人教A版高中数学必修四2.3.4 平面向量共线的坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

整体设计

教学分析

1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.

2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.

3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.

三维目标

1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.

2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.

3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.

重点难点

教学重点:平面向量的坐标运算.

教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课 思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？

思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？

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课程目标 学习脉络

1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

2．能用向量的坐标表示判定向量是否共线．证明三点共线.

平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．

思考1如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？

提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．

例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．

思考2已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a和向量b共线条件的表示方法有哪些？

提示：在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，当b≠0时，a和b共线条件的表示方法有以下三种形式：

(1)当b≠0时，a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．

(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．

(3)当x2y2≠0时，12xx＝12yy，即两个向量的对应坐标成比例．这种形式是较容易记忆的向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．

1 平面向量共线的坐标表示

今天下午我上了一节校内公开课《平面向量共线的坐标表示》，本节内容是继平面向量定理、坐标表示及坐标运算之后，对向量共线可以用坐标表示的深化。我对这节课的自我评价是基本完成教学任务，知识与技能目标明确，重点突出，但在教学过程中对引导学生不足，给学生展示与练习的机会较少，主要体现在以下两个方面：

(一)在给出向量共线的坐标,即时，对于如何消去λ，这一过程没有给学生足够的思考时间，只是我自问自答，然后直接给出方法与结果，还有为什么不能写成,不应急于说出原因而应该留给学生分析。

(二)在讲解例题过程中，对学生提问太少，讲解时间偏多并且过于详细，显得有些啰嗦。比如讲例2时，分析完解题思路应让学生口述或者到黑板上写解答过程，而不是由我代替，这一点没有充分发挥学生的主体作用；还有例3第(2)小题可以用两种方法解，在用一种方法解完后应问问学生“想想还有没有别的解法？比如我们刚学习用坐标表示？”但是我却直接给出第二种解法，没有给学生尝试的机会，并且我还把这两种方法都板书在黑板上，以至于占用过多时间，到下课铃响还没来及小结本节内容就匆匆下课，显得这节课“有头无尾”。

针对以上不足，我希望在今后课堂中从以下三个方面进行改进：（1）改变教学方式，用“启发诱导式”教学代替“一言堂”，即多问少讲，将课堂归还给学生，让学生做课堂的“主人”；(2)注重思维训练，即在讲解例题时，着重教学学生如何读懂题意，如何分析题意，如何有条理地写出解题步骤； (3)加强课堂训练，让课堂内容及时消化，一堂课讲完后要给学生有针对性地练习，才能让学生真正掌握知识，才能达到学以致用的目的。

1 高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案

新人教A版必修4

【学习目标】

1、理解平面向量的坐标的概念；2、掌握平面向量的坐标运算；

3、会根据向量的坐标,判断向量是否共线.

【重点难点】

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。

【学习内容】

平面向量的坐标运算

一、预习导航：预习时完成下列题目,试试你的身手.

(一)温故而知新：

1、平面向量基本定理：如果1e,2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a= .

(1) 我们把 向量1e,2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一,关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底1e,2e的条件下进行分解；

(4) 基底给定时,分解形式 . λ1,λ2是被a,1e,2e唯一确定的数量.

(二)阅读课本,完成下列题目

2 1)若11(,)axy22(,)bxy,则ab ,ab

语言叙述：

(2)若),(yxa和实数,则a

(3) 若),(11yxA,),(22yxB,则1212,yyxxAB

语言描述：

(三)试试你的自学能力

1、已知向量a,b的坐标,求ba,ba的坐标：

(1)、)4,2(a,)2,5(b (2)、)3,4(a,)8,3(b

2、已知)2,3(a,)1,0(b,求ba42,ba34的坐标