圆与圆的位置关系

圆和圆的位置关系

两个圆有几种位置关系？

在平面上，两圆的位置有：外离，外切，相交，内切、内含共五种位置关系．

在平面内，两圆相对运动，可以得到下面不同的位置关系，如下图所示．

(1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆外部时，叫做这两个圆外离．

(2)两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一公共点叫做切点．

(3)两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交．两个公共点都叫做交点．

(4)两个圆有唯一公共点，并且除去这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一公共点叫做切点(要分清两圆外切、内切定义的区别)．

(5)两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含．

(6)两个圆同心是两圆内含的一种特例．

观察上图，可以发现，当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)大小有关．设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么有：

(1)两圆外离d＞R+r； (2)两圆外切d=R+r； (3)两圆相交R-r＜d＜R+r(R≥r)；

(4)两圆内切d=R-r(R＞r)； (5)两圆内含d＜R-r(R＞r)．

由以上讨论可以知道平面上两圆位置关系的确定有两种方法．第一种方法利用两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义确定．记忆每个定义要结合图形记忆，要根据每种位置关系的特点记忆，要按照两圆的公共点个数记忆．第二种方法根据两圆位置关系，圆心距、半径的数量关系的定理记忆．要把两圆的位置关系的图形和两圆位置关系的定理有机的结合起来，能够看到两圆位置关系的图形就想起相应的两圆位置关系的定理；看到两圆位置关系的定理就想到相应的两圆位置关系的图形 练习：

1．两圆半径是R和r(R＞r)，圆心距是d，且R2＋d2-r2=2dR，则两圆的位置关系为 ( )

(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)内切或外切

一、圆与圆的位置关系的判定

【例1】 ⑴(08哈尔滨)已知1O⊙与2O⊙半径的长是方程27120xx的两根，且1212OO，则1O⊙与2O⊙

的位置关系是___________．

⑵(烟台)已知关于x的一元二次方程22104xRrxd无实数根，其中Rr、分别是12OO、⊙⊙的半径，d为此两圆的圆心距，则12OO、⊙⊙的位置关系为______________．

【例2】 ⑴(05吉林)已知两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为9cm，则两圆的公切线有 条；

⑵ (05临沂)两圆半径分别为8和3，外公切线长为9，则两圆的位置关系是 ( )

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

CBAO2O1

【例3】 (2008年威海市)如图，点AB，在直线MN上，11AB厘米，AB，的半径均为1厘米．A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为1rt(0)t≥．

⑴ 试写出点AB，之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式；

⑵ 问点A出发后多少秒两圆相切？

二、两圆位置关系的计算

【例4】 已知两圆半径分别是4，5，公共弦长为6，求两圆的圆心距．

【例5】 如图，1O⊙与2O⊙外切于点T，它们的半径之比为2:3，AB是它们的外公切线，AB、是切点，且46AB，则12OO的值是_____________．

O1O2TAB

【例6】 如图，已知1O⊙与2O⊙外切，外公切线AB与12OO、⊙⊙分别相切于AB、两点，AB与12OO的夹角30P ，若122OO，求两圆的半径及外公切线长． A B N M

PO1O2AB

【例7】 已知，如图1O⊙与2O⊙外离，ABCD、两条内公切线交于P点，若1210OO，且1O⊙的半径为2，2O⊙的半径为3，求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数．

圆和圆的位置关系

圆形是几何学中最基本的图形之一，它由平面上所有到一个固定点的距离相等的点组成。当涉及到两个或多个圆时，它们的位置关系成为一个有趣而重要的话题。本文将探讨圆与圆之间的各种位置关系，并介绍这些关系在几何学和实际生活中的应用。

1. 包含关系

当一个圆完全包含另一个圆时，称为包含关系。在这种情况下，大圆被称为外切圆，小圆被称为内切圆。外切圆和内切圆之间的关系可以通过观察它们的半径和圆心之间的距离来确定。如果两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差，则为外切关系；如果距离等于两个圆的半径之和，则为内切关系。包含关系在工程、建筑和几何学中经常被使用，例如制作不同大小的齿轮。

2. 相离关系

当两个圆之间没有任何交点时，称为相离关系。相离关系可以进一步分为两种情况：外离和内离。对于外离关系，两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。即使两个圆的边缘相接触或靠近，它们也没有任何交点。对于内离关系，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之差。相离关系在可视化设计和物体的布局中经常被使用，以确保对象之间有足够的空间。

3. 相交关系 当两个圆有一个或多个交点时，称为相交关系。相交关系可以进一步分为两种情况：外交和内交。对于外交关系，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，但大于两个圆的半径之差。这种情况下，两个圆有两个交点。对于内交关系，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，且小于两个圆的半径之差。这种情况下，两个圆有两个交点。相交关系在建筑设计、路径规划和汽车制造等领域中具有重要的应用。

4. 切线关系

当两个圆之间只有一条公共切线时，称为切线关系。切线是一条与圆正好相切的直线。当两个圆互相切线时，它们的切线相互平行。切线关系在光学、天文学和工程设计中都有着广泛的应用，例如用于设计太阳能集热器的反射面。

总结：

在几何学中，两个圆之间的位置关系可以是包含关系、相离关系、相交关系或切线关系。这些关系在工程、建筑、可视化设计和其他领域中都有重要的应用。通过对圆与圆之间的位置关系的研究和理解，我们可以更好地应用于实际问题的解决和创新设计中。

§24.2.3圆与圆的位置关系

知识与技能 知道圆与圆的5种位置关系，并会从复杂图形中识别，并能抽象出这几种位置关系，

会运用圆与圆的位置关系与d、R、r的数量关系解决简单问题。

重

难

点 运用圆与圆的位置关系与d、R单问题。

过程与方法 学生经历识别抽象展示圆与圆的位置关系的过程，逐渐提高观察、动手实践的能力；

通过学生自主探索圆与圆的位置关系与d、R、r的数量关系，学会作图

分析、解决问题。

经历探索d、R、r的数量关系过情感态度与价值观

通过本节课的学习，学生能从数学的角度来欣赏圆与圆位置关系的动态美。

学生能真正地感受到数学来源于生活，并树立数形结合分类讨论的思想

教学准备 圆面（每人一个）,作图工具，课件

教学策略

与方法

自主探究、合作交流、剖析典例、数形结合、总结反思、分类讨论、动静结合

环节 教师行为 学生行为

图形

识别 活动1：观察图形（出示课件1）

1、 图中直线与圆有几种位置关系，请分别指出来。（你是依据什么判断的？）

2、 图中除了主要体现直线与圆的位置关系外，x与x的位置关系也很重要?

3、 这节课我们就来探究（它与直线与圆的位置关系一样吗？那它有什么样的性质呢？

学生认真观察教师出示的课件

1、 准确地识别圆与圆的位置关系（图形）

2、 判断直线与圆位置关系的方法（理论）

合作

探究 活动2：图形运动（出示课件2）

1、 两个圆面，一个静止，一个运动（由外向内）画出圆与圆的几种位置关系。

（两人一组，一个展示，一个作图）

2、 请一个同学把五种位置关系贴在黑板上（顺序），并给出名称。

3、 课件2观看。

4、 在课件中，指出圆与圆的位置关系。 学生积极参与活动，完成探究活动

1、 两人一组中明确移动的方向（为数轴作铺垫）

2、 从具体到抽象的过程（图形）

3、 对比、类比、直线与圆的位置关系得到本节位置关系

4、 熟练识图辩图能力

5、 再从抽象到具体实例的转化。 5、 举出实际生活中相关的例子。