2021年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷(二模) (解析版)

2021年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷（二模）

一、选择题（共10小题）.

1．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，则A∪B＝（ ）

A．{x|x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}

2．在复平面内，复数z＝i（i+2）对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．在的展开式中，x3的系数为（ ）

A． B． C．﹣40 D．40

4．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（ ）

A．2a＜2b B．

C．a3＞b3 D．lg（a2+1）＞lg（b2+1）

5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）

A． B．1 C． D．2

6．已知函数f（x）＝|x|﹣1﹣log2|x|，则不等式f（x）＜0的解集是（ ）

A．（0，1）∪（2，+∞）

B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）

D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）

7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（ ）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）

A．0.25 B．﹣0.25 C．0.89 D．﹣0.89

8．已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为（ ）

A． B． C． D．

9．已知函数f（x）＝sinx，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2”是“b﹣a≥π”的（ ）

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

10．设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．设向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，则实数m＝

．

12．若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为

．

13．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，S3＝2a1，则公差d＝ ，Sn的最大值为 ．

14．已知α是任意角，且满足，则常数k的一个取值为 ．

15．曲线C是平面内与两个定点F1（0，1），F2（0，﹣1）的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：

①曲线C关于坐标轴对称；

②△F1PF2周长的最小值为；

③点P到y轴距离的最大值为；

④点P到原点距离的最小值为．

其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN与平面PBD所成角的正弦值．

17．在△ABC中，已知sinB＝sinC，A＝30°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）c的值；

（Ⅱ）△ABC的面积．

条件①：ab＝2；

条件②：asinB＝6．

18．某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：

教师：60 63 65 67 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96

96 96

学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84

95 96

根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分

满意度等级 不满意 满意 非常满意

假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．

（Ⅰ）设数据中教师和学生评分的平均值分别为μ1和μ2，方差分别为η1和η2，试比较μ1和μ2，η1和η2的大小（结论不要求证明）； （Ⅱ）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．

19．已知椭圆的离心率为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）过点M（0，1）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得∠ANM＝∠BNM（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

20．已知函数f（x）＝ex﹣mx2（m∈R）．

（Ⅰ）已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣ex+e，求m的值；

（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使得f（x0）≥2，求m的取值范围．

21．已知数列{an}（an∈N），记Sn＝a1+a2+⋯+an，首项a1＝n0＞0，若对任意整数k≥2，有0≤ak≤k﹣1，且Sk是k的正整数倍．

（Ⅰ）若a1＝21，写出数列{an}的前10项；

（Ⅱ）证明：对任意n≥2，数列{an}的第n项an由a1唯一确定；

（Ⅲ）证明：对任意正整数n0，数列{Sn}从某一项起为等差数列．

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，则A∪B＝（ ）

A．{x|x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}

解：由|x|≤1，得﹣1≤x≤1，∴A＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，

又B＝{x|0≤x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x≤1}∪{x|0≤x＜2}＝{x|﹣1≤x＜2}．

故选：D．

2．在复平面内，复数z＝i（i+2）对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解：由z＝i（i+2）＝﹣i2+2i＝﹣1+2i，

可得复数z＝i（i+2）对应的点的坐标为（﹣1，2），位于第二象限．

故选：B．

3．在的展开式中，x3的系数为（ ）

A． B． C．﹣40 D．40

解：的展开式中，x3的系数为＝﹣40．

故选：A．

4．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（ ）

A．2a＜2b B．

C．a3＞b3 D．lg（a2+1）＞lg（b2+1）

解：对于A，函数y＝2x为增函数，因为a＞b，所以2a＞2b，故A错误；

对于B，取a＝1，b＝﹣1，可得，故B错误；

对于C，幂函数y＝x3为增函数，由a＞b，可得a3＞b3，故C正确；

对于D，取a＝1，b＝﹣1，则a2+1＝b2+1，所以lg（a2+1）＝lg（b2+1），故D错误．

故选：C．

5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）

A． B．1 C． D．2

解：由三视图还原原几何体如图，

底面三角形BCD为直角三角形，BC⊥CD，BC＝1，CD＝2，

侧面ABC⊥底面BCD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，

，，

，，

∴该四面体四个面的面积中最大的是．

故选：C．

6．已知函数f（x）＝|x|﹣1﹣log2|x|，则不等式f（x）＜0的解集是（ ）

A．（0，1）∪（2，+∞）

B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）

D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）

解：令g（t）＝t﹣1﹣log2t，t∈（0，+∞）， g′（t）＝1﹣＝，

t∈（0，）时，g′（t）＜0，此时函数g（t）单调递减；t∈（，+∞）时，g′（t）＞0，此时函数g（t）单调递增．

又g（1）＝g（2）＝0，∈（1，2）．

∴1＜t＜2时，g（t）＜0，

则1＜|x|＜2时，f（x）＜0，

解得﹣2＜x＜﹣1，或1＜x＜2．

∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，﹣1）∪（1，2）．

故选：D．

7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（ ）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）

A．0.25 B．﹣0.25 C．0.89 D．﹣0.89

解：∵θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，且当θ1＝46℃，θ0＝10℃，t＝1min时，θ＝38℃，

∴38＝10+（46﹣10）e﹣k，

∴e﹣k＝，

∴﹣k＝＝ln7﹣ln9，

∴k＝ln9﹣ln7＝2ln3﹣ln7≈0.25，

故选：A．

8．已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为（ ）

A． B． C． D．

解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，

∴a2+b2＝1，则动圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1的圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上，

如图：

原点O到直线y＝x+2的距离d＝，

则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为．

故选：B．

9．已知函数f（x）＝sinx，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2”是“b﹣a≥π”的（ ）

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解：无妨设x1＜x2，

①若存在x1，x2∈[a，b]，使得f（x1）﹣f（x2）＝2，又∵sinx∈[﹣1，1]，

∴f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，

∴x1＝+2kπ，x2＝+2mπ，k，m∈Z，

则x2﹣x1＝π+2kπ，k∈Z，又∵x1＜x2，

∴x2﹣x1≥π，∵x1，x2∈[a，b]，∴b﹣a≥π，

②若b﹣a≥π，比如b＝，a＝，b﹣a＝π，但f（x1）﹣f（x2）＝2不成立，

∴存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2是b﹣a≥π的充分不必要条件．

故选：B．

10．设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

解：函数y＝﹣x3+3x，x∈R，则y'＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），

所以当﹣1＜x＜1时，y'＞0，故函数单调递增，

当x＜﹣1或x＞1时，y'＜0，故函数单调递减，

当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝2，