微积分1期中练习题

微积分(上)期中模拟试卷(一)一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 设⎩⎨⎧≥-<=0, 20, )(2x x x x x f ，则=-)]1([f f 。

2. =∞→xx x 21sin3lim 。

3. 函数23)3ln()(2+++=x x x x x f 的可去间断点为 。

4. 设xxx x f --+=11)(，则当补充定义=)0(f 时, )(x f 在0=x 处连续。

5. 设)(x f 在a x =处可导, 则=--→ha f h a f h )()2(lim 0___________ .二、选择题(每小题3分，共15分)1. 函数)(2x xf y =的图形关于（ ）对称。

(A) x 轴 (B) y 轴 (C) 原点 (D) 直线x y =2. 设⎩⎨⎧>≤=0,0,)(x x x x x f ，则)(x f 在点0=x 处（ ）。

(A) 无定义(B) 无极限(C) 不连续(D) 连续3. 设)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在点0x 处（ ）。

(A) 必有定义(B) 必有定义, 但与极限值无关 (C) 可以没有定义(D) 函数值必须等于极限值.4. 若)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处必（ ）. (A) 可导(B) 不可导(C) 连续(D) 不连续5. 0→x 时与x 等价的无穷小是（ ）.(A) x x +3 (B) 1sin 1-+x (C) )1e sin(-x (D) x cos 1-三、计算题(每小题6分，共48分)1. 求极限 )1ln()cos 1(1cossin 3lim2x x xx x x +++→ .2. 求极限 1e tan 1tan 1lim---+→xx xx .3. 求极限 xx x π)(coslim 0+→.4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 , 0 ,cos ln )(2x a x x xx f 在0=x 处连续，则=a .5. 设⎩⎨⎧<+≥+=0arctan 01 )(bx , x a x , x x f 在0=x 处可导，求常数b a ,。

一、计算下列极限：（每小题6分，共24分）1. 3113lim ()11x x x →--++；解：23311132lim ()lim 111x x x x x x x →-→----=+++212lim1x x x x →--=-+ 21211(1)(1)--==---+- 或者23311132lim ()lim 111x x x x x x x →-→----=+++ 2121lim 3x x x →--=22(1)113(1)⋅--==-⋅-2. sin()12lim()x x x xππ→-； 解：12lnlimsin()sin 12lim()x x x x xx x exππππ→-→-=112(1)2(1)ln[1]limlimsin (1)(1)x x x x xx x x eeππππ→→--+⋅--== 2e =或者(1)sin()2(1)sin (1)1122(1)lim()lim[1]x x x x x x x x x x x x ππππ-⋅⋅--→→--=+ 2e = 3. tan 241sin 1x xx x x x→+-+；解：tan tan 24240(1)(1sin 1)1sin 1x xx x x x x e e x x x x x x-→→-+++=+-+ 243000tan lim lim(1sin 1limxx x x x xe x x x x →→→-=⋅+++⋅220sec 12lim 3x x x →-=⋅ 220tan 22lim33x x x →=⋅=厦门大学《微积分I-1》课程期中试卷参考答案＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业试卷类型：（理工类A 卷） 考试时间：2019.11.164.求数列的极限n →∞。

解：注意到33≤≤1n =，由夹逼准则，可得3n →∞=。

二、求下列函数的导数：（本题16分,第一小题9分，第二小题7分） 1.求函数1ln(arctan 1xy x x-=++++的一阶导数； 解：22212(11(1)1()1y x x x-'=+⋅++⋅-+++211x =-+-+211x =-+ 2.求函数y =2x =处的微分2d |x y =。

2008-2009-1-《微积分》（上）期中考试答案（时间120分钟）一、选择题（每题4分，共20分）1．以下条件中（ ）不是函数()f x 在0x 处连续的充分条件.(A) ()()0000lim lim x x x x f x f x →+→-= (B) ()()00lim x x f x f x →= (C) ()'0f x 存在 (D) ()f x 在0x 可微2．以下条件中（ ）是函数()f x 在0x 处有导数的必要且充分条件.(A) ()f x 在0x 处连续 (B) ()f x 在0x 处可微分(C) ()()000lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆存在 (D) ()0'lim x x f x →存在 3．1x =是函数()1sin x f x xπ-=的( )间断点. (A) 可去 (B) 跳跃 (C) 无穷 (D) 振荡4．设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续并在开区间(),a b 内可导.如果在(),a b 内()'0f x >,那么必有( ).(A) 在[],a b 上()0f x > (B) 在[],a b 上()f x 单调增加(C) 在[],a b 上()f x 单调减少 (D) 在[],a b 上()f x 是凸的5．设函数()()232sin f x x x x =-+, 则()'0f x =在()0,π内根的个数为( ).(A) 0个 (B) 至多1个 (C) 2个 (D) 至少3个二、求下列极限(每小题5分，共20分)1. ()()00ln 1lim0sin b x ax a ax →++>2．()sin lim 0cos x ax b xc cxd x →∞+≠+3．()lim 10a x x e x a →∞⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭4．10sin lim x x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭三、计算(每小题6分，共24分)1．()ln tan cos ln tan 2x y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求'y .2．设()F x 是可导的单调函数，满足()()'0,00F x F ≠=，方程()()()F xy F x F y =+确定了隐函数()y y x =，求x dy dx =.3．()y y x =是参数方程arctan x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩确定的函数，求22d y dx .4．设函数()()()ln 00,0x x e x f x a a x ⎧+>⎪=>⎨≤⎪⎩ 问a 取何值时()'0f 存在?四、证明题（8分）当0x >时有x e e x ≥，且仅当x e =时成立等式。

《微积分》I 期中考试练习题练习 一1. 求下列函数的导(函)数dxdy : (1) 22)1(-=x y ; (2) x y sin ln =;(3) x y 2s i n 3=． 2. 求由方程222a y x =+所确定的隐函数)(x y y =的导数y '．3. 求由方程02=-y e xy 所确定的隐函数y 的导数．4. 求由方程x y y 223=+所确定的隐函数y 的导数．5. 一物体作自由落体运动，运动方程为22112)(gt t t S +=，求： (1) 速度V (t ) ; (2) 加速度a ．6. 求函数3x y =在点1=x 处的微分．7. 已知函数x x y cos sin +=，求dy ．8. 设x y sin ln =，求dy ．9. 计算02.1的近似值．10. 求函数x xe y =的三阶导数练习 二11. 设2tan x y =，求dx dy ． 12. 求函数x x y =的导数13. 设函数x e x x y x cos )2)(1(2+-=，求y '14. 求函数x x y ln =的n 阶导数.15. 计算0360cos 0'的近似值．16. 半径10厘米的金属盘加热后，半径伸长了0.05厘米，问面积增加了多少？练习 三 —— 自我测试题二一、单项选择题．1．设0)0(=f ，且x x f x )(lim 0→存在，则=→x x f x )(lim 0（ ）．Ａ．)0(f Ｂ．)0(f 'Ｃ．)(x f ' Ｄ．０2．设c bx ax x f ++=2)(（a , b , c 是常数，0≠a ），则下列导数错误的是（）． A ．b ax x f +='2)( B ．b f =')0(C ．b a f +=')21(D ．b a bf 2)2(=-'3．函数)(x f y =在点0x 处可导是它在该点处连续的（ ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．什么条件都不是4．函数)(x f y =在点0x 处可导是它在该点处可微的（ ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．什么条件都不是5．设99x y =，则=)100(y （ ）．A ．0B ．99！C ．100！D ．1二、计算题．1．求下列函数导数．（1）10101010+-=x x y ； （2）x x y =；（3）)1)(sin 1(ln -+=x x y ； （4）11arctan -+=x x y ；（5）)cos(y x e y +=； （6）0sin ,)(sin cos >=x x y x ．2．求下列函数的二阶导数．（1）x x y sin = ； （2）x x y arctan )1(2+=．3．求下列函数的微分．（1）)1sin(+=x y ； （2）x e y x cos =；（3）21x xy -=； （4）ln()y =．4．求曲线x e y =在点（0，1）处的切线方程和法线方程．。

微积分（上）期中测验专业班级 学号 姓名 得分 一、填空：（每格3分，共33分）1. 因为0>∀ε，取==)(εδδ ，使得对于一切满足δ<-0x x 的x ，都有ε<-02cos 2cos x x 成立，故0 2cos 2cos lim 0x x x x =→。

2. 设0→x 时，x x e e sin tan -与n x 为同阶无穷小，则=n 。

3. 211)(+-+=x ex f 在区间______________上是上凹的。

4. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>-+=0 , 0,1)1()(2x bxa x x x x f 在),(∞+-∞内连续可导，则⎪⎩⎪⎨⎧==。

，____________b a 5. 24)(x e x f x --=在)2,0(内的零点个数为________。

6. 13)(2-++=x x x x f 的斜渐近线为 。

7. 若1)1(-='f ,则=--+→kk f k f k )1()21(lim 0。

8. 若1])sh(4[lim 22=---∞→b xa x x ，则=a ，和=b 。

9. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= , 则=)0()(n f______________。

二、计算与证明：（共78分）1. )1ln()cos 1(2lim22x x xx e x x ---→ （8分）2．xx x x e cot arc 1lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→ （8分）3．设()e xxe f xy π++=)(arcsin cot 13, 求y '及dy （8分）4．设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty tx arctan 1ln 2π, 求22,dx y d dx dy 以及在1=t 处的曲率半径 （8分） 5. 求由方程)ln()(2x y x y y x --=-所确定的函数)(x y y =的y '以及在)2,1(处的切线与法线方程 （8分）。

哈尔滨理工大学第一学期期中考试试题 考试科目高等数学（经济类Ⅰ）考试时间：100分钟 试卷总分100分一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计15分） 1．设函数2,1()1,1x f x x x ≤=+>⎪⎩，则[()]f f x = 。

2、极限 sin lim x x x →∞ 的值为 . 3、极限 3lim()1x x x x +→∞+ 的值为 . 4、设()f x 满足()()()0f x f x x α=++，且()0lim 0x x x α→=， 那么()0f '= . 5、设211y x =-，则y '= .二、单项选择题（将正确的选项填在横线上）（每小题3分，总计15分）1、设()f x 为奇函数，()()11x x a F x f x a +=-必定为 .(A)奇函数； (B)偶函数； (C)奇偶性与a 有关； (D)非奇非偶函数.2、设13x y =，则当0x →时 ．(A) y 为无穷小量； (B) y 为无穷大量；(C) y 不为无穷大量，但为无界变量；(D) y 存在极限，但极限不为0．3、设 ()sin ln 1()1cos x x f x x⋅+=- ，则 0=x 是 )(x f 的 . （A ）可去间断点 ； (B) 跳跃间断点； (C) 第二类间断点； (D) 连续点.4、当0x →时，下列变量 与 x 为等价无穷小量。

（A； (B) sin x x ；(D) 1sinx x . 5、下列各式中()y f x =在给定点处的导数都存在，则 不正确。

（A ）()()()00lim 0x f x f f x→-'=； (B) ()()()02lim h f a h f a f a h→+-'=； (C) ()()()0000lim x f x f x x f x x∆→--∆'=∆； (D) ()()()0000lim 2x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆. 三、解答下列各题（每小题9分，总计63分）1、计算极限8x →2、计算极限()()2013sin coslim 1cos ln 1x x x x x x →+++.3、计算极限2lim 2xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭.4、设 21cos ,02(),0x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≤⎩， 讨论()f x 在点0x =处的连续性和可导性.5、设函数()y y x =由函数1xy y xe =+所确定，求()0y '.6、设sin y x =计算 y '.7、设2156y x x =++，求()100y .四、证明题（7分）证明方程sin x a x b =+()0,0a b >>至少有一个不超过a b +的正根。