高二数学必修5第二章数列单元测试(含答案)

高中数学必修五《数列》单元检测（含答案解析）一、选择题1．2＋3与2－3的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2【解析】 2＋3与2－3的等比中项为G ＝±(2＋3)(2－3)＝±1，故选C.【答案】 C2．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 015，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】 因为a 2 016＝8a 2 015，所以a 1q 2 015＝8a 1·q 2 014，解得q ＝8.【答案】 D3．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的( )A ．第2项B ．第4项C ．第6项D ．第8项 【解析】 由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解得x ＝－1或－4，又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4，∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，由－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝－1312，得n ＝4.【答案】 B4．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2【解析】 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，得b ＝1，c ＝2.又a ，b ，c ，d 成等比数列，即a,1,2，d 成等比数列，所以d ＝4，a ＝12，故ad ＝4×12＝2.【答案】 B 5．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84【解析】 ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21，∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.【答案】 B二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝ .【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知条件得a 25＝4·a 25q 4.∴q 4＝14，q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.【答案】 17.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为 ．【解析】 ∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6. 同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123，z ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124. ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216＝2. 【答案】 28．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是 ．【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用a 12a 1＝m ，所以月平均增长率为11m －1. 【答案】11m －1三、解答题 9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比.【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎨⎧ a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎨⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎨⎧ a 1＝1，q ＝3.(q ＝1舍去) 故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p ＋q 的值．【解】 不妨设a >b ，由题意得⎩⎨⎧ a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎨⎧ ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9. .[能力提升]1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于( ) A.2＋1B ．3＋2 2C ．3－2 2D ．22－3【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2， 所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得 q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q >0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1(1＋2)2＝3－2 2. 【答案】 3－2 22．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1 C.12 D ．18【解析】 法一 ∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2， ∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.【答案】 C3．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝ ，d ＝ .【解析】 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1.【答案】 23 －14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式.【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 由a 1＝1，故a 1＋1≠0，由上式易知a n ＋1≠0，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)可知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1，即a n ＝2n －1.。

数学人教A版必修5第二章数列单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列的第40项等于()A．9 B．10 C．40 D．412．等差数列{2－3n}中，公差d等于()A．2 B．3 C．－1 D．－33．数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n(n∈N*)，则a4等于()A．11 B．15 C．17 D．204．在等比数列{a n}中，a1＝8，a4＝64，则公比q为()A．2 B．3 C．4 D．85．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，12-，14-，18-，…D．16．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第()A．20项B．24项C．25项D．30项7．(2011·河南商丘二模)已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6＝2，且S5＝30，则S8＝()A．31 B．32 C．33 D．348．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于() A．7 B．8 C．15 D．169．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A．55 986只B．46 656只C．216只D．36只10．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S11＝223π，则tan a6的值为()A B．C．D．3-二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．1和9的等比中项是__________．12．等比数列{a n}中，a2 006和a2 012是方程x2＋x－1＝0的两根，则a2 007a2 011＝__________.13．(2011·安徽淮南高三一模)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝__________.14．某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到 2 009时对应的指头是__________．(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指)15．(2011·河南商丘二模)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋a n＋1＝14n⎛⎫⎪⎝⎭(n∈N*)，S n＝a1＋a2·4＋a3·42＋…＋a n·4n－1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n－4n a n ＝__________.三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)已知数列{a n}是等差数列，a2＝6，a5＝18；数列{b n}的前n项和是T n，且T n＋12nb＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{b n}是等比数列．17．(15分)(2011·山东济南二模)设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和为S n＝23(b n－1)，若a2＝b1，a5＝b2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和S n.参考答案1. 答案：A a 40=9. 2. 答案：D 设a n ＝2－3n ，则d ＝a n ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 3. 答案：A a 4＝S 4－S 3＝20－9＝11. 4. 答案：A ∵41648a a =＝8＝q 3，∴q ＝2. 5. 答案：C A 项中数列是递减的无穷数列，B 项中数列是摆动数列，D 项中数列是递增的有穷数列．6. 答案：B a 1＝1×2＝1×(1＋1)，a 2＝2×3＝2×(2＋1)，a 3＝3×4＝3×(3＋1)，a 4＝4×5＝4×(4＋1)，…，a n ＝n (n ＋1)，令n (n ＋1)＝600，解得a ＝24或a ＝－25(舍去)，即600是数列的第24项．7. 答案：B 设等差数列{a n }的公差为d ，则有1152,5(51)530,2a d a d +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得d ＝43-，a 1＝263，所以S 8＝18(81)82a d ⨯-+＝2648283233⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.8. 答案：C 设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2.所以S 4＝441(1)1215112a q q --==--.9. 答案：B 设第n 天所有的蜜蜂都归巢后共有a n 只蜜蜂，则有a n ＋1＝6a n ，a 1＝6，则{a n }是公比为6的等比数列，则a 6＝a 1q 5＝6×65＝46 656.10. 答案：B S 11＝66111611()11()2211223a a a a a π++===，则a 6＝23π，则tan a 6＝11. 答案：±3 1和9的等比中项为3=±. 12. 答案：－1 由题意，得a 2 006a 2 012＝－1. 又{a n }是等比数列，故a 2 007a 2 011＝a 2 006a 2 012＝－1.13. 答案：350 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2×1－1＝2，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2＋2(n －1)－1＝n 2－2，所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n －1)－(n 2－2)＝2n ＋1. 此时n ＝1，a n ＝2n ＋1＝3≠a 1，所以a n ＝2,1,21,2,n n n =⎧⎨+⎩≥故原式＝2＋(7＋11＋15＋…＋51) ＝12(751)23502⨯++=.14．答案：大拇指 把这些数分成“层”，则第1层有5个数，其他层都是4个数，奇数层小拇指对应的数最大，偶数层大拇指对应的数最大，则2 009＝5＋2 004＝5＋4×501，即2 009在第502层，并且是该层最大的数，所以2 009位于大拇指对应的位置上．15. 答案：n 由于S n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n －1·4n －2＋a n ·4n －1，则有4S n ＝a 1·4＋a 2·42＋a 3·43＋…＋a n －1·4n －1＋a n ·4n ，上面两式相加得4S n ＋S n ＝a 1＋(a 1·4＋a 2·4)＋(a 2·42＋a 3·42)＋…＋(a n －1·4n －1＋a n ·4n －1)＋a n ·4n ，所以5S n ＝a 1＋4(a 1＋a 2)＋42(a 2＋a 3)＋…＋4n －1(a n －1＋a n )＋a n ·4n .所以5S n －4n a n ＝a 1＋4(a 1＋a 2)＋42(a 2＋a 3)＋…＋4n －1(a n －1＋a n )＝1＋4×14＋42×214⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋4n －1×114n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋1＋1＋…＋1＝n .16. 分析：(1)列方程组求出首项和公差； (2)对等式T n ＋112n b =中的n 赋值为n －1，可得b n ＝113n b -. (1)解：设数列{a n }的公差为d ， 由题意，得116,418,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2. (2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1， 由T 1＋112b ＝1，得b 1＝23.当n ≥2时， ∵T n ＋12n b ＝1，∴T n ＝112n b -，T n －1＝1112n b --， ∴T n －T n －1＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )，∴b n ＝13b n －1.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．17. 解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4.∴a 2＝－2，a 5＝4. 设等差数列{a n }的公差为d ，则有112,44,a d a d +=-⎧⎨+=⎩解得a 1＝－4，d ＝2.∴数列{a n }的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6. (2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)，① S n ＝23(b n －1)，② ①－②，得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1， 整理得b n ＋1＝－2b n ， ∴1n nb b +＝－2. ∴数列{b n }是等比数列，其公比q ＝－2，b 1＝－2.∴S n ＝1(1)2[1(2)]11(2)n n b q q ----=--- ＝23[(－2)n －1]．。

新课标数学必修5第2章数列单元试题（3）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项值为（ ）A ．0B ．37C ．100D ．－37 考查等差数列的性质． 【解析】∵{a n }、{b n }为等差数列，∴{a n +b n }也为等差数列，设c n =a n +b n ，则c 1=a 1+b 1=100，而c 2=a 2+b 2=100，故d =c 2－c 1=0，∴c 37=100．【答案】C2．设{a n }为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为（ ） ①{a n 2} ②{pa n } ③{pa n +q } ④{na n }（p 、q 为非零常数） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考查对等差数列的理解．【解析】{pa n }、{pa n +q }的公差为pd （设{a n }公差为d ），而{na n }、{a n 2}不符合等差数列定义．【答案】B3．在等差数列{a n }中，a 1>0，且3a 8=5a 13，则S n 中最大的是（ ） A ．S 21 B ．S 20 C ．S 11 D ．S 10 考查数列和的理解．【解析】3a 8=5a 13⇒d =－392a 1<0． a n ≥0⇒n ≤20． 【答案】B4．在{a n }中，a 1=15，3a n +1=3a n －2（n ∈N *），则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）A ．a 21和a 22B ．a 22和a 23C ．a 23和a 24D ．a 24和a 25 考查等差数列通项及运用．【解析】a n +1－a n =32，∴a n =15+（n －1）（－32）=3247n -．a n +1a n <0⇒31（45－2n ）31（47－2n ）<0⇒245<n <247．∴n =23．【答案】C5．若数列{a n }前n 项和S n =n 2－2n +3，则这个数列的前3项为（ ） A ．－1，1，3 B ．2，1，0 C ．2，1，3 D ．2，1，6 考查通项及数列的和．【解析】a 1=S 1=2，又a 3=S 3－S 2=3． 【答案】C6．数列{a n }中，a n +1=nna a 31+，a 1=2，则a 4为（ ）A ．58B ．192 C ．516 D ．78 考查数列通项及变形． 【解析】11+n a =n a 1+3，∴n a 1=11a +3（n －1）=3n －25，∴a 4=192． 【答案】B7．设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6， S 6=S 7>S 8．下列结论错误的是（ ）A ．d <0B ．a 7=0C ．S 9>S 5D ．S 6和S 7为S n 最大值 考查等差数列求和及综合分析能力． 【解析】∵S 5<S 6，S 6=S 7>S 8． 由S 6=S 7⇒a 7=0，S 7>S 8⇒d <0． 显然S 6=S 7且最大． 【答案】C8．在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2+…+a 50=200，a 51+a 52+…+a 100=2700，则a 1等于（ ）A ．－20B ．－2021C ．－2121 D ．－22考查等差数列求和公式，通项公式的灵活运用．【解析】∵a 51+a 52+…+a 100=（a 1+a 2+…+a 50）+50×50d =2700． ∴d =1，S 50=50a 1+24950⨯×1⇒a 1=－2021． 【答案】B9．设f （n ）=11+n +21+n +…+n21（n ∈N *），那么f （n +1）－f （n ）等于（ ） A ．121+n B ．221+nC ．121+n +221+nD ．121+n －221+n考查函数与数列概念、项与项数的代换． 【解析】f （n +1）=21+n +31+n +…+n 21+121+n +221+n ． 【答案】D10．依市场调查结果预测某种家用商品以年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）．近似地满足S n =90n（21n －n 2－5），（n =1，2，…，12），则按此预测在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是（ ）A ．5月、6月B ．6月、7日C ．7月、8日D ．8月、9日考查数列的求和和通项．【解析】第n 个月需求量a n =S n －S n －1=301（－n 2+15n +9）， a n >1．5得301（－n 2+15n +9）>1．5． 解得：6<n <9，∴n =7或8．【答案】C第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_________项．考查等差数列的性质和运用．【解析】由－5×11+21011⨯d =55，得d =2．由a n =5，a n =a 1+（n －1）d 得n =6． 【答案】612．在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______． 考查等差数列通项及不等式基本知识．【解析】a n =35－4n ．由⇒⎩⎨⎧≤--≥-0)1(4350435n n 7 843≤≤n 43得a 8=3，a 9=－1， ∴最接近的为a 9=－1．【答案】－113．在等差数列{a n }中，满足3a 4=7a 7．且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n =_______．考查等差数列的前n 项和及运用．【解析】设公差为d ，得3（a 1+3d ）=7（a 1+6d ），∴d =－334a 1<0，令a n >0． 解得n <437，即n ≤9时，a n >0．同理，n ≥10时，a n <0．∴S 9最大，故n =9． 【答案】914．已知f （n +1）=f （n ）－41（n ∈N *）且f （2）=2，则f （101）=_______． 考查函数、数列的综合． 【解析】f （n +1）－f （n ）=－41，f （n ）可看作是公差为－41的等差数列，f （101）=f （2）+99d =－491． 【答案】－491三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分8分）在等差数列{a n }中，a 1=－60，a 17=－12． （1）求通项a n ，（2）求此数列前30项的绝对值的和． 考查等差数列的通项及求和． 【解】（1）a 17=a 1+16d ，即－12=－60+16d ，∴d =3，∴a n =－60+3（n －1）=3n －63． （2）由a n ≤0，则3n －63≤0⇒n ≤21，∴|a 1|+|a 2|+…+|a 30|=－（a 1+a 2+…+a 21）+（a 22+a 23+…+a 30）=（3+6+9+…+60）+（3+6+…+27）=2)603(+×20+2)273(+×9=765． 16．（本小题满分10分）设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n ． 考查等差数列基础知识及技巧、运算能力． 【解】设等差数列{a n }公差为d ，则S n =na 1+21n （n －1）d ∵S 7=7，S 15=75，∴⎩⎨⎧=+=+7510515721711d a d a ⇒⎩⎨⎧=+=+571311d a d a ∴a 1=－2，d =1，∴nS n =a 1+21（n －1）d =－2+21（n －1）∵11++n S n －n S n =21∴{nS n }为等差数列，其首项为－2，公差为21，∴T n =41n 2－49n ．17．（本小题满分12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12， S 12>0，S 13<0． （1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，S 3…S 12中哪一个值最大？并说明理由． 考查数列的性质与最值、灵活变换能力． 【解】（1）依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+=②①021*******111212113112d a S d a S 即⎩⎨⎧<+>+06011211d a d a ，由a 3=a 1+2d =12得a 1=12－2d ，代入①②⇒－724<d <－3．（2）由d <0，可知a 1>a 2>…>a 12>a 13．因此若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使a n >0，a n +1<0时，则S n 就是S 1，S 2…S 12中最大值由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+=<=+=01220132121116131317S a a a S a a a∴在S 1，S 2…S 11，S 12中S 6的值最大．18．（本小题满分12分）已知f （x +1）=x 2－4，等差数列{a n }中，a 1=f （x －1）， a 2=－23，a 3=f （x ）．（1）求x 值；（2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值．考查等差数列概念及求和，函数基本知识． 【解】（1）∵f （x －1）=（x －1－1）2－4=（x －2）2－4∴f （x ）=（x －1）2－4，∴a 1=（x －2）2－4，a 3=（x －1）2－4 又a 1+a 3=2a 2，解得x =0或x =3．（2）∵a 1、a 2、a 3分别为0、－23、－3或－3、－23、0∴a n =－23（n －1）或a n =23（n －3） ①当a n =－23（n －1）时，a 2+a 5+…+a 26=29（a 2+a 26）=2351②当a n =23（n －3）时，a 2+a 5+…+a 26=29（a 2+a 26）=2297．19．（本小题满分12分）设两个方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0的四个根成首项为41的等差数列，求a +b 的值．考查等差数列与方程思想． 【解】不妨设a <b ，函数y =x 2－x +a 与y =x 2－x +b 的对称轴，开口大小均相同，如图所示．设数列为x 1、x 2、x 3、x 4，由已知x 1=41．∵x 1+x 4=1，∴x 4=43． 又∵x 4=x 1+3d ，∴43=41+3d ，∴d =61∴x 2=x 1+d =125，x 3=x 2+d =127∴a =x 1·x 4=163，b =x 2·x 3=125×127=14435，∴a +b =7231．。

第二章测试(时间：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和 ,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3 ,…) ,那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2 ,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2 ,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4 ,…由此可知 ,数列{a n }既不是等差数列 ,也不是等比数列． 答案 D2．一个数列{a n } ,其中a 1＝3 ,a 2＝6 ,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,那么a 5＝( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3 , a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3 , a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首||项为a 的数列{a n }既是等差数列 ,又是等比数列 ,那么这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析 由题意 ,知a n ＝a (a ≠0) ,∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列 ,假设a 1＝1 ,a 5＝16 ,那么数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16 ,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．－9 ,a 1 ,a 2 ,－1四个实数成等差数列 ,－9 ,b 1 ,b 2 ,b 3 ,－1五个实数成等比数列 ,那么b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83 , b 22＝(－1)×(－9)＝9 ,∴b 2＝－3 , ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数 ,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列 ,那么n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 依题意 ,得－10＝－12＋82(n ＋2) , ∴n ＝3. 答案 B7．{a n }是等差数列 ,a 4＝15 ,S 5＝55 ,那么过点P (3 ,a 3) ,Q (4 ,a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15 ,S 5＝55 ,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15 5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11) ,Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,假设a 3＋a 17＝10 ,那么S 19＝( )A ．55B ．95C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和 ,假设a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数 ,那么在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C．S13D．S16解析a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7 ,∴a7为常数．∴S13＝a1＋a132×13＝13a7为常数．答案 C10．等比数列{a n}中,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31 ,a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62 ,那么通项是()A．2n－1B．2nC．2n＋1D．2n＋2解析∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5) ,∴62＝q×31 ,∴q＝2.∴S5＝a1(1－25)1－2＝31.∴a1＝1 ,∴a n＝2n－1.答案 A11．等差数列{a n}中,|a3|＝|a9| ,公差d<0 ,那么使其前n项和S n 取得最||大值的自然数n是()A．4或5 B．5或6C．6或7 D．不存在解析由d<0知,{a n}是递减数列,∵|a3|＝|a9| ,∴a3＝－a9 ,即a3＋a9＝0.又2a6＝a3＋a9＝0 ,∴a6＝0.∴S5＝S6且最||大．答案 B12．假设a ,b ,c成等比数列,那么方程ax2＋bx＋c＝0()A．有两个不等实根B ．有两相等的实根C ．无实数根D ．无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列 ,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C二、填空题(本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分．把答案填在题中横线上)13．2 ,x ,y ,z,18成等比数列 ,那么x ＝________.解析 设公比为q ,那么由2 ,x ,y ,z,18成等比数列．得18＝2q 4 ,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．假设数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n ≤1a n －1 a n>1且a 1＝67 ,那么a 2021＝________.解析 由题意 ,得a 1＝67 ,a 2＝127 ,a 3＝57 ,a 4＝107 ,a 5＝37 ,a 6＝67 ,a 7＝127 ,… ,∴a 2021＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,那么S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9 ,S 33＝－16＋33＝17 ,S 50＝－25 ,∴S 17＋S33＋S50＝1.答案 116．设等比数列{a n}的公比q＝12,前n项和为S n,那么S4a4＝________.解析S4a4＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a1⎝⎛⎭⎪⎫123＝15.答案15三、解答题(本大题共6个小题,共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n为数列{a n}的前n项和,a1≠0,2a n－a1＝S1·S n,n ∈N*.(1)求a1 ,a2 ,并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和．解(1)令n＝1 ,得2a1－a1＝a21,即a1＝a21,∵a1≠0 ,∴a1＝1 ,令n＝2 ,得2a2－1＝S2＝1＋a2 ,解得a2＝2.当n≥2时,由2a n－1＝S n,2a n－1＝S n－1两式相减得2a n－2a n－1＝a n ,即a n＝2a n－1 ,于是数列{a n}是首||项为1 ,公比为2的等比数列,即a n＝2n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知,na n＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为B n ,于是B n＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1 ,①2B n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)等比数列{a n } ,首||项为81 ,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)假设S 11≠S 12 ,且S 11最||大 ,求{b n }的公差d 的范围． 解 (1)证明：设{a n }的公比为q , 那么a 1＝81 ,a n ＋1a n＝q ,由a n >0 ,可知q >0 ,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数) ,∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知 ,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4 , ∵S 11≠S 12 ,且S 11最||大 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧b 11≥0 b 12<0即⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋10d ≥0 b 1＋11d <0.⎩⎨⎧d ≥－b 110＝－25d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数 ,a 1＝3 ,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列 ,b 1＝1 ,且b 2S 2＝64 ,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,那么d >0 ,q ≠0 ,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1 ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2 q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65q ＝403 (舍去)．故a n ＝2n ＋1 ,b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2) , 1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ,∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.20．(12分)等比数列{a n }中 ,a 1＝2 ,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设a 3 ,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项 ,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由 ,得16＝2q 3 ,解得 q ＝2 ,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8 ,a 5＝32 ,那么b 3＝8 ,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8 b 1＋4d ＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N * ,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3 ,n ∈N *.(1)求a n ,b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时 ,a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1 ,得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1 ,n ∈N * , ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1 , 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1 ,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N * ,n ≥2)． (1)求证：数列{a n2n }是等差数列；(2)假设数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n . 解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0 ,∴a n 2n －a n －12n －1＝12 ,∴{a n 2n }是以12为首||项 ,12为公差的等差数列． (2)由(1) ,得a n 2n ＝12＋(n －1)×12 , ∴a n ＝n ·2n －1 ,∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 那么2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－② ,得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1·(1－2n)1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。

第二章测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3,…),那么数列{a n }( )A.是公比为2的等比数列B.是公差为2的等差数列C.是公比为12的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4,…由此可知,数列{a n }既不是等差数列,也不是等比数列. 答案 D2.一个数列{a n },其中a 1＝3,a 2＝6,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,则a 5＝( ) A.6 B.－3 C.－12D.－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3, a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3, a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( )A.a n －1B.naC.a nD.(n －1)a解析 由题意,知a n ＝a (a ≠0),∴S n ＝na . 答案 B4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1＝1,a 5＝16,则数列{a n }的前7项和为( )A.63B.64C.127D.128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5.已知－9,a 1,a 2,－1四个实数成等差数列,－9,b 1,b 2,b 3,－1五个实数成等比数列,则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A.－8B.8C.－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83, b 22＝(－1)×(－9)＝9,∴b 2＝－3, ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6.在－12和8之间插入n 个数,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列,则n 的值为( )A.2B.3C.4D.5解析 依题意,得－10＝－12＋82(n ＋2), ∴n ＝3. 答案 B7.已知{a n }是等差数列,a 4＝15,S 5＝55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( )A.4B.14C.－4D.－14解析由a 4＝15,S 5＝55,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11),Q (4,15).k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＋a 17＝10,则S 19＝( ) A.55 B.95 C.100D.190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95.答案 B9.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A.S 7B.S 4C.S 13D.S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7,∴a 7为常数.∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数. 答案 C10.等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31,a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62,则通项是( )A.2n －1B.2nC.2n ＋1D.2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5), ∴62＝q ×31,∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1,∴a n ＝2n －1. 答案 A11.已知等差数列{a n }中,|a 3|＝|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A.4或5B.5或6C.6或7D.不存在解析 由d <0知,{a n }是递减数列,∵|a 3|＝|a 9|,∴a 3＝－a 9,即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0,∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大. 答案 B12.若a ,b ,c 成等比数列,则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A.有两个不等实根 B.有两相等的实根 C.无实数根 D.无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根. 答案 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.2,x ,y ,z,18成等比数列,则x ＝________.解析 设公比为q ,则由2,x ,y ,z,18成等比数列.得18＝2q 4,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314.若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67,则a 2013＝________.解析 由题意,得a 1＝67,a 2＝127,a 3＝57,a 4＝107,a 5＝37,a 6＝67,a 7＝127,…,∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715.一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9,S 33＝－16＋33＝17,S 50＝－25,∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116.设等比数列{a n }的公比q ＝12,前n 项和为S n ,则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.解 (1)令n ＝1,得2a 1－a 1＝a 21,即a 1＝a 21,∵a 1≠0,∴a 1＝1,令n ＝2,得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2,解得a 2＝2. 当n ≥2时,由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n ,即a n ＝2a n －1, 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列, 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知,na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ,于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1,① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18.(12分)已知等比数列{a n },首项为81,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列;(2)若S 11≠S 12,且S 11最大,求{b n }的公差d 的范围. 解 (1)证明:设{a n }的公比为q , 则a 1＝81,a n ＋1a n＝q ,由a n >0,可知q >0,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数),∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列.(2)由(1)知,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4, ∵S 11≠S 12,且S 11最大,∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19.(12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1＝3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1＝1,且b 2S 2＝64,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ;(2)证明:1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d >0,q ≠0,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1,依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去).故a n ＝2n ＋1,b n ＝8n －1.(2)证明:由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2),1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2, ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1＝2,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由已知,得16＝2q 3,解得 q ＝2,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8,a 5＝32,则b 3＝8,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N *,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3,n ∈N *.(1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时,a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *). 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1,得b n ＝2n －1(n ∈N *). (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1,n ∈N *, ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1, 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22.(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *,n ≥2).(1)求证:数列{a n2n }是等差数列; (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0,∴a n 2n －a n －12n －1＝12, ∴{a n 2n }是以12为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1),得a n 2n ＝12＋(n －1)×12,∴a n ＝n ·2n －1, ∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②,得 －S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。

高二数学单元测试卷（数列）一、本大题共12小题．每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知等比数列｛a n ｝中，a 1 = 2 , a 9 = 512 , 则a 17 的值为 A. 65536 B. 131072 C. 262144 D. 5242882．数列3，7，13，21，31…，的通项公式是A. a n =4n －1B. a n =n 3－n 2+n+2C. a n =n 2+n+1D. 不存在3．设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A. 1B. 2C. 4D. 6 4．如果21,a a … ,8a 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0,则A. 81,a a >54,a aB. 81,a a < 54,a a C.5481a a a a +>+D . 81,a a = 54,a a5．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是A ．15B ．30C ．31D ．646．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为A ．561 B ．701 C ．3361 D ．4201 7． 若等比数列｛a n ｝中 a2 + a 5 + a 11 = 2， a 5 + a 8 + a 14 = 6 ，则a 2 + a 5 + a 8 + a 11 + a 14 =A 、 8B 、 大于8C 、31242 D 、 412408．若数列 1 ，2cos θ, 22cos 2θ, 23cos 3θ, …，前100项的和为0 ，则θ的值为A 2k π±π32（k ∈Z ） B. k π±3π（k ∈Z ） C. 2k π±3π （k ∈Z ） D. k π±π32（k ∈Z ） 9．已知等差数列｛a n ｝满足a 1 + a 2 + a 3 + … + a 101 = 0，则有 A a 1 + a 101 > 0 B a 2 + a 101 < 0 C a 3 + a 99 = 0 D a 51 = 51 10．数列｛a n ｝的通项公式是a n =nn ++11，若前n 项和为10，则项数n 为A. 11B. 99 C . 120 D. 121 11．已知 a 1 = 1, a n+1 =13+n na a , 给出的数列的第34项是A .10334 B. 1001 C . 1041 D . 4112．当x ∈R 时，函数 y = f （x ）满足31)1.1(1)1.2(1++=+x f x f ，且 f （1）=1 ，则f （100）的值为 A.3334 B.3433 C. 34 D. 341 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。

第二章数列单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等于( ) A ．9 B ．10 C ．40D ．41解析：a 40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1D ．－3解析：设a n ＝2－3n ，则an ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 答案：D3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( )A ．10B ．210C ．210－2D ．211－2解析：∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.答案：D4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35D ．70解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，7a 1＋21d ＝21，解得d ＝23，a 1＝1，则S 10＝10a 1＋45d ＝40. 答案：B5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．不确定解析：a 3＋a 17＝a 1＋a 19，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192×10＝95.答案：B7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②a 1＋an2·n ＝234，③①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab 等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0，∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a b＝4. 答案：D10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设公比为q ，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x－1)m ，然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x －2)m ，…，从第x －1面到第x 面来回共20 m ，从第x 面处到第x ＋1面处路程为20 m ，从第x 面到第x ＋2面处的路程为20×2 m ，….总共的路程为s ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x )＝10(x －1)＋20·(x －2)(x －1)2＋20·(13－x )(14－x )2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x )(14－x )]＝10(2x 2－29x ＋183)＝20(x －294)2＋31154.∵x ∈N *，∴当x ＝7时，s 有最小值为780 m ， 即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短． 答案：A12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4013B ．4014C ．4015D ．4016解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >114．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2006和a 2007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2008＋a 2009＝________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于________．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d .∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝910.答案：91016．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝[n5](n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________.解析：x 5n ＝[5n5]＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝512，(a q －2)＋(aq －2)＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )＝(a ＋a 2＋…＋a n )－n (n ＋1)2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2(a ≠1)，n －n 22(a ＝1).19．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18；数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，Tn －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(bn －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝13b n －1. ∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n ， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ＝4750，即n 2＋9n －190＝0， 解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴n ＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米． 21．(本小题12分)设a 1＝1，a 2＝53，an ＋2＝53an ＋1－23a n (n ∈N *)．(1)令b n ＝an ＋1－a n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ，所以数列{b n }是首项为b 1＝a 2－a 1＝23，公比为23的等比数列，所以b n ＝(23)n (n ＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1.S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n ≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n －S 2n＝1，又因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，又因为S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. (2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项．故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，即S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)(1－2k )(k ≥3)．。

高中数学必修五《数列》单元检测（含答案）一、选择题1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列【解析】 因为等比数列{a n }的公比为q ＝－14，a 1＝2，故a 2<0，a 3>0，…所以数列{a n }是摆动数列．【答案】 D2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列【解析】 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.【答案】 D3．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11的值为( )A ．48B ．72C ．144D ．192【解析】 ∵a 6a 7a 8a 3a 4a 5＝q 9＝8(q 为公比)， ∴a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8q 9＝24×8＝192.【答案】 D4．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )A ．3B ．27C ．3或27D ．15或27【解析】 设此三数为3，a ，b ，则⎩⎨⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 【答案】 C5．已知等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5等于( ) A.5＋12 B.5－12 C.1－52 D ．5＋12或5－12 【解析】 由题意，得a 3＝a 1＋a 2，即a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∴q 2＝1＋q ，解得q ＝1±52.又∵{a n }各项均为正数，∴q >0，即q ＝1＋52.∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3a 1q 3＋a 1q 4＝1q ＝5－12. 【答案】 B二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于 ．【解析】 因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213，又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29＝512.因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2.所以a 7＝a 8q ＝256.【答案】 2567．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝ . 【解析】 由已知得a 10a 3＝a 1q 9a 1q 2＝q 7＝128＝27，故q ＝2. 所以a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3·q n －3＝3×2n －3.【答案】 3×2n －38．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5＝ .【解析】 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.【答案】 27三、解答题9．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？【解】 (1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827， 所以a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，由于各项均为负， 故a 1＝－32，a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项．10．数列{a n }，{b n }满足下列条件：a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，b n ＝a n ＋1－a n .(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{b n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵2a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，∴b n ＋1b n＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a n ＋a n ＋12－a n ＋1a n ＋1－a n ＝－12. ∴{b n }是等比数列．(2)∵b 1＝a 2－a 1＝1，公比q ＝－12，∴b n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. [能力提升]1．等比数列{a n}是递减数列，前n项的积为T n，若T13＝4T9，则a8a15＝() A．±2 B．±4C．2 D．4【解析】∵T13＝4T9.∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.又∵{a n}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.【答案】 C2．公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．16 B．14C．4 D．49【解析】∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.【答案】 A3．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝.【解析】由题意知，数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{a n}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{a n}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.又∵|q|>1，∴{a n}的连续四项为－24,36，－54,81.∴q＝36－24＝－32，∴6q＝－9.【答案】－94．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，ak n，…成等比数列，求数列{k n}的通项k n.【解】依题设得a n＝a1＋(n－1)d，a22＝a1a4，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，得a n＝nd.∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，k n d，…是等比数列．又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，k n，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝31＝3，由此得k1＝9.等比数列{k n}的首项k1＝9，公比q＝3，∴k n＝9×q n－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{k n}的通项为k n＝3n。

第二章 数列测评(B 卷)(总分：120分 时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为 A ．12 B ．8 C ．6 D ．4答案：B 由等差中项性质可得a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32＝4a 8，故a 8＝8，则m ＝8. 2．在等差数列{a n }中，a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d 等于 A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．±2 答案：C ∵a 2＝3， ∴a 1＋a 3＝2a 2＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 3＝8，a 1＋a 3＝6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 3＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝2.∴d ＝±1.3．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝26，a 1－a 3－a 11＝－10，则S 7等于 A ．20 B ．22 C ．26 D ．28 答案：D (a 1＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)－(a 1－a 3－a 11)＝36， 即(a 3＋a 11)＋(a 4＋a 10)＋(a 6＋a 8)＝36， ∴a 3＋a 11＝12.∴a 1＝2，a 7＝a 3＋a 112＝6，S 7＝7(2＋6)2＝28.4．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝101，前4项和为1111.令b n ＝lga n ，则b 303等于 A ．302 B ．303 C ．404 D ．505 答案：A 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝101，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝1111，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝10， ∴a n ＝a 1q n －1＝10n －1，b n ＝lga n ＝n －1. ∴b 303＝302.5．(2009重庆高考，文5)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 答案：A 设其公差为d ，∵a 1，a 3，a 6成等比数列， ∴a 23＝a 1·a 6，即(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋5d)．又∵d ≠0，∴d ＝12.∴S n ＝na 1＋n(n －1)d 2＝2n ＋n(n －1)2·12＝n 24＋7n4.6．数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1，令b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }的前n 项和为A ．n 2B ．n(n ＋2)C ．n(n ＋1)D ．n(2n ＋1) 答案：B 可知数列{a n }为等差数列， 设{a n }的前n 项和为S n ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝S n n＝n[3＋(4n －1)]2n＝2n ＋1.∴数列{b n }也是等差数列，首项为b 1＝3，公差为2，其前n 项和为n(3＋2n ＋1)2＝n(n ＋2)．7．数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n 等于A.n 2n ＋1B.n n ＋1C.12n ＋1D.1n ＋1答案：B ∵a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴b n ＝1a n ·a n ＋1.又a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n. ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝11×2＋12×3＋…＋1n(n ＋1) ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.8．数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，则a 2008等于A.13B.35C.20092008D.40114009答案：D ∵a n ＝2－1a n －1，∴a n －1＝1－1a n －1.∴1a n －1－1a n －1－1＝1. ∴数列{1a n －1}是以－52为首项，以1为公差的等差数列．∴1a n －1＝－52＋(n －1)×1.∴a n ＝2n －52n －7.∴a 2008＝2×2008－52×2008－7＝40114009.9．下列给出一个“直角三角形数阵” 1412，14 34，38，316 …满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83等于A.18B.14C.12D ．1 答案：C 观察数表图，由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a 83＝2×(12)2＝12. 10．对于一个有限数列P ＝(P 1，P 2，…，P n )，P 的蔡查罗和(蔡查罗为一数学家)定义为1n(S 1＋S 2＋…＋S n )，其中S k ＝P 1＋P 2＋…＋P k (1≤k ≤n)．若一个99项的数列(P 1，P 2，…，P 99)的蔡查罗和为1000，那么100项数列(1，P 1，P 2，…，P 99)的蔡查罗和为A ．991B ．992C ．993D ．999答案：A 由题意，得199(S 1＋S 2＋…＋S 99)＝1000，S 1＋S 2＋…＋S 99＝99000.100项数列(1，P 1，P 2，…，P 99)的蔡查罗和为1100(S 1′＋S 2′＋S 3′＋…＋S 100′)＝1100[1＋(1＋S 1)＋(1＋S 2)＋(1＋S 3)＋…＋(1＋S 99)] ＝1100[100＋(S 1＋S 2＋…＋S 99)] ＝1100(100＋99000) ＝991.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.答案：n(n ＋1)2＋1 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2. 将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n(n ＋1)2＋1. 12．设函数f(x)＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f(0)＝12，数列{a n }满足f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n 等于__________．答案：1n(n ＋1)由f(0)＝12，得a 1＝12.由f(1)＝n 2a n ，得a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n .①于是a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2a n －1.②由①－②得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，整理得a n a n －1＝n －1n ＋1.此时，a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·13，化简，得a na 1＝1×2n(n ＋1).又∵a 1＝12，∴a n ＝1n(n ＋1)，n ＝1时也满足．13．已知函数f(x)＝2x ，等差数列{a n }的公差为2，若f(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]＝__________.答案：－6 由题意可得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝2－5×2＝－8. ∴f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)＝10212aa a ++＝22－8＝2－6.于是log 2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]＝log 22－6＝－6. 14．(2009江苏高考，理14)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝__________.答案：－9 由题意：等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)(2009浙江高考，文20)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．答案：解：(1)由S n ＝kn 2＋n ，得 a 1＝S 1＝k ＋1，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)． a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.(2)由a m 、a 2m 、a 4m 成等比数列，得(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 将上式化简，得2km(k －1)＝0， 因为m ∈N *，所以m ≠0. 故k ＝0或k ＝1.16．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 2＝－20，a 1＋a 9＝－28， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 2b n ，设T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n 且T n ＝1，求n 的值．答案：解：(1)∵{a n }为等差数列，a 1＋a 9＝－28， ∴a 1＋a 9＝2a 5＝－28. ∴a 5＝－14.又a 2＝－20，设{a n }的公差为d ， ∴a 5＝a 2＋3d.∴d ＝2.∴a 1＝－22. ∴a n ＝2n －24. (2)∵a n ＝log 2b n ， ∴b n ＝2a n .∴T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝n aa a ++212.当a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝0时，T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝1，即na 1＋n(n －1)2d ＝0，－22n ＋n(n －1)2×2＝0.∴n ＝23.故n ＝23时，T n ＝1.17．(本小题满分10分)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2.(n ≥2)(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .答案：解：(1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2. ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)，得2λ2－5λ＋3＝0.λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－1＝1，a 1＝a 2，不合题意舍去．λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2，可得a n －a n －1＝－1.∴数列{a n }构成以a 1＝1为首项，公差为－1的等差数列． ∴a n ＝－n ＋2.(2)由λ＝3可得a n ＝3a n －1＋3－2⇒a n ＝3a n －1＋1，∴a n ＋12＝3a n －1＋32.∴a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1(n ≥2)．又b 1＝a 1＋12＝32，∴数列{b n }构成以b 1＝32为首项，公比为3的等比数列．∴b n ＝32·3n －1＝12·3n.∴S n ＝32(1－3n )1－3＝34(3n －1)．18．(本小题满分12分)(2009山东高考，文20)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r(b>0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .答案：解：(1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)． 由于b>0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b(b －1)，a 2a 1＝b ，即b(b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)由(1)知n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1. T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减，得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2 ＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.19．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．答案：解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．因此，所求数列{b n }是首项为S 1－3＝a －3，公比为2的等比数列，其通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.①(2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)×2n －1－3n －1－(a －3)×2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12·(32)n －2＋a －3]．于是a n ＋1≥a n ⇔12·(32)n －2＋a －3≥0⇔a ≥3－12·(32)n －2⇔a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1，综上，所求a 的取值范围是[－9，＋∞)．。