控制系统的数学模型
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第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型:信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型:微分方程传递函数频率特性一、数学模型:描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点,使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性,取其数学模型比较方便;若分析研究系统的内部结构情况,取其物理模型比较直观;若两者皆有,则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中,(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数,b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义:线性定常系统在初始条件为零时,输出量的拉氏变设:输入----r(t),输出----c(t),则传递函数:L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中:C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么:C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况,系统时域数学模型——推广到般情况,系统时域数学模型微分方程:L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式:111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω;==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益;2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式:)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点,个零极点。
控制系统的数学建模方法控制系统是指借助外部设备或内部程序,以使被控对象按照预定的要求或指令完成某种控制目标的系统。
在控制系统的设计过程中,数学建模是十分重要的一步。
通过数学建模,可以将实际的控制过程转化为数学方程,使得系统的行为可以被合理地分析和预测。
本文将介绍几种常用的数学建模方法,包括常微分方程模型、传递函数模型和状态空间模型。
1. 常微分方程模型常微分方程模型是控制系统数学建模中常用的方法。
对于连续系统,通过对系统的动态特性进行描述,可以得到常微分方程模型。
常微分方程模型通常使用Laplace变换来转化为复频域的传递函数形式,从而进行进一步的分析和设计。
2. 传递函数模型传递函数模型是描述线性时不变系统动态特性的一种方法。
它以输入和输出之间的关系进行建模,该关系可以用一个分子多项式与一个分母多项式的比值来表示。
传递函数模型常用于频域分析和控制器设计中,其数学形式直观且易于理解,适用于单输入单输出系统和多输入多输出系统。
3. 状态空间模型状态空间模型是一种将系统的状态表示为向量形式,并以状态方程描述系统动态行为的方法。
通过状态变量的引入,可以将系统行为从时域转换到状态空间,并进行状态变量的观测和控制。
状态空间模型具有较强的直观性和适应性,能够较好地描述系统的内部结构和行为特性,广泛应用于现代控制理论和控制工程实践中。
4. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元间相互连接的计算模型,可以用于控制系统的建模与控制。
通过训练神经网络,可以实现对系统的非线性建模和控制,对于复杂控制问题具有较强的适应性和鲁棒性。
5. 遗传算法模型遗传算法是一种通过模拟生物进化过程,优化系统控制器参数的方法。
通过设定适应度函数和基因编码方式,利用遗传算法优化求解出最优控制器参数。
遗传算法模型广泛应用于控制系统自动调参和优化设计中,具有较强的全局寻优能力和较高的收敛性。
数学建模是控制系统设计的重要环节,通过合理选择建模方法,可以更好地描述和分析系统的动态特性,并基于此进行控制器设计和性能评估。
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统,可以有相同的数学模型,从而可以抛开系统的物理属性,用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看,在相同形式的输入作用下,数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式,它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时,系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号,而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中,一般关心的是系统的动态特性,因此,往往需要采用动态数学模型。
即,一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统,数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统,它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性,不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性,完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型,是列写传递函数和状态空间方程的基础。
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法,其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后,变成复变量S的乘积,将时间表示的微分方程,变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换:设有时间函数,其中,则f(t)的拉氏变换记作:称L—拉氏变换符号;s-复变量; F(s)—为f(t)的拉氏变换函数,称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在,f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件):1)在任何一有限区间内,f(t)分断连续,只有有限个间断点。
2)当时,,M,a为实常数。
2、拉氏反变换:将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法,常用的有:①查拉氏变换表;②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中,对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号,这些信号可用一些典型时间函数来表示,本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1.单位阶跃函数2.单位脉冲函数3.单位斜坡函数4.指数函数5.正弦函数sinwt由欧拉公式:所以,6.余弦函数coswt其它的可见表2-1:拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1,k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有:,此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中,当t<0时,f(t)=0,f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明:,令t-a=τ,则有上式=例:, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证:例:求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。