工程力学精品课程-梁的应力及强度设计

根据正应力变化设计合理截面形状（实际应用时工字型、槽型截定时 WZ 越大越有利
通常用 WZ ⁄A 考查梁截面形状合理性和经济性（工字型、槽型截面更合理）
提高梁弯曲强度的途径
选择合理的截面形状
3、根据材料的特性：
拉、压强度相等材料：一般采用中性轴是对称轴的形状（如矩形、工字型
、圆形）
拉、压强度不等材料 ： 一般采用非对称截面形状，是中性轴偏向强度较低
的一边（如T形、槽形）
矩形截面
工字型截面
圆形截面
T形截面
槽形截面
提高梁弯曲强度的途径
合理的布置支座与荷载
1、将荷载靠近支座，或用分散荷载代替集中荷载：
将荷载靠近支座布置
将荷载分散布置
提高梁弯曲强度的途径
合理的布置支座与荷载
X
Z
Y
感谢聆听！
《 梁的剪应力强度条件及其应用 》
X
Z
Y
《工程力学》
《 梁的剪应力强度条件及其应用 》
最大剪应力
等直杆最大剪应力：
QSZ*
y
IZb
Q —— 横截面上的剪力
S*Z —— 横截面上距中性轴为y处的
水平线至截面上边缘（或下边缘）
部分截面面积A对中性轴的静矩
IZ —— 整个截面对中性轴的惯性矩
b —— 距中性轴为 y 处的截面宽度
2、调整支座位置或者增加支座数目，减小跨度：
调整支座位置布置
增加支座数目布置
提高梁弯曲强度的途径
合理的布置支座与荷载
3、采用变截面梁：
等截面梁 ： 应在弯矩比较大的地方采用较大的截面，弯矩小的地方采用较
小的截面
变截面梁：若能使每一截面上最大正应力都正好等于材料许用应力则是最

等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横 截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使 是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很 小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不 计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点处 于单向应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形 式来建立梁的正应力强度条件：
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max

《梁应力强度计算》课件一、梁的基本概念1.1 梁的定义梁是一种受弯和/或受剪的受力构件，常用于桥梁、建筑、机器结构等工程中。

1.2 梁的分类（1）按材料分类：钢梁、木梁、混凝土梁等。

（2）按截面形状分类：矩形梁、工字梁、T型梁、I型梁等。

（3）按受力状态分类：简支梁、悬臂梁、连续梁等。

二、梁应力强度计算的基本原理2.1 弹性理论弹性理论是研究弹性体在外力作用下的应力、应变及位移分布的数学理论。

对于梁的应力强度计算，主要应用弹性力学中的平面应变问题和平面应力问题。

2.2 截面应力梁截面上的应力分布不均匀，通常最大应力出现在截面中性轴上，称为截面应力。

2.3 弯曲正应力弯曲正应力是梁截面上与中性轴垂直的应力，其计算公式为：σ= M·y / I，其中M为弯矩，y为截面上的点到中性轴的距离，I为截面的惯性矩。

2.4 剪切应力剪切应力是梁截面上与中性轴平行的应力，其计算公式为：τ= V·x / A，其中V为剪力，x为截面上的点到中性轴的距离，A为截面的面积。

三、梁应力强度计算的方法3.1 静力法静力法是通过对梁受力的分析，确定各部分的受力情况，根据力的平衡条件求解应力。

适用于简单梁结构。

3.2 弹性解析法弹性解析法是利用弹性力学的公式，通过计算梁的弯曲正应力和剪切应力，判断梁的应力强度。

适用于求解复杂梁结构的应力强度。

3.3 有限元法有限元法是利用计算机模拟梁的结构，将梁划分为若干个小的单元，通过对每个单元的应力分析，求解整个梁的应力强度。

适用于求解大型复杂梁结构的应力强度。

四、梁应力强度计算实例4.1 简支梁受集中载荷假设一根简支梁，跨度为L，截面惯性矩为I，截面面积为A，受集中载荷P作用。

求解梁的最大弯曲正应力和剪切应力。

（1）计算弯矩M：M = P·L / 2。

（2）计算截面应力σ：σ= M·y / I。

（3）计算剪切应力τ：τ= V·x / A，其中V为剪力，x为截面上的点到中性轴的距离。

（2）截面设计
当已知荷载和所用材料（即已知M和[ ]）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。
求出WZ后，进一步根据所用梁的截面形状来确定尺寸。若采用型钢时，则可由型钢表查得所用型钢的型号。
（3）计算许可载荷
若已知梁的材料及截面尺寸（即已知[ ]和WZ），则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。
根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。
3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。
二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知
通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。
它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。
2、常见截面的抗弯截面系数
在对梁进行强度计算时，总要寻找最大正应力。有公式可知，当y=ymax时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大。
三、弯曲正应力强度的计算
应用强度条件公式，可解决梁的强度方面三类问题。
（1）强度校核
在已知梁的材料、截面形状与尺寸（即已知[ ]和WZ值）以及所受荷载（即已知M）的情况下，用强度条件检查梁的最大正应力是否满足强度条件。即
三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式
梁在纯弯曲时的正应力公式：
式中：σ——梁横截面上任一点的正应力；
M——该点所在横截面的弯矩；
Iz——横截面对其中性轴z的惯性矩；矩形 = ；圆形 =
y——所求正应力点到中性轴的距离。