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故在点(1, 1 ,1)处的切线方程为:
x 1
y1 2
z 1
2
1
2
2
理 系
法平面方程为 : x 2y 2z 0
高
等 曲线的向量方程及向量值函数的导数
数
学 曲线C的参数方程(1)[x=x(t), y=y(t), z=z(t)]也可写成向量的形
电
子 式.记 r=xi+yj+zk, r(t)=φ(t)i+ψ(t)j+ω(t)k
高 第六节 多元函数微分学的几何应用
等
p
数 学
一. 空间曲线的切线与法平面
z
M
电 设空间曲线L的参数方程为 子
M0
T
教
x=x(t), y=y(t), z=z(t) (1)
y
案
x
并设x(t),y(t),z(t)都可导,且导数不同时
为0.和平面曲线一样,通过空间曲线上
武
汉 科
任一点M0(x0,y0,z0)(对应于参数t=t0)的
学
电 是r(t)的三个分量函数φ(t),ψ(t),ω(t)都在t0可导,当r(t)在t0可 子
教 导时,其导数为
案
r(t0 ) (t0 )i (t0 ) j (t0 )k
采用向量形式,上面研究的空间曲线的切线,切向量的结果可
武
汉 科
表达为若向量值函数r(t)在t0可导,且r’(t0 )≠0,则r(t)的矢端曲线
Fx Fy Gx Gy 0
武
切线方程为x 1 y 1/ 2 z 1.法平面方程为x 2y 2z 0
1
2
2
汉
科 技 学
切线方程为x 1 y 1/ 2 z 1.法平面方程为x 2y 2z 0 1 2 2
院
数 理 系
Fy Gy
Fz Gz
(x
0
x0 )
Fz Gz
Fx Gx
(y
0
y0 )
数
理
系
高 等
由全导数公式,得
数
学 电
Fx (x0 , y0 , z0 ) x(t0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) y(t0 ) Fz (x0 , y0 , z0 ) z(t0 ) 0.
(12)
子
教 由全导数公式,得
案
Fx (x0 , y0 , z0 ) x(t0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) y(t0 )
武
汉 科
(x x0 ) (x0 )( y y0 ) (x0 )( z z0 ) 0 (6)
技
学
院
数
理
系
高
等 数
(2)如果曲线用两个空间曲面相交的交线形式出现时,可根
学 电
据隐函数求导的方法处理.
子
教 案
设空间曲线C的方程以 F (x, y, z) 0
G(x, y, z) 0
(7) 的形式给出
Fz (x0 , y0 , z0 ) z(t0 ) 0. (12)
武 汉
而s={x’(t), y’(t), z’(t)}是曲线L在点M0处的切线的方向向量,
科
技
学记
院
数
理 系
n {Fx (x0, y0, z0 ), Fy (x0, y0 , z0 ), Fz (x0, y0, z0 )}
Fx Gx
Fy Gy
(z
0
z0 )
0
(9)
高
解法2 : 把y, z看成x的函数,直接把方程对x求导,得到
等
数
2x 2y dy 2z dz 0 2y
2z 4z
学
dx dx
2( y 1) 2z
电 子
6x 2( y 1) dy 2z dz 0 2x
2z 8xz,
2y
2x 8xy 4x
科
技
学
院
2x 6y 3z 25 0
数
理
系
高 例2 求曲线 xyz=1,y2=x 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程
等
数 分析:我们把曲线方程写成参数方程
学
电 子 教
x y 2 , y y, z y 3. xy 2 y, yy 1, zy 3y 4
(1,1,1) y 1 xy 2, yy 1, zy 3.
武 汉
lim r(t) r(t0 ) T 0
科 技
t t0
t t0
学
院 数
则称r(t)在t0可导,并称T为r(t)在t0的导数(或导向量),记作r’(t0)
理
系
即r’(t0)=T
高 容易证明:向量值函数r(t)在t0连续的条件是: r(t)的三个分量
等
数 函数φ(t),ψ(t),ω(t)都在t0连续; r(t)在t0可导的充分必要条件
J (F,G) 0
(y, z)
高 等
Fz Fx dy (x) Gz Gx ,
Fx Fy dz (x) Gx Gy
F F dy F dz 0 x y dx z dx
数
dx
学
Fy Fz
dx
Gy Gz
Fy Fz Gy Gz
G G dy G dz 0 x y dx z dx
电 子 教 案
技
学 院 数
C在r(t0)的终点处存在切线, r’(t0 )就是切线的方向向量,它的指
理
系 向与参数t的增大时点M移动的走向一致.
高
二 曲面的切平面及法线
等
数 定义 在曲面上,通过一点M0的任何曲线在 学
电 该点的切线,如果都在同一平面上,这个平
子
Σ
教 案
面就称为曲面在M0的切平面.正如过平面
NT M0
于是T=(1, φ’ (x0 ),Ψ’(x0 )) 是曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切向量.
Fz Fx
(x) Gz Gx 0 ,
Fx Fy
(x) Gx Gy 0
Fy Fz
Fy Fz
Gy Gz 0
Gy Gz 0
分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点M(x0,y0,z0)的
武
汉 科
值,把上面的切向量T乘以 Fy Fz
技
学 院 数
切线,定义为割线M0 M,当M趋向M0时的极限位置M0T.
理
系
高
等
数
学 电
设M0的邻近点M(x0+△x,y0+△y,z0+△z)所对应的参数为
子 教
t=t0+△t.设p(x,y,z)是曲线的割线M0M上的一点.曲线的割线
案 M0M的方程为△xi+△yj+△zk, MP=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k,因
电 子
可以了为此,我们在恒等式
教
F[x, (x), (x)] 0
案
G[x, (x), (x)] 0
两边分别对x求全导数,得到
F F dy F dz 0 x y dx z dx
武 汉
G G dy G dz 0
科
x y dx z dx
技 学
由假设可知,在点M的某个邻域内 故可解得
院
数
理 系
案
切线方程为x 1 y 1 z 1
2 1 3
法平面方程为（2 x 1）（y 1）（3 z 1） 0 2x y 3z 0
武 (1)现在我们讨论空间曲线C的方程以y=φ(x), z=ψ(x)的形式
汉
科
技 学
出现,取x为参数,它可表示为参数方程的形式: x=x, y=φ(x),
院
数
理 z=ψ(x).
(3)
学
院
数
理
系
高
等
数 例1 求曲线 x=2t,y=3t2,z=t3.在点M(2,3,1)处的切线方程和 学
电 法平面方程.
子 教
M (2,3,1) t 1.
案
x 2, y t1 6, z t1 3.
切线方程为x 2 y 3 z 1。
2
6
3
武 汉
法平面方程为（2 x 2） （6 y 3）（3 z 1） 0
数 学
C就是变向径r(t)的终点的轨迹.我们称C为向量值函数r(t)的
电 子
矢量曲线.根据R3中向量的模的概念与向量的线性运算法则,
教 案
可定义一元向量值函数r(t)的连续性与可导性:
设r(t)在点t0的某邻域内有定义,如果
lim
t t0
r(t) r(t0 )
0
则称r(t)在t0连续;又若存在常向量T=(a,b,c)使得
,得
技 学
Gy Gz 0
院 数 理 系
T1
[
Fy Gy
Fz , Fz Gz 0 Gz
Fx , Fx Gx 0 Gx
Fy ] Gy 0
高
等 数
这也是曲线C在点M处的一个切向量,所以在点M(x0,y0,z0)的
学 切线方程为 电
子 教 案
x x0 y y0 z z0
(8)
Fy Fz
Fz Fx
为M0M∥M0p,所以有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数
x x0 y y0 z z0 x x0 y y0 z z0 lim x x0 lim y y0 lim z z0
x
y
z
x
y
z
t0 x
t0 y
t0 z
t
t
t
t
tt学源自x x0 y y0 z z0
系
高
等 若φ(x), ψ(x)都在x=x0处可导,那么由上述讨论可知,
