高中数学人教版选修2-2教案(完整版)

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第一章 导数及其应用 §1.1.1变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV

 如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr

分析: 343)(VVr，

⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr

⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr

气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

1212)()(VVVrVr h

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问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?

思考计算：5.00t和21t的平均速度v

在5.00t这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(smhhv；

在21t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv

探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，

所以)/(004965)0()4965(mshhv，

虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

（二）平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子

1212)()(xxxfxf表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

2．若设12xxx, )()(12xfxff (这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样)()(12xfxfyf)

3． 则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212

思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?

直线AB的斜率

x1 x2 O y

y=f(x)

f(x1) f(x2)

△x= x2-x1 △y =f(x2)-f(x1)

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三．典例分析

例1．已知函数f(x)=xx2的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB,则xy ．

解：)1()1(22xxy， ∴xxxxxy32)1()1(2

例2． 求2xy在0xx附近的平均变化率。

解：2020)(xxxy，所以

xxxxxy2020)(xxxxxxxx020202022

所以2xy在0xx附近的平均变化率为xx02

四．课堂练习

1．质点运动规律为32ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 ．

2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

五．回顾总结：1．平均变化率的概念；2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业

导数与导函数的概念

教学目标：

1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；

理解导数的几何意义；

理解导函数的概念和意义；

2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力

3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。

教学重点： 1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用

教学难点： 1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用

教学过程：

一、情境引入

在前面我们解决的问题：

1、求函数2)(xxf在点（2，4）处的切线斜率。xxxfxfxy4)()2(，故斜率为4

2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是12tV，求ott时的瞬时速度。 253t高中数学人教版选修2-2教案(完整版)

ttttvttvtVooo2)()(，故斜率为4

二、知识点讲解

上述两个函数)(xf和)(tV中，当x(t)无限趋近于0时，tV(xV)都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（a，b）上的函数)(xf，)(baxo，，当x无限趋近于0时，xxfxxfxyoo)()(无限趋近于一个固定的常数A，则称)(xf在oxx处可导，并称A为)(xf在oxx处的导数，记作)('oxf或oxxxf|)('，上述两个问题中：（1）4)2('f，（2）oottV2)('

三、几何意义：我们上述过程可以看出)(xf在0xx处的导数就是)(xf在0xx处的切线斜率。

四、例题选讲

例1、求下列函数在相应位置的导数

（1）1)(2xxf，2x （2）12)(xxf，2x （3）3)(xf，2x

例2、函数)(xf满足2)1('f，则当x无限趋近于0时，

（1）xfxf2)1()1( （2）xfxf)1()21(

变式:设f(x)在x=x0处可导，（3）xxfxxf)()4(00无限趋近于1，则)(0xf=___________

（4）xxfxxf)()4(00无限趋近于1，则)(0xf=________________

（5）当△x无限趋近于0，xxxfxxf)2()2(00所对应的常数与)(0xf的关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例3、若2)1()(xxf，求)2('f和((2))'f 注意分析两者之间的区别。

例4：已知函数xxf)(，求)(xf在2x处的切线。

导函数的概念涉及：)(xf的对于区间（a,b）上任意点处都可导，则)(xf在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为)(xf的导函数，记作)('xf。

五、小结与作业

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§1.1.2导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率

（二）探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，

所以)/(004965)0()4965(mshhv，

虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

二．新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t时的瞬时速度是多少？考察2t附近的情况：

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t时的瞬时速度是13.1/ms

为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1ththt h

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