2021_2020学年高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示练习新人教A版必修4
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[A 根底达标]
1．平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，那么2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B.因为平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以1×m－(－2)×2＝0，解得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
2．a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，假设b∥a，那么tan α＝( )
A.12 B．2
C．－12 D．－2
解析：选A.因为b∥a，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.
3．向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，假设u∥v，那么实数k的值是( )
A．－72 B．－12
C．－43 D．－83
解析：选B.v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－12.
4．假设AB→＝i＋2j，DC→＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向一样且为单位向量).AB→与DC→共线，那么x，y的值可能分别为( )
A．1，2 B．2，2
C．3，2 D．2，4
解析：选B.由题意知，AB→＝(1，2)，DC→＝(3－x，4－y)．
因为AB→∥DC→，所以4－y－2(3－x)＝0，
即2x－yB选项，x＝2，y＝2代入满足．应选B.
5．A(1，－3)，B8，12，且A，B，C三点共线，那么点C的坐标可以是( )
A．(－9，1) B．(9，－1) .
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 C．(9，1) D．(－9，－1)
解析：选C.设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以AB→∥AC→.
因为AB→＝8，12－(1，－3)＝7，72，
AC→＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－72(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9，1)符合要求，应选C.
6．向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，那么实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出以下结论：
①直线OC与直线BA平行；
②AB→＋BC→＝CA→；
③OA→＋OC→＝OB→；
④AC→＝OB→－2OA→.
其中，正确结论的序号为________．
解析：①因为OC→＝(－2，1)，BA→＝(2，－1)，所以OC→＝－BA→，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为AB→＋BC→＝AC→≠CA→，所以②错误；③因为OA→＋OC→＝(0，2)＝OB→，所以③正确；④因为AC→＝(－4，0)，OB→－2OA→＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．
答案：①③④
8．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“⊗〞为m⊗n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕〞为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，假设(1，2)⊗m＝(5，0)，那么(1，2)⊕m等于________．
解析：由(1，2)⊗m＝(5，0)，可得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以(1，2)⊕m＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)． .
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 答案：(2，0)
9．如下图，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求AM→，CN→的坐标，并判断AM→，CN→是否共线．
解：由可得M，)，N，)，
所以AM→，)，CN→，－2.5)，
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，
所以AM→，CN→共线．
10．a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)假设AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－12. 所以当k＝－12时，ka－b与a＋2b共线．
(2)因为A，B，C三点共线，
所以AB→＝λBC→，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以2＝λ，3＝mλ，解得m＝32.
[B 能力提升]
11．向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，那么点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，那么AB→＝(x－1，y－2)＝b.
由－2λ＝x－1，3λ＝y－2⇒x＝1－2λ，y＝3λ＋2.
又B点在坐标轴上，
那么1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B0，72或73，0. .
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 答案：0，72或73，0
12．点A(－1，6)，B(3，0)，在直线AB上有一点P，且|AP→|＝13|AB→|，那么点P的坐标为________．
解析：设P点坐标为(x，y)．
当AP→＝13AB→时，那么(x＋1，y－6)＝13(4，－6)，得
x＋1＝43，y－6＝－2，解得x＝13，y＝4，
所以P点坐标为13，4.
当AP→＝－13AB→时，同理可得，P点的坐标为(－73，8)，
所以点P的坐标为13，4或－73，8.
答案：13，4或－73，8
13．(2021·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设OA→＝(2，－1)，OB→＝(3，0)，OC→＝(m，3)．
(1)当m＝8时，将OC→用OA→和OB→表示；
(2)假设A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：(1)当m＝8时，OC→＝(8，3)，
设OC→＝xOA→＋yOB→，那么x(2，－1)＋y(3，0)＝(2x＋3y，－x)＝(8，3)，
所以2x＋3y＝8，－x＝3，所以x＝－3，y＝143，
所以OC→＝－3OA→＋143OB→.
(2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以AB→，AC→不共线，又AB→＝(1，1)，AC→＝(m－2，4)，所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
14．(选做题)平面上有A(－2，1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC→＝12BC→，连接DC，点E在CD上，且CE→＝14ED→，求E点的坐标． .
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 解：因为AC→＝12BC→，所以2AC→＝BC→，
所以2AC→＋CA→＝BC→＋CA→，
所以AC→＝BA→.设C点坐标为(x，y)，
那么(x＋2，y－1)＝(－3，－3)，
所以x＝－5，y＝－2，
所以C(－5，－2)．因为CE→＝14ED→，
所以4CE→＝ED→，
所以4CE→＋4ED→＝5ED→，
所以4CD→＝5ED→.
设E点坐标为(x′，y′)，
那么4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．
所以20－5x′＝36，－15－5y′＝－4，
解得x′＝－165，y′＝－115.
所以E点的坐标为－ 165，－115.
