二次插值法计算公式

二次插值法例题二次插值法是一种用于求解离散数据点的插值方法。

它通过构造一个二次函数来逼近数据点的趋势。

下面是一个二次插值法的例题: 假设我们有一些离散的数据点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ldots, (x_n, y_n)$ ,要求构造一个二次函数 $f(x)$ ,使得 $f(x_i) approx y_i$ 。

首先，我们可以用二次插值法求解一个近似的 $f(x)$ ,使得$f(x_i) approx y_i$ 。

具体来说，我们可以用以下的方法构造一个二次函数:1. 选取 $n$ 个插值节点 $(x_i, y_i)$ ,其中 $i=1, 2, ldots, n$ 。

2. 计算这些节点之间的差分，即 $d_i = y_i - f(x_i)$ 。

3. 对 $d_i$ 用二次函数进行拟合，得到二次函数 $f(x)$ 的系数。

具体来说，我们可以使用以下的方法得到系数:- 对于 $i=1, 2, ldots, n-1$,计算 $d_i$ 和 $d_{i+1}$ 之间的差分，即 $d"_i = d_i - d_{i+1}$ 。

- 对 $d"_i$ 用二次函数进行拟合，得到二次函数 $f(x)$ 在$(x_i, y_i)$ 点的值。

具体来说，我们可以使用以下的方法得到系数:- 如果 $i=1$,则 $f(x_1) = y_1$ 。

- 如果 $i=n$,则 $f(x_n) = y_n$ 。

- 如果 $1 < i leq n-1$,则 $f(x_i) = y_i + (d"_i)^2/2$ 。

- 如果 $i=n$,则 $f(x_n) = y_n$ 。

4. 最后，将 $f(x)$ 应用到 $(x_i, y_i)$ 点上，即可得到插值结果。

上述二次插值法只能用于求解离散数据点的插值问题，不能用于求解连续问题。

如果需要求解连续问题，则需要使用其他的插值方法，例如分段线性插值、分段三次样条插值等。

二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间搜索极小点的一种方法。

它属于曲线拟合方法的畴。

一、基本原理在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。

如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。

常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。

这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。

假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。

利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式（1）式中、、为待定系数。

图1根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得（2）为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即（3）解式(3)即求得插值函数的极小点（4）式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得:（5）（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：（7）把取作区间的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。

上述求极值点的方法称为三点二次插值法。

为便于计算，可将式(7)改写为（8）式中：（9）（10）二、迭代过程及算法框图(1)确定初始插值结点通常取初始搜索区间的两端点及中点为，，。

计算函数值，，，构成三个初始插值结点、、。

(2)计算二次插值函数极小点按式(8)计算，并将记作点，计算。

若本步骤为对初始搜索区间的第一次插值或点仍为初始给定点时，则进行下一步(3);否则转步骤(4)(3)缩短搜索区间缩短搜索区间的原则是：比较函数值、，取其小者所对应的点作为新的点，并以此点左右两邻点分别取作新的和，构成缩短后的新搜索区间。

二次插值计算例题二次插值是数学中常用的一种近似计算方法，通过已知的离散数据点构造二次函数，进而求解给定数据处的函数值，从而实现插值计算。

二次插值方法在实际应用中经常被广泛地使用，例如在图像和声音信号处理、数学模型和物理现象等方面。

在二次插值计算中，需要假设有三个已知数据点，分别为$(x_0,y_0)$，$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，其中$x_0<x_1<x_2$。

在这三个点之间构造二次函数$y=ax^2+bx+c$，并且要满足函数在这三个点处的取值与已知数据相同，即满足以下三个方程组：$$y_0=ax_0^2+bx_0+c \\y_1=ax_1^2+bx_1+c \\y_2=ax_2^2+bx_2+c$$通过解这个方程组得到二次函数的系数$a$、$b$和$c$，进而求得在给定数据点处的函数值。

求解这个方程组的方法，可以使用高斯消元法、矩阵求逆法或拉格朗日插值法等多种计算方法。

其中拉格朗日插值法是一种比较常用的方法。

通过拉格朗日插值法可以构造出一个满足给定数据点的二次函数，其具体方法如下：$$L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \\L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \\L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$构造出三个拉格朗日插值基函数$L_0(x)$、$L_1(x)$和$L_2(x)$，满足$L_i(x_j)=\delta_{ij}$。

其中，$\delta_{ij}$为克罗内克 delta 函数，当$i=j$时取值为1，否则取值为0。

通过将这三个插值基函数与已知数据点进行组合，可以得到一个满足插值条件的二次函数：$$y(x)=L_0(x)y_0+L_1(x)y_1+L_2(x)y_2$$利用这个二次函数，可以计算任意给定位置$x$处的函数值$y(x)$。

二次插值算法范文二次插值算法是一种在离散数据点之间进行数据估计的方法，它通过利用已知数据点及其相邻数据点的信息，来计算出两个数据点之间的值。

二次插值算法可以应用于图像处理、信号处理、数值分析等领域，在实际应用中具有很高的效率和准确性。

二次插值算法的基本原理是通过已知的数据点来构造一个二次函数，然后利用这个函数来估计两个数据点之间的值。

具体而言，假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望估计在一些位置x处的值y。

首先，我们选择x所在的两个已知数据点，假设它们分别为(xi, yi)和(xi+1, yi+1)，然后我们构造一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，满足条件f(xi) = yi和f(xi+1) = yi+1、通过解这个方程组，我们可以得到二次函数的系数a、b和c，然后通过计算f(x)即可得到在位置x处的估计值y。

下面我们来具体讨论二次插值算法的实现。

首先，我们需要定义一个函数quadratic_interpolation，它接受三个参数：x, data和index。

其中x为需要估计的位置，data为已知的数据点集合，index为x所在的两个数据点的索引。

```pythondef quadratic_interpolation(x, data, index):x0, y0 = data[index]x1, y1 = data[index + 1]a=(y0-2*y1+y2)/((x0-x1)*(x0-x2))b=(y1-y0)/(x1-x0)-a*(x0+x1)c=y0-a*x0**2-b*x0return a*x**2 + b*x + c```在这段代码中，我们首先通过传入的index参数找到x所在的两个数据点，然后根据这两个数据点构造二次函数的系数a、b和c，并最终返回在位置x处的估计值。

接下来，我们可以使用这个二次插值算法来对一组数据进行插值。

附件1
寿险合同负债评估折现率曲线
根据《保险公司偿付能力监管规则第3号：寿险合同负债评估》第十九条规定，计算现金流现值所采用的折现率曲线由基础利率曲线加综合溢价形成，具体计算方法如下：
一、基础利率曲线由以下三段组成:
750天移动平均国债收益率曲线 0<t≤20
终极利率过渡曲线 20<t≤40
4.5% t>40
二、终极利率过渡曲线采用二次插值方法计算得到。

（一）第一次插值的计算公式为：
r t=r20+（4.5%-r20）×（t-20）/（40-20）
其中：
t为年度；
r t为在t年度第一次插值的数值。

（二）第二次插值的计算公式为：
R t=r t×（t-20）/（40-20）+r*t×（40-t）/（40-20）
其中：
t为年度；
r t为在t年度第一次插值的数值；
r*t为在t年度750天移动平均国债收益率曲线的数值；
R t为在t年度终极利率过渡曲线的数值。

三、寿险合同负债折现率曲线具体标准见《附件3：人身保险公司利率风险基础情景和不利情景曲线生成器》。

插值法的简化公式
插值法是一种用于在有限数据点之间插入未知点的数值方法。

在数学中，我们可以使用插值法来建立函数模型，从而预测未知点的数值。

插值法有许多种不同的形式，其中最常见的是线性插值、二次插值和三次插值等。

在应用插值法时，我们需要提供一组数据点，这些数据点通常被称为样本点。

然后，我们使用插值法来插入未知点，以建立函数模型。

在数学中，我们可以使用各种插值公式来计算未知点的数值。

其中一种最常见的插值公式是线性插值公式，它用于在两个数据点之间插入未知点。

线性插值公式如下:
y = ax + b
其中，y 是我们要插入的未知点的数值，x 是我们提供的数据点之一，a 和 b 是常数，它们取决于我们所应用的插值法类型。

在实际应用中，线性插值公式通常不足以满足我们的需求，因为我们需要更多的插值精度来预测未知点的数值。

因此，我们通常使用更高级的插值法，例如二次插值法和三次插值法。

这些插值法通常可以提供更准确的插值结果，并且可以更好地适应数据点之间的变化趋势。

在应用插值法时，我们需要谨慎选择插值法类型，以确保我们的函数模型能够提供准确的预测结果。

同时，我们也需要考虑到数据质量和数据点的数量，这些因素都会影响我们的插值结果。

第二章 插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln 0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤ 的函数表，步长1(1/60),h '== 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

简述二次插值法的迭代过程一、原理介绍二次插值法是一种基于二次函数的插值方法，它利用已知的两个点的函数值和导数值，通过构建一个二次插值多项式，来逼近函数的根。

该方法的基本思想是，通过构造一个二次函数，使得该函数与待求解的非线性方程在两个已知点处的函数值和导数值相等，然后利用二次插值多项式的根来逼近方程的根。

二、迭代步骤二次插值法的迭代步骤如下：1. 选择两个初始点a和b，使得f(a)和f(b)异号，即f(a) * f(b) < 0。

这样可以保证方程在[a, b]之间存在根。

2. 在[a, b]区间内，根据二次插值多项式的构造原理，可以得到一个二次函数p(x)，使得p(a) = f(a)，p(b) = f(b)，p'(a) = f'(a)，p'(b) = f'(b)。

其中，f(x)为待求解的非线性方程。

3. 求解二次函数p(x)的根x0，即p(x0) = 0。

可以通过求解二次方程的公式来得到根的近似值。

4. 判断x0是否在[a, b]区间内。

如果x0不在[a, b]区间内，则重新选择a和b，并返回第2步。

如果x0在[a, b]区间内，则进入下一步。

5. 判断f(x0)的值是否满足收敛条件，即|f(x0)| < ε，其中ε为预设的收敛精度。

如果满足收敛条件，则x0为方程的近似解，结束迭代。

如果不满足收敛条件，则将x0作为新的b值，并重新选择一个新的a值，并返回第2步。

三、迭代收敛性二次插值法的迭代过程中，根的选择和收敛性是关键。

在选择根的初始点a和b时，需要满足f(a) * f(b) < 0，这样可以保证方程在[a, b]之间存在根。

在选择新的a和b时，一般会选择离根较近的点，以加快迭代速度。

对于二次插值法的收敛性，一般情况下是收敛的。

但是，如果方程的根处于函数的驻点或拐点附近，可能会导致迭代过程发散。

因此，在实际应用中，需要对迭代过程进行控制，设置合适的迭代次数或收敛精度，以确保迭代过程的稳定性和收敛性。

二次牛顿插值多项式例题牛顿插值多项式是一种常用的数值插值方法，它可以用于求解离散数据点的加权平均值。

二次牛顿插值多项式是其中一种常见的形式，它可以用来插值求解二次函数。

下面是二次牛顿插值多项式的例题: 假设我们有一个离散的数据点集{x1, x2, ..., xn}和相应的数值 y1, y2, ..., yn，我们需要用二次牛顿插值多项式来插值求解 y 关于 x 的函数。

首先，我们需要计算出牛顿插值多项式的根 x0, x1, ..., xn-1，这些根可以通过求解二次方程来实现。

具体地，我们可以将二次方程f(x) = 0 求解得到 x0, x1, ..., xn-1，其中 f(x) 是牛顿插值多项式的系数。

然后，我们可以使用这些根来计算出牛顿插值多项式的各项系数。

具体地，我们可以使用下面的公式来计算牛顿插值多项式的系数:a0 = y0 / (x0 - x1)a1 = y1 / (x0 - x1) - a0 * f"(x1) / f(x1)a2 = y2 / (x0 - x1) - a1 * f"(x1) / f(x1) - a0 * f""(x1) / (f(x1))^2...an = yn / (x0 - x1) - a(n-1) * f"(x1) / f(x1) - a(n-2) * f""(x1) / (f(x1))^2 - ... - a0 * f"""(x1) / (f(x1))^3 + ...其中，f"(x) 表示 f(x) 的一阶导数，f""(x) 表示 f(x) 的二阶导数，以此类推。

最后，我们可以使用这些系数来计算出牛顿插值多项式的输出值y。

具体地，我们可以使用下面的公式来计算牛顿插值多项式的输出值:y = a0 * (x0 - x1) + a1 * (x0 - x1) * f"(x1) + a2 * (x0 - x1) * f""(x1) + ... + an * (x0 - x1) * f"""(x1) + ...以上就是二次牛顿插值多项式的例题。

三点二次插值法例1. 用三点二次插值法求解：3min ()21t t t ϕ=-+，精度210ε-=。

解：首先找出满足123()()()t t t ϕϕϕ><且123t t t <<的1t ，2t ，3t ； 易知，10t =，20t =，30t =；第一次迭代：1()1t ϕ=，2()0t ϕ=，3()22t ϕ=，代入公式，得：0.625μ=，由于()()20.0060t ϕμϕ=-<=， 并且20.375t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.625t μ==，321t t == 第二次迭代：()11t ϕ=，()20.006t ϕ=-，()30t ϕ=， 代入公式，得：0.808μ=，由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-<=-， 并且 20.183t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：120.625t t ==，20.808t μ==，331t t == 第三次迭代：()10.006t ϕ=-，()20.089t ϕ=-，()30t ϕ=， 代入公式，得：0.815μ=，由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-==-， 并且 20.007t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.815μ=或0.808μ=。

三点二次插值法例1 用二点二次插值法求解：3min ()21t t t ϕ=-+，精度210ε-=。

解：首先找出'1()0t ϕ<，'2()0t ϕ>且12t t <的1t ，2t ，由于'2()32t t ϕ=-，则易知10t =，22t =， 第一次迭代：1()1t ϕ=，1()2t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.5μ=，由于{}12()0.125min (),()t t ϕμϕϕ=<，() 1.250ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.5i i t με=-=>，则继续迭代； 这时迭代点：()0ϕμ'<，1()0t ϕ'<，2()0t ϕ'<，12t t μ<<， 则令：10.5t μ==，222t t ==，第二次迭代：1()0.125t ϕ=，1() 1.25t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.7083μ=，由于{}12()0.0613min (),()t t ϕμϕϕ=<，()0.49490ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.5833i i t με=-=>，则继续迭代； 这时迭代点：()0ϕμ'<，1()0t ϕ'<，2()0t ϕ'<，12t t μ<<， 则令：10.7083t μ==，222t t ==，第三次迭代：1()0.0613t ϕ=-，1()0.4949t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.7916μ=，由于{}12()0.0872min (),()t t ϕμϕϕ=-<，()0.12010ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.0833i i t με=-=>，则继续迭代；这时迭代点：()0ϕμ'<，1()0t ϕ'<，2()0t ϕ'<，12t t μ<<， 则令：10.7916t μ==，222t t ==，第四次迭代：1()0.0872t ϕ=-，1()0.1201t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.8084μ=，由于{}12()0.0885min (),()t t ϕμϕϕ=-<，()0.03950ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.0178i i t με=-=>，则继续迭代；这时迭代点：()0ϕμ'<，1()0t ϕ'<，2()0t ϕ'<，12t t μ<<， 则令：10.8084t μ==，222t t ==，第五次迭代：1()0.0885t ϕ=-，1()0.0395t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.8139μ=，由于{}12()0.0886min (),()t t ϕμϕϕ=-<，()0.01270ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.0055i i t με=-=<，则停止迭代，输出近似最优解：0.8139μ=。