极限的两个重要极限公式

鼎睇鞠ｇ■＊■一　箨　一　

教　

两个重要极限公式的　『几种变化形式口鄣必宝　

《高等数学》微积分学中有两个重要极限公式ｌｉｍ兰！　＝１　例

：２．因为１｜ｍ—　＝。。，所以Ｉｉｍ（１＋士）　＝ｌｉｒａ（１＋　、／

Ｘ　０　ｒ　

和ｌｉ　（１＋—Ｉ＿）　：ｅ　”

。表面上看这两个公式只是解决了部分　、／　

ｘ一０时　型和ｘ—ｏ。时ｌ　型极限的计算问题。实际上由于　、／　）　＝ｅ；因为ｌｉｍ。　：。。，ｆｉ）］：１）￣ｌｉｍ（１＋—　）一＝ｅ；因为　

ｘ·５　ｉｘ－３）　ｘ一＇５　ｌ　

这两个公式是高度抽象的，它们的含义非常深刻。　ｘ一５　

高职学生刚刚结束中学数学学习，仍习惯于具体图形分析ｌ　Ｉ　ｌｉｒａ　：　，Ｊ￣ｂＮｌｉｍ（１＋　：ｅ。　

和常量的计算和推理；对函数的思想和方法掌握得比较薄弱；理　一　’　Ｘ　

解和应用这两个公式就显得比较困难、或者仅仅停留在表面上。　三、第二个公式Ｉｉｍ（１＋　ｒ：ｅ的另一种变化形式　

ｘ　Ｘ　

在教学实践中，我主要考虑了学生的实际情况，坚持了循　

序渐进和直观性的教学原则Ｉ　，采用多举例、详讲解的方法，降低　第二个公式ｌｉ　（１＋　：　还可以变形为ｌｉｍ（１＋　）　＝ｅｏ　ＩＳｌＳｌ，也　

了难度、使学生的思维平缓过渡。较好地完成了教学任务，取得　

了好的教学效果　要先讲清楚当（Ｏｔ＞Ｏ）时ｌｉｍ（１＋ｘ）　＝（１＋Ｏｔ）“（ｄ＜０时，以上式子　

一

、第一个公式ｌｉｍ　＿ｎ（　：１的变化形式　不

一定总有意义，）和Ｉｉ　（１＋１＿）　：ｌ。以免和将要拓展的内容混淆。　

除了讲清它的基本内涵外，还指明（ｏ【≠０）／￣ｌｉｒａ　【ｘＪ和　然后将变量ｘ替换为　数　（Ｘ），让其充当ｘ的角色，也就是ｌｉｍ　

ｘ—　时ｌｉ　ｓｉｎ　ｘ（ｘ）：０（要用到连续函数的性质和无穷小量的性　（１＋巾（ｘ）Ｊ铀：ｅ

。而４）（ｘ）—　０　习　：１、ｌｉｒａ　（ｘ）＝０，２、ｌｉｍ　（ｘ）　

质）。以免和将要拓展的内容混淆。然后将变量Ｘ替换为函数　＝０，３、ｌｉｒａ　（ｘ）＝０这样，这个公式就有三个变形：１、ｌｉｒａ（１＋　

1 1.6两个重要极限

准则I

如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件

(1)ynxnzn(n1 2 3   )

(2)aynnlim aznnlim

那么数列{xn }的极限存在 且axnnlim

证明 因为aynnlim aznnlim 以根据数列极限的定义  0 N

10 当nN 1时 有

|y na|  又N 20 当nN 2时 有|z na|  现取Nmax{N 1 N 2}

则当 nN 时 有

|y na|  |z na|同时成立 即

ayna  az na 

同时成立 又因ynxnzn  所以当 nN 时 有

aynx nz na 

即|x na| 

这就证明了axnnlim

简要证明 由条件(2)  0 N 0 当nN 时 有

|y na| 及|z na| 

即有ayna  az na 

由条件(1) 有 2 ay nx nz na 

即|x na| 

这就证明了axnnlim

准则I

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1) g(x)f(x)h(x)

(2) lim g(x)A lim h(x)A

那么lim f(x)存在 且lim f(x)A

注 如果上述极限过程是xx0 要求函数在x0的某一去心邻域内有定义 上述极限过程是x 要求函数当|x|M时有定义

准则I 及准则I 称为夹逼准则

下面根据准则I证明第一个重要极限 1sinlim0xxx

第二重要极限

第二个重要极限是：n趋近于无穷大时，（1+1/n）的n次方的极限为e。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中。

逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而永远不能够重合到A（永远不能够等于A，但是取等于A已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为永远靠近而不停止，其有一个不断地极为靠近A点的趋势。

第二个重要极限公式是：lim（1+（1/x））^x=e（x→∞）。

第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它对初等函数极限的推导至关重要，是解决未定型极限的一个重要工具。但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握是学生学习的难点。

第二个重要极限，它的结构独特、复杂，形式多样，计算灵活，许多实际问题都依赖于这种极限的应用，因此掌握第二个重要极限，也有利于解决生产和生活中的实际问题，在经济学中尤为重要。

- 1 - 微积分 两个重要极限 第二个公式的变形,应用,技巧

微积分中的两个重要极限是极限的无穷大的概念，即当一个连续函数的值不断接近无穷时，每个值与其前一个值的差也越来越小，甚至接近零。极限可以用符号来表示，符号为“lim”，其后加上函数表达式，表示极限。

极限可以用来分析函数的行为，比如求得函数的极限值、求函数在某一点处的导数等。两个重要极限，即表示函数极限的第二个公式，由拉格朗日来推导，并由它对函数的分析和应用构成了极限的基本理论。

以第二个公式的形式来表示，它可以用Symbol表示，即：

lim[f(x)/(x-a)] = f′(a)

即当x趋近于a时，f(x)/(x-a)的极限值等于f′(a)，其中f′(a)表示函数f在点a处的导数值。

又如：一元函数y=f(x)，当x趋近于某个常数a时，函数y=f(x)的值也趋近于某个常数L，则可以称L为函数y=f(x)在x=a时的极限，记为：

lim[f(x)]=L

由此可见，求函数在某一点处的极限值，可以用上述公式推导出极限值L。若要求出函数在某一点处的导数值，则可以用上述第二个公式推导出函数在该点处的导数值。

极限的理论可以用来分析函数的行为，此外，由极限的理论可以推出许多应用，比如，解决积分和微分方面的问题，比如积分和微分 - 2 - 是两个重要的应用，而积分和微分的最基本原理却是极限。此外，在数学分析中，极限还可以用来求函数的单调性、最值、极点等，以及判断函数的连续性等。

极限的技巧有很多，比如用比值法求极限，即：当函数不能直接求出极限值时，可以把函数分成多个分母分子的比值，比如：lim[f(x)].lim[g(x)]/lim[h(x)]，然后再用极限技巧分别求出比值中每一项的极限值，最后把求出的每一项极限值相乘，即可求出函数的总体极限值。另外，还可以用变量技巧求极限，即：当极限值不能用比值法求出时，可以用变量技巧把函数变形成一个容易求出极限的形式，以达到求出极限的目的，比如将函数xx改写成(x-a)f(x)/(x-a)的形式，然后再用第二个公式推导出x=a时的极限。