二次插值法例题

二次插值计算例题二次插值是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点的坐标，推导出两个数据点之间的某个点的值。

在二次插值中，我们假设数据具有二次多项式的形式，并通过插值公式求解未知点的值。

以下是一个用于说明二次插值的计算例题：例题：已知数据点的坐标为（1，1）、（2，3）、（3，7），求x=2.5时的y值。

解析：1. 首先，我们需要确定插值多项式的形式。

由于已知的数据点个数为3个，因此我们可以假设插值多项式为二次多项式的形式：P(x) = a*x^2 + b*x + c2. 接下来，我们需要确定多项式的系数a、b和c。

为了确定这些系数，我们可以使用已知数据点的坐标。

3. 首先，我们将已知的数据点代入多项式中，得到以下方程： P(1) = a*1^2 + b*1 + c = 1P(2) = a*2^2 + b*2 + c = 3P(3) = a*3^2 + b*3 + c = 7将方程整理为矩阵形式，得到以下方程组：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦4. 解方程组，可以得到系数a、b和c的值。

首先，将方程组进行高斯消元法的操作：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎡ 1 1 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥ => ⎢ 0 -2 -3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦⎣ 0 0 -2 ⎦进行回代运算：-2c = -2 => c = 1-2b - 3c = 3 => -2b - 3 = 3 => b = -2a +b +c = 1 => a - 2 + 1 = 1 => a = 2因此，系数a、b和c的值为2、-2和1。

5. 最后，将得到的系数代入插值多项式中，求解x=2.5时的y 值：P(2.5) = 2*2.5^2 + (-2)*2.5 + 1 = 11.25 - 5 + 1 = 7.25因此，在已知数据点（1，1）、（2，3）、（3，7）的情况下，当x=2.5时，y的值为7.25。

二次插值计算例题二次插值是数学中常用的一种近似计算方法，通过已知的离散数据点构造二次函数，进而求解给定数据处的函数值，从而实现插值计算。

二次插值方法在实际应用中经常被广泛地使用，例如在图像和声音信号处理、数学模型和物理现象等方面。

在二次插值计算中，需要假设有三个已知数据点，分别为$(x_0,y_0)$，$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，其中$x_0<x_1<x_2$。

在这三个点之间构造二次函数$y=ax^2+bx+c$，并且要满足函数在这三个点处的取值与已知数据相同，即满足以下三个方程组：$$y_0=ax_0^2+bx_0+c \\y_1=ax_1^2+bx_1+c \\y_2=ax_2^2+bx_2+c$$通过解这个方程组得到二次函数的系数$a$、$b$和$c$，进而求得在给定数据点处的函数值。

求解这个方程组的方法，可以使用高斯消元法、矩阵求逆法或拉格朗日插值法等多种计算方法。

其中拉格朗日插值法是一种比较常用的方法。

通过拉格朗日插值法可以构造出一个满足给定数据点的二次函数，其具体方法如下：$$L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \\L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \\L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$构造出三个拉格朗日插值基函数$L_0(x)$、$L_1(x)$和$L_2(x)$，满足$L_i(x_j)=\delta_{ij}$。

其中，$\delta_{ij}$为克罗内克 delta 函数，当$i=j$时取值为1，否则取值为0。

通过将这三个插值基函数与已知数据点进行组合，可以得到一个满足插值条件的二次函数：$$y(x)=L_0(x)y_0+L_1(x)y_1+L_2(x)y_2$$利用这个二次函数，可以计算任意给定位置$x$处的函数值$y(x)$。

数值分析实验报告线性‎插值和二次插值计算l‎n0.54的近似值‎数值分析实验报告线性‎插值和二次插值计算l‎n0.54的近似值‎‎篇一：‎数值分析-用线性‎插值及二次插值计算‎数值分析上机报告习‎题：给出f(‎x)?lnx的数值表‎，用线性插值及二次插‎值计算ln0.54的‎近似值。

解：‎(1)用线‎性插值计算 Matl‎a b程序 x=0.‎54; a=[0.‎5,0.6];b‎=[-0.69314‎7,-0.51082‎6]; l1=b‎ (1)*((x-‎a(2))/(‎a(1)-a‎ (2))); ‎l2=b(2)‎*((x-a(‎1))/(a(‎2)-a(1)‎)); y=l1+‎l2 y = -0.‎6202（2‎）用抛物插值计算 M‎a tlab程序 x‎=0.54; a=‎[0.4,0.5,0‎.6]; b=[-‎0.916291,-‎0.693147,-‎0.510826];‎ A=b(1‎)*(x-a(‎2))*(x-a‎(3))/((a‎ (1)-a‎(2))*(a‎(1)-a(3‎))); B=b‎(2)*(x-a‎ (1))*(x-‎a(3))/(‎(a(2)-a‎(1))*(a‎(2)-a‎(3))); C=‎b(3)*(x‎-a(1))*‎(x-a(2)‎)/((a(3‎)-a(1))‎*(a(3)-‎a(2)));‎y=A+B+C y‎= -0.6153‎‎篇二：‎数值分‎析上机实验报告二实‎验报告二题目：‎如何求解插值函数‎摘要：在工‎程测量和科学实验中，‎所得到的数据通常都是‎离散的，如果要得到这‎些离散点意外的其他点‎的数值，就需要根据这‎些已知数据进行插值。

‎这里我们将采用多种插‎值方法。

前言：‎（目的和意义）‎掌握Lagrange‎,Netn,Herm‎i te,线性，三次样‎条插值法的原理及应用‎，并能求解相应问题。

‎数学原理：‎主要的插值法有：‎多项式插值法、‎拉格朗日插值法、线性‎插值法、牛顿插值法，‎H ermite插值法‎三次样条插值法等。

第二章 插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln 0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤ 的函数表，步长1(1/60),h '== 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

一维无约束优化算法——二次插值法二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。

它属于曲线拟合方法的范畴。

一、基本原理在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。

如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。

常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。

这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。

假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。

利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式，式中、、为待定系数。

图1根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得（2）为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即（3）解式(3)即求得插值函数的极小点（4）式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得:（5）（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：（7）把取作区间内的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。

上述求极值点的方法称为三点二次插值法。

为便于计算，可将式(7)改写为（8）式中：（9）（10）二．程序框图给定hyyyaaa,,,,,,313,212开始三．例题及其程序代码1.用二次差值法求f(α)=sinα在4≤α≤5上的极小值2.程序(1) function y=f(x)y=sin(x); …………………….%定义f文件（2）c1=(y3-y1)/(x3-x1);c2=((y2-y1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3);ap=0.5*(x1+x3-c1/c2);yp=f(ap);……………………%定义f1文件（3）x1=4;x2=4.5;x3=5;e=0.001;y1=f(x1);y2=f(x2);y3=f(x3); ………………%确定初始差值节点h=0.1;c1=(y3-y1)/(x3-x1);c2=((y2-y1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3);ap=0.5*(x1+x3-c1/c2);yp=f(ap);…% 计算二次插值函数极小点while (abs((y2-yp)/y2)<e)....%判断迭代终止if ((ap-x2)*h>0) 条件if(y2>=yp)x1=x2;y1=y2;x2=ap;y2=yp;f1;elsex3=ap;y3=yp;f1;endelseif (y2>=yp)x3=x2;y3=y2;x2=ap;y2=yp;f1;elsex1=ap;y1=yp;f1;…………………..%缩短搜索区间end(完整word版)二次插值法endif (y2<yp)xo=x2;yo=y2;elsexo=ap;yo=yp;endxoyo(完整word版)二次插值法四结果分析经过MATLAB运算，结果如上，与解析法运算结果相同，说明二次差值的效果很好。

三点二次插值法例1. 用三点二次插值法求解：3min ()21t t t ϕ=-+，精度210ε-=。

解：首先找出满足123()()()t t t ϕϕϕ><且123t t t <<的1t ，2t ，3t ； 易知，10t =，20t =，30t =； 第一次迭代：1()1t ϕ=，2()0t ϕ=，3()22t ϕ=，代入公式，得：0.625μ=， 由于()()20.0060t ϕμϕ=-<=， 并且20.375t με-=>，则继续迭代；这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.625t μ==，321t t == 第二次迭代：()11t ϕ=，()20.006t ϕ=-，()30t ϕ=，代入公式，得：0.808μ=， 由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-<=-， 并且 20.183t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><，则令：120.625t t ==，20.808t μ==，331t t == 第三次迭代：()10.006t ϕ=-，()20.089t ϕ=-，()30t ϕ=，代入公式，得：0.815μ=，由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-==-， 并且 20.007t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.815μ=或0.808μ=。

例2 用三点二次插值法求：30min ()32t t t t ϕ≥=-+的近似最优解（精确极小点*1t =），设已确定其初始搜索区间为[]0,3，取初始插值点02t =，终止误差0.05ε=。

解：1t =，22t =，33t =，第一次迭代：()12t ϕ=，()24t ϕ=，()320t ϕ=，代入公式，得：0.9μ=， 由于2()0.029()4t ϕμϕ=-<=， 并且 2 1.1t με-=>，则继续迭代；这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.9t μ==，322t t == 第二次迭代：()12t ϕ=，()20.029t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.82759μ=， 由于2()0.08405()0.029t ϕμϕ=>=， 并且 20.07241t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕμϕϕ><，则令：10.82759t μ==，220.9t t ==，332t t == 第三次迭代：()10.08405t ϕ=，()20.029t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.96577μ=， 由于2()0.00347()0.029t ϕμϕ=-<=， 并且 20.06577t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：120.9t t ==，20.96577t μ==，332t t == 第三次迭代：()10.029t ϕ=，()20.00347t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.98308μ=， 由于2()0.00086()0.00347t ϕμϕ=<=， 并且 20.01731t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.98308μ=。

二次牛顿插值多项式例题牛顿插值多项式是一种常用的数值插值方法，它可以用于求解离散数据点的加权平均值。

二次牛顿插值多项式是其中一种常见的形式，它可以用来插值求解二次函数。

下面是二次牛顿插值多项式的例题: 假设我们有一个离散的数据点集{x1, x2, ..., xn}和相应的数值 y1, y2, ..., yn，我们需要用二次牛顿插值多项式来插值求解 y 关于 x 的函数。

首先，我们需要计算出牛顿插值多项式的根 x0, x1, ..., xn-1，这些根可以通过求解二次方程来实现。

具体地，我们可以将二次方程f(x) = 0 求解得到 x0, x1, ..., xn-1，其中 f(x) 是牛顿插值多项式的系数。

然后，我们可以使用这些根来计算出牛顿插值多项式的各项系数。

具体地，我们可以使用下面的公式来计算牛顿插值多项式的系数:a0 = y0 / (x0 - x1)a1 = y1 / (x0 - x1) - a0 * f"(x1) / f(x1)a2 = y2 / (x0 - x1) - a1 * f"(x1) / f(x1) - a0 * f""(x1) / (f(x1))^2...an = yn / (x0 - x1) - a(n-1) * f"(x1) / f(x1) - a(n-2) * f""(x1) / (f(x1))^2 - ... - a0 * f"""(x1) / (f(x1))^3 + ...其中，f"(x) 表示 f(x) 的一阶导数，f""(x) 表示 f(x) 的二阶导数，以此类推。

最后，我们可以使用这些系数来计算出牛顿插值多项式的输出值y。

具体地，我们可以使用下面的公式来计算牛顿插值多项式的输出值:y = a0 * (x0 - x1) + a1 * (x0 - x1) * f"(x1) + a2 * (x0 - x1) * f""(x1) + ... + an * (x0 - x1) * f"""(x1) + ...以上就是二次牛顿插值多项式的例题。