投入产出模型

系统控制方法

——投入产出分析模型及其应用

投入产出分析是将研究对象视为黑箱，通过系统的输入与输出分析研究，来判断和了解系统的状态、行为和功能。具体地讲，它是研究管理系统各个部分间表现为投入与产出相互关系的经济数量分析方法。在微观管理系统, 所谓投入是指产品生产所需原材料、辅助材料、燃料动力、固定资产折旧和劳动等等；所谓产出是指产品生产的总量及其分配使用方面的数量，如生产消费、外销量及增加储备等等，其中生产消费称为中间产品，外销产品和增加储备称为最终产品。投入产出分析法最初是由国民经济各个产业部门（工业，农业等）间的联系发展起来的，故称其为部门联系平衡法或产业关联法，但它的应用十分广泛，不仅可应用于国民经济、地区经济的综合平衡，也可以有效地应用于企业内部的综合平衡，尤其适用于产品种类繁多，产品间联系复杂的企业。

在企业中应用投入产出分析通常包括三个步骤：一是编制投入产出表，二是建立投入产出数学模型；三是应用模型进行经济分析或实施优化分析。

一、企业投入产出表

企业投入产出表按其用途不同和计量单位分为实物型投入产出表和价值型投入产出表两类。现分述于下

（一）实物型投入产出表

企业实物型投入产出表的基本格式如表1所示。

实物型表包括四个象限（部分）。Ⅰ象限是本企业自产产品用于本企业生产消耗的数量（以产量表示，）是反映企业内部中间产品间的技术联系，现以X ij代表本企业第i种自产产品用作第j种产品生产的消耗数量，称之为流量，表的这一部分称之为自产产品流量矩阵，以符号[X ij]表示，是一个方阵，表内i,j=1,2，…，n；Ⅱ象限（部分）是本企业自产产品的最终产品数量，包括外销产品、增加库存的数量及其他用途的数量，以Y i表示；Ⅲ象限（部分）是本企业生产中外购产品用作中间产品消耗的数量，以符号U ij表示外购产品i用于本企业第j种产品的生产消耗数量，表的这一部分称为外购产品流量矩阵，以[U ij]表示，基中的i=1，2，…，m为外购产品的品种数。Ⅳ象限（部分）是外购产品作为最终产品使

用的数量，包括本企业使用后的剩余，用于外销或增加库存，以Wi表示。

实物型表有几个特点，建模时要注意：产品的计量单位是随产品的性质而定，有其特殊计量单位，因此实物表的横行能相加，其和为产品的总量，纵列不能相加。

（二）价值型投入产出表

企业价值型投入产出表的格式如表2所示。

价值型表根据产品的分配使用和价值的形成分为五个象限（部分）。Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限所代表的内容基本与实物表相同，只是产品的计算单位为货币单位，因此各个产品横向相加的和是总产值，所不同的是在表的纵向增加了第V象限（部分）。第V象限是反映企业中固定资产折旧，工资和税金与利润，即生产的固定费用和新创造价值，以D j、V J、M j表示。

价值型表的特点是：表中产品的计量单位是单一的，都是以货币为单位，因此表的横行相加为不同产品的总产值，表的纵列相加是反映产品的价值形成，即为生产物质消耗与活劳动消耗之和，各个产品总投入与总产出之和相等。

编制投入产出表，是建立投入产出模型的基础，也是进行经济分析工作的依据。

二、企业投入产出模型

企业投入产出模型分为行模型与列模型两类：行模型是根据投入产出表横向产品分配平衡关系列出的，有自产产品分配方程组及外购产品分配方程组。实物型表与价值型表均可列出行模型；列模型是根据价值型表纵列的平衡关系建立的生产方程组，它反映产品的价值构成关系。由于实物型表由各类产品的度量单位不统一，纵向不能相加，故不能列模型。

（一）行模型

1．企业自产产品分配方程组

从表的Ⅰ、Ⅱ象限来看，表的横向反映本企业自产产品的分配使用方向和数量（产品总产量或产品总产值）。若以X i 为第i 产品的总量，则各行的平衡关系可列出下列分配方程组。

X 11 + X 12 + … + X 1j + … + X 1n + Y 1 = X 1 X 21 + X 22 + … + X 2j + … + X 2n + Y 2 = X 2

……

X n1 + X n2 + … + X nj + … + X nn + Y n = X n

可缩写为：

i i n

j ij

X Y X

=+∑=1

（1）

分配方程组反映的经济内容是：

中间产品 + 最终产品 = 总产品

如果引入本企业产品的直接消耗系数（a ij ）,即生产j 产品直接消耗i 产品的数量，则直接消耗系数为：

a ij = X ij / X j

作变换得： X ij = a ij • X j （2） 代入式（1）得

i i n

j j ij

X Y X a

=+∑=1

（3）

写成矩阵形式为： AX + Y = X （4） 从而有： Y = （I – A ）X （5） 或 X = （I – A ）-1 Y （6） 其中，I 为单位矩阵； A 为直接消耗矩阵，

a 11 a 12 … a 1N a 21 a 22 … a 2N

A = ……

a n1 a n2 … a nN

根据式（2）有：

[]

1ˆ-=X

X A ij 式中：[ X ij ] --- 本企业产品的流量矩阵；

X

ˆ--- 本企业各类产品总量为对角线元素的对角矩阵； （I – A ）-1 --- （I – A ）的逆矩阵，又称列昂节夫逆系数矩阵。

2．外购产品部分的行模型

从表的Ⅲ、Ⅳ象限来看，表的横向反映外购产品的分配使用方向和数量（总产量或总产值）。若以Ui 为第i 个外购产品的总量，则各行的平衡关系可列出下列外购产品的分配方

程组。

i i n

j ij

U W U

=+∑=1

（i = 1，2，…，m ） （7）

引入外购产品的直接消耗系数（r ij ）,即生产本企产品j 对外购产品i 的直接消耗数量，则外购产品的直接消耗系数为：

r ij = U ij / X j （i = 1，2，…，m ；j = 1，2，…，n ） （8）

从而有： U ij = r ij • X j 代入式（7）可写为：

i i n

j j ij

U W X r

=+∑=1

（9）

写成矩阵形式为： RX + W = U 将式（6）代入上式得：

R （I – A ）-1Y + W = U （10）

令 G = R （I – A ）-1

代入上式，则得： GY + W = U （11） 式中，G 为本企业产品对外购产品的完全消耗系数矩阵。

式（7）和式（1）两组方程是企业投入产出分析的行模型。如果在计划期间内，按一定方法预测出企业自产产品及外购产品用于最终产品的数量（Y 与W ），再将企业自产产品的两个直接消耗系数a ij 和r ij 进行适当地修正，就能应用两组方程计算出企业自产产品总量Xi 和企业产品对外购产品的总量Ui 。

3．完全消耗系数

企业生产中在产品之间，除了有直接的生产联系外，还有间接联系，前者通过直接消耗系数a ij 来揭示，后者则要通过完全消耗系数来全面反映各类产品生产中的直接联系与间接联系。完全消耗系数是指生产一个单位的j 产品的最终产品对i 产品的完全消耗量，以b ij 表示。例如采煤对电的消耗，采煤利用采掘机械的运转要直接消耗电，也要直接消耗金属支架和坑木等等，但采掘机械的制造、金属支架的制造和坑木的采伐加工，也要消耗电，这对于采煤来说是属于间接消耗，是第一次间接消耗，而制造采掘机械和金属支柱的钢铁的冶炼，更需要消耗电，这就属于第二次间接消耗，依次类推会有第三、第四……以至更多次的间接消耗，完全消耗系数就指直接消耗和全部间接消耗之和。

完全消耗系数的计算，一般是利用直接消耗系数矩阵A 来推算完全消耗系数矩阵B 。 现假设某企业生产直接消耗系数矩阵为A ，当企业各类产品若只生产一个单位时，则需

要直接消耗各类产品的总量为X 0 = A ·I ，其中I 为单位矩阵。这样第一次间接消耗应为 X 1 = A ·X 0 = A 2·I ；第二次间接消耗应为X 2 = A ·X 1 = A 3·I ，则第（K-1）次间接消耗就

应为X （k-1）= A k

·I 。

按定义，完全消耗矩阵B 应为：

B = A + A 2 + A 3 + … + A k （12） 根据矩阵范数性质可知：当K →∞时，A k →0， 则式（12）可变为：