2017届高考数学大一轮总复习 几何证明选讲 第一节 全等与相似课件 理

第一章 几何证明选讲
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1.理解相似三角形的 平面几何中三角形 定义与性质，了解 相似，直角三角形
平行截割定理． 的射影定理等知识
2．会证明和应用直 解决平面几何中的 角三角形射影定理. . 线段之间的关系问 3
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• 1. 平 行 线 等 分平线行线段 一定条理 ： 如 果 一 组
• 相似 比；
• (2)相似三角形周长的比等于 相似 比；
• (3) 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 相似 ；
• (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等
于 平方 比，外接圆的面积比等于相似比
的 平方 ．
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• 6．直角三角形的射影定理
• 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边 上射影的比例 中项 ；两直角边分别是它们在斜边 上 射影 与 斜边 的比例中项．
• 例2 △ABC是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个项点分别在AB，AC上，求这个正方形的 边长．
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• [思路分析] 利用相似三角形的性质定理找 到所求正方形边长与已知条件的关系即可 解得．
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[听课记录] 设正方形 PQMN 为加工成的正方形零 件，边 QM 在 BC 上，顶点 P、N 分别在 AB、AC 上，△ ABC 的高 AD 与边 PN 相交于点 E，设正方形的边长为 x cm，
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2．答案：12 解析：过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 M，可知 M 为 DC 的中点，故EBMC＝12，EFMC＝34，∴FBCC＝23，FBCF＝12.

第二页，编辑于星期六：二点 四十三分。
[小题热身]
1．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm， 则线段 BF 的长为__________。
解析：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形 DECF 是平行四边形。 ∴FC＝DE＝5 cm。∵DF∥AC，∴BFCF＝DBDA，即B5F＝84。 ∴BF＝10 cm。 答案：10 cm
第二十页，编辑于星期六：二点 四十三分。
悟·技法 证明相似三角形的一般思路
(1)先找两对内角对应相等。 (2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比 例。 (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例。
第二十一页，编辑于星期六：二点 四十三分。
2．如图所示，已知 AD、BE 分别是△ABC 中 BC 边和 AC 边上 的高，H 是 AD，BE 的交点，求证：
第十页，编辑于星期六：二点 四十三分。
2．三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应 成有比⑤_例_AA。_CB_如＝__图BD。DC，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD 交 BC 于点 D，则
第十一页，编辑于星期六：二点 四十三分。
3．直角三角形的射影定理 (1)定理：直角三角形的每一条直角边都是它在斜边上的射影与斜 边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项。 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，则 AC2＝⑥__A_D__·A__B___； BC2＝⑦___D_B_·_A_B___； CD2＝⑧__A_D__·D__B___。
4．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且 AB＝6，AC ＝4，AD＝12，则 AE＝__________。

第十二篇几何证明选讲(选修4-1)第1节全等与相似1. 如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠A=∠C,AB∥CD.所以∠ABF=∠CEB.所以△ABF∽△CEB.(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AB∥CD.所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.因为DE=CD,所以==,==.因为S△DEF=2,所以S△CEB=18,S△ABF=8.所以S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.所以S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.2. 已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥AB,垂足为E.求证:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC,所以∠BAC=∠ADB,又因为∠B=∠B,所以△ABD∽△CBA,所以=,即AB·AC=AD·BC.(2)由题AD2=BD·DC,所以AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,所以AD3=BC·BE·CF.3. 如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.(1)求证:△ABF∽△EAD;(2)若∠BAE=30°,AD=3,求BF的长.(1)证明:因为AB∥CD,所以∠BAF=∠AED.又因为∠BFE=∠C,∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA,所以∠BFA=∠ADE.所以△ABF∽△EAD.(2)解:因为∠BAE=30°,所以∠AEB=60°,所以=sin 60°=,又=,所以BF=·AD=.4. 如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求:+的值;(3)求证:+=.(1)证明:因为EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥AD∥BC.因为EF∥BC,所以=,=.因为EF∥AD∥BC,所以=.所以=,所以OE=OF.(2)解:因为OE∥AD,所以=.由(1)知=,所以+=+==1.(3)证明:由(2)知+=1,所以+=2.又EF=2OE,所以+=2, 所以+=.。

2.会证明并应用直角三角 形射影定理.
最1平.新理行考解线纲相截似割三定理角形. 的定义与性考知质点识,了专链解项条突完2形.射会破善影证定明理并.应用直角三角
经典考题研析
最新考纲知识链条完善 把散落的知识连起来 知识梳理 2.会证明并应用直角三角 1.平行线截割定理及应用 (1)平行线等分线段定理
2.会证明并应用直角三角 定理
内容
1.理解相似三角形的定义与性质,了解 判定定理1 如果两个直角三角形 有一个锐角 对应相等,那么它们相似
如果两个直角三角形的 两条直角边 对应成比例,那么它
形射影定理. 判定定理2 们相似
平行线截割定理.如果一个直角三角形的 斜边 和一条直角边与另一个三角那么这两个直角三
③两个三角形相似,则对应线段都成比例;
形射影定理. ④相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比. 平行线截割定理. 其中正确的是( C )
(A)①②
(B)②③
(C)③④
(D)①④
最新考纲
解析:①错误,三角形相似具有传递性,即△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2, 则△ABC∽△A2B2C2;
质、等比性质的运用.
1.理解相似三角形的定义与性质,了解 (2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据,特 别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边,是否过
平行线截割定理. 形射影定理. 一边的中点.
【即时训练】 如图,在△ABC 中,点 D 是 AC 的中点,点 E 是 BD 的中点,AE 交
AE=2CE,AD,BE 交于 F,求 AF =
, BF =
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平行线截割定理. 形射影定理. FD
FE