高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案 新人教A版必修4

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第二章 平面向量

2.1 向量的概念及表示

【学习目标】

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；

3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

【学习重难点】

重点：平行向量的概念和向量的几何表示；

难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；

【自主学习】

1.向量的定义：__________________________________________________________;

2.向量的表示：

（1）图形表示：

（2）字母表示：

3.向量的相关概念：

（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________

（2）零向量：___________________，记作：_____________________

（3）单位向量：________________________________

（4）平行向量：________________________________

（5）共线向量：________________________________

（6）相等向量与相反向量：_________________________

思考：

（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____

（2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________

（3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________

柏梓中学高二数学圆锥曲线导学案

蒋红伟

1 §2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案

【学习要求】 1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别． 2．会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量．

3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

【学法指导】

本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量、相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵.

【知识要点】

1．向量：既有 ，又有 的量叫做向量．

2．向量的几何表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作____.

3．向量的有关概念：

（1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .

（2）单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量．

（3）相等向量： 且 的向量叫做相等向量．

（4）平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量．

①记法：向量a平行于b，记作 .

②规定：零向量与 平行.

【问题探究】

探究点一 向量的概念和几何表示

（1）我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．

例如，已知下列各量：

①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．

其中是数量的有 ，是向量的有 .

向量的模是非负数，可以比较大小，向量不能比较大小．

（2）带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段来表示．有向线段AB→的长度就是向量AB→的长度(简称模)，记作|AB→|；有向线段AB→箭头表示向量AB→的方向．假设下图每个格子是边长为1 cm，比例尺为1∶100，请求出下列各向量的模．

平面向量的坐标运算（第2课时）学案设计

单位;寿阳一中 编写：张丽霞 审核：韩瑞峰

1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj．我们把(x、y)叫做向量a的直角坐标，记作 ．并且|a|＝ ．

2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．

3．平面向量的坐标运算：

若a＝(x1、y1)，b＝(x2、y2)，λ∈R，则：

a＋b＝

a－b＝

λa＝

已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则AB＝ ．

4．两个向量a＝(x1、y1)和b＝(x2、y2)共线的充要条件是 ．

例1 例2 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C、D的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。

变式训练1.已知a－2b＝(－3，1)，2a＋b＝(－1，2)，求a＋b．

例2 已知向量a＝(1, 2)，b＝(x, 1)，1e＝a＋2b，2e＝2a－b，且1e∥2e，求x．

变式训练2.设a＝(ksinθ, 1)，b＝(2－cosθ, 1) (0

例3已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系

例4 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P是直线P1P2上一点，且21PPPP

（-1），求点P的坐标。

课后训练

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）

A.6 B.5 C.7 D.8

2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）

A.-3 B.-1 C.1 D.3

1 高中数学 平面向量共线的坐标表示学案

新人教A版必修4

一、预习导航：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？

设a=(x1, y1) b=(x2, y2)（ b0） 其中ba

由a=λb ， (x1, y1) =λ(x2, y2) 2121yyxx 消去λ：x1y2－x2y1=0

二：结论：a∥b (b0)x1y2-x2y1=0

注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵b0，

∴x2, y2中至少有一个不为0.

2充要条件不能写成2211xyxy ∵x1, x2有可能为0.

3从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b

(b0)01221yxyxba

二、课堂听评：你能掌握要领,提高能力吗？

例1. 已知(4,2)a，(6,)by，且//ab，求y．

提示：利用平面向量共线的充要条件直接求解.

变式训练1：已知平面向量)2,1(a ，),2(mb ，且ba//，则ba32等于_________.

例2: 已知(1,1)A，(1,3)B，(2,5)C，求证:A、B、C三点共线．

提示:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共

2 线.

变式训练2：若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为_________.

例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).

(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

提示:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.

【课堂小结与反思】

1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；

2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；