高考数学二轮复习不等式选讲理选修4复习题及答案解析

不等式选讲 选修4-51．已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.2．设函数()241f x x =-+. (1)画出函数()y f x =的图象；(2)若不等式()f x a x ≤的解集非空，求a 的取值范围.3．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 4．已知函数()2123f x x x =++-，（Ⅰ）若关于x 的不等式()13f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于t 的一次二次方程()20t f m -=有实根，求实数m 的取值范围． 5．选修4—5:不等式选讲已知函数ƒ(x)=|2x -a|+ |x -1|.（Ⅰ）当a=3时,求不等式ƒ(x)≥2的解集；(Ⅱ)若ƒ(x)≥5-x 对V.r6 R 恒成立,求实数a 的取值范围. 6．已知函数()()12f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤;（2）若关于x 的不等式()[]230,1f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。

7．已知m ，n ∈R ＋，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |. (1)当m ＝n ＝1时，求f (x )的最小值； (2)若f (x )的最小值为2，求证122m n +≥.8．选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.9．已知函数()312f x x x =-+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）设实数,a b 满足222a b m +=，证明： 2a b +≤10．设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()24f x k k ≥--恒成立，求实数k 的取值范围. 11．(导学号：05856266)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；(Ⅱ)若∃x 0∈R，使得f ()0x ＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围． 12．设函数()3f x x =+， ()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若()()24f x g x a x +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围. 13．已知函数()2321f x x x =+-- (1)求不等式()2f x <的解集；(2)若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围. 14．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 15．设函数()2f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式；(Ⅱ)如果当x R ∈时， ()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案1．(1)；(2).【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式即关于的不等式恒成立，利用绝对值不等式，得，进而求解实数的取值范围.试题解析：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以， 解得或，解得或.所以的取值范围是.2．（1）见解析（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x a x ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围．试题解析： (1)由于()25,2{23,2x x f x x x -+<=-≥，则()y fx =的图象如图所示：(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，故不等式()f x a x ≤的解集非空时， a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.3．（1）{|12}x x -≤≤；（2）()(),35,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为{}|12x x -≤≤.(2)由绝对值三角不等式的性质可得()4f x ≥，结合集合关系可得关于实数a 的不等式14,a ->求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.试题解析：(1)原不等式等价于()()3{221236x x x >++-≤或()()13{2221236x x x -≤≤+--≤或()()1{ 221236x x x <--+--≤，解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.∴原不等式的解集为{}|12x x -≤≤. (2)()()()212321234fx x x x x =++-≥+--=，14,3a a ∴->∴<-或5a >，∴实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．（Ⅰ）51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）35{|}22m m -≤≤． 【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为4，据此可得134a -<，则实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)方程的判别式()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，零点分段可得实数m 的取值范围是35{|}22m m -≤≤．试题解析： （Ⅰ）因为()2123f x x x =++-≥()()21234x x +--=，所以134a-<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，所以不等式等价于()()3{221238m mm >++-≤或13{2221238m m m -≤≤+-+≤或()()1{221238m m m <--+--≤，所以3522m <≤，或1322m -≤≤，或3122m -≤<-，所以实数m 的取值范围是35{|}22mm -≤≤．5．(Ⅰ){x|x≤32或x≥2}.(Ⅱ)[6，+∞).【解析】试题分析：(Ⅰ) 3a =时，即求解2312x x -+-≥，分33,1,122x x x ≥<<≤三种情况，分别去掉绝对值得不等式的解集即可；(Ⅱ)根据题设条件得251x a x x -≥---恒成立，令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，再根据再根据数形结合可求得a 的范围.试题解析：(Ⅰ)当3a =时,即求不等式2312x x -+-≥的解集. 33,1,122x x x ≥<<≤①当32x ≥时， 2312x x -+-≥，解得2x ≥；②当312x <<时， 3212x x -+-≥，解得0x ≤，此时无解；③当1x ≤时, 3212x x -+-≥，解得23x ≤.综上，原不等式的解集为2{ 3x x ≤或}2x ≥.(Ⅱ)由题设得不等式251x a x x -≥---对x R ∀∈恒成立.令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，作出函数()g x 和2y x a =-的图象(如图所示),则只需满足32a ≥，即6a ≥.故所求实数a 的取值范围是[)6,+∞.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 6．（1）4{|0}3x x -≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时， 22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x --≤≤-∈在上有解，故只需（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论． 试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-；若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ．综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤．（2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得， 又由题意知（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-， 所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-． 7．(1)32. (2)见解析.【解析】试题分析：（1）代入m ＝n ＝1，却掉绝对值，得到分段函数，判定分段函数的单调性，确定函数的最小值；（2）由题意得，函数的最小值为2，得22n m += ，利用基本不等式求解最值，即可证明.试题解析：(1)∵f (x )＝∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x ＝时，f (x )取最小值.(2)∵f (x )＝，∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数， ∴当x ＝时，f (x )取最小值f ()＝m ＋.∵m ，n ∈R，∴＋＝ (＋)(m ＋) ＝ (2＋＋)≥2点晴:本题主要考查了绝含有绝对值的函数的最小值问题及分段函数的图象与性质、基本不等式的应用，属于中档试题，着重考查了分类讨论思想与转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据绝对值的概念合理去掉绝对值号，转化为分段函数，利用分段函数的图象与性质，确定函数的最小值，构造基本不等式的条件，利用基本不等式是解答问题的关键. 【答案】(1) 3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2) 4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 试题解析：（1）当5m =时， ()()()()521{311 521x x f x x x x +<-=-≤≤->，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++， 知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()21{211 21m x x f x m x m x x +<-=--≤≤->，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥. 9．（1）53；（2）见解析【解析】试题分析： ()1写出分段函数，求得()f x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即可求出m 的值； ()2计算()22a b +，利用基本不等式即可得出结论。

选修4—5 不等式选讲真题试做1．(2012·天津高考，文9)集合A ＝{ x ∈R |}|x －2|≤5中的最小整数为__________． 2．(2012·上海高考，文2)若集合A ＝{x |2x －1＞0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩B ＝__________.3．(2012·江西高考，理15(2))在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为__________．4．(2012·课标全国高考，理24)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．5．(2012·辽宁高考，文24)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值； (2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．考向分析该部分主要有三个考点，一是带有绝对值的不等式的求解；二是与绝对值不等式有关的参数范围问题；三是不等式的证明与运用．对于带有绝对值不等式，主要考查形如|x |＜a 或|x |＞a 及|x －a |±|x －b |＜c 或|x －a |±|x －b |＞c 的不等式的解法，考查绝对值的几何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不等式组的方法．试题多以填空题或解答题的形式出现．对于与绝对值不等式有关的参数范围问题，此类问题常与绝对值不等式的解法、函数的值域等问题结合，试题以解答题为主．对于不等式的证明问题，此类问题涉及的知识点多，综合性强，方法灵活，主要考查比较法、综合法等在证明不等式中的应用，试题多以解答题的形式出现．预测在今后高考中，对该部分的考查如果是带有绝对值的不等式，往往在解不等式的同时考查参数的取值范围、函数与方程思想等；如果是不等式的证明与运用，往往就是平均值不等式．试题难度中等．热点例析热点一 绝对值不等式的解法【例１】不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为__________． 规律方法 1．绝对值不等式的解法(1)|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ；|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a ； (2)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 的解法有三种：一是根据绝对值的意义结合数轴直观求解；二是用零点分区间去绝对值，转化为三个不等式组求解；三是构造函数利用函数图象求解．2．绝对值三角不等式(1)|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |； (2)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.变式训练1 不等式|2x －1|＜3的解集为__________． 热点二 与绝对值不等式有关的参数范围问题【例２】不等式|2x ＋1|＋|x ＋a |＋|3x －3|＜5的解集非空，则a 的取值范围为__________．规律方法 解决含参数的绝对值不等式问题，往往有以下两种方法： (1)对参数分类讨论，将其转化为分类函数来处理；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f (x )的最值或值域，再根据题目要求，进一步求解参数的范围．变式训练2 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果关于x 的不等式f (x )≤2有解，求a 的取值范围． 热点三 不等式的证明问题【例２】(1)若|a |＜1，|b |＜1，比较|a ＋b |＋|a －b |与2的大小，并说明理由；(2)设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2.规律方法 证明不等式的基本方法：(1)证明不等式的基本方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．(2)不等式的证明还有一些常用方法：拆项法、添项法、换元法、逆代法、判别式法、函数的单调性法、数形结合法等．其中换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．变式训练3 设f (x )＝x 2－x ＋13，实数a 满足|x －a |＜1，求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )． A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝N D ．不确定2．若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|＜a ，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1) D ．(3,4)3．已知集合A ＝{x ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝__________.4．不等式|2x ＋1|＋|3x －2|≥5的解集是__________． 5．(2012·河北唐山三模，24)设f (x )＝|x －3|＋|x －4|， (1)解不等式f (x )≤2；(2)若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．－3 2．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <13．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤324．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0． 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．5．解：(1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】{x |x ≥1} 解析：原不等式可化为： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈或1≤x ＜2或x ≥2. ∴不等式的解集为{x |x ≥1}． 【变式训练1】{x |－1＜x ＜2}【例2】－3＜a ＜1 解析：不等式|2x ＋1|＋|x ＋a |＋|3x －3|＜5的解集非空，即|2x ＋1|＋|3x －3|＜5－|x ＋a |有解，令f (x )＝|2x ＋1|＋|3x －3|，g (x )＝5－|x ＋a |，画出函数f (x )的图象知当x ＝1时f (x )min ＝3，故g (x )＝g (1)＝5－|1＋a |＞3即可，解得－3＜a ＜1.【变式训练2】解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x ＜－1时，由－2x ≥3，得x ≤－32.当－1≤x ≤1时，f (x )＝2，无解．当x ＞1时，由2x ≥3，得x ≥32.综上可得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2)f (x )＝|x －1|＋|x －a |表示数x 到1的距离与到a 的距离和． 由f (x )≤2有解可得－1≤a ≤3. 故a 的取值范围为[－1,3]．【例3】(1)解：|a ＋b |＋|a －b |＜2.理由：(|a ＋b |＋|a －b |)2－4＝2|a |2＋2|b |2＋2|a 2－b 2|－4＝2(|a |2＋|b |2＋|a 2－b 2|－2)．设|a |2＋|b |2＋|a 2－b 2|＝2t ，其中t ＝max{|a |2，|b |2}，因为|a |＜1，|b |＜1，所以2t ＜2，所以2(|a |2＋|b |2＋|a 2－b 2|－2)＜0. 所以|a ＋b |＋|a －b |＜2.(2)证明：因为|x |＞m ≥|b |且|x |＞m ≥1，所以|x |2＞|b |. 又因为|x |＞m ≥|a |，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2. 故原不等式成立．【变式训练3】证明：∵f (x )＝x 2－x ＋13，∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2＋a | ＝|x －a |·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|. 又∵|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1| ≤|x －a |＋|2a －1|＜1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)， ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)． 创新模拟·预测演练1．B 2．B 3．{x |－2≤x ≤5}4．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫65，＋∞ 5．解：(1)f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x <3，1，3≤x ≤4，2x －7，x >4，作出函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为52和92.由图象知f (x )≤2的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，92. (2)函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线．当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设中的x .由图象易知，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。

不等式选讲(选修4－5)1、答案 (－4,2) 解析 由|x ＋1|<3得－3<x ＋1<3⇒－4<x <2，所以不等式|x ＋1|<3的解集为(－4,2)．2、答案 {x |x ≥1} 解析 当x >2时，(x ＋3)－(x －2)＝5≥3恒成立；当－3≤x ≤2时，x ＋3－(－x ＋2)＝2x ＋1≥3，解得x ≥1，即1≤x ≤2；当x ≤－3时，(－x －3)－(－x ＋2)＝－5≥3不成立，综上可得此不等式的解集为{x |x >2，或1≤x ≤2}＝{x |x ≥1}．3、答案 [3＋22，＋∞) 解析 依题意得1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋⎝⎛⎭⎫2y x ＋x y ≥3＋2 2y x ·x y＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号，因此1x ＋1y的取值范围是[3＋22，＋∞)．4、答案 a ≥3或a ≤－3 解析 由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以只需|a |≥3即可，所以a ≥3或a ≤－3.5、答案 3 解析 令f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，由题意只要求|a －2|＋1≤f (x )恒成立时a 的最大值，而f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪1x ≥2， ∴|a －2|＋1≤2，解得1≤a ≤3，故a 的最大值是3.6、答案 1 解析 ∵x 1－y 2＋y 1－x 2≤(x 2＋1－x 2)(1－y 2＋y 2)＝1，∴最大值为1.7、答案 －4 解析 在同一直角坐标系中分别画出函数y ＝|2x －m |及y ＝|3x ＋6|的图象(如图所示)，由于不等式|2x －m |≤|3x ＋6|恒成立，所以函数y ＝|2x －m |的图象在y ＝|3x ＋6|的图象的下方，因此，函数y ＝|2x －m |的图象也必须经过点(－2，0)，所以m ＝－4.8、答案 5 解析 由柯西不等式得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，即5(m 2＋n 2)≥25，m 2＋n 2≥5，故m 2＋n 2的最小值是 5.9、答案102 8＋510解析 由柯西不等式得(a ＋b ＋4c 2)⎝⎛⎭⎫1＋1＋12＝[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·⎣⎡⎦⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫222≥(a ＋b ＋2c )2， 因此a ＋b ＋2c ≤(a ＋b ＋4c 2)⎝⎛⎭⎫1＋1＋12＝102×a ＋b ＋4c 2＝102， 当且仅当a 1＝b 1＝2c 22＝22c ，即a ＝b ＝22c ，此时a ＝b ＝8c 2， 因此a ＋b ＋4c 2＝8c 2＋8c 2＋4c 2＝20c 2＝1，解得c ＝510，a ＝b ＝25，因此a ＋b ＋c ＝25＋25＋510＝8＋510.。

专题能力训练23 不等式选讲(选修4—5)专题能力训练第56页一、能力突破训练1.已知a>0,b>0,√a +√b =2,求证:(1)a √b +b √a ≤2;(2)2≤a 2+b 2<16.答案：证明(1)∵√a +√b =2,a>0,b>0,∴2≥2√√ab >0,当且仅当a=b=1时等号成立.∴0<√ab ≤1.∴a √b +b √a =√ab(√a +√b )=2√ab ≤2.(2)由a 2+b 2=(a+b )2-2ab ,a+b=(√a +√b )2-2√ab =4-2√ab , ∴a 2+b 2=16-16√ab +4ab-2ab=2ab-16√ab +16=2(ab-8√ab +16)-16=2(√ab -4)2-16=2(4-√ab )2-16, ∵0<√ab ≤1,∴3≤4-√ab <4,∴9≤(4-√ab )2<16,∴18≤2(4-√ab )2<32,∴2≤a 2+b 2<16.2.已知函数f (x )=|x-1|+|x+3|,x ∈R .(1)解不等式f (x )≤5;(2)若不等式t 2+3t>f (x )在x ∈R 上有解,求实数t 的取值范围.解：(1)原不等式等价于{x <-3,-2-2x ≤5或{-3≤x ≤1,4≤5或{x >1,2x +2≤5, 得-72≤x<-3或-3≤x ≤1或1<x ≤32, 因此不等式的解集为[-72,32]. (2)∵f (x )=|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|=4,要使t 2+3t>f (x )在x ∈R 上有解,只需t 2+3t 大于f (x )的最小值, ∴t 2+3t>[f (x )]min =4⇒t 2+3t-4>0⇒t<-4或t>1.3.(2020全国Ⅲ,理23)设a ,b ,c ∈R ,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a ,b ,c }表示a ,b ,c 的最大值,证明:max{a ,b ,c }≥√43.答案:证明(1)由题设可知,a ,b ,c 均不为零, 所以ab+bc+ca=12[(a+b+c )2-(a 2+b 2+c 2)]=-12(a 2+b 2+c 2)<0.(2)不妨设max{a ,b ,c }=a ,因为abc=1,a=-(b+c ),所以a>0,b<0,c<0.由bc ≤(b+c )24,可得abc ≤a 34, 故a ≥√43,所以max{a ,b ,c }≥√43.4.(2020全国Ⅰ,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.解:(1)由题设知f(x)={-x-3,x≤-13,5x-1,-13<x≤1, x+3,x>1.y=f(x)的图象如图所示.(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.y=f(x)的图象与y=f(x+1)的图象的交点坐标为(−76,−116).由图象可知当且仅当x<-76时,y=f(x)的图象在y=f(x+1)的图象上方.故不等式f (x )>f (x+1)的解集为(-∞,-76).5.已知函数f (x )=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f (x )<2的解集.(1)求M ;(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.答案：(1)解f (x )={-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12. 当x ≤-12时,由f (x )<2得-2x<2,解得x>-1;当-12<x<12时,f (x )<2; 当x ≥12时,由f (x )<2得2x<2,解得x<1. 所以f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)证明由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.6.已知a>0,b>0,c>0,函数f (x )=|a-x|+|x+b|+c.(1)当a=b=c=2时,求不等式f (x )<8的解集;(2)若函数f (x )的最小值为1,证明:a 2+b 2+c 2≥13.答案：(1)解当a=b=c=2时,f (x )=|x-2|+|x+2|+2={2-2x ,x ≤-2,6,-2<x <2,2x +2,x ≥2,∴f (x )<8⇔{x ≤-2,2-2x <8或{-2<x <2,6<8或{x ≥2,2x +2<8.∴不等式的解集为{x|-3<x<3}. (2)证明∵a>0,b>0,c>0, ∴f (x )=|a-x|+|x+b|+c ≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c ,当且仅当(a-x )(x+b )≥0等号成立.∵f (x )的最小值为1,∴a+b+c=1,∴(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc=1.∵2ab ≤a 2+b 2,2bc ≤b 2+c 2,2ac ≤a 2+c 2,当且仅当a=b=c 等号成立,∴1=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ≤3(a 2+b 2+c 2).∴a 2+b 2+c 2≥13.7.已知函数f (x )=|2x-1|+|x-a|,a ∈R .(1)当a=3时,解不等式f (x )≤4;(2)若f (x )=|x-1+a|,求x 的取值范围.解：(1)当a=3时,函数f (x )=|2x-1|+|x-3|={3x -4,x ≥3,x +2,12<x <3,4-3x ,x ≤12,如图,由于直线y=4和函数f (x )的图象交于点(0,4),(2,4), 故不等式f (x )≤4的解集为(0,2).(2)由f (x )=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a )|=|x-1+a|,当且仅当(2x-1)(x-a )≤0时取等号,故有(2x-1)(x-a )≤0.当a=12时,可得x=12,故x 的取值范围为{12};当a>12时,可得12≤x ≤a ,故x 的取值范围为[12,a];当a<12时,可得a ≤x ≤12,故x 的取值范围为[a ,12]. 二、思维提升训练8.(2019全国Ⅲ,理23)设x ,y ,z ∈R ,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥13成立,证明:a ≤-3或a ≥-1. 答案：(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)·(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43. (2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)·(z-a )+(z-a )(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+a )23, 当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+a )23. 由题设知(2+a )23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.9.已知函数f (x )=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f (x )≤-12;(2)若存在实数a ,使得不等式f (x )≥a 成立,求实数a 的取值范围.解：(1)∵a=2,∴f (x )=|x-3|-|x-2|={1,x ≤2,5-2x ,2<x <3,-1,x ≥3,∴f (x )≤-12等价于{x ≤2,1≤-12或{5-2x ≤-12,2<x <3或{x ≥3,-1≤-12.解得114≤x<3或x ≥3,∴不等式的解集为{x |x ≥114}.(2)由不等式性质可知f (x )=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a )|=|a-3|, ∴若存在实数x ,使得不等式f (x )≥a 成立,则|a-3|≥a ,解得a ≤32.∴实数a 的取值范围是(-∞,32].10.已知函数f (x )=x 2+|x-2|.(1)解不等式f (x )≤2|x|;(2)若f (x )≥a 2+4b 2+5c 2-14对任意x ∈R 恒成立,证明:ac+4bc ≤1. 答案：(1)解由f (x )≤2|x|,得x 2+|x-2|≤2|x|,即{x <0,x 2+2-x ≤-2x 或{0≤x ≤2,x 2+2-x ≤2x或{x >2,x 2+x -2≤2x , 解得x ∈⌀或1≤x ≤2或x ∈⌀,故不等式f (x )≤2|x|的解集为[1,2].(2)证明f (x )≥a 2+4b 2+5c 2-14对任意x ∈R 恒成立,即f (x )+14≥a 2+4b 2+5c 2对任意x ∈R 恒成立. 当x ≥2时,f (x )+14=x 2+x-2+14≥22+2-2+14=174; 当x<2时,f (x )+14=x 2-x+2+14=(x -12)2+2≥2,所以f (x )+14的最小值为2,即a 2+4b 2+5c 2≤2. 又a 2+4b 2+5c 2=a 2+c 2+4b 2+4c 2≥2ac+8bc ,所以2ac+8bc ≤2, 即ac+4bc ≤1(当且仅当a=b=c 时,等号成立)。

专项加强练 ( 三)选修4－5：不等式选讲(理独) 题型一含绝对值不等式1．解不等式：| x－ 2| ＋x| x＋ 2| ＞2.解：当x≤－2时，不等式化为(2 －x) ＋x( －x－ 2) ＞ 2，即－x2－ 3x>0，解得－ 3＜x≤－2；当－ 2＜x＜ 2 时，不等式化为(2 －x) ＋x( x＋ 2) ＞ 2，2即 x ＋ x>0，解得－2＜ x＜－1或0＜x＜2；当 x≥2时，不等式化为( x－2)＋x( x＋2)＞2，即 x2＋3x－4>0，解得 x≥2.因此原不等式的解集为{ x| － 3＜x＜－ 1 或x＞ 0} ．2．解不等式：| x＋ 2| － | x－ 1| ≤1.解：令 f ( x)＝| x＋2|－| x－1|.当 x≤－2时， f ( x)＝－( x＋2)－(1－ x)＝－3，此时 f ( x)＝| x＋2|－| x－1|≤1恒建立；当－ 2<x<1 时，f ( x) ＝ ( x＋ 2) － (1 －x) ＝ 2x＋1，令 f ( x)≤1，即2x＋1≤1，解得 x≤0，因为－2<x<1，则有－2<x≤0；当x≥1时， f ( x)＝( x＋2)－( x－1)＝3，此时 f ( x)≤1不建立．综上所述，不等式 | x＋ 2| － | x－1| ≤1的解集为 ( －∞， 0] ．1 13．已知x，y∈R，且 | x＋y| ≤6， | x－y| ≤4，求证： | x＋ 5y| ≤1.证明：因为 | x＋5y| ＝ |3( x＋y) －2( x－y)|.由绝对值不等式性质，得1 | x＋ 5y| ＝ |3( x＋y) － 2( x－y)| ≤|3( x＋y)| ＋ |2( x－y)| ＝ 3| x＋y| ＋ 2| x－y| ≤3×6＋2×1＝ 1.4即 | x＋5y| ≤1.[ 临门一脚 ]1．形如 | x＋a| ±|x－b| ≥c( ≤c) 不等式的解法常用零点分段议论法，其步骤为：(1)求零点； (2) 区分区间、去绝对值号；(3) 分别解去掉绝对值的不等式；(4) 取每个结果的并集，特别注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．绝对值不等式也可用| x－a1| ±|x－a2| 的几何意义求解集．3．应用绝对值不等式|| a| －| b|| ≤|a±b| ≤|a| ＋ | b| 求最值，必定要写出等号建立的条件．1．已知 a ， b 是正数，求证： a 2＋ 4b 2＋ab 1≥4. 证明：因为 a ，b 是正数，因此 a 2＋4b 2≥4ab .221 11因此 a ＋4b ＋ ab ≥4ab ＋ ab ≥24ab ·ab ＝ 4，1当且仅当 a ＝ 2b ，且 ab ＝ 2时取等号．221即 a ＋ 4b ＋ ab ≥4.2．已知， ， 均为正数，求证：a 2b 2c 21 1 12≥6 3. ＋ ＋＋ ＋ ＋ab ca b c证明：法一：因为a 2＋ b 2＋ c 2≥3( abc )a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得2 1 1 1 1， ＋ ＋ ≥3( abc ) － ，3 a b c 31 1 12 ≥9( abc ) 2因此 a ＋ b ＋ c －3.22 21 1 122 2故 a ＋ b ＋c ＋ a ＋ b ＋ c ≥3( abc ) 3 ＋ 9( abc ) － 3， 2 2又 3( abc ) 3＋ 9( abc ) － 3≥2 27＝ 6 3，因此原不等式建立．法二：因为 a ，b ，c 均为正数， 由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋ c 2≥2bc ，c 2＋ a 2≥2ca ，2221 1 1 1 1 12 2 21 1 1因此 a ＋ b ＋ c ≥ ab ＋ bc ＋ ca . 同理 a 2＋ b 2＋ c 2≥ ab ＋ bc ＋ ca . 因此 a ＋ b ＋ c ＋ a ＋ b ＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ca ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ≥6 3，当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 43时取等号．因此原不等式建立．ab bc ca[ 临门一脚 ]1．基本不等式应用于证明重点是和积转变，因此进行证明前必定要察看不等式两边式子构造的特色系数、方次．2．要依据条件特色选择使用三元仍是两元的基本不等式，等号建立条件必定要写．3．多次使用基本不等式时要关注多个等号建立条件能否能够同时建立．题型三 柯西不等式的应用1．求函数 y ＝ 3sin x ＋ 2 2＋ 2cos 2 x 的最大值．解： y ＝ 3sin x ＋ 2 2＋ 2cos 2 x ＝ 3sin x ＋4 cos 2 x ，由柯西不等式得22当且仅当 4sin x ＝ 3|cos x | ，即 sinx ＝ 3， |cos x | ＝ 4时等号建立，因此 y max ＝ 5.55因此函数 y ＝ 3sin x ＋ 2 2＋ 2cos 2 x 的最大值为 5.2．已知 a ， b ，c ∈ R, 4a 2＋ b 2 ＋2c 2＝ 4，求 2a ＋ b ＋ c 的最大值．解：由柯西不等式，得2 2 2 2 212≥(2 a ＋ b ＋ c ) 2. [(2 a ) ＋ b ＋ ( 2c ) ] ·1＋1＋2因为 4a 2＋ b 2＋ 2c 2＝ 4，因此 (2 a ＋ b ＋ c ) 2≤10. 因此－ 10≤2 ＋ ＋ ≤ 10，a b c1021010因此 2a ＋ b ＋ c 的最大值为10，当且仅当 a ＝ 5， b ＝ 5 ， c ＝ 5 时等号建立．1 1 13．设 x ， y ， z 均为正实数，且 xyz ＝ 1，求证： x 3y ＋ y 3z ＋ z 3x ≥ xy ＋ yz ＋ zx . 证明：∵ x ， y ，z 均为正实数，且 xyz ＝ 1，111 z x y∴ x 3y ＋y 3z ＋ z 3x ＝x 2＋ y 2＋ z 2，z x y( xy ＋ yz ＋ zx ) ≥xyzxyz xyz 2∴ 由 柯 西 不 等 式 可 得 x 2＋ y 2＋ z2x＋ y＋z＝xyz xyz xyz 22＋＋z＝ ( xy ＋ yz ＋ zx ) .x y111∴ x 3y ＋y 3z ＋ z 3x ≥ xy ＋ yz ＋ zx .4．设 a 1， a 2， a 3 均为正数，且9求证： 1＋11≥1. a 1＋ a 2＋ a 3＝ .＋3＋21＋ 22＋ 31a aa aa a证明：法一：因为1＋ 1 ＋1 [( a 1 ＋ a 2) ＋ ( a2 ＋ a 3) ＋ ( a3 ＋a ＋ a a ＋ a a ＋ a2 112 333111a 1)]≥3a 1＋ a 2·a 2＋ a 3·a 3＋ a 1·33 a 1＋a 2 a 2＋ a 3 a 3＋ a 1 ＝9，当且仅当 a 1＝ a 2＝ a 3 时等号建立．9又 a 1＋ a 2＋a 3＝ .2因此1＋ 1＋19·2× ≥9，a 1＋a 2a 2＋ a 3 a 3＋ a 12因此 1 ＋1＋1≥1.1 ＋2 a2＋a3＋31aa aa法二：由柯西不等式得 111111＋＋a 3 ·9＝＋＋[( a 1＋ a 2)a 1＋ a 2 a 2＋ a 3 ＋ a 1 a 1＋ a 2 a 2＋ a 3 a 3＋ a 1＋ (a 2＋a 3)＋(a3＋ 1)] ＝1 2＋1 2＋ 12·[( a 1＋ a 2) 2 ＋ ( 2＋ 3)2 ＋aa 1＋ a 2a 2＋ a 3a 3＋ a 1 a a( a 3＋ a 1) 2] ≥ 11· a 2＋ a 3＋ 12，· a 1＋ a 2＋· a 3＋ a 1＝9a 1＋ a 2a 2＋ a 3a 3＋a 1当且仅当 (1＋ 2)2＝( a 2＋ a 3) 2＝( 3＋ 1) 2，a aaa3即 a 1＝ a 2＝a 3＝ 时取等号，2因此111a 1 ＋＋≥1.＋a 2a 2＋ a 3 a 3＋ a 1[ 临门一脚 ]1．二元柯西不等式： ( a 2＋ b 2)( c 2＋ d 2) ≥ ( ac ＋ bd ) 2，a ， b ， c ， d ∈ R ，当且仅当 ad ＝ bc时，等号建立．2．三元柯西不等式能够用向量形式记忆：即 | α|| β | ≥|α· β| ，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k ，得 α＝ k β 时，等号建立．3．利用柯西不等式来证明不等式和基本不等式同样也要关注式子构造特色、系数、方次、等号建立条件，假如不可以够直接使用，要对所给条件进行变形后才能使用．4．利用柯西不等式求最值等问题，也要关注式子构造特色、系数、方次，最后必定要写出等号建立条件 .。

数学不等式选讲试题答案及解析1.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）3（2）见解析【解析】（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以． 10分2.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围。

【答案】（1）或（2）或【解析】（1）当时，不等式为，所以或或，解得或． 4分故不等式的解集为或． 5分．（2）因为（当时等号成立）， 8分所以．由题意得，解得或． 10分【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查基本运算求解能力.3.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a、b、c为何值时，等号成立．【答案】a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．【解析】因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，(2分)所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理＋＋≥＋＋，②(4分)故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立．(8分)当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．(10分)4.已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．【答案】【解析】由柯西不等式知：[x2＋(2y)2＋(3z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋×2y＋×3z)2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)．因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，所以a的值为.点评：用柯西不等式证明或求值时要注意两点，一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二要注意等号成立的条件．5.在实数范围内，不等式的解集为___________.【答案】【解析】因此解集为.【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.6.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【答案】－2≤a≤4【解析】本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x－a|＋|x－1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现－2≤a≤4.7.不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．【答案】【解析】考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x＋1|>2|x－1|，再两边平方，轻松求解．不等式转化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得(2x＋1)2>4(x－1)2，化简得4x>1，解得x> ，故解集为.8.设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。

专题十八 ⎪⎪⎪不等式选讲(选修4－5)[由题知法][典例] (2018·福州模拟)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．[解] (1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时， f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|≤|x －x ＋1|＝1， 所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.[类题通法] 含绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)，|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)型不等式，可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①零点分区间法求解绝对值不等式的一般步骤： (ⅰ)令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (ⅱ)将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；(ⅲ)由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； (ⅳ)取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． ②利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法：由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)或|x －a |－|x －b |≥c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x >12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1； 若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <12，1－2x －2x －1≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解， 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2， 当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2. 所以m 的取值范围是(2，＋∞)．[由题知法]1．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[典例] (2018·沈阳质监)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |. (1)当a ＝1，b ＝1时，解关于x 的不等式f (x )>1； (2)若函数f (x )的最大值为2，求证：1a ＋1b≥2.[解] (1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1≤x <1，－2，x <－1，①当x ≥1时，f (x )＝2>1，不等式恒成立， 此时不等式的解集为{x |x ≥1}；②当－1≤x <1时，f (x )＝2x >1，所以x >12，此时不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <1；③当x <－1时，f (x )＝－2>1，不等式不成立，此时无解． 综上所述，不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >12.(2)证明：法一：由绝对值三角不等式可得 |x ＋a |－|x －b |≤|a ＋b |，a >0，b >0， ∴a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 法二：∵a >0，b >0，∴－a <0<b ， ∴函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b | ＝|x －(－a )|－|x －b | ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，x ≥b ，2x ＋a －b ，－a ≤x <b ，－(a ＋b )，x <－a ，结合图象易得函数f (x )的最大值为a ＋b ，∴a ＋b ＝2.∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． [类题通法] 证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[应用通关]1．(2018·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1. 解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1， 所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.2．(2018·陕西质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎝ ⎛－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，。