人教版 九年级数学 实际问题与一元二次方程讲义 (含解析)

第3讲实际问题与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们重点学习根与系数的关系以及一元二次方程在实际问题中的应用，能够熟练使用根与系数的关系进行代数式的求解，对常见的一元二次方程的应用有一定的了解，本节课的难点在于实际问题中的一元二次方程的构造，是中学阶段关于应用题部分常考的一个知识点，希望同学们认真学习，为后面的二次函数的学习奠定良好的基础。

知识梳理讲解用时：25分钟根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立。

课堂精讲精练【例题1】已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=。

【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，△﹣n=﹣2，即n=2，△x1x2=n﹣3=2﹣3=﹣1．讲解用时：2分钟解题思路：利用根与系数的关系求出n的值，再利用利用根与系数的关系求出两根之积即可。

教学建议：熟练运用根与系数的关系。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：潜江模拟年份：2018 【练习1】设x1、x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，则x12+x1x2+x2-2=。

【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1、x2是方程x2﹣x﹣2017=0的两实数根，△x12﹣x1﹣2017=0，x1+x2=1，x1•x2=﹣2017，△x12=x1+2017，△x12+x1x2+x2﹣2=x1+2017+x1x2+x2﹣2=x1+x2+x1x2+2015=1﹣2017+2015=﹣1．讲解用时：5分钟解题思路：根据一元二次方程的解的定义得到：x 12=x 1+2017，结合根与系数的关系得出与系数的关系得出x 1+x 2=a b ，x 1•x 2=ac ，代入求出即可。

教学建议：利用根与系数的关系代入相关数值。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：成都模拟 年份：2018【例题2】已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数是 %，按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为 万台。

【答案】10、146.41【解析】本题考查利用一元二次方程处理增长率问题，设年平均增长率为x ，依题意列得100（1+x ）2=121，解方程得x 1=0.1=10%，x 2=﹣2.1（舍去），所以第4年该工厂的年产量应为121（1+10%）2=146.41万台.讲解用时：5分钟解题思路：根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x ，则第一年的常量是100（1+x ），第二年的产量是100（1+x ）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量。

教学建议：找到等量关系准确的列出方程。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：南开区模拟 年份：2018【练习2】某种品牌手机经过4，5月份连续两次降价，每部售价由5000降到3600元，且5月份降价的百分率是4月份降价的百分率的2倍，设4月份降价的百分率为x ，根据题意可列方程： （不解方程）。

【答案】5000（1﹣x ）（1﹣2x ）=3600【解析】本题考查利用一元二次方程处理增长率问题，设4月份降价的百分率为x ，则5月份降价的百分率为2x ，根据题意，得：5000（1﹣x ）（1﹣2x ）=3600。

讲解用时：3分钟解题思路：设4月份降价的百分率为x ，则5月份降价的百分率为2x ，根据某件商品原价5000元，经过两次降价后，售价为3600元，可列方程。

教学建议：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b 。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：苍南县一模 年份：2018【例题3】一个三位数，百位上的数字比十位数字大1，个位数字比十位数字小1，且个位数字和十位数字的平方和比百位数字大2，求这个三位数。

【答案】321【解析】本题考查利用一元二次方程处理数字问题，设这个三位数十位为x ，则百位为1x +，个位为1x -，依题意可得()()22112x x x -+-+=，整理得22320x x --=，解得112x =-（舍），22x =，则百位与个位分别为3和1， 即这个三位数为321．讲解用时：5分钟解题思路：通过设未知数分别表示出每位数字，再根据题意列出等式求解即可。

教学建议：设未知数分别表示出每位数字。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：临洮县期末 年份：2017秋 【练习3】有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的2倍多5，求这个两位数。

【答案】85【解析】本题考查利用一元二次方程处理数字问题，设这个两位数个位为x ，则十位为3x +，依题意可得：()()103235x x x x ++-+=⎡⎤⎣⎦，整理得225250x x --=，解得：152x =-（舍），25x =，即得这个两位数为85． 讲解用时：3分钟解题思路：通过设未知数分别表示出每位数字，再根据题意列出等式求解即可。

教学建议：设未知数分别表示出每位数字。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：汶上县二模 年份：2018 【例题4】如图，是一个长为30m ，宽为20m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为 米。

【答案】1【解析】本题考查了利用一元二次方程处理几何面积问题，设小道进出口的宽度为x 米，依题意得（30﹣2x ）（20﹣x ）=532，整理，得x 2﹣35x+34=0，解得，x 1=1，x 2=34，△34＞30（不合题意，舍去），△x=1．讲解用时：5分钟解题思路：设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可。

教学建议：表示出剩余的空地的长和宽是解决本题的关键。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：定陶县期末 年份：2017秋【练习4】如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m 。

【答案】2【解析】本题考查了利用一元二次方程处理几何面积问题，设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x ）m ，宽为（24﹣2x ）m ，由已知得：（30﹣3x ）•（24﹣2x ）=480，整理得：x 2﹣22x+40=0，解得：x 1=2，x 2=20，当x=20时，30﹣3x=﹣30，24﹣2x=﹣16，不符合题意舍去，即x=2． 讲解用时：5分钟解题思路：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x ）m ，宽为（24﹣2x ）m ，根据矩形绿地的面积为480m 2，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出x 的值。

教学建议：注意实际问题需要验根。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：平阳县期末 年份：2017秋【例题5】一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是 人。

【答案】12【解析】此题考查了利用一元二次方程处理循环（如握手、球赛）问题， 设参加会议有x 人，依题意得：21x （x ﹣1）=66， 整理得：x 2﹣x ﹣132=0，解得x 1=12，x 2=﹣11，（舍去）．讲解用时：5分钟解题思路：设参加会议有x 人，每个人都与其他（x ﹣1）人握手，共握手次数为21x （x ﹣1），根据题意列方程。

教学建议：注意计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为21x （x ﹣1），而x 个人互赠明信片时，每两个人之间有两张明信片，故明信片共有x （x ﹣1）张。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：和平区期末 年份：2017秋【练习5】甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？【答案】2、2187【解析】本题考查了利用一元二次方程处理传播问题，设每天传染中平均一个人传染了x个人，1+x+x（x+1）=9，解得x=2或x=﹣4（舍去），∴每天传染中平均一个人传染了2个人，9+18=27，27+27×2=81，81+81×2=243，243+243×2=729，729+729×2=2187．故5天后共有2187人得病.讲解用时：8分钟解题思路：设每天传染中平均一个人传染了x个人，根据某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，可列方程求解，然后再求出5天后的患甲型H1N1流感的人数。

教学建议：注意传播问题与握手问题的区别。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：潮南区一模年份：2018 【例题6】已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0，（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1，x2，若y=x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式。

【答案】（1）证明：△△=m2-4（m-2）=（m-2）2+4＞0，△无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根。

（2）y=m2+2m-4【解析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，（1）证明：△△=m 2-4（m -2）=（m -2）2+4＞0，△无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）解：设x 2+mx+m ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，△x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣2，△y=x 12+x 22+4x 1x 2=（x 1+x 2）2+2x 1x 2=（﹣m ）2+2（m ﹣2）=m 2+2m -4． 讲解用时：8分钟解题思路：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（m ﹣2）2+4＞0，进而即可证出：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣m 、x 1x 2=m ﹣2，将其代入y=x 12+x 22+4x 1x 2=（x 1+x 2）2+2x 1x 2中即可找出y 与m 的函数关系式。