消失的正方形--简单PPT演示

7.甲、乙、丙三个数的和是 105，甲数比乙数多 4，乙数 比丙数多 4，求丙数。
105-8-4=93 丙:93÷3=31
3.周明和王刚两人数学成绩的和是 182分.周明如果多考5分， 就比王刚多 3分.周明和王刚的数学各考了多少分?
周明如果多考 5分，就比王刚多3分，可知，王刚的数 学成绩比周明多5-3=2(分). 方法一:王刚:(182+2)÷2=92(分)周明:92-2=90(分) 方法二:周明:(182-2)÷2=90(分)王刚:90+2=92(分)
5.图书馆的书架上、下两层共存书 220 本，如果从上层拿 出 10 本放入下层则两层书架上书数相等.求原来上、下层 各存书多少本?
方法一:下层:(220-20)÷2=100(本) 上层:220-100=120(本)
方法二:上层:(220+20)÷2=120(本) 下层:220-120=100(本)
用数量大小相同的正方形拼长方形和正方形， 拼成正方形时周长最短， 拼成长方形的长和宽相差越小，周长越短。
运用画图法解决图形拼写问题 将一个正方形剪成四个相同的小长方形，周长增加了18厘米， 原来这个正方形的边长是多少厘米？
18÷6=3 (厘米)
运用图示法解决求组合图形周长的问题 将下面两个图形拼在一起，怎样拼才能使拼成的图形周长 最短？最短是多少？
2.把一个长6厘米，宽4厘米的长方形对折后（使宽重合）， 分成两个小长方形，每个小长方形的周长是（ 14 ）厘米。
3.一个长8厘米，宽4厘米的大长方形纸的，如果把它剪成4 个同样的小长方形纸板，每个=12 (厘米) （8＋1）×2=18 (厘米) （4＋2）×2=12 (厘米)
长方形和正方形
解决问题
用16张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形，怎样 拼才能使拼成的图形周长最短？

例2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
45°
45°
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC=90°, ∠DCB=90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC=45°, ∠ECB=45°，∴ ∠EBC=∠ECB . ∴ EB=EC,∴□BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.
对角线相等
正方形
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵四边形 ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
原四边形对角线关系
不相等、不垂直
相等
垂直
相等且垂直
中点四边形形状

1953年纽约市业余魔术师保罗·嘉理发明了一 个魔术，而这个魔术也产生了裁切悖论这个 听起来就很高深缥缈的理论。这个悖论是由 于人的视觉错误产生的。
失踪的正方形(一)
这个魔术的名字叫做“失踪的正方形”。
当把图形中的几个正方形移动之后，会得到 下面的这张图片。那么，图形中消失的那块 正方形去了哪里？
总共缩短的长度大约是一单位的28分之一，这在此谜题示例图 上很难以看出。注意在蓝色红色斜边交界处的网格点，如果将 它与另一张图的对应交界点比较，边缘稍稍溢出或者低于格点。 来自两张图重叠后溢出的斜边导致一个非常细微的平行四边形， 占据了刚好一格大小的面积，恰恰是第二张图“消失”的区域。
下面我们看看这种神奇现象的原因。
失踪的正方形谜题是一种视觉错觉
这谜题的关键是实际上两个13x5的多边形都不是三角 形，目测不容易察觉到红色和蓝色三角形斜边的斜率 有差别。 因此误以为两个组合成的图形都是三角形。 （也就是说：红色三角形与蓝色三角形的斜边并不在 同一直线上）
四个图形（黄色、红色、蓝色和绿色图形）总共占32个单位面 积，但是外面总三角形是宽13高5，合计32.5单位。蓝色三角形 长宽比为5:2，红色三角则是8:3，并且这些不是同一个长宽比。 因此在每个图中外观上加成后的斜边实际上缩短了。
失踪的正方形(二)
在一张正方形纸板上，按图一画上7照图二将这5小块纸板重新拼起的 时候，你会发现不可思议的事情发生了：中间居然出现了一个洞！ 图一的正方形是由49个小正方形组成的。图二中却只有48个小正 方形。哪一个小正方形没有了？它到哪儿去了？

（１） ＡＢ＝ＡＤ；
A
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
判断对错
1. 四边相等的四边形是正方形 2．四角相等的四边形是正方形 3．四条边相等且有一个角是直角的四边 形是正方形 4．对角线互相垂直平分且相等的四边形 是正方形 5．对角线垂直的平行四边形是正方形
判断对错
6.对角线互相垂直且相等的四边形是正 方形。 7.对角线互相垂直的矩形是正方形。 8.对角线相等的菱形是正方形。
活动
1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?
2.怎样使菱形的衣帽架变成正方形的衣帽架?
3.昨天,我去超市买了一条方巾，现在想请同学们帮助检验 一下方巾是否是正方形的。
1.已知:正例方形题AB解CD中析,点E、F、G 、H
正方形
菱形
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
You made my day!
我们，还在路上……
每一条对角线平分一组对角
对称性---- 是轴对称图形．
D O
C
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
对边平行且相 等
四边都相等
四个角都是直 角
对角线互相平 分
对角线互相垂 直
对角线相等
平行四边 形
√
√
矩形
√
√ √
√
菱形
√ √
√ √
正方形
√ √ √ √ √ √
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四
边形EFGH是正方形吗?为什么?

证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90° ∴∠CFD＝∠DEC＝∠FCE＝90° ∴四边形CFDE是矩形 又∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC ∴DF＝DE，∴矩形CFD松过招
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
新知导航
知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定

将直尺的一端与线段的端点对齐 ，画出相邻的边
重复以上步骤，完成正方形的绘 制
注意事项：保持直尺稳定，确保 画出的线段笔直；使用橡皮修改
不准确的线条
12
借助网格纸进行精确绘制
准备工具：网格纸、铅笔
选择合适的网格大小，确定正 方形的一边占据的网格数
利用网格的横向和纵向线条， 依次画出正方形的其他三边
步骤
正方形棋盘。
7
生活中常见正方形物品举例
正方形手帕。 正方形巧克力或饼干。
正方形电视或电脑屏幕（部分型号）。
8
02
正方形绘制方法与技巧
9
使用直尺和铅笔绘制正方形
• 准备工具：直尺、铅笔、橡皮
10
使用直尺和铅笔绘制正方形
步骤 确定正方形的一边长度 使用直尺画出一条直线段
11
使用直尺和铅笔绘制正方形
24
家居装饰中正方形元素搭配技巧
在家居装饰中，正方形元素可 以运用在家具、墙纸、地砖等 多个方面，为室内空间带来秩 序感和层次感。
正方形的家具如方桌、方凳等 ，可以与圆形或椭圆形的家具 形成对比，营造出有趣的视觉 效果。
正方形的墙纸或地砖可以选择 不同的色彩和图案进行搭配， 打造出富有节奏感和韵律感的 室内环境。
小班认识正方形ppt课 件
1
目录
• 正方形基本概念与特点 • 正方形绘制方法与技巧 • 正方形面积和周长计算公式及应用 • 正方形变换与组合规律探究 • 正方形在日常生活中的应用场景 • 总结回顾与拓展延伸
2
01
正方形基本概念与特点3Fra bibliotek正方形定义及性质
定义：正方形是一种所有边长相等，且每个角 都是直角的四边形。
我掌握了正方形的特点，能够区分正方 通过学习，我对几何图形有了更深入的

四、高阶运用之长方形正方形周长互逆。
一块正方形菜地与一块长方形菜地周长相等。已知正 方形菜地边长 40 米，长方形菜地长 50 米，求长方形 菜地宽多少米?
C正方形=40×4=160（米） 宽=160÷2－50=30（米） 答：长方形菜地宽30米。
四、高阶运用之结合立体图形求周长。
①如果一条彩带像右图中①那样绕，刚好 绕一周，这条彩带长多少厘米?
（8+4）×2=24（厘米） 答：这条彩带长24厘米。
②如果一条彩带像右图中②那样绕，刚好 绕一周，这条彩带长多少厘米?
4×4=16（厘米） 答：这条彩带长16厘米。
① 4厘米
② 8厘米
4厘米
五、拼一拼之相同的小正方形拼接。
把16幅边长为2分米的正方形手抄报作品贴在一起，做一个长方形或正方 形展板。如果要在展板的四周贴上花边，怎样设计这块展板才能使贴的花 边最少?这时花边长多少分米?
二、剪一剪，加深理解周长的概念。
剪法1：在正方形中减去一个三角形，周长会发生什么变化？
虽然图形变小了，但周长却 比原来增加了。 又减去一个三角形，周长有 怎样的变化？ 再减去一个三角形，你有什 么发现？ 图形面的大小变化跟周长没 有直接联系。
二、剪一剪，加深理解周长的概念。
剪法2：在长方形中减去一个正方形，周长发生了什么变化？
从右图可以看到组合图形的周长由4种类型 边的长度组成，只要计算出每种边的长度。
黄：8厘米 绿：28÷2－8=6（厘米） 红：16÷4=4（厘米） 蓝：6－4=2（厘米）
4×3+8×2+6+2=36（厘米） 答：组合图形的周长是36厘米。
五、拼一拼之2个不同的正方形拼接。
8厘米
已知正方形的周长是16厘米，长方形的周长是28厘 米，其中长是8厘米。求下面组合图形的周长。（至 少写出3种方法，组合图形可以通过整合优化）。

∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．

北师大版九年级数学
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定
情境引入
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个 角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景引入
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
情景引入
运用巩固
位置关系 垂直
对称性 有
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质. 矩形 性质
菱形 性质
么特征？
H
F
C G D
第三环节 猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：

平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
想一想： 正方形有几条对称轴
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.