从算式到方程(基础)知识讲解

5.1.1 从算式到方程知识点讲解知识点 1方程【举例讲解】请看下面几个问题：(1)一头半岁的蓝鲸体重22 吨，90 天后体重为30.1吨，如果设蓝鲸体重平均每天增加x吨，那么可得 ·(2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg ，如果设每个袋子可装大米 x kg，那么可得 .(3)据资料，海拔每升高 100 m，气温下降( 0.6°C.现测得某山山脚下的气温为15.2℃，山顶的气温为12.4°C,如果设这座山高为 xm，那么可得 .(4)小明去商店买了5 支铅笔和8支圆珠笔，共花了18.60元，如果设每支铅笔x元，每支圆珠笔y元，那么可得 .根据上面四个问题可以得到以下四个式子，(1)22+90x=30.1.(2)3x+5=50.×0.6=12.4.(3)15.2−x100(4)5x+8y=18.60.这四个式子的共同特点：①它们都是等式；②每个等式都含有未知数.【归纳总结】知识归纳含有未知数的等式叫做方程.说明：①方程有两个要素，一是含有未知数，二是方程是一个等式，二者缺一不可；②方程中的未知数可以是x,也可以是其他字母;③如果在等式(a﹣1)x﹣2=4a中，x是未知数，a是已知数，那么我们就把这个方程叫做关于x的方程；④方程中所含的未知数不一定是一个，含有两个或两个以上未知数的等式也叫做方程.方法归纳代数式、等式和方程的区别：代数式中不含等号、不等号，只含有运算符号和括号；等式中必定有等号；方程中不但含有等号，而且含有未知数.知识点 2方程的解与解方程【举例讲解】对于方程3x+2=8,当x=1,2,3时,哪一个能使方程左右两边相等.当x=1时,方程左边=3×1+2=5≠右边,所以x=1不是方程3x+2 =8的解，或者说x=1不是方程的根；当x=2时,方程左边=3×2+2=8=右边,所以x=2是方程3x+2=8的解,或者说x=2是方程的根;当x=3时,方程左边=3×3+2=11≠右边,所以x=3 不是方程3x+2=8的解，或者说x=3不是方程的根.【归纳总结】知识归纳使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.只含有一个未知数的方程的解，也叫做根；求方程解的过程叫做解方程.方法归纳1.要检验一个数是否为某个一元方程的解，根据方程解的意义，只要把这个数分别代入方程左、右两边，看方程左、右两边的值是否相等，若左、右两边的值相等，则这个数是这个方程的解，反之，则不是.另外检验某数是不是方程的解的同时也可以用来验证我们解方程的过程是否正确.2.将未知数用具体数字来代替，这种方法在数学上叫做代入法，代入法是一种重要的数学方法.知识点 3一元一次方程【举例讲解】(1)七(二)班共有学生54人，男生人数是女生人数的2 倍，设女生有x人，则列方程为 .(2)有甲、乙两个仓库，其中甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，如果从甲仓库运出650吨，乙仓库运出50吨，两仓库剩余的粮食相等，设乙仓库的存粮为y吨，则列方程为 .(3)某养殖场有x只白兔，有280 只黑兔，其中黑兔只数是白兔只数的4倍，则列方程为 .解：(1)等量关系是：男生人数+女生人数=全班人数,所以方程为x+2x=54.(2)等量关系是：甲仓库存粮-650=乙仓库存粮-50,所以方程为3y-650=y-50.(3)等量关系是：黑兔的只数=白兔只数的4倍，所以方程为4x=280.从x+2x=54,3y-650=y-50,4x=280,这三个方程中可以看出它们的共同点是都含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是1，含有未知数的代数式都是整式.【归纳总结】知识归纳在一个方程中，只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.方法归纳1.一元一次方程必须满足三个条件：①未知数只有一个；②未知数的次数是1；③方程是整式方程.三个条件缺一不可.2.判断一个方程是不是一元一次方程，首先应将原方程化简、整理成一般形式，然后进行判断，特别注意“a≠0”这个条件.一个整式方程的“元数”和“次数”都是在将这个方程化成最简形式后才能判定的.拓展点：任何一个一元一次方程变形后总可以化为 ax+b=0的形式,其中x是未知数,a,b是常数,并且a≠0.我们把ax+b=0(a≠0)叫做一元一次方程的标准形式.知识点 4用“估算—检验”的方法求一元一次方程的解【举例讲解】估算方程3x-8=19的解.估算方程的解就是确定一个数代入这个方程，恰好使方程的左右两边相等.当x=10时,3x﹣8=22,而19<22,这说明方程的解要比10小,当x=8时,3x-8=16,而19>16，这说明方程的解要比8大，先尝试在这个范围内的整数,当x=9时,3x﹣8=19,所以方程的解是x=9.【归纳总结】知识归纳首先通过试验找出未知数所属的大致范围，即未知数取这个范围的两端的值时，一个使左边小于右边，另一个使左边大于右边，然后在这个范围内通过试验确定未知数的值，即方程的解.课后满分闯关1.下列各式3x−2,2m+n=1,a+b=b+a(a,b为常数)，y=0,x²−3x+2=0中，方程有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列四个方程中，是一元一次方程的是( )A.x²−1=0B.x+y=1C.12−7=5D.x=03.下列方程中，以4为解的方程是( )A.2x+5=10B.−3x−8=4+3=2x−3D.2x−2=3x−6C.124.小悦买书需用48 元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12 张.设所用的1 元纸币为x 张. 根据题意，下面所列方程正确的是( )A.x+5(12−x)=48B.x+5(x−12)=48C.x+12(x−5)=48D.5x+(12−x)=485.若方程3xᵐ⁻⁵=1是关于x的一元一次方程，则m=.6.关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1,则m=.7.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元.设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为 .是否为方程3x=x+3的解.8.判断x=2 和x=32是方程kx−4=2x的解，求代数式(3k²+6k−73)²⁰¹⁹的值.9.已知x=−1210.七年级一班第一小组的同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学们.若每人3个，还剩9个；若每人5个，就会有一人分到4个.试问第一小组有多少个学生? 共摘了多少个苹果?(1)题目中有两个不变的量，请指出这两个量.(2)根据这两个不变的量列出两个不同的方程. (只列方程)。

从算式到方程（基础）巩固练习撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是已知数) .（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）.【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列说法中正确的是( ).A．2a-a=a不是等式 B．x2-2x-3是方程C．方程是等式 D．等式是方程【答案】C．2．检验下列各数是不是方程27134x x=+的解．(1).x＝12 (2).1213 x=-【答案与解析】解：(1).把x＝12分别代入方程的左边和右边，左边21283⨯=，右边7121224=⨯+=．∵左边≠右边，∴x＝12不是方程的解．(2).把1213x=-分别代入方程的左边和右边，左边212831313⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭，右边7128141313⎛⎫=⨯-+=-⎪⎝⎭．∵左边＝右边，∴1213x=-是方程的解．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是()A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=【答案】A．类型二、一元一次方程的相关概念3．已知方程①32x x -=；②0.4x ＝11；③512x x =-；④y 2-4y ＝3；⑤t ＝0；⑥x+2y ＝1．其中是一元一次方程的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B .【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为①不是整式方程（分母中含有未知数）④未知数的次数为2，⑥含有两个未知数．所以①、④、⑥都不是一元一次方程．【总结升华】3x 和2x 是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母， 3x 不是整式，2x 是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程． 举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．①2x -1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②. 类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．(1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；(2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ；(3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c .B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a b c c =++. C ．在等式b c a a=两边都除以a ，可得b ＝c . D ．在等式2x ＝2a -b 两边都除以2，可得x ＝a -b .【答案】B .类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．可以采用列表法探究其解显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。

一元一次方程专题详解专题03 一元一次方程专题详解 (1)3.1从算式到方程 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 方程和一元一次方程的概念 (2)知识点2 方程的解与解方程 (3)知识点3 等式的性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 依题意列方程 (5)题型2 运用等式的性质解方程 (6)三、难点题型 (7)题型1 利用定义求待定字母的值 (7)3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 (8)知识框架 (8)一、基础知识点 (8)知识点1 合并同类项解一元一次方程 (8)知识点2 移项解一元一次方程 (9)二、典型题型 (10)题型1 一元一次方程的简单应用 (10)3.3解一元一次方程-去括号与去分母 (11)知识框架 (11)一、基础知识点 (11)知识点1 去括号 (11)知识点2 去分母 (12)二、典型题型 (13)题型1 去括号技巧 (13)题型2 转化变形解方程 (15)题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 (16)三、难点题型 (18)题型1 待定系数法 (18)题型2 同解问题 (18)题型3 含参数的一元一次方程 (19)题型4 利用解的情况求参数的值 (20)题型5 整体考虑 (21)3.4实际问题与一元一次方程 (21)一、基础知识点 (21)知识点1 列方程解应用题的合理性 (21)知识点2 建立书写模型常见的数量关系 (22)知识点3 分析数量关系的常用方法 (23)二、典型例题 (24)3.1从算式到方程知识框架一、基础知识点知识点1 方程和一元一次方程的概念1） 方程：含有未知数的等式。

例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。

如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含有一个未知数，且未知数 的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 例1.下列各式中，那些是等式？那些是方程？①3x-6；②3-5=-2；③x+2y=8；④x+2≠3；⑤x-x1=2； ⑥y=10；⑦3y 2+2y=0；⑧3a<-5a ；⑨3x 2+2x-1=0；⑩213m m y =-+ 【答案】是方程的有：③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩方程需满足2个条件：1）含有未知数；2）是等式。

5.1 从算式到方程5.1.1 从算式到方程主要师生活动一、创设情境，导入新知甲、乙两支登山队沿同一路线同时向一山峰进发. 甲队从距大本营的 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营的3 km 的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队？(用算术解决这个问题)师生活动：教师展示实际情境的行程问题，学生分组讨论解决，学生代表展示结果，教师及时给予肯定或帮助，并说明算术法不便捷.教师进一步提出学习新解法的必要性.二、小组合作，探究概念和性质知识点：方程学生尝试算术法解决问题之后，教师提问：如果设两队行进时间为x h，你能表示哪些信息？预设：甲队距大本营：(1.2x + 1) km；乙队距大本营：(0.8x + 3) km；想一想甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？师生活动：学生小组讨论后展示讨论结果，并表示用列方程的方法解决这类问题，但是无法准确描述出列方程的具体方法和步骤。

教师引导学生从找等量关系和设未知数两个步骤去分析对于实际问题如何用方程法解决. 预设：甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程 1.2x + 1 = 0.8x + 3合作探究问题1：用买 3 个大水杯的钱可以买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 分析：设大水杯单价为 x 元，则小水杯单价为 (x - 5) 元.等量关系：3×大水杯单价 = 4×小水杯单价 3x = 4(x - 5)问题2：右图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周年纪念币，其面积是 4 000 mm2，长和宽的比为 8 ∶5 (即宽是长的 58)，这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 分析： 设这枚纪念币长为 x mm ， 则这枚纪念币长为 58mm.等量关系：面积 = 4 000 mm 2. 1.2x + 1 = 0.8x + 3 12x = 16(x - 5) 上列的方程都有什么特点？ 义，并使学生认识到从算式到方程使我们有了更有力、更方便的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步.设计意图：(1)让学生知道用算术法解题时，列出的算式只能用已知数，而方程解决问题时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，也就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系；(2) 让学生初步了解列方程的步骤.设计意图：运用两个问题巩固列方程的一般步骤，强调列方程式依据了相等的关系，进一步让学生体会相等关系是列方程的关键。