2014年 高三数学高考总复习：导数的综合应用(理) (提高二)

提能专训（十九)导数的综合应用一、选择题1．（2013·兰州一中12月月考）设f(x)，g（x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0且g（3)＝0,则不等式f(x）g(x)＜0的解集是（）A．(－3,0）∪（3,＋∞)B．(－3，0)∪(0,3）C．(－∞，－3)∪(3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（0,3）D 解题思路：因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以h（x)＝f(x)g（x)为奇函数,当x＜0时，h′（x)＝f′（x）g(x）＋f（x)g′（x)＞0,所以h（x)在(－∞，0）为单调增函数，h(－3)＝－h(3）＝0，所以当x＜0时，h(x）＜0＝h（－3），解得x＜－3,当x ＜0时，h(x)＞0解得－3＜x＜0，由于h(x）关于原点对称，所以x ＞0时h(x)＜0的x取值范围为(0，3)．故选D.2．(2013·哈尔滨第九中学第五次月考)若f（x)＝x2－2x－4ln x，不等式f′（x)＞0的解集记为p,关于x的不等式x2＋（a－1）x－a ＞0的解集记为q，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（－2，－1］B．[－2，－1]C．∅D．［－2，＋∞）D 解题思路：对于命题p ：∵ f (x ）＝x 2－2x －4ln x ，∴ f ′（x )＝2x －2－错误!＝错误!,∴ f ′(x )＞0⇒错误!∴ x ＞2。

由p 是q 的充分不必要条件知，命题p 的解集（2,＋∞）是命题q 不等式解集的真子集，对于命题q ：x 2＋(a －1)x －a ＞0⇔（x ＋a )（x －1)＞0，当a ≥－1时,解集为（－∞,－a )∪（1,＋∞），显然符合题意；当a ＜－1时，解集为（－∞,1）∪(－a ，＋∞)，则由题意得－2≤a ＜－1.综上，实数a 的取值范围是［－2,＋∞)．故选D 。

第3讲导数的应用(二)【2013年高考会这样考】1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．【复习指导】本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.基础梳理1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件．双基自测1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案 D2．已知函数f(x)＝14x4－43x3＋2x2，则f(x)()．A．有极大值，无极小值B．有极大值，有极小值C．有极小值，无极大值D．无极小值，无极大值解析f′(x)＝x3－4x2＋4x＝x(x－2)2f′(x)，f(x)随x变化情况如下x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)04 3因此有极小值无极大值．答案 C3．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()．A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C.答案 C4．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)当x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，故当x＝2时取得极小值．答案 25．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，∴f ′(1)＝0， 又f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，∴f ′(1)＝2×1×(1＋1)－(1＋a )(1＋1)2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3. 答案 3考向一 函数的极值与导数【例1】►(2011·重庆)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．[审题视点] 由条件x ＝－12为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值． 解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b . 从而f ′(x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a6对称， 从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1，f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－2,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 【训练1】 (2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立． 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.考向二 函数的最值与导数【例2】►已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． [审题视点] 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值． 解 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，有f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－x －4. 令f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增，则f (a )是最小值，f (b )是最大值；反之，则f (a )是最大值，f (b )是最小值．【训练2】 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象 在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行 (1)求a ，b ；(2)求函数f (x )在[0，t ](t >0)内的最大值和最小值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax由已知条件⎩⎨⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，即⎩⎨⎧ a ＋b ＋1＝0，2a ＋3＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2， f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， f ′(x )与f (x )随x 变化情况如下：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x )＋－0 ＋f (x )2－2由f (x )＝f (0)解得x ＝0，或x ＝3 因此根据f (x )的图象当0<t ≤2时，f (x )的最大值为f (0)＝2 最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2；当2<t ≤3时，f (x )的最大值为f (0)＝2， 最小值为f (2)＝－2；当t >3时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为 f (2)＝－2.考向三 用导数解决生活中的优化问题【例3】►(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[审题视点] 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义．解 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．【训练3】 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解 (1)设汽车以x 千米/小时的速度行驶时，其耗油量为 f (x )＝100x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8＝x 21 280＋800x －154(0<x ≤120) f (40)＝17.5(升)因此从甲地到乙地要耗油17.5升．(2)f′(x)＝x640－800x2＝x3－512 000640x2＝(x－80)(x2＋80x＋6 400)640x2又0<x≤120，令f′(x)＝0解得x＝80，当0<x<80时，f′(x)<0；当80<x≤120时，f′(x)>0.则当x＝80时，f(x)取到最小值f(80)＝11.25(升)因此当汽车以80千米/小时行驶时耗油最省，最小耗油量为11.25升．难点突破7——有关导数热点问题的求解策略导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质、相切问题以及实际优化的问题方面．近年，各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题．这些问题构成了高考试卷中一道亮丽的风景线．一、研究曲线切线的导数问题导数的几何意义是我们解决有关直线与曲线相切的问题以及切线的斜率问题的有力武器，它使得复杂的图象关系问题转化为简单的函数问题、因而常常与导函数在切点的函数值一起作为列出方程的重要依据．【示例】►(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2(1)求a、b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.二、研究函数性质的导数问题导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题．【示例】► (2011·陕西)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )＜1a 对任意x ＞0成立．▲解决实际问题的导数问题(教师备选)对于实际问题中的一些优化问题，如成本最低、利润最大、用料最省等问题，常常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法，因此，导数被广泛地应用于实际生活中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选．【示例】►如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横截面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？。

2014高考数学（理）快速提分直通车：专题4 导数的简单应用1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )．A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]． 答案 B2．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 S 1＝⎪⎪⎪13x 3 ＝83－13＝73；S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1；S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59， 所以S 2<S 1<S 3. 答案 B3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B.()－∞，0∪⎝⎛⎭⎪⎫12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()2，＋∞ 解析 xf ′(x )<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，fx或⎩⎪⎨⎪⎧x <0fx当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2时，f (x )单调递减，此时f ′(x )<0. 当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递增，此时f ′(x )>0.故选B. 答案 B4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )．A ．(0,2]B ．(0,2)C ．[3，2)D ．(3，2)解析 由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a2－4×3×1>0，－1<－2a 6<1，f －＝3－2a ＋1>0，f ＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2，故选D. 答案 D5．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3f (30.3)，b ＝log π3f (log π3)，c ＝log 319f ⎝⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 间的大小关系是( )．A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b解析 设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0(x <0)，∴当x <0时，g (x )＝xf (x )为减函数．又g (x )为偶函数，∴当x >0时，g (x )为增函数． ∵1<30.3<2,0<log π3<1，log 319＝－2，∴g (－2)>g (30.3)>g (log π3)，即c >a >b . 答案 C6．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2－x ＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________． 解析 设P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝2x －1. ∴－1≤2x 0－1≤3，即0≤x 0≤2. ∵y 0＝f (x 0)＝x 20－x 0＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122＋34，∵x 0∈[0,2]，∴34≤y 0≤3，故点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 7．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝a ln x ＋x .∴f ′(x )＝ax＋1.又∵f (x )在[2,3]上单调递增，∴a x＋1≥0在x ∈[2,3]上恒成立，∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)． 答案 [－2，＋∞)8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．解析 依题意知f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值为9.答案 99．已知f (x )＝e x－ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝e x－ax －1(x ∈R )，∴f ′(x )＝e x－a .令f ′(x )≥0，得e x≥a .当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a ．综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)． (2)由(1)知f ′(x )＝e x－a .∵f (x )在R 上单调递增， ∴f ′(x )＝e x－a ≥0恒成立，即a ≤e x在R 上恒成立． ∵x ∈R 时，e x >0，∴a ≤0， 即a 的取值范围是(－∞，0]．10．已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间．解 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x(x >0)．(1)由题意得f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23.(2)f ′(x )＝ax －x －x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0.在区间(0,2)上，f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上，f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0<a <12时，1a >2.在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝x －22x≥0，故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.11．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln3.备课札记：。

常考问题5 导数的综合应用[真题感悟]1．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0解析 若c ＝0，则有f (0)＝0，所以A 正确．函数f (x )的解析式可以通过配方的方法化为形如(x ＋m )3＋n (x ＋m )＋h 的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y ＝x 3＋nx 的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f (x )的图象是中心对称图形，所以B 正确；由三次函数的图象可知，若x 0是f (x )的极小值点，则极大值点在x 0的左侧，所以函数在区间(－∞，x 0)单调递减是错误的，D 正确．选C.答案 C2．(2013·湖北卷)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0)B ．(0，12)C ．(0，1)D ．(0，＋∞)解析 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0；设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0，1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知0<a <12，故选B. 答案 B3．(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 解析 因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，可知关于导函数的方程f ′(x )＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x1，x2，则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等的实根，即f(x)＝x1或f(x)＝x3，原方程根的个数就是这两个方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和，再结合图象可看出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x1和直线y＝x2共有3个不同的交点，故所求方程有3个不同的实根．答案 A[考题分析]题型选择题、填空题、解答题难度中档考查利用导数解决函数的单调性、极值与最值高档①在选择题、填空题中考查导数、不等式以及图象等交汇问题；②在解答题中考查利用导数研究含参数的函数单调性、极值、最值以及与不等式交汇等．(说明：部分省市要求不一样)。

2014届高三数学总复习 2.12导数在研究函数中的应用教案 新人教A 版,1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11)解析：f′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x－ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x－a ，所以a ＝e.3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π]解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．答案：(－∞，4]解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2在[2，＋∞)上恒成立．5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大．答案：10解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0<x<12，V ′＝12(x 2－46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)，当0<x<10时，V ′>0；当10<x<12时，V ′<0.所以V 在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V 最大．1. 函数的单调性与导数在区间(a ，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．2. 函数的极值与导数(1) 函数极值的定义若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值．若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．(2) 求函数极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值．②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值．3. 函数的最值(1) 最大值与最小值的概念如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．(2) 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．4. 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：优化问题®®用导数解决数学问题®优化问题答案题型1 导数与函数的单调性例1已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(3) 是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1) 当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1，∴ f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，∴ f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)．(2) f′(x)＝3x2－a.∵ f(x)在实数集R上单调递增，∴ f ′(x)≥0恒成立，即3x 2－a≥0恒成立，∴ a ≤(3x 2)min .∵ 3x 2的最小值为0，∴ a ≤0.(3) 假设存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，∴ f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a≥3x 2.又3x 2∈[0，3)，∴ a ≥3.∴ 存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a≥3. 备选变式（教师专享）(1) 已知函数 f(x)＝12x 2－mlnx ＋(m －1)x ，当 m≤0 时，试讨论函数 f(x) 的单调性；(2) 若函数f(x)＝－12()x －22＋blnx 在(1，＋∞)上是减函数，求实数b 的取值范围．解：(1)函数的定义域为()0，＋∞，f ′(x)＝x －m x ＋(m －1)＝x 2＋（m －1）x －mx ＝（x －1）（x ＋m ）x.①当－1<m≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m 或x>1， 令f′(x)<0，得－m<x<1，∴ 函数 f(x)的单调递增区间是()0，－m 和()1，＋∞，单调递减区间是()－m ，1； ②当m≤－1时，同理可得，函数 f(x)的单调递增区间是()0，1和()－m ，＋∞，单调递减区间是()1，－m .(2)由f(x)＝－12()x －22＋blnx ，得f′(x)＝－(x －2)＋bx，由题意，知f′(x)≤0即－()x －2＋bx ≤0在()1，＋∞上恒成立，∴ b≤[]x ()x －2min， 当x∈()1，＋∞时，[]x ()x －2∈()1，＋∞，∴ b ≤1.题型2 导数与函数的极值、最值例2 设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x(x∈R )． (1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值； (2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点． ① 试用a 表示b ；② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4.若ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a 的取值范围．解：(1) ∵ f′(x)＝(2x ＋a)e x ＋(x 2＋ax ＋b)e x ＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x，当a ＝2，b ＝－2时，f(x)＝(x 2＋2x －2)e x，则f′(x)＝(x 2＋4x)e x，令f′(x)＝0得(x 2＋4x)e x＝0，∵ e x ≠0, ∴ x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4或x ＝0， 列表如下：Z ] Z∴ 当x ＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)极大值＝6e4.(2) ① 由(1)知f′(x)＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x. ∵ x ＝1是函数f(x)的一个极值点，∴ f ′(1)＝0， 即e[1＋(2＋a)＋(a ＋b)]＝0，解得b ＝－3－2a.② 由①知f′(x)＝e x [x 2＋(2＋a)x ＋(－3－a)] ＝e x(x －1)[x ＋(3＋a)]，当a ＞0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a ＋2)e.∵ f(0)＝b ＝－3－2a ＜0，f(4)＝(2a ＋13)e 4＞0， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]，即[－(a ＋2)e ，(2a ＋13)e 4]．又g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a 2＋14)e 4，(a 2＋14)e 8]，∴ (a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4＝(a 2－2a ＋1)e 4＝(a －1)2e 4≥0，∴ 存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立只须(a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4＜1Þ(a －1)2e 4＜1Þ (a －1)2＜1e4Þ1－1e 2＜a ＜1＋1e 2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x(a 、b∈R )在点x ＝－1处取得极大值为2. (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤c，求实数c 的最小值．解：(1) f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝2，f ′（－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝2，3a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以f(x)＝x 3－3x.2因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2. 则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.所以c 的最小值为4.题型3 导数在实际问题中的应用例3 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2) 某厂商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：(1) S ＝602－4x 2－(60－2x)2＝240x －8x 2(0<x<30)，所以x ＝15 cm 时侧面积最大． (2) V ＝(2x)222(60－2x)＝22x 2(30－x)(0<x<30)， 所以V′＝62x(20－x)，令V′＝0，得x ＝20， 当0<x<20时，V 递增；当20<x<30时，V 递减． 所以，当x ＝20时，V 最大，此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x ）2x＝12.变式训练某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m 米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩)．经预测，一个桥墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x ，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1＋x)x 万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y 万元．(1) 试写出y 关于x 的函数关系式；(2) 当m ＝1 280米时，需要新建多少个桥墩才能使y 最小？解：根据题意，需要建⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋1个桥墩和m x 段桥面工程． (1) y ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋1＋mx(1＋x)x＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋256x ＋m ＋256⎝ ⎛⎭⎪⎫x>0，m x ∈N . (2) 当m ＝1 280时，y ＝1 280⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋256x ＋1 536，y ′＝1 280⎝⎛⎭⎪⎫12x －256x ，令y′＝0，得x ＝64，当0<x<64时，y ′<0；当x>64时，y ′>0.所以当x ＝64时，y 有最小值16 896，此时要建21个桥墩． 答：需要建21个桥墩才能使y 最小．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分) 已知函数f(x)＝lnx －ax(a∈R )． (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．审题引导： ① 知函数解析式求单调区间，实质是求f′(x)>0，f ′(x)<0的解区间，并注意定义域；② 先研究f(x)在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值； ③ 由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论．规范解答： 解：(1) f′(x)＝1x－a(x>0)．(1分)① 当a≤0时，f ′(x)＝1x －a≥0，即函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)．(3分)② 当a>0时，令f′(x)＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x<1a 时，f ′(x)＝1－ax x >0，当x>1a 时，f ′(x)＝1－ax x <0，所以函数f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.(6分)(2) ① 当1a ≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分)② 当1a ≥2，即0<a≤12时，函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分)③ 当1<1a <2，即12<a<1时，函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数，又f(2)－f(1)＝ln2－a ，所以当12<a<ln2时，最小值是f(1)＝－a ；当ln2≤a<1时，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分) 综上可知，当0<a<ln2时，最小值是－a ； 当a≥ln2时，最小值是ln2－2a.(14分)1. (2013²新课标Ⅱ)若存在正数x 使2x(x －a)<1成立，则a 的取值范围是________． 答案：(－1，＋∞)解析：因为2x (x －a)<1，所以a>x －12x ，令f(x)＝x －12x ，所以f′(x)＝1＋2－xln2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，所以a 的取值范围是(－1，＋∞)．2. (2013²大纲)若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．答案：a≥3解析：f′(x)＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令g(x)＝1x 2－2x ，求导可得g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的最大值为3，所以a≥3.3. (2013²扬州期末)已知函数f(x)＝lnx －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．答案：－3e解析：f′(x)＝1x ＋m x 2＝x ＋mx 2，令f′(x)＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x>－m 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f(x)min＝f(1)＝－m ≤1，不可能等于4；若1<－m≤e ，即－e ≤m<－1时，f(x)min ＝f(－m)＝ln(－m)＋1，令ln(－m)＋1＝4，得m ＝－e 3(－e ，－1)；若－m>e ，即m<－e 时，f(x)min ＝f(e)＝1－m e ，令1－me＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m ＝－3e.4. (2013²南京二模)设函数f(x)＝x 2－(a －2)x －alnx. (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程f(x)＝c 有两个不相等的实数根x 1、x 2，求证：f′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.(1) 解：f′(x)＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－（a －2）x －a x ＝（2x －a ）（x ＋1）x (x>0)．当a≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，得x>a 2；由f′(x)<0，得0<x<a2.所以函数f(x)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2. (2) 解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点，则a>0，且f(x)的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，即－a2＋4a －4aln a2<0.因为a>0，所以a ＋4ln a2－4>0.令h(a)＝a ＋4ln a 2－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln32－1＝ln 8116－1>0，所以存在a 0∈(2，3)，h(a 0)＝0.当a>a 0时，h(a)>0；当0<a<a 0时，h(a)<0. 所以满足条件的最小正整数a ＝3.又当a ＝3时，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a ＝3时，f(x)有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3) 证明：因为x 1、x 2是方程f(x)＝c 的两个不等实根，由(1)知a>0.不妨设0<x 1<x 2，则x 21－(a －2)x 1－alnx 1＝c ，x 22－(a －2)x 2－alnx 2＝c.两式相减得x 21－(a －2)x 1－alnx 1－x 22＋(a －2)²x 2＋alnx 2＝0，即x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝ax 1＋alnx 1－ax 2－alnx 2＝a(x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2)．所以a ＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2.因为f′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2时，f ′(x)<0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞时，f ′(x)>0， 故只要证x 1＋x 22>a2即可，即证明x 1＋x 2>x 21＋2x 1－x 22－2x 2x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2，即证明x 21－x 22＋(x 1＋x 2)(lnx 1－lnx 2)<x 21＋2x 1－x 22－2x 2， 即证明ln x 1x 2<2x 1－2x 2x 1＋x 2.设t ＝x 1x 2(0<t<1)．令g(t)＝lnt －2t －2t ＋1，则g ′(t)＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2.因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t ＝1时，g ′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证．1. 如果关于x 的方程ax ＋1x 2＝3在区间(0，＋∞)上有且仅有一个解，那么实数a 的取值范围为________．答案：a≤0或a ＝2解析：由ax ＋1x 2＝3，得a ＝3x －1x3.令t ＝1x，则f(t)＝3t －t 3，t ∈(0，＋∞)．用导数研究f(t)的图象，得f max (t)＝2，当x∈(0，1)时，f(t)递增，当x∈(1，＋∞)时，f(t)递减，所以a≤0或a ＝2.2. 已知函数f(x)＝lnx －a （x －1）x ＋1，若函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．答案：a≤2解析：f′(x)＝x 2＋（2－2a ）x ＋1x （x ＋1）2≥0在(0，＋∞)上恒成立，易得a≤2. 3. 设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________．答案：22解析：由题意，M(a 2，a)，N(lna ，a)，故MN 的长l ＝|a 2－lna|＝a 2－lna(a>0)，由l′＝2a －1a ＝2a 2－1a ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a，令l′>0，得l ＝a 2－lna 在⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增； 令l′<0，得l ＝a 2－lna 在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值．4. 已知函数f(x)＝(ax 2＋x)e x，其中e 是自然数的底数，a ∈R . (1) 当a<0时，解不等式f(x)>0；(2) 若f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围；(3) 当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f(x)＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解．解：(1) 因为e x >0，所以不等式f(x)>0即为ax 2＋x>0.又a<0，所以不等式可化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a <0，所以不等式f(x)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a . (2) f′(x)＝(2ax ＋1)e x＋(ax 2＋x)e x＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x，① 当a ＝0时，f ′(x)＝(x ＋1)e x，f ′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求；② 当a≠0时，令g(x)＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1，因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2＋1>0，所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2，不妨设x 1>x 2，因此f(x)有极大值又有极小值．若a>0，因为g(－1)²g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)内有极值点，故f(x)在[－1，1]上不单调．若a<0，可知x 1>0>x 2，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]上单调，因为g(0)＝1>0，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≥0，g （－1）≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2≥0，－a≥0.所以－23≤a ≤0.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0.(3) 当a ＝0时， 方程即为xe x＝x ＋2，由于e x>0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x－2x－1＝0.令h(x)＝e x －2x －1，因为h′(x)＝e x＋2x 2>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又h(1)＝e －3<0，h(2)＝e 2－2>0，h(－3)＝e －3－13<0，h(－2)＝e －2>0，所以方程f(x)＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数k 的所有值为{－3，1}．1. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒为0，则参数范围确定．2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值．3. 用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．请使用课时训练(A)第12课时(见活页)．[备课札记]。

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课时提升作业(十五)一、选择题1.(2013·日照模拟)已知某生产厂家年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为31y x 81x 234,3=-+-则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )(A)13万件 (B)11万件 (C)9万件 (D)7万件 2.若对任意的x>0,恒有ln x ≤px-1(p>0),则p 的取值范围是( ) (A)(0,1] (B)(1,+∞) (C)(0,1) (D)[1,+∞)3.(2013·伊春模拟)在半径为R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( )R 3 πR 3(C)3πR 3 (D)49πR 34.(2013·德州模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(1)=0,当x ＞0时，有2xf (x)f (x)0x'-＞成立，则不等式f(x)＞0的解集是( ) (A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)(-1,0) (C)(1,+∞) (D)(-1,0)∪(1,+∞)5.函数y=2x 3+1的图象与函数y=3x 2-b 的图象有三个不相同的交点,则实数b 的取值范围是( )(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)6.(2013·沈阳模拟)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有()()2xf x f x x '－<0恒成立，则不等式x 2f(x)>0的解集是( )(A)(－2,0)∪(2，＋∞) (B)(－2,0)∪(0,2) (C)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (D)(－∞，－2)∪(0,2) 二、填空题7.已知函数f(x)=xsinx,x ∈R,f(-4),f(43π),f(54π－)的大小关系为 (用“<”连接).8.(2013·江西师大附中模拟)已知f(x)=x 3-3x+m ，在区间［0,2］上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形，则m 的取值范围是 .9．(能力挑战题)设函数()()222x e x 1e xf x ,g x x e+=＝,对任意x 1，x 2∈(0,＋∞)，不等式()()12g x f x k k 1≤+恒成立，则正数k 的取值范围是__________. 三、解答题10.(2013·石家庄模拟)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax 2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性.(2)设a ≤-2，证明：对任意x 1,x 2∈(0,+∞)，|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|. 11.某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》《荷塘月色》等10首创新经典歌曲.该公司计划用x(百万元)请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y(百万元)与(3-x)x 2成正比的关系，当x=2时y=32.又有()x23x -∈(0,t ］，其中t 是常数，且t ∈(0,2］.(1)设y=f(x)，求其表达式及定义域(用t 表示). (2)求总利润y 的最大值及相应的x 的值.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=13x 3-x 2+ax-a(a ∈R). (1)当a=-3时,求函数f(x)的极值.(2)若函数f(x)的图象与x 轴有且只有一个交点,求a 的取值范围.答案解析1.【解析】选C.因为y ′=-x 2+81，由y ′=0, 得x=9(-9舍去). 当x ∈(0,9)时，y ′＞0; 当x ∈(9,+≦)时，y ′＜0,所以当x=9时，y 有最大值，故选C.2.【解析】选D.原不等式可化为lnx-px+1≤0,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max ≤0.由f ′(x)=1x-p,知f(x)在(0,1p )上单调递增,在(1p,+≦)上单调递减.故f(x)max =f(1p)=-lnp,由-lnp ≤0得p ≥1.3.【解析】选A.设圆柱的高为h,,圆柱的体积为V=π(R 2-h 2)h=-πh 3+πR 2h(0<h<R),V ′=-3πh 2+πR 2V 有最大值为V=πR 3. 4.【解析】选D.令g(x)()f x x=, 当x ＞0时，有()()()2x f x f x g x 0x '-'=＞, 即当x ＞0时，()()f xg x x=是增函数. 又f(x)在R 上是奇函数，所以()()f xg x x=在(-≦,0)∪(0,+≦)上是偶函数.所以，当x ＜0时，()()f xg x x=是减函数.而f(1)=0，所以不等式f(x)＞0的解集是(-1，0)∪(1,+≦).5.【解析】选B.由题意知方程2x3+1=3x2-b,即2x3-3x2+1=-b有三个不相同的实数根,令f(x)=2x3-3x2+1,即函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b有三个交点.由f′(x)=6x2-6x=6x(x-1)知,函数y=f(x)在区间(-≦,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+≦)上单调递增,故f(0)是函数的极大值,f(1)是函数的极小值,若函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b有三个交点,则f(1)<-b<f(0),解得-1<b<0.6.【思路点拨】x2f(x)化为x3·()f xx,研究函数y＝()f xx的单调性，利用单调性结合图象求解.【解析】选D.当x>0时，有()()2xf x f xx'－＜0，则()f xx'［］<0，()f xx在x>0时单调递减，x2f(x)＞0,即为x3·()f xx>0⇒()f xx>0.f(2)＝0，画出y＝()f xx在x>0时的示意图，知0<x<2.同理，由f(x)是奇函数，则y＝()f xx是偶函数，如图，在x<0时y＝()f xx单调递增，x2f(x)>0，即为x3·()f xx>0⇒()f xx<0.f(－2)＝0，≨x<－2.综上所述，不等式的解集是(－≦，－2)∪(0,2).7.【解析】f ′(x)=sinx+xcosx,当x ∈[5443ππ，]时,sinx<0,cosx<0, ≨f ′(x)=sinx+xcosx<0,则函数f(x)在x ∈[5443ππ，]时为减函数,≨f(43π)<f(4)<f(54π),又函数f(x)为偶函数,≨f(43π)<f(-4)<f(-54π).答案:f(43π)<f(-4)<f(-54π)8.【思路点拨】关键是在［0,2］上任取三个不同的数a,b,c ，均存在以f(a), f(b),f(c)为边长的三角形，三个不同的数a,b,c,对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.【解析】f(x)=x 3-3x+m ，f ′(x)=3x 2-3，由f ′(x)=0得到x=1或x=-1，在［0,2］上，函数先减小后增加，计算两端及最小值f(0)=m ，f(2)=2+m,f(1)=-2+m.在［0,2］上任取三个不同的数a,b,c ，均存在以f(a),f(b),f(c)为边的三角形，三个不同的数a,b,c 对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.由三角形两边之和大于第三边，可知最小边长的二倍必须大于最大边长. 由题意知，f(1)=-2+m ＞0 ① f(1)+f(1)＞f(0)，得到-4+2m ＞m ② f(1)+f(1)＞f(2)，得到-4+2m ＞2+m ③ 由①②③得到m ＞6，即为所求.答案:m ＞69.【解析】≧k 为正数， ≨对任意x 1，x 2∈(0,＋≦)，不等式()()12g x f x k k 1≤+恒成立⇒()()max min g x f x k k 1≤+［］［］ 由g ′(x)=()x 22xe 1x e +- =0，得x=1，x ∈(0,1)时,g ′(x)＞0,x ∈(1,+≦)时，g ′(x)＜0，≨()()max g x g 1e k k k==［］. 同理由f ′(x)=222e x 1x-=0，得x=1e ， x ∈(0, 1e )时,f ′(x)＜0，x ∈(1e,+≦)时，f ′(x)＞0，()min1f f x 2e e ,k 1k 1k 1==+++（）［］ ≨e 2e k k 1≤+,k ＞0⇒k ≥1. 答案：{k|k ≥1}【变式备选】已知两函数f(x)=8x 2+16x-k,g(x)=2x 3+5x 2+4x,其中k 为实数. (1)对任意x ∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围. (2)存在x ∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围. (3)对任意x 1,x 2∈[-3,3],都有f(x 1)≤g(x 2),求k 的取值范围. 【解析】(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x 3-3x 2-12x+k, 问题转化为x ∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立, 即h(x)min ≥0,x ∈[-3,3].令h ′(x)=6x 2-6x-12=0,得x=2或x=-1.≧h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20, h(3)=k-9,≨h(x)min =k-45≥0,得k ≥45. (2)据题意:存在x ∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立, 即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3,3]上能成立, ≨h(x)max ≥0.≨h(x)max =k+7≥0,得k ≥-7. (3)据题意:f(x)max ≤g(x)min ,x ∈[-3,3], 易得f(x)max =f(3)=120-k,g(x)min =g(-3)=-21.≨120-k ≤-21,得k ≥141.10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+≦)，f ′(x)=2a 12ax a 12ax .x x++++= 当a ≥0时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0,+≦)上单调增加; 当a ≤-1时，f ′(x)＜0，故f(x)在(0,+≦)上单调减少;当-1＜a ＜0时，令f ′(x)=0，得当x ∈时，f ′(x)＞0；当x ∈≦)时，f ′(x)＜0，故f(x)在上单调增加,在+≦)上单调减少.综上所述，a ≥0时，f(x)在(0,+≦)上单调增加；-1＜a ＜0时，f(x)在上单调增加，在≦)上单调减少; a ≤-1时，f(x)在(0,+≦)上单调减少.(2)不妨设x 1≤x 2.由于a ≤-2，故f(x)在(0,+≦)上单调减少.所以|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|等价于f(x 1)-f(x 2)≥4x 2-4x 1，即f(x 2)+4x 2≤f(x 1)+ 4x 1.令g(x)=f(x)+4x ，则g ′(x)=2a 12ax 4x a 12ax 4x x++++++=. 令h(x)=2ax 2+4x+a+1,因为a ≤-2，Δ=42-8a(a+1)=-8(a-1)(a+2)≤0. 于是g ′(x)≤0.从而g(x)在(0，+≦)上单调减少，故g(x 1)≥g(x 2),即f(x 1)+4x 1≥f(x 2)+4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+≦)，|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|. 11.【解析】(1)y=k(3-x)x 2, 当x=2时，y=32,≨k=8, y=f(x)=24x 2-8x 3. ≧()x23x -∈(0,t ］,≨0＜x ≤6t2t 1+. ≨定义域为(0,6t2t 1+］. (2)令 y ′=-24x(x-2)=0, ≨x=0或x=2.讨论：若2≤6t2t 1+，即1≤t ≤2时, f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,6t2t 1+)上单调递减.所以y max =f(2)=32, 若2＞6t2t 1+，即0＜t ＜1时, f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，6t2t 1+)上为增函数.y max=f(6t2t1+)=()23864t2t1+.综上所述，当1≤t≤2，x=2时，y max=32；当0＜t＜1,x=6t2t1+时，y max=()23864t2t1+.12.【思路点拨】(1)求出导函数的零点,再判断零点两侧导数的符号.(2)三次函数的零点决定于函数的极值的符号,若函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,则此时极大值与极小值同号.【解析】(1)当a=-3时,f(x)=13x3-x2-3x+3.f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.当x<-1时,f′(x)>0,则函数在(-≦,-1)上是增函数,当-1<x<3时,f′(x)<0,则函数在(-1,3)上是减函数,当x>3时,f′(x)>0,则函数在(3,+≦)上是增函数.所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=-13-1+3+3=143,当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=13×27-9-9+3=-6.(2)因为f′(x)=x2-2x+a,所以Δ=4-4a=4(1-a).①当a≥1时,则Δ≤0,≨f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增. f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,当a≥1时函数的图象与x轴有且只有一个交点.②a<1时,则Δ>0,≨f′(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x1,x2(x1<x2),≨x1+x2=2,x1·x2=a,当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:圆学子梦想 铸金字品牌- 11 -≧x 12-2x 1+a=0,≨a=-x 12+2x 1, ≨f(x 1)=32111x x 3-+ax 1-a=32111x x 3-+ax 1+21x -2x 1=311x 3+(a-2)x 1=13x 1[x 12+3(a-2)], 同理f(x 2)=13x 2[x 22+3(a-2)].≨f(x 1)·f(x 2)=19x 1x 2[x 12+3(a-2)][x 22+3(a-2)]=49a(a 2-3a+3).令f(x 1)·f(x 2)>0,解得a>0. 而当0<a<1时,f(0)=-a<0,f(3)=2a>0.故0<a<1时,函数f(x)的图象与x 轴有且只有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是(0,+≦). 【方法技巧】巧解方程根的个数问题当函数的极值点很难求解时,可采用设而不求的思想.设出极值点后(设极大值为M,极小值为m),将M 与m 的符号问题转化为M 与m 乘积的符号问题,最后把M 与m 乘积转化为根与系数的关系解决.关闭Word 文档返回原板块。