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高二下学期期末数学试卷一、选择题： DABCC AADCB二、解答题：11．本题考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、古典概型及其概率和运算求解能力，考查了解独立性检验(2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．满分12分． 解：(Ⅰ)∵从评分等级(4，5]的20人中随机选取2人，共有190220=C 种结果，……2分其中恰有1人为男性的共有9618112=C C 种结果，……4分 故所求概率954819096==P ……6分 (Ⅱ)假设0H ：是否满意该商品与买家的性别之间无关 则841.3769.548525050)18203032(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ……11分 因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为满意该商品与性别有关．……12分12．本题考查利用函数导数与函数的极值的关系，求闭区间上函数的最大值、最小值．考查运算求解能力，考查函数与方程与整合思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分12分． 解：(Ⅰ)由12)(23+++=bx ax x x f ，得b ax x x f ++='26)(2，……1分由题知⎩⎨⎧-=+-=+⇒⎩⎨⎧=++=-=+++=629026)1(612)1(b a b a b a f b a f ⎩⎨⎧-==∴123b a ……4分 经检验⎩⎨⎧-==123b a 符合题意……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，11232)(23+-+=x x x x f ，)2)(1(61266)(2+-=-+='x x x x x f ，故20)(-=⇔='x x f 或x ＝1，……6分 列表如下：∵f(2)＝5＜21＝f(－2)，∴f(x)在[－2，2]上的最大值为21，最小值为－6……12分13．本题考查利用合情推理与归纳假设得出结论的思想方法及能力，考查等比数列的求和计算；及考查用数学归纳法等其它直接证明的方法推理论证简单的数学命题的能力． 解：(Ⅰ)由正方形数的特点可知2n a n =；……2分由二项式定理的性质，杨辉三角第n 行n 个数的和为11111012-----=+++=n n n n n n C C C S ，……3分 所以1222211221-=++++=+++=-nn n n S S S T ．……5分(Ⅱ)312,4222=-==T a ，所以712,9;33322=-==>T a T a ，所以;33T a >1512,16444=-==T a ，所以3112,25;55544=-==>T a T a ，所以;55T a <6312,36666=-==T a ，所以;66T a <……猜想：当2≤n ≤4时，n n T a >；当n ≥5时，n n T a <．……8分 证明如下：法1：当2≤n ≤4时，已证；下面用数学归纳法证明：当n ≥5时，n n T a <． ①当n ＝5时，已证；②假设n ＝k(k ≥5，k ∈N *)时，猜想成立，即：k k T a <，所以122-<k k ；那么，1121)12(21221222211++=+>+-=-⋅=-=++k k k T k k k k22)1(12+=++>k k k所以，当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综合①②，可知当n ≥5时，n n T a <．……12分 法2：当2≤n ≤4时，已证；下面证明：当n ≥5时，n n T a <，即证122-<n n ，即证122+>n n ，∵n n n n n n n C C C C ++++=+= 210)11(212222)1(12)(2222210+>++=-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++≥n n n n n n n n n C C C n n n ∴当n ≥5时，n n T a <成立……12分14．本题主要考查分段函数的认识，考查函数、导数、不等式等知识的应用，考查函数思想及转化能力、计算能力及解决实际问题的能力．满分14分． 解：(Ⅰ)当x ∈[30，50]时，设该工厂获利为S ，则700)30(160060)160040(20222---=-+-=+--=x x x x x x S ，……3分所以当x ∈[30，50]时，S ＜0，因此，该工厂不会获利．……4分 当x ＝30时，S 取得最大值－700，所以国家至少需要补贴700万元才能使该工厂不亏损．……5分 (Ⅱ)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+∈+==]50,30[,401600)30,10[,640251)(2x x x x xx x y x P ……7分①当x ∈[10，30)时，x x x P 640251)(2+=，23225)8000(2640252)('xx x x x P -=-= 因为x ∈[10，30)，所以当10≤x ＜20时，P '(x)＜0，P(x)为减函数； 当20＜x ＜30时，P '(x)＞0，P(x)为增函数；所以当x ＝20时，P(x)取得最小值48206402520)20(3=+=P ……10分 ②当x ∈[30，50]时，404016002401600)(=-⋅≥-+=xx x x x P ， 当且仅当xx 1600=， 即x ＝40∈[30,50]时，P(x)取得最小值P(40)＝40．……13分因为48＞40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最低．……14分B 卷(共50分)三、填空题： 15．5； 16．1.75； 17．(0，1)； 18．14； 19．17； 20．①④四、解答题：本大题共2小题，共26分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．21．本题考查概率统计等基础知识，理解取有限个值的离散型随机变量的均值和方差的概念及其计算，考查数据处理能力、推理论证、运算求解能力，能解决一些实际问题，满分12分． 解： (Ⅰ)依题意，41161127=⇒=++a a ……1分 设投入到项目A 和B 的资金都为X 万元变量1X 和2X 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，则1X 和2X 的分布列分别为：由分布列得X X X X E 2.041061)2.0(1274.0)(1=⨯+⨯-+⨯=，……2分 cX bX X E 1.03.0)(2-=，……3分因为)()(21X E X E =，所以0.3b －0.1c ＝0.2，又b ＋c ＝1,解得41,43==c b ； 综上，;41,43,41===c b a ……4分 (Ⅱ)当投入100万元资金时，由(I)知X ＝100，所以20)()(21==X E X E ，60041)200(61)2020(127)2040()(2221=⨯-+⨯--+⨯-=X D ，……5分 30041)2010(43)2030()(222=⨯--+⨯-=X D ，……6分因为)()(21X D X D >，说明虽然项目A 和项目B 的平均收益相等， 但项目B 更稳妥，所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目B ……7分 (Ⅲ)2211100100,100X xY X x Y -==， 所以)100100()100()(2121X xD X x D DY DY x f -+=+=……9分 2212100100)100(DX x DX x ⎪⎭⎫⎝⎛-+=200)3100(1009])100(2[1003222+-=-+=x x x ……11分 所以当3100=x 时，f(x)取得最小值200．……12分 22．本题考查函数导数的几何意义，考查利用函数与导数运算求解、推理论证能力，考查函数与方程与整合思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分14分． 解：(Ⅰ)∵xax f =')(，12)(-='bx x g ，……1分 由题知⎩⎨⎧'===)1()1('0)1()1(g f g f ，代入解得：⎩⎨⎧-==-1201b a b ，∴⎩⎨⎧==11a b ……3分(Ⅱ)令22ln )(ln )()()(x x a x x x x a x x g x f x h -=---=--=．……4分∴)0(2)(2>-='x x x a x h ，令h ′(x)＝0，得2a x ±=(∵x ＞0，∴2ax =) ∵ax e 1≤≤且a ＞2e ，∴1e 2>>a，显然2e a a >令h ′(x)＞0得)2,1(a ，∴h(x)在)2,1(a 单调递增； 令h ′(x)＜0得)e ,2(a a ，∴h(x)在)e ,2(a a 单调递减；……6分 故)12(ln 222ln )2()(max -=-===a a a a a a h x h ∵a ＞2e ，∴e 2>a ，∴1e ln 2ln =>a，∴0)2(>a h ，又h(1)＝－1＜0，而0)e )(e (e)e (e ln )e (222<-+=-=-=a a aa aaa a a a h ，∴方程f(x)－g(x)＝x 在],1[a e 上有2个实根……8分 (Ⅲ)2211)()()()(x x x f x f x x x f x f -->-- )0(21x x x <<<．下面证明：……9分∵)1(ln )1(lnln ln )()(111111111-=-=--=--=xx x x xx x x x x x x x x x x x f x f S ，取)1,0(11∈=x x t ， ∴)1(ln 111-=t x t S ，同理，取122>=x x t ，则)1(ln )()(22222-=--=t x t x x x f x f S ，……10分 令)0(1ln )(>-=t t t t F ，∴)0()1(ln 1)1(ln )1(1)(22>---=---='t t t t t t t tt t t F ， 再令t t t t ln 1)(--=φ，则t t ln )(-='φ，……11分 当0＜t ＜1时，0)(>'t φ，∴函数)(t φ在(0，1)上递增； 当t ＞1时，0)(<'t φ，∴函数)(t φ在(1，＋∞)上递减． 故0)1()(max ==φφt ，∴0)1()(=≤φφt ，即F '(t)≤0， ∴F(t)在(0，＋∞)上单调递减……12分 又∵210t t <<，∴)()(21t F t F >，即证1ln 1ln 2211->-t t t t ，……13分 又∵x ＞0，∴222111)1(ln )1(ln S t x t t x t S =->-=，即证得：2211)()()()(x x x f x f x x x f x f -->--……14分高二下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若i 为虚数单位，则关于 1i，下列说法不正确的是A ．1i 为纯虚数B ．1i 的虚部为i -C ．|1i |=lD ．1i在复平面上对应的点在虚轴上 2．下列式子不．正确的是 A.()23cos 6cos sin x x xx x x x '+=+- B. ()sin 22cos2x x '=C ．2sin cos sin x x x x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 3．已知复数),,,(,,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，下列命题中：①21,z z 不能比较大小；②若1||1≤z ，则111≤≤-z ；③⎩⎨⎧==⇔=db ca z z 21；④若021=+z z ，则021==z z .其中正确的命题是A ．②③B ．①③C ．③④D ．②④ 4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++5．(A 题）直线t ty t x (32⎩⎨⎧-=+=为参数)的倾斜角等于A ．43π B ．3π C ． 4π D ．6π （B 题）如图，空间四边形ABCD 中，G M ,分别是BC 、CD的中点，则AB +等于A ．ADB ．GAC ．AGD ．MG6．已知二项式n 的展开式中第四项为常数项，则n 等于A ．9B ．6C ．5D ．37．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 A ．96种B ．48种C ．34种D ．144种8. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两 局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．34D ．239.已知随机变量ξ和η，其中210+=ξη，且365)(=ηE ，若ξ的分布列如右表，则m 的值为 A ．4760 B ．3760 C ．2760 D ．1810. 已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的 图象如图所示． 下列关于()f x 的命题： ①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2， 那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知f(x)＝x 3的所有切线中，满足斜率等于1的切线有 条.12．已知61512++++=x x x x C C C ，则=+42x x C .13．复数i ii z +-+=1)1(2，则=||z ．14．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛， 对于其中一题，他们各自解出的概率分别是41,31,51，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是 ．15．（A 题）在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB的长度为 ．（B 题）已知α//l ，且l 的方向向量为()1,,2m ，平面α的法向量为⎪⎭⎫⎝⎛2,21,1，则=m ． 16．（A 题）已知函数|32||12|)(-++=x x x f ．若关于x 的不等 式|1|)(-<a x f 的解集非空，则实数a 的取值范围是________．（B 题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，90=∠ABC ，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为______.17．已知函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>若对任意的]6,3[∈a ，不等式()1f x ≤在]2,2[-∈x 上恒成立，则m 的取值范围是____________.三、解答题（本大题共5小题，共69分） 18．（本题满分13分）已知甲、乙、丙等6人 .（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率.19．（本题满分13分）（A 题）以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点)4,2(--P 的直线L 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222，设直线L 与曲线C 分别交于N M ,；（1）写出曲线C 和直线L 的普通方程；（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值． （B 题）如图，在棱长为1的正方体1AC 中，E 、F 分别为11D A 和11B A 的中点．(1)求平面1ACC 与平面1BFC 所成的锐二面角；(2)若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且//EP 平面1BFC ，求EP 的取值范围．20．（本题满分14分）某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.(1)写出ξ的概率分布列，并求出E(ξ)，E(η)；(2)求D(ξ)，D(η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？21．（本小题满分14分）（A 题）已知+∈R z y x ,,，且1=++z y x ． (1)求证：27111222≥++zy x ； (2)若333222)(z y x z y x ++≤++λ恒成立，求实数λ的最大值． （B 题）设函数),,,(,)(23R d c b a d cx bx ax x f ∈+++=． （1）若3)21()(x x f -=，求d c b a -++23的值； （2）若0,31<=b a ，()y f x =在0x =处取得极值1-，且过点(0,0)可作曲线()y f x =的三条切线，求b 的取值范围.22．（本题满分15分）已知函数()()2ln f x x a x a R =+∈． (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)若函数)(x f 的最小值为()a ϕ，求()a ϕ的最大值；(3)若函数)(x f 的最小值为()a ϕ，,m n 为()a ϕ定义域A 内的任意两个值，试比较()()2m n ϕϕ+与2m n ϕ+⎛⎫⎪⎝⎭的大小．参考答案1212,328t t t t a +=+=+，由22212121212()3t t t t t t t t =-⇒+=2)5(328)a ⇒+=+2340a a ⇒+-=又因为0a >，所以1a =…………………………………………………………………14分（B 题）解: （1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,1(A ，1(,0,1)2E ， )0,1,1(B ，)1,21,1(F 平面1ACC 的一个法向量为)0,1,1(=DB ，设平 面1BFC 的法向量为),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅=+-=⋅,0)1,0,1(),,(,0211z x z y x BC n z y BF n ∴,2.x z y z =⎧⎨=⎩ 取1z =得平面1BFC 的一个法向量)1,2,1(=n ……………………………………………5分236221||||,cos =⋅+=⋅=〉〈n DB n DB ，因为〉〈n DB ,为锐角， ∴所求的锐二面角为6π． …………………………………………………7分由η～B(3，23)，D(η)＝3×23×13＝23．可见，E(ξ)＝E(η)，D(ξ)<D(η)，因此，建议该单位派甲参加竞赛．………………………………………………………………………………………………14分21.（A 题）解：证明（1） +∈R z y x ,,，且3103133≤<⇒≥++=xyz xyz z y x ，27)31(3)(331112233222222=≥=≥++∴xyz z y x zy x 故27111222≥++zy x 当31===z y x 时等号成立……………………………6分 （2） +∈R z y x ,,， 1=++z y x 且333222)(z y x z y x ++≤++λ恒成立，222333z y x z y x ++++≤∴λ恒成立， 2222333333)())((z y x z y x z y x z y x ++≥++++=++又 311)()111)((2222222222≥++⇒=++≥++++z y x z y x z y x 31)(31222333222333≥++++⇒++≥++∴zy x z y x z y x z y x 当31===z y x 时等号成立 31≤∴λ，故实数λ的最大值为31…………………………………………………14分 （B 题）解：（1）d cx bx ax x x f +++=-=233)21()( ，对此等式两边同时求导数得：c bx ax x ++=--23)2()21(322，令1=x 得：623-=++c b a ，又由二项式定理知1=d故71623-=--=-++d c b a ………………………………………………6分 此题还可直接利用二项式定理求出d c b a ,,,的值，然后再求d c b a -++23的值. （2）c bx x x f ++='2)(2，由题意可得'(0)0f =，(0)1f =-，解得1,0-==d c经检验，()f x 在0x =处取得极大值.∴131)(3-+=bx x x f ………………………8分 设切点为00(,)x y ，则切线方程为0'00()()y y f x x x -=-即为132)2(2030020---+=bx x x bx x y ……………………………………………………9分 因为切线方程为132)2(2030020---+=bx x x bx x y ，把(0,0)代入可得01322030=++bx x ， 因为有三条切线，故方程01322030=++bx x 有三个不同的实根.………………………11分 设)0(0132)(23<=++=b bx x x g bx x x g 22)(2+='，令022)(2=+='bx x x g ，可得0x =和b x -=22. 解： (1)显然0x >，且xax f +='2)(……………………………………………1分 ① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在定义域内单调递增； ② 当0a <时，若0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '<，函数单调递减； 若,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>函数单调递增…………………………4分 (2)由(1)知，当0a ≥时，函数()f x 在定义域内单调递增，所以)(x f 无最小值. 当0a <时，2a x =-时，)(x f 最小，即()ln 22a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ln 2a a ϕ⎛⎫'=-⎪⎝⎭因此，当2a <-时，()0a ϕ'>，函数()a ϕ单调递增； 当20a -<<时，()0a ϕ'<，函数()a ϕ单调递减；故()a ϕ的最大值是()22ϕ-=…………………………………………………………8分 (3) 由(1)知{}|0A a a =<,极小值即最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故()ln 922a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分对于任意的,m n A ⊂且m n ≠有，()()ln ln 22ln 222224m n m m n n m n m n m n m n M n ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪++⎡+++⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22ln ln ln ln ln 1122222422m m n n m n m n m m n n m n m n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分 不妨设0m n <<，则1m n >，令()1mt t n=>则 ()()2222ln ln ln ln 22221111m m n m n n m n t n t m m n t t n n ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦设()()()22ln ln ln 2ln 1ln 2ln 111t u t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=+=-++-+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()ln 2ln 21ln(1)t t t t =+-++所以2()ln 2ln(1)ln()1t u t t t t '=-+=+，因为221110111t t t t t t t ----==>+++即211tt >+，所以()0u t '>，即函数()u t 在()1,t ∈+∞上单调递增. 从而()(1)0u t u >=，但是02n <，所以()()022m n m n ϕϕϕ++⎛⎫-< ⎪⎝⎭即)2(2)()(nm n m +<+ϕϕϕ……………………………………………………………14分侧视图主视图高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 （2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为 （A） （B） （C（D （5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A）37 （B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24xf x =-（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+（8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A（B（C（D（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是 （A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62DC 1B 1CBA （11）设2()3,()ln(3)x f x e g x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上． （13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥， 则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知2,b =3B π=，且△ABC 的面积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC⊥平面BCC 1B 1．（Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1,（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围．请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯. （11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意 到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线与圆2x y +=有公共点时，的取值范围，数形结合易得a -≤（16）由余弦定理得2222cos 4b ac ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 2S ac B ===4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==，------------------------------------------------------------------------------1分∴1(1)n a a n d n=+-=，------------------------------------------------------------------------------3分∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分EA BCB 1C 1D(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯；-------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能；----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=.---------------------------------------------------------------------------12分（19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===,∴BD =;----------------------------------------------------------------------------------------------------8分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1 ∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ， ∵DF为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅111132212=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=,----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--= 整理得:222210x y x y +--+=,------------------------------------------------------------------------4分 ∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交, ∴点P的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---= 得2230y y --=,解得1y =-或3y =, 不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设,------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k +==-++,------------------------------------------------------------------------9分由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±,---------------------------------------------------------------------------------------------11分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分 ∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x≤---，--------------6分记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-，当∈x 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分 ∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14， 故线段P 1P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分 即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得 其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f(x)＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a的取值范围为5[,+2∞）.--------------------------------------------------------------------------10分高二下学期期末数学试卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）A ．ˆ510yx =- B ．ˆ510y x =+ C ．ˆ510y x =-- D ．ˆ510y x =-+ 2．已知随机变量X 的分布列如右图所示，则E(6X ＋8)＝( )A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.23．6)3(y x +的二项展开式中，42y x 项的系数是（ ）A ．90B ．45C ．270D ．1354．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ． 48种D ．60种5.过点(0，2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为( )．A.⎩⎨⎧x ＝3t y ＝2＋tB.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋tC.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－tD.⎩⎨⎧x ＝2－3ty ＝t6．已知x,y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且0.95,y x a a ∧=+=则A ．2．2B ．2．7．若直线的参数方程为12()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为( )A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 8．直线1:0l x y +-=与直线2,2:(x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）的交点到原点O 的距离是（ ） 9．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，a 2），且P （ξ＜4）=0.8，则P （0＜ξ＜2）=（ ）A ．0.6 B．0.4 C ．0.3 D ．0.2 10．若随机变量X 的分布列如表:则E(X)=( )A.181 B.91 C.9 D.2011.若P(2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )．A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝5C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝012．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为32，则甲以1:3的比分获胜的概率为（ ） A ．278 B ．8164C ． 94D ．98二、填空题（每小题5分，共计20分）.13.已知55443322105)21(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则=++++54321a a a a a ________；14．把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A ，第二次出现正面为事件B ，则P(B|A)等于________． 15．已知点A 为椭圆x225＋y29＝1上任意一点，点B 为圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，求|AB|的最大值为_______16．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos()63πρθ-=．点P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为________．三、解答题（共70分,写出必要的计算或证明步骤）.17．（10分）已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．18．（12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为5．（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由． 下面的临界值表供参考：1 (参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19．（12分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23. (1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z ，求Z 的分布列、数学期望和标准差．20. （12分）设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝4＋tsin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率．(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．21．（12分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为23，且相互间没有影响. (1）求选手甲进入复赛的概率；(2) 设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望.22．（12分）某高校在2018年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率； (2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试， (ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；75 80 85 90 95错误!0.010.02 0.04 0.06 0.07 0.03 0.05(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L 面试，求ξ的分布列和数学期望．高二下学期期末数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，满分50分，每小题5分，每小题给出四个选项，只有一个是符合题目要求的。
2019-2020学年广东省韶关市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--≤，集合B 为正整数集，则A B =（ ）A ．1,0,1,2B ．{}1C ．{}0,1,2D ．{}1,2【答案】D【解析】解一元二次不等式可得{}|12A x x =-≤≤，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为集合{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤，集合B 为正整数集，所以{}1,2AB =.故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2．设复数z 满足()14i z i +=，则z =（ ）A ．2B C ．2D ．【答案】D【解析】转化条件为41iz i=+，由复数的除法运算可得22z i =+，进而可得复数的模. 【详解】因为()14i z i +=，所以()()()41444221112i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==.故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．命题“对任意x ∈R ，都有20x x ->”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有20x x -≤B ．存在0x R ∈，使得2000x x -≤C ．存在0x R ∈，使得2000x x ->D ．不存在0x R ∈，使得2000x x -≤【答案】B【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可. 【详解】命题“对任意x ∈R ，都有20x x ->”是全称量词命题，则命题的否定是：存在0x R ∈，使得2000x x -≤.故选：B 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4．若将一个骰子随机掷两次，设前后两次得到的点数分别为x ，y ，则事件1x y -=的概率为（ ） A ．518B ．536C ．16D ．136【答案】A【解析】先确定前后两次得到的点数构成的总事件数，再确定事件1x y -=包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】将一个骰子随机掷两次，共有36种基本事件，其中1x y -=包含(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5)这10种基本事件， 因此概率为1053618= 故选：A 【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.5．已知平面向量a 与b 均为单位向量，且3a b -=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒ B ．120︒C ．30D ．150︒【答案】B【解析】由平面向量数量积的运算可得2222a b a a b b -=-⋅+，进而可得12a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，再由平面向量数量积的定义可得cos α，即可得解. 【详解】因为平面向量a 与b 均为单位向量，且3a b -=， 所以()22222223a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=-⋅=，所以12a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦， 所以1cos 2a ba bα⋅==-⋅，所以120α=.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】=，进而可得b =，再由双曲线离心率公式e =. 【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 设其中一个焦点()(),0,0F c c >，则222+=a b c则焦点到渐近线的距离bcd b c====， 所以该双曲线的离心率3c e a ====.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用及离心率的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．已知函数()()22ln ||xxf x x -=+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的性质以及特殊点的位置，即可根据排除法解出． 【详解】因为函数()()22ln ||xxf x x -=+定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()f x f x -=， 所以函数()()22ln ||xxf x x -=+为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ；又因为()10f =，可排除C ；()()10f e f >=，可排除A ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，属于基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352=S ，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】A【解析】由等差数列的性质及前n 项和公式可得74a =，再由等比数列的性质可得21137b b b ⋅=，即可得解.因为数列{}n a 为等差数列， 所以1131371313522a a S a +=⨯==，所以74a =， 所以774b a ==，又数列{}n b 为等比数列，所以2113716b b b ⋅==.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．若a ，b ，c 满足11102a =，4105b =，5ln 2c =，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C【解析】转化条件为()1102048a =，()110625b =，由幂函数的性质可得1a b >>；由对数函数的性质可得ln 1c e <=，即可得解. 【详解】 因为()()111111101010222048a ===，()()411410101055625b ===，所以1a b >>， 又5lnln 12c e =<=，所以1c b a <<<. 故选：C. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及幂函数、对数函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.10．设抛物线28y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点Q 作斜率为()0k k <的直线交抛物线于,A B 两点，若2AF BF =，则k 的值为（ ）A ．3-B ．C ．-D ． 【答案】A【解析】联立方程，借助韦达定理即可建立关于k 的方程，解之即可. 【详解】方法一：（韦达定理消去x ）抛物线的焦点为()2,0F ，准线2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12AF x =+，22BF x =+，由2AF BF =得12222x x ，即有1222x x =+①，联立28y x =与直线()2y k x =+的方程得()22224840k x k x k +-+=，则有()2122480k x x k k-++=<②，124x x =③.由①、②得124,1x x ==，代入②中得()224850k k k -+=<，解得k =A . 方法二：（韦达定理消去y ）设抛物线的准线:2m x =-，分别过,A B 作AA m '⊥，BB m '⊥，由2AF BF =得2AA BB ''=，则有2QA QB ''=.设()11,A x y 、()22,B x y 从而有122y y =.联立28y x =与直线()2y k x =+的方程得28160ky y k -+=，则有128y y k +=①，1216y y =②，由122y y =则有12283y y y k+==③，2122216y y y ==④，消去2y 得()2890162k k ⎛⎫⎪⎝⎭=<，解得3k =-，故选A. 方法三：（几何法）设抛物线:2m x =-，分别过,A B 作AA m '⊥，BB m '⊥，由2AF BF =得2AA BB ''=，则有2QA QB ''=，则B '是QA '的中点，设(),A A A x y 、(),B B B x y ，从而有2A B y y =.则B 是QA 的中点，则有12OB AF =（O 是原点），而12BF AF =，则OB FB =，故点B 在线段OF 的垂直平分线上，则1B x =，从而B y =-，则A y =-，4A x =，故k =故选A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，考查了韦达定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、多选题11．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是棱PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ，则有（ ）A ．异面直线PA 与BD 所成角大小为3π B ．平面PAC ⊥平面PBD C ．PB ⊥平面EFD D ．BD ED ⊥【答案】ABC【解析】连接AC 交BD 于O ，连接EO ，即可得EOD ∠或其补角即为异面直线PA 与BD 所成角，即可判断A ；由线面垂直的性质与判定可得AC ⊥平面PBD ，再由面面垂直的判定可判断B ；利用线面垂直的性质与判定即可判断C ；由DE ⊥平面PBC 可知DE EB ⊥，即可判断D.【详解】对于A ，连接AC 交BD 于O ，连接EO ，如图，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点，所以//EO PA ， 所以EOD ∠或其补角即为异面直线PA 与BD 所成角， 不妨设1PD DC ==，则2PA BD PC ===，所以22EO OD DE ===， 所以3EOD π∠=，所以异面直线PA 与BD 所成角为3π，故A 正确； 对于B ，由PD ⊥底面ABCD 可得PD AC ⊥， 又因为BD AC ⊥，所以AC ⊥平面PBD ，由AC ⊂平面PAC 可得平面PAC ⊥平面PBD ，故B 正确； 对于C ，由PD ⊥底面ABCD 可得PD BC ⊥，又因为CD BC ⊥，所以BC ⊥平面PCD ，所以BC DE ⊥，又PD DC =，E 是棱PC 的中点，所以DE PC ⊥，所以DE ⊥平面PBC ， 所以DE PB ⊥，因为EF PB ⊥，所以PB ⊥平面EFD ，故C 正确；对于D ，由DE ⊥平面PBC 可知DE EB ⊥，故BD ED ⊥不成立，故D 错误.故选：ABC. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的判定与性质及异面直线所成角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.12．已知函数()2sin cos f x x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C ．函数()()1g x f x =+在区间[]0,2π上有且仅有3个零点 D ．若()()122f x f x +=，则1222k x x ππ+=+（k Z ∈） 【答案】AD【解析】由三角函数的周期性可判断A ；由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin 2f x x =，结合三角函数的图象与性质即可判断B ；按照30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦、3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭分类，即可判断C ；由三角函数的图象与性质可得111,42k x k Z ππ=+∈，222,42k x k Z ππ=+∈，即可判断D ；即可得解. 【详解】由题意()sin 2,22222sin cos ,3sin 2,2222x k x k f x x x k Z x k x k ππππππππ⎧-+<≤+⎪⎪==∈⎨⎪-+<≤+⎪⎩， 对于A ，因为()()()()22sin 2cos 22sin cos f x x x x x f x πππ+=++==， 所以()f x 是周期函数，故A 正确； 对于B ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin 2f x x =，[]20,x π∈，所以函数()f x 不单调，故B 错误； 对于C ，当30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()()1sin 21g x f x x =+=+， 因为[][]20,3,4x πππ∈，所以此时函数()g x 有一个零点；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1sin 21g x f x x =+=-+，因为()2,3x ππ∈，所以此时函数()g x 有一个零点； 所以函数()g x 在[]0,2π只有两个零点，故C 错误；对于D ，()()1212sin 2sin 22f x f x x x +=+=，所以12sin 2sin 21x x ==， 所以1sin 21x =±，2sin 21x =±， 所以1112,2x k k Z ππ=+∈，2222,2x k k Z ππ=+∈，所以111,42k x k Z ππ=+∈，222,42k x k Z ππ=+∈， 所以()121212,42422222k k k k k k Z x x ππππππππ++++=+=+=∈+，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三、填空题13．tan 750︒=______.【解析】由题意结合诱导公式可得tan750tan30︒=︒，即可得解. 【详解】由题意()tan 750tan 7503602tan 30︒=︒-︒⨯=︒=【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14．在6x⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr r r r r r r C x C x x C xx ----⋅⋅=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.15．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.如图，在“鳖臑”A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且BD CD ⊥，1AB BD CD ===，点P 在侧棱AC 上运动，当PBD △的面积最小时，三棱锥P BCD -的外接球表面积为______.【答案】94π【解析】过点P 作PO BC ⊥于O ，ON BD ⊥于N ，连接PN ，由线面垂直的判定与性质可得PN BD ⊥，设PC x =，由平面几何的知识可得3x PO =33x ON -=，进而可得23332322PN x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭PBD △的面积最小时， P 为AC 的中点；确定球心所在直线后，列方程确定外接球的半径，由球的表面积公式即可得解. 【详解】过点P 作PO BC ⊥于O ，ON BD ⊥于N ，连接PN ，如图，则//PO AB ，//ON CD ，所以PO ⊥平面BCD ， 所以PO BD ⊥，BD ⊥平面PON ，所以PN BD ⊥， 由1AB BD CD ===可得2BC =3AC =设PC x =，由PO PC AB AC =可得33xPO =， 由ON OB AP CD BC AC ==可得33ON =， 所以222223332233333PN P N x x O x x O ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎭-+⎝ 23332322x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当PBD △的面积最小时，PN 最小，此时3x =即P 为AC 的中点， 所以O 也为Rt BCD 斜边的中点，1222BO CB ==，1122PO AB ==， 所以三棱锥P BCD -的外接球的球心在直线PO 上，设为1O ，设外接球半径为r ，连接1O B ，则22211222O B r ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以 2221222r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得34r =， 所以三棱锥P BCD -的外接球表面积22394444S r πππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭.故答案为：94π.本题考查了几何体外接球表面积的求解及线面位置关系的应用，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.四、双空题16．直线y x b =+被圆()()22114x y -+-=截得的弦长的最大值是______；若该圆上到此直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有4个，则b 的取值范围是______.【答案】4 (【解析】确定圆的圆心和半径，由圆的性质可得直线过圆心时截得的弦长最大；转化条件为圆心到直线的距离[)0,1d ∈，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆()()22114x y -+-=的圆心为()1,1，半径为2，所以当直线y x b =+过圆心时，截得的弦长最大，最大值为4； 若要使该圆上到此直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有4个，则圆心到直线的距离[)0,1d ==，所以(b ∈.故答案为：4；(. 【点睛】本题考查了由圆的标准方程确定圆的圆心和半径，考查了直线与圆位置关系的应用，属于基础题.五、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c =，1b a -=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3π （2）2【解析】借助余弦定理进行“角转边”，得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C ，得出角C ，已知边c 和角C ，利用余弦定理列出,a b 关系式，与1b a -=联立，求出,a b 的值，求出面积.（1）由2cos 2c B a b =-得：222222a c b c a b ac+-=-，∴ 222a b c ab +-=，∴ 2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，∴ 3C π=.（2） 3C π=,c =∴ 223a b ab +-=，又1b a =+，∴ 220a a +-=，∴ 1a =或2a =－（舍去），∴1a =，2b =，c =∴ 2ABC S ∆=.【点睛】解三角形问题是高考高频考点，一般出自解答题的17题，考查灵活应用正弦定理、余弦定理进行“角转变、边转角”解三角形，因此正弦定理和余弦定理的各种变形使用显得极为重要.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，636S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足2142n n b a n =+-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列通项公式及前n 项和公式可得112a d =⎧⎨=⎩，再由等差数列的通项公式即可得解； （2）由题意11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再由裂项相消法即可得解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为23a =，636S =，所以113656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-； （2）由题意()()()221114221212142n n b a n n n n n ===+-+--+- 11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭， 所以1231111111233557112121n n T b b b b n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝-+⎭-11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的基本量运算，考查了裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14A D A A ==，2AB =，E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离；（3）设P 为边AB 上的一点，当直线PN 与平面11A ADD 所成角的正切值为24时，求二面角1N A P M --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）43；（3）26-.【解析】（1）连接1B C ，ME ，由平面几何的知识结合长方体的性质可得四边形MEDN 为平行四边形，进而可得//MN ED ，由线面平行的判定即可得证；（2）由长方体的几何特征结合平面几何的知识可得1C ED S △，由三棱锥的体积公式结合11C C DE C DCE V V --=即可得解；（3）由线面角的概念可得1AP =，建立空间直角坐标系，求得平面1NA P 的一个法向量m 、平面1A PM 的一个法向量n ，由cos ,m n m n m n⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：连接1B C ，ME ，如图，因为E 、M 分别是BC 、1BB 的中点，所以1//ME B C 且112ME B C =， 又N 是1A D 的中点，所以112ND A D =， 结合长方体的性质可得//ME ND 且ME ND =， 所以四边形MEDN 为平行四边形，所以//MN ED ，又MN ⊄平面1C DE ，ED ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE ； （2）因为14A D A A ==，2AB =，1111ABCD A B C D -为长方体， E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点，所以221125C E CE C C =+=221125C D CD C C =+=，2222ED CD EC =+=所以1C ED △为等腰三角形，其底边上的高为221322DE C E ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以11223262C ED S =⨯⨯=△， 设点C 到平面1C DE 的距离为h ，则11123C C DE C ED V S h h -=⋅=△， 又11111182243323C C DE C DCE DCE V S C V C --==⋅⨯⨯⨯⨯==△，所以823h =，解得43h =，所以点C 到平面1C DE 的距离为43；（3）连接AN ，如图，由PA ⊥平面11A ADD 可得ANP ∠即为直线PN 与平面11A ADD 所成角， 又2211112222AN A D AD AA ==+=241AP AN ==, 分别以DA 、DC 、1DD 作为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()14,0,4A ，()4,1,0P ，()2,0,2N ， 所以()10,1,4A P =-，()12,0,2A N =--， 设平面1NA P 的一个法向量为(),,m x y z =， 则1140220m A P y z m A N x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1z =则()1,4,1m =-，易得平面1A PM 的一个法向量()1,0,0n =，所以cos ,61m n m n m n⋅===-+⋅，因为二面角1N A P M --为钝角，所以二面角1N A P M --的余弦值为6-. 【点睛】本题考查了线面平行的判定及等体积法解决点到平面的距离问题，考查了空间向量的应用，属于中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，短轴一个端点与右焦点的距离为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点()0,3P 且与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=，（2 【解析】（1）根据条件得a ，再根据离心率得,,c b 即得椭圆C 的方程；（2）根据条件可设直线l 方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求OAB 面积，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为短轴一个端点与右焦点的距离为2，所以2a =，因为离心率为2，所以2c c a ==，因此b =从而椭圆C 的方程为22142x y +=（2）由题意得直线l 斜率存在，可设为:3l y kx =+与22142x y +=联立得，22(12)12140k x kx +++=设()1122,,(,)A x y B x y ， 则2221212221214,,(12)414(12)4(814)1212k x x x x k k k k k-+==∆=-⨯+=-++1||2O ABS AB d-∴===令21218tt St=>∴=≤=+当且仅当2k=±时取等号，即OAB.【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.21．某地的一个黄金楼盘售楼中心统计了2020年1月到5月来本楼盘看楼的人数，得到如下的相关数据.其中“1x=”表示1月份，“2x=”表示2月份，依此类推；y表示人数）：（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测几月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人；（2）该楼盘为了吸引购楼者，特别推出“玩掷硬币游戏，送购楼券”活动，购楼者可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则购楼者可获得购楼券5000元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则购楼者可获得购楼券2000元，已知抛掷一枚均匀的硬币，出现正面（印有中国人民银行）朝上与反面朝上的概率是相等的，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，购楼者每抛掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若正面朝上，遥控车向前移动一格（从k到1k+），若反面朝上，遥控车向前移动两格（从k到2k +），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n（119n≤≤）格的概率为nP，试证明{}1n nP P--是等比数列，并求购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率.附：线性回归方程y bx a=+中的斜率与截距：1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，a y bx=-.【答案】（1）4226y x=-；预计8月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人；（2）证明见解析；2021132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）计算出x 、y 、51i ii x y =∑、521ii x=∑后，代入公式即可得b 、a ，进而可得线性回归方程；令4226300y x =->，结合x 为正整数即可估计月份； （2）由概率的加法和乘法公式可得121122n n n P P P --=+，进而可得()11212n n n n P P P P ----=--，即可证明{}1n n P P --是等比数列；再由等比数列的通项公式结合累加法即可得19P ，即可得解. 【详解】 （1）由题意1234535x ++++==，20501001501801005y ++++==，511202503100415051801920i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，所以515222151920531004255535i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，从而10042326a y bx =-=-⨯=-，所以所求线性回归方程为4226y x =-；令4226300y x =->，x 为正整数，所以8x ≥， 故预计8月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人； （2）遥控车开始在第0格为必然事件，所以01P =， 若第一次掷硬币正面朝上，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =， 遥控车移到第()219n n ≤≤格的情况有且只有两种：①遥控车先移到第1n -格，又掷出正面朝上，其概率为112n P -；②遥控车先移到第2n -格，又掷出反面朝上，其概率为212n P -； 所以121122n n n P P P --=+，所以()11212n n n n P P P P ----=--， 又1012P P -=-， 所以当119n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项为12-，公比为12-的等比数列， 所以112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()()()0102132191819P P P P P P P P P P =++++⋅⋅⋅+----2023191112111111222212⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-+-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭20202121113232⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率为2021132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了概率与数列的综合应用及运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()()()2ln 1f x a x x x +-=+（其中a R ∈）.（1）当0a =时，求函数()f x 在坐标原点处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的极值点个数，并说明理由. 【答案】（1）y x =；（2）见解析.【解析】（1）当0a =时，对函数求导，由导数的几何意义即可得解；（2）对函数求导，令()[)221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，按照0a =、809a <≤、89a >、0a <分类，求得()0g x >、()0g x <的解集，进而确定函数()f x 的单调区间，结合函数极值点的概念即可得解.【详解】（1）当0a =时，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+， 所以()00f =，()01f '=，所以函数()f x 在坐标原点处的切线方程为y x =；（2）由题意函数()f x 的定义域为()1,-+∞， ()2121211ax ax a f x ax a x x +-+'=-+=++， 令()[)221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞， ①当0a =时，()10g x =>，()0f x '>，此时函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，函数无极值点；②当0a >时，()()242198a a a a a ∆=-⨯⨯-+=-， （i ）若809a <≤，0∆≤，此时()0g x ≥，()0f x '≥， 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，函数无极值点；（ii ）若89a >，>0∆，设()0g x =的两根为1x 、2x （12x x <）， 二次函数221y ax ax a =+-+图象的对称轴为直线14x =-， 又()12110g a a a -=--+=>，所以12114x x -<<-<， 所以当()()121,x x x ∈-+∞时，()0g x >，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<；所以函数()f x 的单调增区间为()()121,,x x -+∞，单调减区间为()12,x x ， 所以函数()f x 有两个极值点；③当0a <时，()980a a ∆=->，设()0g x =的两根为1x 、2x （12x x <），二次函数221y ax ax a =+-+图象的对称轴为直线14x =-， 又()110g -=>，所以12114x x <-<-<，所以当()21,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以函数()f x 有1个极值点；综上，当0a <时，函数()f x 有1个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有2个极值点. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及利用导数解决函数极值点的问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.。
广东省肇庆市韶关曲江中学2019-2020学年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列满足，且，则使数列前项和最小的等于（）．A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B略2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，C1D1的中点，N 是线段BC1的中点，若点P，M分别为线段D1B，EF上的动点，则的最小值为（）A．1 B．C．D．参考答案：D3. 已知全集，集合，，则等于( )A．B．C．D．参考答案：A4. 已知向量，若与垂直，则（）A． B． C．D．4参考答案：A略5. 在等差数列｛an｝中，若, 是数列｛｝的前项和，则的值为（）A.48B.54C.60D.66参考答案：B略6. 已知，则的最小值等于A. B. C. D. 2参考答案：D7. 椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，轴，且△PF1F2是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A、B、C、D、参考答案：D8. 为使高三同学在高考复习中更好的适应全国卷，进一步提升成绩，济南外国语学校计划聘请北京命题组专家利用周四下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种参考答案：B【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，可得结论．【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=6种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：6×6﹣6=30，故选：B．9. 椭圆上一点到一个焦点的距离等于，则它到相应的准线的距离为A. B. C.D.参考答案：C10. 已知,,则向量与向量的夹角是( )A． B． C． D． ks5u参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数＝x＋(x≠0)的值域为.参考答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)12. 已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别是,过点的直线交C于A，B两点，且的周长为．则椭圆C的方程为．参考答案：13. 设函数的导数为，则数列的前项和是______________．参考答案：略14. 若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是．参考答案：（3，6）【考点】简单线性规划的应用；函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，画出可行域，如图所示，目标函数z=2+，表示2加上点（a，b）与点M（0，4）连线的斜率．数形结合求得的范围，可得z的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，∴，即，画出可行域，如图所示：表示△ABC的内部区域，其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）．目标函数z=2+，即2加上点（a，b）与点M（0，4）连线的斜率．数形结合可得，的最小值趋于 K AM==1，的最大值趋于 K BM==4，故z的最小值趋于2+1=3，最大值趋于2+4=6，故答案为（3，6）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，简单的线性规划，斜率公式，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．15. 已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是____________．参考答案：316. 动直线l：（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0过定点P，则点P的坐标为，若直线l与x轴的正半轴有公共点，则λ的取值范围是．参考答案：（0，﹣6），{λ|λ＞1或λ＜﹣}【考点】直线的一般式方程．【分析】由题意（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0得（其中λ∈R），由此可得方程组，从而可求定点的坐标；分类讨论，即可得到λ的取值范围．【解答】解：由（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0得：λ（3x﹣y﹣6）+（x+y+6）=0，由得，即直线恒过定点P（0，﹣6）；由（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0，当λ=1时，即x=0，不满足题意，当λ≠1时，当y=0时，（3λ+1）x+6﹣6λ=0，若λ=﹣，此时无解，若λ≠﹣，则x=，由直线l与x轴的正半轴有公共点，∴＞0，即（λ﹣1）（x+）＞0，解得λ＞1或λ＜﹣，综上所述λ的范围为{λ|λ＞1或λ＜﹣}故答案为：（0，﹣6），{λ|λ＞1或λ＜﹣}17. 已知抛物线上的一点到焦点的距离是5，且点在第一象限，则的坐标为_______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年广东省韶关市数学高二第二学期期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．621(1)(1)x x-+展开式中2x 的系数为（） A ．30 B ．15C ．0D ．-15【答案】C 【解析】 【分析】根据6(1)x +的展开式的通项公式找出6(1)x +中函数含2x 项的系数和4x 项的系数做差即可． 【详解】6(1)x +的展开式的通项公式为16r r r T C x +=⋅ ，故6(1)x +中函数含2x 项的系数是26C 和4x 项的系数是46C 所以621(1)(1)x x-+展开式中2x 的系数为26C -46C =0 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理是解本题的关键． 2．函数()sin ln sin x x f x x x -⎛⎫⎪+⎝⎭＝的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为sin sin ()ln()ln()()sin sin x x x xf x f x x x x x-+--===--+ ，所以舍去B,D;当(0,)2x π∈时，sin sin 0sin sin 01,ln()0sin sin x x x xx x x x x x x x--<-<+∴<<∴<++所以舍C ，选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．3．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e -∞ B ．39[,)e +∞ C ．28[,)e +∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意可构造函数()2xae g x x x=-，由()0g x '≤在[]1,3x ∈上恒成立，分离参数并构造新的函数()h x ，利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出a 的取值范围. 【详解】 由[]1,3x ∈，()()12122f x f x x x -<-得()()112212022f x x f x x x x ---⎡⎤⎦-<⎣恒成立， 令()()2g x f x x =-，即()2xae g x x x=-，[]1,3x ∈，则()g x 在[]1,3x ∈上单调递减，所以()21()20x ae x g x x-'=-≤在[]1,3x ∈上恒成立， 当1x =时，(1)20g '=-≤成立，当13x <≤时，()2120x ae x x --≤等价于()221xx a e x ≤-， 令()()(]22,1,31xx h x x e x =∈-， 则()()()2221101x x x h x e x ⎡⎤---⎣⎦'=<-， 所以()h x 在(]1,3x ∈上单调递减， ()()()233min 239331h x h e e⨯===⨯-，即39a e≤故选：D 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查导数和构造函数的应用，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.4．设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．设a R ∈，若函数3ax y e x =+，x R ∈有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >-D ．13a <-【答案】B 【解析】试题分析：设3axy e x =+，则()3axf x ae =+'，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点．即()30axf x ae =+='有正根，当有()30ax f x ae =+='成立时，显然有0a <，此时13ln()x a a=-．由0x >，得参数a 的范围为3a <-．故选B ． 考点：利用导数研究函数的极值．6．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ） A ．8种 B ．15种C ．53种D ．35种【答案】C 【解析】由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把5封电子邮件投入3个不同的邮箱，共有5333333⨯⨯⨯⨯=种不同的方法，故选C. 7． “ln ln x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】ln ln 0x y x y >⇔>>，0x y x y >>⇒>，x y >⇒0x y >>，∴ “ln ln x y >”是“x y >”的充分不必要条件． 故选：B ．8．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K ≈参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B【解析】解：计算K 2≈8.815>6.869，对照表中数据得出有1.114的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的， 即有1−1.114=8.4%的把握说明两个变量之间有关系， 本题选择B 选项.9．已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =RR ，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．{}2a a ≤ B ．{}1a a < C ．{}2a a ≥ D ．{}2a a >【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求得{}12RB x x x =≤≥或，再由()RAB R =，即可求得a 的范围，得到答案．【详解】由题意，集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，可得{}12RB x x x =≤≥或，又由()RAB R =，所以2a ≥．故选C ． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2 B ．-4C ．2或-4D ．4【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( )A ．1x y z a b c ++=B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c++=，故选A . 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .12．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24 B ．0.26C ．0.288D ．0.292【答案】C 【解析】 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.二、填空题：本题共4小题13．已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。
广东省韶关市2019-2020学年数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对2．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．983．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ） A ．3 B ．32 C ．33 D ．04．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =-C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=- 5．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．32C ．21-D ．31-6．运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．0B ．12C ．-1D ．32- 7．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25- B ．3 C ．3- D ．258．若函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y ＝log a |x|的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．9．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD u u u r +12（BC uuu r -BD u u u r ）等于A ．AD u u u rB ．FA u u u rC ．AF u u u rD ．EF u u u r10．已知函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩若关于x 的方程()()()210f x a f x a ⎡⎤+--=⎣⎦有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A ．()2,1-B ．[]2,4C ．()2,1--D ．(],4-∞11．已知平面向量a r ，b r 的夹角为23π，(0,1)a =-r ，2=r b ，则2a b +=r r （ ） A ．4B ．2C ．22D ．312．设232i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．713- B ．713 C ．713i - D ．713i 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在ABC △中，内角A 、B 、C 满足不等式1119A B C π++≥；在四边形ABCD 中，内角A 、B 、C 、D 满足不等式1111162A B C D π+++≥；在五边形ABCDE 中，内角A 、B 、C 、D 、E 满足不等式11111253A B C D Eπ++++≥.猜想，在n 边形12n A A A L 中，内角12,,,n A A A L 满足不等式12111nA A A +++≥L __________． 14．已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+在点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数a =______.15．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______.16．已知球的半径为R ，A B 、为球面上两点，若A B 、之间的球面距离是3R π，则这两点间的距离等于_________三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，4AB =，32=AD .（1）求sin ADB ∠；（2）若32DC =ABCD 的面积.18．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若1(0)12P X ＝＝，求随机变量X 的分布列与均值. 19．（6分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5；4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球．（I ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（II ）记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列与数学期望．20．（6分）从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同. (Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；(ⅱ)求抽到红球次数η的数学期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列.21．（6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.22．（8分）二次函数2()f x ax bx c =++满足11()()44f x f x -+=--,且()2f x x <解集为3(1,)2- （1）求()f x 的解析式；（2）设()()g x f x mx =-()m R ∈,若()g x 在[1,2]x ∈-上的最小值为4-,求m 的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】试题分析：在正方体''''ABCD A B C D -中，与上平面''''A B C D 中一条对角线''A C 成60o 的直线有''BC B C ，，','A D AD ，','A B AB ，','D C DC 共八对直线，与上平面''''A B C D 中另一条对角线60o 的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有166⨯对直线，去掉重复，则有166=482⨯对.故选C.考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.2．A【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.故选A3．B【解析】【分析】利用函数的定义即可得到结果.【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=2，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ， 故选B ．【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).4．D【解析】【分析】对A ，B ，C ，D 四个选项逐个进行二次求导，判断其在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的符号即可得选项. 【详解】若()sin cos f x x x =+，则()sin cos f x x x ''=--， 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()ln 2f x x x =-，则21()f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若3()21f x x x =-+-，则()6f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()x f x xe -=-，则()2(2)x x x f x e xe x e ''---=-=-.在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''>，故选D. 【点睛】 本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．5．A【解析】【分析】利用点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点()0,A c ，且A 在椭圆上，得b c =，即得椭圆C 的离心率；【详解】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===． 故选A ．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．6．B【解析】 由题设中提供的算法流程图可知22017cos cos cos 333S πππ=++⋅⋅⋅+，由于()cos 3f x x π=的周期是263T ππ==，而201763361=⨯+，所以220171cos cos cos cos 33332S ππππ=++⋅⋅⋅+==，应选答案B ．7．D【解析】【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】 由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a ++=+=+ 221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．A【解析】由函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，得0<a<1.y ＝log a |x|在()0,∞+上为单调递减，排除B,C,D又因为y ＝log a |x|为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故A 正确.故选A.9．C【解析】【分析】由向量的线性运算的法则计算．【详解】BC uuu r -BD u u u r ＝DC u u u r ，11()22BC BD DC DF -==u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AD u u u r +12（BC uuu r -BD u u u r ）AD DF AF =+=u u u r u u u r u u u r ． 故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．10．C【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f （x ）的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围．详解：函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图：关于f 2（x ）+（a ﹣1）f （x ）﹣a=0有7个不等的实数根，即[f （x ）+a][f （x ）﹣1]=0有7个不等的实数根，f （x ）=1有3个不等的实数根，∴f （x ）=﹣a 必须有4个不相等的实数根，由函数f （x ）图象可知﹣a ∈（1，2），∴a ∈（﹣2，﹣1）．故选：C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．11．B【解析】【分析】 将2a b +r r 两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意2a b +==r r 2===.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.12．B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得z ，进而可得z 的虚部.【详解】∵()()()()2322473232321313i i i z i i i i ---===-++-， ∴413713z i =+， ∴z 的虚部是713，故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数的概念，属于基础题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．2n n (-2)π【解析】【分析】观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案。
广东省韶关市2019-2020年度数学高二上学期理数期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共25分)1. （2分）某单位有老年人28 人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为36样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）A . 6， 12 ，18B . 7，11，19C . 6，13，17D . 7，12，172. （2分） (2017高二下·和平期末) 在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C （3，4），D（4，5），则y与x之间的线性回归方程为（）A . =x﹣1B . =x+2C . =2x+1D . =x+13. （2分）如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方法有（）A . 11种B . 20种C . 21种D . 12种4. （2分） (2017高二上·阳高月考) 已知一组数据的平均数是2,标准差是1,则另一组数据的平均数和标准差分别为（）A . 5,B . 2, 2C . 5, 2D . 2,5. （2分） (2017高二下·芮城期末) 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则的系数为（）A . 135B . 405C . 15D . 456. （2分） (2018高二下·滦南期末) 已知随机变量服从二项分布，则（）A .B .C .D .7. （2分）将5,6,7,8四个数填入中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为（）A . 24B . 18C . 12D . 68. （2分） (2019高一下·砀山月考) 如图所示，椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，落在椭圆内的黄豆数为204粒，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为（）A . 7.68B . 8.68C . 16.32D . 17.329. （2分） (2017高二下·张家口期末) 已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）设随机变量X的概率分布列为，则a的值为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·运城模拟) 已知（a+x+x2）（1﹣x）4的展开式中含x3项的系数为﹣10，则a=（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2019高二下·泗县月考) 设是随机变量，且，则（）A . 0.4B . 0.8C . 4D . 2013. （1分） (2018高二上·东台月考) 从编号为0，1，2…，49的50件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5分样本，若编号为27的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．二、填空题 (共3题；共3分)14. （1分）（1﹣2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6 ，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________．15. （1分） (2017高二下·桂林期末) 已知，则P（AB）=________．16. （1分）已知方程是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体（160，53）的残差是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2018高二下·晋江期末) 设事件A表示“关于的一元二次方程有实根”，其中，为实常数.（Ⅰ）若为区间[0，5]上的整数值随机数，为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若为区间[0，5]上的均匀随机数，为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率.18. （10分） (2018高二下·枣庄期末) 在的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含x2的项．19. （10分）(2018高二上·吉林期末)（1）计算: ；（2）解不等式:20. （10分） (2018高二上·吉林期末) 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 .（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列.21. （15分） (2018高二上·吉林期末) 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理” 的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的.（1）求甲、乙两人都选择社区医院的概率；（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设在4名参加保险人员中选择社区医院的人数为，求的分布列和数学期望及方差.22. （5分）某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（Ⅰ）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附：K2=（此公式也可写成x2=）参考答案一、单选题 (共13题；共25分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共3题；共3分)14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、第11 页共11 页。
2019-2020学年广东省韶关市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为正整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2 }B．{1}C．{0，1，2}D．{1，2 }2．设复数z满足（1+i）z＝4i，则|z|＝（）A．B．2C．2D．3．命题“对任意x∈R，都有x2﹣x＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2﹣x≤0B．存在x0∈R，使得x02﹣x0≤0C．存在x0∈R，使得x02﹣x0＞0D．不存在x0∈R，使得x02﹣x0≤04．若将一个骰子随机掷两次，设前后两次得到的点数分别为x，y，则事件|x﹣y|＝1的概率为（）A．B．C．D．5．已知平面向量与均为单位向量，且|﹣|＝，则与的夹角为（）A．60°B．120°C．30°D．150°6．若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．57．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S13＝52，数列{b n}为等比数列，且b7＝a7，则b1•b13＝（）A．16B．8C．4D．29．若a，b，c满足a＝2，b＝5，c＝ln，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a10．抛物线y2＝8x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点Q作斜率为k（k＜0）的直线交抛物线于A、B两点，若|BF|＝2|AF|，则k的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E 是棱PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，则有（）A．异面直线PA与BD所成角大小为B．平面PAC⊥平面PBDC．PB⊥平面EFDD．BD⊥ED12．已知函数f（x）＝2sin x|cos x|，下列说法正确的是（）A．f（x）是周期函数B．f（x）在区间[0，]上是增函数C．函数g（x）＝f（x）+1在区间[0，2π]上有且仅有3个零点D．若|f（x1）|+|f（x2）|＝2，则x1+x2＝+（k∈Z）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．tan750°＝．14．（x+）6的展开式中的常数项为．15．直线y＝x+b被圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4截得的弦长的最大值是；若该圆上到此直线y＝x+b的距离等于1的点有且仅有4个，则b的取值范围是．16．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．如图，在“鳖臑”A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD＝1，点P在侧棱AC上运动，当△PBD的面积最小时，三棱锥P﹣BCD的外接球表面积为．四、解答题：本大题共6题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos B＝2a﹣b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，b﹣a＝1，求△ABC的面积．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝3，S6＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝4，AB＝2，E、M、N分别是BC、BB1、A1D的中点．（1）证明：MN∥平面CDE；（2）求点C到平面C1DE的距离；（3）设P为边AB上的一点，当直线PN与平面A1ADD1所成角的正切值为时，求二面角N﹣A1P﹣M的余弦值．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点与右焦点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过点P（0，3）且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．21．某地的一个黄金楼盘售楼中心统计了2020年1月到5月来本楼盘看楼的人数，得到如下的相关数据．其中“x＝1“表示1月份，“x＝2”表示2月份，依此类推；y表示人数）：x12345 y（百人）2050100150180（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测几月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人；（2）该楼盘为了吸引购楼者，特别推出“玩掷硬币游戏，送购楼券”活动，购楼者可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则购楼者可获得购楼券5000元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则购楼者可获得购楼券2000元，已知抛掷一枚均匀的硬币，出现正面（印有中国人民银行）朝上与反面朝上的概率是相等的，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格．遥控车开始在第0格，购楼者每抛掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若正面朝上，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若反面朝上，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n（1≤n≤19）格的概率为P n，试证明{P n﹣P n﹣}是等比数列，并求购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率．附：线性回归方程＝x+中的斜率与截距：，＝﹣．22．已知函数f（x）＝a（x2﹣x）+ln（x+1）（其中a∈R）．（1）当a＝0时，求函数f（x）在坐标原点处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点个数，并说明理由．参考答案一、单项选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为正整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2 }B．{1}C．{0，1，2}D．{1，2 }解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣4≤x≤2}，集合B为正整数集，故选：D．2．设复数z满足（1+i）z＝4i，则|z|＝（）A．B．2C．2D．解：由（1﹣i）z＝4i，得z＝＝＝﹣2+2i，故选：D．3．命题“对任意x∈R，都有x2﹣x＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2﹣x≤0B．存在x0∈R，使得x02﹣x0≤0C．存在x0∈R，使得x02﹣x0＞0D．不存在x0∈R，使得x02﹣x0≤0解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈R，x02﹣x0≤0，故选：B．4．若将一个骰子随机掷两次，设前后两次得到的点数分别为x，y，则事件|x﹣y|＝1的概率为（）A．B．C．D．解：若将一个骰子随机掷两次，设前后两次得到的点数分别为x，y，基本事件总数n＝6×6＝36，（1，2），（5，1），（2，3），（3，2），（5，4），（4，3），（4，5），（2，4），（5，6），（6，5），故选：A．5．已知平面向量与均为单位向量，且|﹣|＝，则与的夹角为（）A．60°B．120°C．30°D．150°解：∵，∴，∴，且，故选：B．6．若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．5解：∵双曲线﹣＝1（a＞4，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，∴，∴e＝＝＝3．故选：B．7．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（2﹣x+2x）ln|﹣x|＝（2x+2﹣x）ln|x|＝f（x），则f（x）是偶函数，排除D，由f（x）＝3得ln|x|＝0得|x|＝1，即x＝1或x＝﹣1，即f（x）有两个零点，排除C，故选：B．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S13＝52，数列{b n}为等比数列，且b7＝a7，则b1•b13＝（）A．16B．8C．4D．2解：∵{a n}是等差数列，且S13＝52，∴，得a1+a13＝8．∴b7＝a8＝4．故选：A．9．若a，b，c满足a＝2，b＝5，c＝ln，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a解：∵＞50＝1，，∴c＜b＜a．故选：C．10．抛物线y2＝8x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点Q作斜率为k（k＜0）的直线交抛物线于A、B两点，若|BF|＝2|AF|，则k的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣解：抛物线y2＝8x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q（﹣2，4），直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可得k7x2+（4k2﹣8）x+4k2＝5，所以x1x2＝4，解得x1＝4或x1＝﹣2（舍去），所以A（1，﹣5），故选：A．二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E 是棱PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，则有（）A．异面直线PA与BD所成角大小为B．平面PAC⊥平面PBDC．PB⊥平面EFDD．BD⊥ED解：如图，连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，∴∠EOC是异面直线PA与BD所成角，∴OE＝OC＝EC，∴∠EOC＝，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面ABCD，又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB，故B正确；由底面ABCD是正方形，得BC⊥CD，∵PB⊂平面PBC，∴PB⊥DE，又EF⊥PB，DE∩EF＝E，由DE⊥平面PBC，知DE⊥EB，故D错误．故选：ABC．12．已知函数f（x）＝2sin x|cos x|，下列说法正确的是（）A．f（x）是周期函数B．f（x）在区间[0，]上是增函数C．函数g（x）＝f（x）+1在区间[0，2π]上有且仅有3个零点D．若|f（x1）|+|f（x2）|＝2，则x1+x2＝+（k∈Z）解：f（x）＝2sin x|cos x|＝，因为f（x+2π）＝2sin（x+2π）|cos（x+2π）|＝7sin x|cos x|f（x），又当x∈[0，]，cos x≥0，f（x）＝2sin7x，易知f（x）＝2sin2x在[0，]不是增函数，B不正确；∴g（x）＝f（x）+8在[0，2π]有且仅有2个零点，故C不正确；则x1＝+（k1∈Z），x2＝+（k2∈Z），故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．tan750°＝．解：tan750°＝tan（30°+720°）＝tan30°＝，故答案为．14．（x+）6的展开式中的常数项为15．解：展开式的通项为T r+1＝＝，令8﹣r＝0得r＝4，故答案为：1515．直线y＝x+b被圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4截得的弦长的最大值是4；若该圆上到此直线y＝x+b的距离等于1的点有且仅有4个，则b的取值范围是．解：①设圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心为C（1，1），半径r＝2，当直线y＝x+b过圆（x﹣2）2+（y﹣1）7＝4的圆心C（1，1）时，即当b＝0时，此时直线截圆得到的弦为直径，②若该圆上到此直线y＝x+b的距离等于1的点有且仅有2个，则d＜1，即，解得，16．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．如图，在“鳖臑”A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD＝1，点P在侧棱AC上运动，当△PBD的面积最小时，三棱锥P﹣BCD的外接球表面积为．解：因为AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，不妨设AB＝BD＝CD＝1，过点P作PO⊥BC于点O，ON⊥BD于点N，连接PN，则PN⊥BD，AC＝所以PN═＝＝，当x＝时，S△PBD最小，此时P为AC中点，PO＝，故答案为：．四、解答题：本大题共6题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos B＝2a﹣b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，b﹣a＝1，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）在△ABC中，由2c cos B＝2a﹣b和余弦定理可得，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴，（Ⅱ）∵，，∴由余弦定理可得a2+b2﹣ab＝3，∴a＝6，b＝2，，∴△ABC的面积S＝ab sin C＝18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝3，S6＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1，且a2＝3，S6＝36．所以，解得，（2）由（3）得：则＝．19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝4，AB＝2，E、M、N分别是BC、BB1、A1D的中点．（1）证明：MN∥平面CDE；（2）求点C到平面C1DE的距离；（3）设P为边AB上的一点，当直线PN与平面A1ADD1所成角的正切值为时，求二面角N﹣A1P﹣M的余弦值．解：（1）证明：连结B1C，∵M，E分别为BB1，BC的中点，∴ME∥BC1，且ME＝，由题设知A7B1∥DC，且A1B1＝DC，可得B1C∥A1D，且B3C＝A1D，又MN⊄平面EDC1，∴MN∥平面C1DE．在Rt△C1D1D中，＝2，可得等腰三角形C1DE中，底边上的高为3，设点C到平面C1DE的距离为h，∴由，得，解得h＝．（3）解：∵AP⊥平面A1ADD1，∴∠ANP为直线PN与平面A1ADD1所成角，取AA3中点Q，连结NQ，过点Q作QH⊥A1P，交A1P于点H，连结NH，由题意得△A1AD∽△A1NQ，∴，∴，∵二面角N﹣A1P﹣A与二面角N﹣A1P﹣M互补，∴二面角N﹣A1P﹣M的余弦值为﹣．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点与右焦点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过点P（0，3）且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．解：（1）由题意可得a＝＝2，e＝＝，而b＝，解得：a＝2，b ＝，所以椭圆的方程为：+＝1；联立直线l与椭圆的方程：，整理可得：（5+2k2）y2﹣6y+9﹣4k2＝0，则△＝36﹣3（1+2k2）（4﹣4k2）＞0，可得：k2＞，设直线l与x轴交于C点，则C（﹣，0），所以S△AOB＝|OC|•|y1﹣y2|＝＝•，设t＝＞0，当且仅当t＝，即t＝3时取等号，即k＝±2时，符合△＞0，则△OAB面积的最大值为．21．某地的一个黄金楼盘售楼中心统计了2020年1月到5月来本楼盘看楼的人数，得到如下的相关数据．其中“x＝1“表示1月份，“x＝2”表示2月份，依此类推；y表示人数）：x12345 y（百人）2050100150180（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测几月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人；（2）该楼盘为了吸引购楼者，特别推出“玩掷硬币游戏，送购楼券”活动，购楼者可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则购楼者可获得购楼券5000元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则购楼者可获得购楼券2000元，已知抛掷一枚均匀的硬币，出现正面（印有中国人民银行）朝上与反面朝上的概率是相等的，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格．遥控车开始在第0格，购楼者每抛掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若正面朝上，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若反面朝上，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n（1≤n≤19）格的概率为P n，试证明{P n﹣P n﹣}是等比数列，并求购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率．附：线性回归方程＝x+中的斜率与截距：，＝﹣．解：（1），．，故，从而．令42x﹣26＞300，x∈N*，解得x≥8．（2）遥控车开始在7格为必然事件，P0＝1，遥控车移到第n（6≤n≤19）格是下列两种，而且也只有两种．①遥控车先到第n﹣1格，又掷出正面朝上，其概率为，②遥控车先到第n﹣6格，又掷出反面朝上，其概率为P n﹣2，∴当1≤n≤19时，数列{P n﹣P n﹣8}是公比为﹣的等比数列，以上各式相加，得＝，∴获胜的概率，∴购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率为≈0.6667．22．已知函数f（x）＝a（x2﹣x）+ln（x+1）（其中a∈R）．（1）当a＝0时，求函数f（x）在坐标原点处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点个数，并说明理由．【解答】解（1）由题意可知，x＞﹣1，当a＝0时，f（x）＝ln（x+1），f′（x）＝故函数f（x）在坐标原点处的切线方程为y＝x即x﹣y＝0，令g（x）＝2ax2+ax﹣a+1，x＞﹣1，①a＝0时，g（x）＝1＞2，此时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）单调递增，没有极值点，②a＞0时，△＝a4﹣8a（1﹣a）＝a（9a﹣8），（ii）△＞0即a时，设方程2ax2+ax﹣a+5＝0的两根为x1，x2，（x1＜x2），当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＞3，函数单调递增，当x∈（x2，+∞），g（x）＞0，此时f′（x）＞0，函数单调递增增，③当a＜0时，△＞0，由g（﹣6）＝1＞0可得，得，当x∈（x2，+∞），g（x）＜0，此时f′（x）＜0，函数单调递增减，综上，当a＜0时，函数有唯一的极值点，当a＞时，函数有2个极值点．。
广东省韶关市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A{x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}则A∩B=（）A . {x|﹣1＜x＜2}B . {x|x＞﹣1}C . {x﹣1＜x＜1}D . {x|1＜x＜2}2. （2分）(2012·浙江理) 已知i是虚数单位，则 =（）A . 1﹣2iB . 2﹣iC . 2+iD . 1+2i3. （2分） (2015高二上·承德期末) “﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x＜8”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） p：|x|＞2是q：x＜﹣2的（）条件A . 充分必要B . 充分不必要C . 必要不充分D . 既不充分也不必要5. （2分）设F为抛物线 y2=4x的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若，则的值为A . 3B . 4C . 6D . 96. （2分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ， yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（）A . y与x具有正的线性相关关系B . 回归直线过样本点的中心C . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kgD . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg7. （2分）函数f（x）=（x﹣a）ex在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，3]∪[4，+∞）B . [3，4]C . （﹣∞，3]D . [4，+∞）8. （2分）由曲线y＝x2 ， y＝x3围成的封闭图形面积为（）A .B .C .D .9. （2分） 5个人排成一排，其中甲在中间的排法种数有（）A . 5B . 120C . 24D . 410. （2分）已知，分别为双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·宜春期中) （x+2）6的展开式中x3的系数是（）A . 20B . 40C . 80D . 16012. （2分） (2016高二上·绥化期中) 已知双曲线的一条渐近线方程是，它与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·中山模拟) （﹣）9的二项式展开式中常数项的二项式系数为________（用符号或数字作答）．14. （1分）某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有________ 种（以数字作答）．15. （1分）命题“∀x∈R，sinx≠x﹣1”的否定是________．16. （1分）已知直线2x+y+c=0与曲线有两个公共点，则c的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）已知集合A={x|a﹣4≤x≤a}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）当a=0时，试求A∩B，A∪B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18. （5分） (2017高三上·张掖期末) 已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值﹣e﹣2 ．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值．19. （10分） (2016高二下·泰州期中) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2，=λ．（1）若λ=1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．20. （5分） (2017高三下·淄博开学考) 寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”．（Ⅰ）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．21. （10分） (2017高二上·广东月考) 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．22. （10分）已知曲线C1的参数方程式（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．23. （10分） (2019高一上·琼海期中) 已知函数（1）在下方坐标系中画出函数图象；（2）求关于的不等式的解集.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
1. 已知集合6,2,0,4,2,1B A ，则B A _________。
2. 如果复数mi i 11是实数，则实数m _________。
3. 已知2053cos x x ，则x 2sin 的值为_________。
4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5y x 上的概率为_________。
5. 已知函数0,log 0,22xx x x x f ，则2f f 的值为_________。
6. 执行下边的程序框图，若4p ，则输出的S _________。
7. 直线b x y平分圆082822y x y x 的周长，则b __________。
8. 等比数列n a 的各项均为正数，31a ，前三项的和为21，则654a a a __________。
9. 已知实数y x,满足2211y x y x xy ，若y x z 3在y x,处取得最小值，则此时y x,__________。
10. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b b a ab 2，则满足x ⊙02x 的实数x 的取值范围是__________。
11. 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，D 为斜边BC 的中点，则AD AB 的值为__________。
12. 已知函数2,0,6sin 2x x x f ，则该函数的值域为__________。
13. 把数列n 21的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k 行有12k 个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为s k,，则20121可记为__________。
14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点y x P ,的纵坐标与横坐标的函数关系式是x f y ，x f y 在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积记为S ，则S=__________。
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案一、选择题（共12小题，共60分） 1．设，则下列不等式一定成立的是（ ） (A) (B) (C) (D)2．已知实数x ，y 满足，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、03．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.或4．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2975．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 7．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知变量x,y 满足约束条件 则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．(3,6] 9．当时，的最小值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 10．已知实数满足，则目标函数的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( )A ．1B ．C ．D ．2 12．已知数列是公比为2的等比数列，若，则= ( )A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13．已知向量，若⊥，则16x +4y 的最小值为 ．14．在锐角中,，三角形的面积等于，则的长为___________. 15．已知数列中，，，则=___________. 16．不等式的解是___________. 三、解答题（8小题，共70分）17．已知等比数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 4=a 6． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列b n =，求该数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知数列的各项均为正数，是数列的前n 项和，且． （1）求数列的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．19．在中，已知内角，边.设内角,面积为. (1)若，求边的长； (2)求的最大值. 20．等差数列中，，（），是数列的前n 项和. （1）求；（2）设数列满足（），求的前项和．21．已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足，． （1）求；（2）求的面积．22．已知函数，且的解集为． （1）求的值；（2）若，且，求证：． 23．已知数列满足首项为，，．设，数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 24．已知正实数、、满足条件， （1）求证：；（2）若，求的最大值．参考答案 1．D 【解析】试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D ，事实上由于函数是增函数，故是正确的． 考点：不等式的性质． 2．B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8考点：线性规划. 3．D【解析】根据0220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，自直线经过原点起，向上平移，当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 4．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.5．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 6．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.7．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 8．A 【解析】试题分析：画出可行域，可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（），（）则可知k ＝的范围是. 考点：线性规划，斜率. 9．D 【解析】试题分析：因为所以＝16.考点：基本不等式的应用.10．C【解析】试题分析：作出可行域如图：再作出目标函数线，并平移使之经过可行域，当目标函数线过点时纵截距最小但最大，此时.故C正确.考点：线性规划问题.11．A【解析】试题分析：由正弦定理得，即。
