos cos sin 3cos 3αααααα===++-。