分段连续函数的求导问题

分段函数的连续性分段函数是一种特殊的函数，它可以被分成几个不同的部分，每个部分使用不同的公式进行表示。

由于分段函数的定义域不连续，因此我们需要考虑函数的连续性问题。

在本文中，我们将探讨分段函数的连续性问题，并给出一些例子来说明这个问题。

一、什么是分段函数？分段函数通常被写成如下形式：$$f(x) =\begin{cases}f_1(x), & x \in D_1 \\f_2(x), & x \in D_2 \\\cdots \\f_n(x), & x \in D_n \\\end{cases}$$其中，$D_1,D_2,\cdots,D_n$ 是定义域的子集，$f_1,f_2,\cdots,f_n$ 是定义在 $D_1,D_2,\cdots,D_n$ 上的函数。

当$x$ 属于某个 $D_i$ 时，$f(x)$ 就等于 $f_i(x)$。

例如，下面的函数就是一个分段函数：$$f(x) =\begin{cases}1, & x \leq 0 \\x^2, & 0 < x < 1 \\x+1, & x \geq 1 \\\end{cases}$$二、分段函数的连续性定义在数学中，连续性是指函数在定义域内的连续性质。

一个函数在某个点处连续是指这个点在函数曲线上没有断点，也就是说，函数的左右极限和函数值相等。

在分段函数的情况下，我们需要考虑每个定义域的子集上的连续性。

如果一个分段函数 $f(x)$ 在某个点 $x_0$ 处连续，那么它必须满足下面三个条件：1. $x_0$ 必须属于某个定义域 $D_i$ 上；2. $f_i(x)$ 在 $x_0$ 处有定义；3. $\lim_{x \to x_0} f_i(x) = f_i(x_0)$，即左右极限与函数值相等。

举个例子，我们来看下面这个分段函数：$$f(x) =\begin{cases}x^2, & x < 1 \\1, & x = 1 \\x+1, & x > 1 \\\end{cases}$$在 $x=1$ 处是否连续呢？我们分别考虑三个条件：1. $x=1$ 属于第二个定义域 $D_2$ 上；2. 在 $x=1$，函数值为 $1$，$f_2(x)$ 在 $x=1$ 处有定义；3. $\lim_{x \to 1^-} f_1(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$，$\lim_{x\to 1^+} f_3(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2$。

分段函数在分段点处几个问题讨论作者：邹小云来源：《时代经贸》2011年第22期【摘要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。

【关键词】分段函数；导数；不定积分；定积分分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。

一、分段函数在分段点的连续性根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。

因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。

例1：讨论分段函数：在处的连续性。

解：，而：因此，所以函数在处的连续性。

例2：设函数：试研究在处的连续性。

解：所以在处不连续。

而当时分段函数在某一区间内一点时，则在处的连续性问题成为初等函数的连续性问题，即由初等函数在其定义区间内都是连续的知在处连续。

二、分段函数在分段点的可导性任何一本高等数学教材在给出了定义之后，都给出了可导的必要条件，即“可导必连续，但连续不一定可导。

”这一条件的另一说法是：在一点不连续一定在该点不可导。

因此，对于分段函数，讨论它在分段点处的可导性一般分为两步：1.若在点不连续，则它在点一定不可导；例如：讨论是否存在。

因为；而，，所以函数在在不连续。

故可知不存在。

2.若在点连续，且在点的左、右导数都存在且相等，则在点可导。

对于这种情形左、右导数用定义一般可计算。

设，求。

解：由于=1，所以=1。

其实对于第二步中，若函数满足一定的条件，可不必用定义去计算，对此介绍如下事实。

定理：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。

证明：任取一点，由于在连续，在区间内可导，所以在上连续，在内可导，由微分中值定理，存在，使得：从而有：由题设知存在，所以右导数存在，且。

分段函数的特性
分段函数的特性是指函数在一定的区间内有不同的特性。

分段函数具有以下特性：
1.连续性：在分段函数中，对于任意两个区间，该函数都是连续的。

2.可导性：在分段函数中，可以对每个单独的区间求导，以求出其斜率。

3.极大极小值：在分段函数中，可以找到函数的极大值和极小值，但其极值不一定在函数的每个区间中。

4.单调性：在分段函数中，每个单独的区间都是单调的，不同的区间的单调性可能不同。

5.多次导数：在分段函数中，可以计算函数的多次导数，以求出其形式。

6.泰勒级数：在分段函数中，可以对函数求取泰勒级数，以计算函数的值。

7.积分：在分段函数中，可以对函数求取积分，以计算函数的定积分或不定积分。

8.可微函数性：在分段函数中，可以将不同的函数进行可微函数处理，以计算整个函数的定性和定量特性。

9.函数表：在分段函数中，可以用函数表来表示函数的曲线，以便于直观表达和分析。

10.函数图形：在分段函数中，可以通过作图的方式表示函数的曲线，从而可视化地探究函数的特性。

分段函数求导的假设干问题摘要】求分段函数的导函数或分段点处的导数是高等数学学习中的难点，大多数学生在解这类问题时会遇到困难或理解不透.本文从导数极限定理及其证明出发，给出导函数连续的判定定理，结合实例说明分段函数求导的关键要点.【关键词】分段函数;单侧导数;导数极限定理【基金工程】绍兴市课堂教学改革工程〔SXSKG2021091〕.在分段函数求导问题中，大多数学生能够理解为什么在分段点处要用导数定义，但因为有时遇到的分段函数直接求导跟用导数定义所得结果并无差异，这就导致很多学生不明白个中原因.例如，求分段函数F〔x〕=f〔x〕，a的导数，在f〔x〕，g〔x〕可导下，直接求导得F′〔x〕=f′〔x〕，a这种结果在分段点处的导数时对时错.常规的做法是在函数连续的情况下用导数定义进行判断，不过在一定条件下也可用导数极限方法，这在一些文献中也有提及[1-4].但对高职或高中学生而言，定理表述上还应精炼，证明要简洁易懂，而且例题要更有代表性，所以还有必要对这一问题进行探讨，并且文中还给出另一重要推论，这些结论对理解分段函数的导数意义明显.一、导数极限定理及其推论分段函数在除分段点外均可导的情况下，求其导数显然只要讨论分段点处的可导性，通常用导数定义进行判断，这涉及分段函数在分段点处的连续性和左右导数.下面从导数极限定理出发，介绍一些常用的结论，便于理解什么情况下不必用导数定义，什么情况下要用导数定义.引理如果函数f〔x〕在〔a，x0]〔或[x0，b〕〕上连续，在〔a，x0〕〔或〔x0，b〕〕内可导，且limx→x-0f′〔x〕=A〔或limx→x+0f′〔x〕=B〕，那么f〔x〕在点x0处左导数〔右导数〕存在，且f′-〔x0〕=A〔或f′+〔x0〕=B〕.下面证明f〔x〕在点x=x0处左侧导数的情形.证明由于函数f〔x〕在〔a，x0]上连续，在〔a，x0〕内可导，显然函数f〔x〕在[x，x0]〔a，x0]上连续，在〔x，x0〕〔a，x0〕内可导，运用拉格朗日中值定理可得f′-〔x0〕=limx→x-0f〔x〕-f〔x0〕x-x0=limx→x-0f′〔ξ〕〔x-x0〕x-x0=limx→x-0f′〔ξ〕=limξ→x-0f′〔ξ〕=A，这里，由于ξ∈〔x，x0〕，所以有x→x-0ξ→x-0，即证得f〔x〕在点x0处左导数存在，且f′-〔x0〕=limx→x-0f′〔x〕=A.类似地，可以证明f〔x〕在点x=x0处右侧导数的情形.定理设函数f〔x〕在点x0的δ邻域内连续，在点x0的δ去心邻域内可导，假设f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕均存在，那么f′〔x0〕存在的充要条件是f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，且f′〔x0〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕.证明由函数在点x0处导数存在的充要条件是f′-〔x0〕与f′+〔x0〕存在，且f′-〔x0〕=f′+〔x0〕，根据引理有f′-〔x0〕=f′〔x0-0〕，f′+〔x0〕=f′〔x0+0〕，故在定理的条件下f′〔x0〕存在的充要条件是f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕相等.推论设函数f〔x〕在点x0的δ邻域内连续，在点x0的δ去心邻域内可导，假设f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕均存在且相等，那么f〔x〕的导函数在點x0处连续.证明因为f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，所以limx→x0f′〔x〕存在，且limx→x0f′〔x〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕.由定理可知f′〔x0〕存在且f′〔x0〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，即limx→x0f′〔x〕=f′〔x0〕.根据推论，可以断定不存在满足推论条件的函数，其导数具有第一类间断点.二、典型例题例1求函数f〔x〕=x2+ex，x≤0，x+cosx，x>0的导函数.分析因f〔x〕在点x=0处连续，且当x≠0时，f′〔x〕=2x+ex，x0.又limx→0-f′〔x〕=limx→0-〔2x+ex〕=1，limx→0+f′〔x〕=limx→0+〔1-sinx〕=1，即f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1.根据定理，f〔x〕在点x=0处可导，且f′〔0〕=f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1，解得f′〔x〕=2x+ex，x≤0，1-sinx，x>0.例2函数f〔x〕=ex，x≤0，ax2+bx+c，x>0在点x=0处的f″〔0〕存在，试确定a，b，c的值.分析因为函数在x=0处的二阶导数存在，所以f〔x〕和f′〔x〕在x=0处都要连续，因此，f〔0-0〕=f〔0+0〕=1，f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1，得c=1，b=1.又当x≠0时，f″〔x〕=ex，x0，由此得f″〔0-0〕=1，f″〔0+0〕=2a.根据定理，f″〔0〕存在的充要条件是f″〔0-0〕=f″〔0+0〕=2a=1，即a=12，综上，a=12，b=1，c=1.例3求函数f〔x〕=ln〔1-x2〕，x≤0，x2sin1x，x>0在点x=0处的导数.分析当x≠0时，由函数得f′〔x〕=-2x1-x2，x0，所以limx→0-f′〔x〕=0，limx→0+f′〔x〕不存在，但是f′-〔0〕=limx→0-ln〔1-x2〕x=0，f′+〔0〕=limx→0+x2sin1xx=0，所以f′〔0〕=0.例4討论函数f〔x〕=arctan1x，x≠0，0，x=0在x=0处的可导性【4】.分析当x≠0时，f′〔x〕=-11+x2，所以limx→0f′〔x〕=-1，但是limx→0f〔x〕=limx→0arctan1x不存在，即f〔x〕在x=0处不连续，显然f〔x〕在x=0处不可导.例1和例2说明，如果函数满足定理的条件，求分段点处的导数可不必用导数定义，尤其如例2，其解题方法比用导数定义要简练;而例3和例4说明，定理的运用应注意其适用的条件，即函数在分段点连续以及导函数在该点的左右极限存在且相等.三、结论特别对高职学生而言，分段函数的求导问题一直是个难点，原因在于分不清什么情况下可以直接求导，什么情况下又不可以直接求导.文中给出导数极限定理及其推论和证明，在理论上说明这一问题，对学生理解分段函数求导问题会有帮助.当然，导数定义方法和导数极限方法在不同的题型中各有千秋，譬如，当导函数极限并不简单时，导数极限方法反而更烦琐，而且导数极限方法也有其适用条件.【参考文献】【1】华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2021.方法的研究[J].数学学习与研究，2021〔15〕：107-108.方法[J].高等数学研究，2021〔3〕：20-22，43.【4】王禧宏.关于分段函数在分界点处导数问题的讨论[J].高等数学研究，1999〔3〕：13.。

A Simple Method of Judging the Piecewise Function
＇s Differentiability at Piecewise Points 作者： 许燕;张永明
作者机构： 北京印刷学院,北京102600
出版物刊名： 北京印刷学院学报
页码： 61-63页
年卷期： 2012年 第6期
主题词： 分段函数;分段点;可导;连续
摘要：分段函数在《高等数学》中经常出现,其分段点处的求导问题一向是学生学习的一大
难点。

通常我们是依据导数定义来判断分段点处的可导性,学生实际用起来感觉很吃力。

对分段
函数在分段点处可导性的判别方法做了详细梳理,对满足一定条件的分段函数,利用求导公式分别求出分段点左、右两侧的导函数,再将分段点代入作为分段点处的左、右导数,并以此得出分段函数在分段点处的可导性,这样做可使计算过程大大简化,更易于学生接受。

关于分段函数求导数的教学思考黄金城【摘要】通过分析分段函数求导数中常见的错误及其原因,探讨了如何进行分段函数求导数的教学,并提出了几点建议.【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(027)001【总页数】3页(P102-104)【关键词】分段函数;单侧导数;可导性【作者】黄金城【作者单位】河海大学数理教学部,江苏常州213022【正文语种】中文【中图分类】O172.1分段函数在高等数学所研究的函数中是一类比较特殊的函数.分段函数在分段点的极限存在性，连续性以及可导性[1]，是高等数学教学的一个重要内容，也是学生学习的一个难点.对于分段函数求其导数时，一般地首先讨论在每一分段开区间内部的可导性，由于分段函数在其分段区间上是初等函数，因此分段函数在每一分段区间上的导数可以直接用求导公式及求导法则计算；然后用定义判断分段点处左右导数是否存在且相等；最后归纳出函数在定义域上的导函数表达式.很多学生对于分段函数在分段点的导数的求法及其原理感到很困惑，经常出现一些错误的做法，根本原因是对于导数的定义没有理解.如何让学生正确理解并掌握分段函数求导数的方法，已有很多建议[2-4].本人通过多年的课堂教学，总结了学生在求分段函数的导数时经常易犯的错误及其原因，并给出了解决问题的几点思考.1 关于函数在一点处的导数公式的讨论函数在一点x0处的导数的定义公式是用增量比的极限给出的，有两种不同的形式，分别为于分段函数，由于其在分段点x0左右两侧的表达式往往不同，需要求上述两个公式的左右极限，也就是分段函数在分段点处的左导数(x0)和右导数(x)，来判断分段函数在分段点x处的可导性.00当左右极限都存在且相等，即左导数(x0)和右导数(x0)都存在且相等时，增量比的极限才存在，也就是分段函数在分段点x0的导数f′(x0)存在.反过来，当分段函数在分段点处的左导数(x0)或右导数(x0)至少有一个不存在或都存在但是不相等时，分段函数在分段点不可导.对于公当x0=0时，两个公式用起来都非常方便，当x0≠0时，若使用公式，需要计算函数值（fx0+Δx），较麻烦.因此在求导数时，最常使用的是公式在求基本初等函数的导函数时，主要利用公式，只要将函数在一点x0处的导数的定义公式中的点x换成任意的点x0即可.2 求分段函数在分段点导数时常见的错误及原因错误一：将两个不同形式的公式中的极限过程混淆例1求函数在x=1处的左右导数.错误解法：利用公式求，将极限过程x→1错误的改为x→0.比如或者利用公式求时，将极限过程Δx→0错误的改为Δx→1.在记忆这两个公式时，学生经常将极限过程混淆，将公式的极限过程Δx→0记为的极限过程x→x0记为x→0.一定要向学生重点强调这两个公式在表达形式上的差别.正确解法：错误二：将左右导数公式中的函数值（fx0）分别代入不同的值例2求函数在x=0处的左右导数.错误解法：在求左导数时，利用当x＜0时，（fx）=x2+1计算（f0），求右导数时，利用当x≥0时，（fx）=x2-1计算（f0）.事实上，公式中的（f0）是函数（fx）在x=0处的函数值，是唯一确定的实数楚什么是相同的，什么是不同的，两个极限中（fx）是不同的，但（f0）是相同的.正确解法：错误三：认为分段函数在分段点的导数是分段函数的导数的极限，即例3讨论函数x=0处的可导性.错误解法：当x≠0时因为不存在，所以f（x）在x=0处的不可导.事实上，不能由不存在，就说φ(x)在x=x0处无意义.正确解法：利用函数在一点处的导数的定义可以判断f（'x）在x=0处是可导的.因为所以f（x）在x=0处是可导的.对于，只有当分段函数的导函数在分段点x=x0连续时才成立，而在做题时，导函数根本还没有求出来，更无从知晓其是否连续.错误四：认为单侧导数是导函数的单侧极限，即例4求分段函数的导数.错误解法：当x＜1时，（fx）在x=1处可导且f′(1)=2.这种错误的解法同错误三相似.事实上，直接由（fx）在x=1处不连续，可以得出（fx）在x=1处不可导.显然得出f′(1)=2是错误的.正确解法：当x＜1时，显然函数f（x）在x=1处不可导.如果先求了右导数，左导数不需要求，就可以判断f（x）在x=1处不可导，因为f（x）在x=1处的右导数不存在，而只要一个单侧导数不存在，分段函数在该分段点就不可导.综上可得3 教学建议为了避免学生在对分段函数求导数时出现以上错误，除了在讲解导数的定义要求学生理解定义以外，在讲解例题时，可以有针对性的列举一些错误的做法，让学生指出其中的错误，并加以修改，这样可以使学生印象深刻，从而在做题时避免采用类似的错误方法.参考文献:[1] 同济大学数学系.高数数学[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.[2] 刘晓妍.关于单侧导数的一种求法[J].高等数学研究,2006,9(5):26-27.[3] 陈茜.浅谈分段函数的求导[J].邢台学院学报,2010,25(2):103-104.[4] 马胜萍.数学教学中常见求导错误的剖析[J].甘肃科技,2005,21(12):241-243.。

浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性摘要：本文运用实例探究了数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性，从而丰富了数学分析中有关分段函数分界点的连续性与可导性的内容.关键字：分段函数;分界点;连续性;可导性1引言1.1本文背景由于分段函数的特殊性,它的研究不仅牵扯的知识面广、方法多变, 且综合性强，利用以前学过的函数的连续性和可导性的知识来进一步探讨分段函数分界点的连续性和可导性,相关内容参见文献[1-9].1.2本文主要内容及意义本文从7个方面探讨了分段函数分界点的连续性和可导性.2分段函数分界点的连续性问题2.1用函数连续性定义判别分段函数分界点的连续性定义1[1]设函数在某有定义，若，则称函数在点处连续.文献[1]给出函数在点处连续的三个条件：a. 函数在点处要有定义；b．极限存在；c. .例1讨论函数在处的连续性.分析此分段函数在分段点左右两边的函数表达式相同，因此其在左右两边的极限相等，所以其在的极限一定存在，然后再根据文献[1]给出的三个条件判断其的连续性.解 (1)函数的定义域为，故函数在有定义;(2) ;(3)，即 .因此在处同时满足定义中的三条，所以在处连续.2.2用函数单侧连续性判别分段函数分界点的连续性定义2[1]设函数在某内有定义，若，称函数点处左连续.定义3[1]设函数在某内有定义，若，称函数在点处右连续.定理1[1]在点处的连续的充要条件是在点处既要左连续又要右连续.即例 2 设函数试分别讨论在点与处的连续性.分析此分段函数在分界点和左右两边的函数表达式都不同，因此不能用定义1去求,此题可以用定理1求，只有证明分段函数分界点的左右连续且相等就可以证明此分段函数在分界点连续.解在处：由已知当时，为初等函数.又为函数定义区间上的点,则 .所以在处为左连续又因为，所以在处也右连续.由于在处既左连续又有连续，故在处连续.在处：同理可知，在处，为初等函数，又为函数定义区间上的点，且 .所以左连续,因，所以在处不右连续,由于在左连续但不右连续，故在不连续.3分段函数分界点的可导性问题3.1用导数定义判别分段函数分界点的可导性定义4[1]设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处可导，记作 .例3 设函数判断在的可导性.分析分界点两侧的函数表达式相同，因此用可导的定义去求.解在处连续，在处可导.3.2用函数单侧可导性判别分段函数分界点的可导性定义5[1]设函数在点的右邻域上有定义，若右极限存在，则称函数在处右可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定义6[1]设函数在点的左邻域上有定义，若左极限存在，则称函数在处左可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定理2[1]若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且 .例4 设函数求在处的可导性.分析此分段函数在分界点左右两侧的函数表达式不同，因此不能用导数的定义求，只能用左右导数相等的性质求.解，，即，在点处连续.，，，在点处可导例5 设函数 ,判别在与处的可导性分析函数看似不是分段函数，但去掉绝对值后函数其实是一个分段函数，要求分段函数在分界点的可导性首先要求其在分界点是否连续，若不连续则必不可导，若连续，再按可导的定义求导、判断.此分段函数在分段点的两侧的函数表达式不同，所以要用定义分别求出分段点的左右导数，再判断.解即,即左连续也右连续，在处连续，同理可证在处连续，根据可导的定义求得，，，在处可导同理可得，，在处不可导注这说明若分段函数在其分界点连续，并不一定在分界点可导.但如果分段函数在分段点可导则必连续.即连续是可导的必要条件，而非充要条件.3.3用可导与连续的关系判断分段函数分界点的可导性例6 设函数判断在处的可导性.分析分段函数分界点连续是可导的必要条件，要证明可导则首先要证明其在分界点上连续.解，因为在处不连续，所以一定不可导.但有些学生可能会犯这样的错当时，从而在处可导，且分析上述解法错在事先没有判断在的连续性.定理2 [5]若函数在点的某邻域有定义，且都存在，则在处一定连续.例7 设分段函数判断在处的可导性.分析要判断分段函数分界点的可导性，首先要判断其在分界点的连续性，因为此函数在分界点两侧的函数表达式不同，所以再用单侧可导性来判别函数的可导性.解在上连续，，在处不可导.注在定理中，仅要求左、右导数存在，并不要求一定相等，如例7中在分界点的左右导数存在，即使，也可以证明其连续.3.4用分段函数分界点的可导性确定待定参数例8 设函数若要为可导函数，应如何选择，？分析若在定义域为可导函数，说明在每点都可导，即在处也可导，由可导性与连续性关系得在处也连续，则可由在可导，且连续两个条件求出 , .解若为可导函数，则在定义域内处处可导，即其在处也可导，由可导与连续的关系，知在连续.则有故有即，又在可导，则因此当 , 时，存在，从而为可导函数.注上例很好的运用了可导一定连续的这一性质，但是其实只要左右导数都存在，就可以推出连续的性质.4小结本文主要阐述了如何判断分段函数在分界点的连续性和可导性.如可以用函数连续性的定义和函数单侧连续性来判别其分段函数的连续性.而要判断分段函数分界点的可导性则有多种方法，如可用函数导数定义、函数单侧可导性、函数可导与连续的关系和导数极限定理来判别分段函数分界点的可导性，并且一般用导数极限定理比用导数定义判别更加简单.参考文献[1]高尚华.数学分析上册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-91.[2]高尚华.数学分析下册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-110.[3]林远华.分段函数的连续性与可微性[J].河池师范高等专科学校学报,2000, 20(2):26-29.[4]王琦.分段函数分界点处的可导性问题[J].齐齐哈尔师范学院学报. 1996,16(4):18-20.[5]辛兴云.判断“分段点”可导性的一个简便方法[N].河北广播电视大学学报,2000,5(2):55-57.[6]胡晶.王可宪.1994.分段函数在分段点可导的一个充要条件[J].承德民族师专学报,1994,10(2):26-27.[7]李艳娟.高等代数中分段函数问题研究[J].辽宁教育学院学报,1997,14(5):59-62.[8]张红卫.浅析分段函数[J].山西广播电视大学学报,2000,1(3):60-61.[9] Patrick M.Fitzpatrick．Advanced Calculus：A course in Mathematical Analysis[M]．Beijing：China MachinePress，2003:113－140．9。

高一函数知识点分段函数高一函数知识点：分段函数一、概念介绍分段函数是指在定义域上根据不同区间的取值范围，使用不同的函数表达式定义的函数。

分段函数通常由若干段不同的函数组成，每一段函数可以有不同的表达式。

二、分段函数的表示方式分段函数可以用以下两种表示方式来呈现：1. 显性表示法：即明确给出每个区间上的函数表达式。

例如：当x ≤ a 时，f(x) = g(x)当a ≤ x ≤ b 时，f(x) = h(x)当 x > b 时，f(x) = i(x)2. 隐式表示法：即通过给出条件来定义每个区间上的函数表达式。

例如：当x ≤ a 时，f(x) 满足某个条件当a ≤ x ≤ b 时，f(x) 满足另一个条件当 x > b 时，f(x) 满足另一个条件三、分段函数的图像特点分段函数的图像通常表现出不连续性，即在不同的区间上存在跳变的情况。

在每个区间上，函数的图像可能是线性的、二次的、指数的等等，根据具体的函数表达式而定。

四、分段函数的求值和应用求解分段函数的值时，需要根据给定的定义域范围和不同的函数表达式来进行判断。

对于不同的自变量取值，根据定义域上的条件进行判断，选择相应的函数表达式进行计算。

分段函数在实际应用中有广泛的用途，例如在经济学中表示不同收入范围对应的税率，或者在物理学中表示不同速度范围下的物体运动规律。

通过分段函数的定义，我们能够更好地描述和解决实际问题。

五、分段函数的求导与积分对于分段函数的求导和积分，需要分别对每个区间上的函数表达式进行求导和积分操作，然后整合得到整个定义域范围上的结果。

求导和积分的过程需要注意每个区间的不连续点，以及在不同区间上函数表达式发生变化的情况。

六、例题解析以下是一个简单的分段函数例题解析：已知分段函数 f(x) 如下：当x ≤ 0 时，f(x) = x当 x > 0 时，f(x) = x + 1根据定义，我们可以将函数 f(x) 分为两个区间：1. 当x ≤ 0 时，f(x) = x2. 当 x > 0 时，f(x) = x + 1根据定义域的范围和不同的函数表达式，我们可以计算任意自变量在定义域上的函数值。

实例分析分段函数的微积分典型问题在高等数学的学习过程中，分段函数作为函数中特殊的一类，对其理解和接受都存在一定难度，同时也是高等数学教学中的重点和难点。

为了突破这一难点，就要掌握分段函数在分界点处的各种性质，进而利用微积分计算等方法进行求解。

1 分段函数和微积分分段函数是指在不同的定义域区间具备不同解析式的函数，即不能用同一解析式进行表达的函数。

归根结底，分段函数也是一个函数，其图像也是唯一的。

而分段函数在分界点的性质变化正是其难点所在，也是其本身特殊性所在，因此为了研究分段函数，首要的研究目标就是分段函数的分界点，而微积分在高等数学中也占据着重要的地位，是研究函数有关概念和性质的数学分支，能够使得分段函数中分界点的相关计算有据可依。

两者的互相补充为高等数学的解题带来了便捷。

2 分段函数微积分问题归类与分析2.1 一元分段函数微积分2.1.1 对一元分段函数在分界点处的极限判断对于一元函数分界点处极限的判断，主要是依据分段函数的表达形式。

若函数表达形式在分界点的左右不同，就可以依据分段函数在分界点处左右极限来判断，当极限存在且相等时，该点存在极限；若不存在或者两者不相等时，则该点不存在极限。

若分界点左右的函数表达方式相同，就可直接运用计算极限的常用方法将极限计算出来。

举例说明：例1：已知函数=，求（1）；（2）。

解析：由分段函数表达式可知，x=1为该分段函数的分界点，当x<1和x>1时，所对应的解析式也不同。

所以针对（1）问，应该讨论当x趋近于1时的左右极限。

因此x时，x<1，此时；而当x时，x>1，此时，因此则有函数的左极限与右极限相等，即=1，因此=1，进而得到。

2.1.2 对一元函数在分界点处的连续性判断函数在某一点具有连续性的充要条件是函数在该点同时满足左连续和右连续。

高等数学中也正是依据这个条件来判断分段函数中分界点处的函数连续性。

其具体解决步骤为：第一步，利用左右连续的定义进行分界点左右连续情况的判断；第二步，根据结果进行判断，当左右都连续则证明该分界点连续，若其中有一个不连续或者左右极限不存在或者函数在该分界点不存在定义，即可判断该点不连续。

分段函数在分段点的求导陈佩树【摘要】分段函数的可导性问题是高等数学中的一个重点和难点.本文研究分段函数在分段点的可导性、导数的求法,并给出相应的例子.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2011(013)003【总页数】4页(P124-127)【关键词】分段函数;导数;连续【作者】陈佩树【作者单位】巢湖学院,安徽巢湖238000【正文语种】中文【中图分类】O172.1分段函数是一类常见的函数，虽然有的分段函数在每一段上的表达式都不复杂，但是分段函数在分段点的极限是否存在、是否连续以及是否可导等问题都比一般初等函数复杂的多,常常让初学者感到一片茫然，搞不清其中的关系.由于分段函数在分段点的左右极限之间关系复杂，在分段点可能连续也可能不连续，有可能可导也有可能不可导，下面从三个定理出发，对分段函数在分段点的可导进行研究并给出相应的例子.定理 1[1] 若 f（x）在 x0处可导，则 f（x）在 x0处连续.反之，若 f（x）在 x0处不连续，则 f（x）在 x0处不可导.但即使f（x）在x0处连续，在处也未必可导.（1）满足什么条件时，f（x）在 x=0 连续；（2）满足什么条件时，f（x）在 x=0 可导；（3）满足什么条件时，f′（x）在 x=0 连续.解：（1）由连续的定义，如果 f（x）在 x=0 连续，则必然有也即要求由于所以只需，也即m≥1 时，f（x）在 x=0 连续.（2）由导数定义，知f′（0）=所以只需也即m≥2 时，f（x）在 x=0 可导，且有f′（0）=0.要使f′（x）在 x=0 连续，则有由（2）知当m≥2 时，f（x）在 x=0可导，且有f′（0）=0，也即则进一步还需要综上所述，即要求m≥3 时，f′（x）在 x=0 连续.注：从上面例可以看出，当m≥1时，f（x）在x=0连续，但当m≥1时，f（x）在x=0未必可导，只有当m≥2时，f（x）在x=0才可导.即说明了f（x）在x=0处连续并不能确保f（x）在x=0处可导，另一方面也验证了f（x）在x=0处可导，则f（x）在x=0处一定连续.极限、连续、导数的概念是关系到学生能否学好微积分的极其重要、最基本的概念.例 2 设分段函数解：当x≠0 时，f′（x）=3x2，由于则有函数 f（x）在 x=0 处左右极限不相等，显然有f（x）在x=0处不连续.从而f（x）在x=0处不可导.综上所述，当x≠0时，f′（x）=3x2，且 f（x）在 x=0 处不可导.注：如果直接地认为就出错了.在求函数在分段点的导数时,要判断函数在分段点处是否连续，甚至还需要判断在分段点的左右导数是否存在，以及是否存在且相等等若干问题，这将在下面的定理中进行讨论.定理 2[1] 存在当且仅当 f-′（x0），f+′（x0）存在，且有 f-′（x0）=f+′（x0）=f′（x0）注：定理2说明了若分段函数在分段点的左右导数虽然存在但不相等或至少有某一侧导数不存在，那么分段函数在这一分断点的导数就不存在.注：此题是首先判断函数在分段点连续，再通过求分段点两侧导数的极限存在且相等，进一步地有此函数在分段点两侧的导数存在且相等.故有函数在此分段点可导，且求出其导数.但是，分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.从而求得不存在.进一步误认为f′（0）不存在就出错了.分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.这时，只能利用导数的定义来判断.例 5 设函数解：由题目易得进一步考察f（x）在x=2点的导数：所以 f-′（2）≠ f+′（2），即 f（x）在 x=2 处不可导.综上所述，即有，且 f（x）在 x=2 处不可导.注：虽然f（x）在x=2处连续，但是f（x）在x=2处不可导.如果直接地对例5中函数f（x）中的分段函数进行求导，得到进而想当然地认为f′（2）=2，那就出错了.只有当f+′（2）=f-′（2）=2 的情况下，才有f′（2）=2.而实际上 f-′（2）=2；f+′（2）=4.利用左右导数来确定分段函数在分段点处的导数是行之有效的方法，在实际解题中必须小心谨慎.定理3 设分段函数满足（1）f（x）在x=x0处连续；（2）g（x）在（x0-δ，x0）内可导（其中存在，则 f-′（x0）存在且有证明：∀x∈（x0-δ，x0），由于f（x）在x=x0处连续，g（x）在（x0-δ，x0）内可导.所以 g（x）在[x，x0]上连续且在（x，x0）内可导.由微分中值定理知∃ξ∈（x，x0），使得由于当时，必有即 f-′（x0）存在且有同理有：设分段函数满足（1）f（x）在 x=x0处连续；（2）h（x）在（x0，x0+δ）内可导（其中存在，则f+′（x0）存在且有f+′（x0）=limh′（x）.通过该定理我们可以直接求解一些分段函数在分段点的的导数问题.（1）如果分段函数在分段点单侧连续，且在这一侧的导函数的极限存在，则可以直接利用该定理.比如例 2中的分段函数在分段点x=0左连续，且所以有 f-′（0）存在且有但是在分段点 x=0处不右连续，因此f+′（0）只能用定义去求解了.（2）如果分段函数在分段点连续，且在两侧导数的极限均存在，那么左、右导数都可用该定理的求得.比如例 5 中的函数在分段点x=2处连续，且（3）如果函数在分段点的两侧由同一表达式表示，且在分段点连续，如果存在，则有f′比如解：因为所以f（x）在分段点 x=1 处连续.当x≠1 时，f′（x）=【相关文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].高等教育出版社.2003.[2]吉米多维奇,费定晖,周学圣.数学分析习题集题解(2)[M].济南：山东科学技术出版社,1999：58.[3]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2002：78-82.[4]袁文俊,邓小成.极限的求导剥离法则[J].广州大学学报：自然科学版,2006，(3).[5]程黄金,陈伟.分段函数求导问题的多种解法[J].中国科技信息,2006，(16).[6]王大荣,艾素梅.分段函数在分段点处的求导方法刍议[J].沧州师范专科学校校报,2005,21(3).[7]刘其林,唐亮.一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题[J].株洲师范高等专科学校学报,2007,(4).。