极限存在准则两个重要极限公式

1.5 极限存在准则 两个重要极限

一、相关问题

1． 我国古代数学家刘徽（公元3世纪）割圆术（Cyclotomic method）：先依次求出圆的内接正六边形、正十二边形、正二十四边形、……、正162n边形等一系列边数成倍增加的正多边形的面积123,,,,,nAAAA。分析这个数列具有哪些特性？具有这些特性的数列都收敛吗？

2. 一大学新生在银行存入1000元，复利率为每年%10，按连续复利结算计算10年后这位新同学在银行的存款有多少？

二、相关知识

1.如何应用单调有界准则证明极限存在？

2.单调有界准则和夹逼准则在使用上有何区别？

三、练习题

1. 设1110,6(1,2,)nnxxxn，试证明数列nx收敛，并求此极限.

2. 1lim1nnn. 3. lim2sin2nnn.

4. 0limcot5xxx. 5. 123lim21xxxx.

6. 证明222111lim112nnnnn.

四、思考题

1. 用Cauchy收敛准则讨论232111123nxn的收敛性.

2. 将相关知识中提到的数列验证其收敛性.

1 §1 6极限存在准则 两个重要极限

准则I

如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件

(1)ynxnzn(n1 2 3   )

(2)aynnlim aznnlim

那么数列{xn }的极限存在 且axnnlim

证明 因为aynnlim aznnlim 以根据数列极限的定义  0 N 10 当nN 1时

有

|y na|  又N 20 当nN 2时 有|z na|  现取Nmax{N 1 N 2} 则当 nN 时 有

|y na|  |z na|同时成立 即

ayna  az na 

同时成立 又因ynxnzn  所以当 nN 时 有

aynx nz na 

即 |x na| 

这就证明了axnnlim

简要证明 由条件(2)  0 N 0 当nN 时 有

|y na| 及|z na| 

即有 ayna  az na 

由条件(1) 有

ay nx nz na 

即 |x na| 

这就证明了axnnlim

准则I

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1) g(x)f(x)h(x)

(2) lim g(x)A lim h(x)A

那么lim f(x)存在 且lim f(x)A

注 如果上述极限过程是xx0 要求函数在x0的某一去心邻域内有定义 上述极限过程是x 要求函数当|x|M时有定义

极限存在准则与两个重要极限

首先，我们来定义极限存在准则。设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，

左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ

右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a

接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。

1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。

夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。

2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。 单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。

这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。

总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。

两个极限存在准则和两个重要的极限

第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的 ε>0，存在一个 δ>0，使得当 0<，x-a，

第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的 x∈(a-δ,a+δ) 有 ，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a

处存在极限。

这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。这两个定理的应用范围和方法略有不同。

除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。

无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有 ，a_n，

lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。

无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有 ，a_n，>M，则该数列是无穷大。对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有 lim(x→a) f(x)=∞（或表示为 lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。

无穷小和无穷大是极限的特殊形式，它们在数学分析和物理等学科中都有广泛的应用。在求解极限、研究函数性质和代数计算等方面，无穷小与无穷大的概念都具有重要作用。