（完整版）1极限存在准则-两个重要极限

极限存在准则两个重要极限公式

首先，我们来介绍极限保号公式。设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。现在我们来证明极限保号公式：

假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。如果limx→a

f(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。

证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。所以有，L，≤M。

这就是极限保号公式的证明。

接下来我们来介绍夹逼准则。设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。 证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

我们取δ=min{δ1, δ2}，那么对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

综上所述，对于任意的x∈(a-h,a+h)，我们都有，g(x)-L，

总结一下，极限存在准则是判断一个函数在其中一点上是否存在极限的重要工具。其中，极限保号公式用来判断函数的保号性质是否对极限的值也成立，夹逼准则用来判断函数在其中一点上的极限是否存在。这两个公式在数学分析中有着广泛的应用。

§1.7 极限存在准则 两个重要极限

求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知x时， 0sinxxxf,

但0x时，?sinxxxf00是否有？如果有，怎样求？

再如nnnfn)11(无限多个积，n换成x？

一．极限存在准则I

1．准则I 如果数列,2,1,,nzyxnnn满足：

(1),2,1nzxynnn

(2)aynnlim , aznnlim

那么数列nx的极限存在，且axnnlim.

证：∵aynnlim , aznnlim，

∴10N，当1Nn时，有ayn.

同理20N，当2Nn时，有azn.

取21,maxNNN，则当Nn时，

有ayn, azn同时成立

即ayan,azan,而,2,1nzxynnnn，∴azxyannn,即axn.

故axnnlim。

*数列极限存在准则I可推广到函数的极限。 准则Iˊ如果

(1) ),ˆ(0rxUx (或Mx)时，有xhxfxg成立；(2)Axglim, Axhlim (0xx或x),

那么Axhlim (0xx或x).

准则I,I′称为夹逼准则。

2．利用准则I′证明第一个重要极限：1sinlim0xxx

证：函数xxsin在0x时有定义

单位圆中，AOB的面积＜扇形AOB的面积＜AOD的面积

即xsin21 x21 xtan21,

1sincosxxx (1)(∵用x代x时，xcos与xxsin都不变号，

∴对0,2x也成立)。

证 1coslim0xx

20x时，22222sin2cos11cos0xxxx22x

1 §1 6极限存在准则 两个重要极限

准则I

如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件

(1)ynxnzn(n1 2 3   )

(2)aynnlim aznnlim

那么数列{xn }的极限存在 且axnnlim

证明 因为aynnlim aznnlim 以根据数列极限的定义  0 N 10 当nN 1时

有

|y na|  又N 20 当nN 2时 有|z na|  现取Nmax{N 1 N 2} 则当 nN 时 有

|y na|  |z na|同时成立 即

ayna  az na 

同时成立 又因ynxnzn  所以当 nN 时 有

aynx nz na 

即 |x na| 

这就证明了axnnlim

简要证明 由条件(2)  0 N 0 当nN 时 有

|y na| 及|z na| 

即有 ayna  az na 

由条件(1) 有

ay nx nz na 

即 |x na| 

这就证明了axnnlim

准则I

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1) g(x)f(x)h(x)

(2) lim g(x)A lim h(x)A

那么lim f(x)存在 且lim f(x)A

注 如果上述极限过程是xx0 要求函数在x0的某一去心邻域内有定义 上述极限过程是x 要求函数当|x|M时有定义

极限存在准则两个重要极限公式

一、夹逼定理

夹逼定理是指在一些区间内，对于一个函数f(x)在其中一点x=c左右两侧或者趋近于x=c的时候，都存在一个函数g(x)和函数h(x)，并且有以下关系：

f(x)≤g(x)≤h(x)，当x→c时，有g(x)→L，h(x)→L，则有f(x)→L。

夹逼定理的基本思想是找到两个函数，一个函数比所要研究的函数小，一个函数比所要研究的函数大，并且这两个函数的极限相等，则可以推导出所要研究的函数的极限存在，并且与这两个函数的极限相等。

夹逼定理的应用非常广泛，特别是在计算不定型极限、无穷小量极限时，往往可以利用夹逼定理来确定极限的存在与值。例如，在计算sinx/x的极限的时候，我们可以认为0

二、洛必达法则

洛必达法则是一种计算不定型极限的有效方法。对于形如f(x)/g(x)型的不定型极限，其中f(x)和g(x)作为函数分别在其中一点x=c处连续，且f(c)=g(c)=0或者都是无穷小量的时候，可以用洛必达法则来求解极限。

具体求解方法如下：

1.计算函数f(x)和g(x)的导数，即f'(x)和g'(x)。 2.当f'(x)/g'(x)在其中一点x=c处极限存在且不为0时，即存在f'(c)/g'(c)的时候，可以得到极限lim(x→c)(f(x)/g(x))=lim(x→c)(f'(x)/g'(x))=f'(c)/g'(c)。

洛必达法则的基本思想是通过两个函数的导数的极限来推导函数的极限。利用洛必达法则，我们可以求解许多常见的不定型极限，比如0/0型、∞/∞型、0×∞型等。

例如，我们求解lim(x→0)(sinx/x)的极限，我们可以计算该极限的导数，f(x)=sinx, g(x)=x，导数分别为f'(x)=cosx, g'(x)=1，那么根据洛必达法则，我们可以得到该极限lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(cosx/1)=1

总结：

夹逼定理和洛必达法则是数学分析中两个非常重要的极限公式。夹逼定理通过找到比所要研究的函数小和大的两个函数，并利用它们的极限的相等性来推导出所要研究的函数的极限存在与值。洛必达法则则通过计算函数的导数的极限来求解不定型极限。这两个极限公式在计算和证明极限存在与值时非常有用，对于解决一些复杂的极限问题具有重要的指导作用。