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第12讲幂函数1．理解幂函数的概念；2．会画幂函数y x =，2y x =，3y x =，1y x -=，12y x =的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。
一、幂函数的概念1、幂函数的概念：把形如函数y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、幂函数需要满足三个条件：（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。
例如3y x =，1x y x +=，21y x =+等的函数都不是幂函数．二、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，=12的图象(如图)．三、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）1、当0a <时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象；2、当01a <<时，函数的图象向x 轴弯曲，类似于的12y x =图象；3、当1a >时，函数的图象向y 轴弯曲，类似于3y x =的图象。
再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。
考点一：判断是否为幂函数例1．下列函数为幂函数的是（）A ．22y x =B ．221y x =-C ．2y x=D ．2=y x 【变式训练】现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4考点二：根据函数是幂函数求参数例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点(，则f(9)＝（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【变式训练】幂函数()()23mx m x f =-在第一象限内是减函数，则m =（）A ．2BC ．D ．2-考点三：幂函数的定义域问题例3．函数()112f x x x -=+的定义域为（）A ．(),-∞+∞B ．()(),00,∞-+∞U C ．[)0,∞+D ．()0,∞+【变式训练】给出5个幂函数：①2y x -=；②45y x =；③14y x =；④23y x =；⑤45y x -=，其中定义域为R 的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④考点四：幂函数的图象判断与应用例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x-=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x=【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-考点五：幂函数图象过定点例5．当R α∈时，函数2y x α=-的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________．【变式训练】不论实数a 取何值，函数()12ay x =-+恒过的定点坐标是___________．考点六：幂函数的单调性与奇偶性例6．下列函数中，在区间(,0]-∞上为增函数的是（）A ．1y x=B ．2y x =-C ．y x=D ．3y x =-【变式训练1】已知幂函数()f x 的图象经过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 在定义域内（）A ．单调递增B ．单调递减C ．有最大值D ．有最小值【变式训练2】已知幂函数()()21mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________．考点七：利用幂函数单调性解不等式例7．已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.【变式训练】若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是______．考点八：幂函数的综合应用例8．已知幂函数()223(22mm y f x x m --+==-<<，且)m Z ∈满足：①在区间()0,∞+上是增函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x -+=.（1）求同时满足①②的幂函数()f x 的解析式，（2）在（1）条件下，求[]0,3x ∈时()f x 的值域.【变式训练】已知幂函数()223m m f x x --=(m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是单调递减函数．（1）求m 的值；（2）解不等式()()122f x f -≥．1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）A ．()3f x x=-B ．()f x x=C ．()41f x x =D ．()5f x x=2．已知幂函数的图象经过点116,4P ⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．3．幂函数的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．偶函数，单调递增区间()0,+∞B ．偶函数，单调递减区间[)0,+∞C ．偶函数，单调递增区间(),0-∞D ．奇函数，单调递增区间(),-∞+∞4．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）A ．y =是幂函数B ．12x y +=是指数函数C ．22log y x =是对数函数D ．21)y =不是二次函数6．（多选）下列函数为幂函数的是（）A ．132y x=B ．0y x =C ．()21y x =+D ．1y x -=7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）A ．图像必过点(1,1)B ．可能是非奇非偶函数C ．都是单调函数D ．图像不会位于第四象限8．已知幂函数()f x 的图象经过点2⎛⎫⎪⎝⎭，则(4)f 的值为________．9．已知函数()2+af x x =（a 为不等于0的常数）的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为_______.10．已知幂函数()()2211mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值是______.11．已知函数()nf x x =的图像经过点()2,8，若()()210f x f x +-<，则x 的取值范围为__________.12．已知幂函数()f x 的图像经过111(1,1),3,,,924A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四点中的两点，且()f x 在(0,)+∞上为减函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若(1)(23)f a f a +=-，求实数a 的值．13．已知幂函数()()()2246101,Z,R nnf x m m xn n m -+=-+>∈∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递增.（1）求m 和n 的值；（2）求满足不等式()()32231nma a --+<-的a 的取值范围.1．下列函数中不是幂函数的是()A ．y =B ．3y x =C ．3y x =D ．1y x -=2．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2xy =3．若幂函数()()223265m f x m m x --+＝的图象与x 轴没有交点，则()f x 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不具有对称性4．在下列幂函数中，是偶函数且在()0,∞+上是严格增函数的是（）．A ．2y x -=B ．12y x -=C ．13y x =D ．23y x =5．已知幂函数()y f x =的图象过点22,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞6．函数54y x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．7．如图是幂函数y x α=的部分图像，已知α分别取113333--、、、这四个值，则与曲线1234C C C C 、、、相应的α依次为（）A ．113333--、、、B ．113333--、、、C ．113333--、、、D ．113333--、、、8．已知幂函数()f x 的图像过点(，则()8f =______.9．若函数25(3)m y m x -=-是幂函数，则当12x =时的函数值为______．10．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．11．已知幂函数()()211432()1t t f x t t x --=-+(Z t ∈)是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，则函数的解析式为_______．12．已知幂函数()()()2157R m f x m m x m --=-+∈为奇函数.（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.13．已知幂函数()()226Z mm f x x m --=∈在区间()0,∞+上是减函数．（1）求函数()f x 的解析式；f x的奇偶性和单调性；（2）讨论函数()f x的值域．（3）求函数()。
第12讲 幂函数、函数与方程（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符）一、 幂函数的定义与性质1． 幂函数的定义一般地,形如y=x α（x ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如y=x 2,y=x 21,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. 2，幂函数的图像我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.我们在研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 21,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象.列表:描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.图2-3-1幂函数的性质小结：（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.二、函数和方程１．方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.２．一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.３．方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点零点存在性定理：①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤： 1°确定区间［a,b ］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε. 2°求区间(a,b)的中点c. 3°计算f(c):a.若f(c)=0，则c 就是函数的零点；b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c 〔此时零点x 0∈(a,c)〕；c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c 〔此时零点x 0∈(c,b)〕. 4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°． 小贴士：由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.（添加2条以上，加粗，宋体5号）1、从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.2、结合函数图象性质判断方程根的个数３、用二分法求方程的近似解（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）【例1】判断下列函数哪些是幂函数.①y=0.2x ;②y=x -3;③y=x -2;④y=x 51. 【例2】求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x 32,（2）y=x 23 ,（3）y=x -2.【例3】证明幂函数f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.【例4】 已知函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1)函数有两个零点; (2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.【例5】 若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a 的取值范围.【例6】 若方程2ax 2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围.【练1】 下列幂函数为偶函数的是( )A ． 12y x = B ．y = C ．2y x = D ． 1y x -=【练2】 设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )A ． 1,3B ． －1,1C ． －1,3D ． －1,1,3【练3】 函数2(4)y x =+的递减区间是( )A ． (－∞，－4)B ． (－4，＋∞)C ． (4，＋∞)D ． (－∞，4)【练4】 幂函数的图象过点1(2,)4，则它的单调递增区间是( ) A ． (0，＋∞) B ． [0，＋∞) C ． (－∞，0) D ． (－∞，＋∞)【练5】 设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使()f x x α=为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( ) A ． 1 B ．2C ． 3D ． 4【练6】 幂函数()f x x α=满足1x >时()1f x >，则α满足条件 ( )A ．1α>B ．01α<<C ．0α> D ．0α>且1α≠【练7】 函数21()(5)m f x m m x-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞时，()f x )是增函数，试确定m 的值．【练8】 已知函数221()(2)m m f x m m x+-=+，m 为何值时，()f x 是：(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数？【练9】 已知点2)在幂函数()f x 的图象上，点1(2,)4-在幂函数()g x 的图象上，问当x为何值时，(1)()()f x g x >；(2)()()f x g x =；(3)()()f x g x <．【练10】 已知幂函数39()m y x m N -*=∈)的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上函数值随x 的增大而减小，求满足(1)(32)33m ma a +-<--的a 的范围．【练1】 关于x 的函数(1)y x α=-(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，12)的图象恒过点_________【练2】 已知2.4 2.5αα>，则α的取值范围是________． 【练3】 函数12()(1)(1)f x x x =-+-的定义域为________．【练4】 幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式是________．【练5】 设(0,1)x ∈)时，()py x p R =∈的图象在直线y x =的上方，则p 的取值范围是________．【练6】 下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．13y x = B ．12y x -=C ．53y x=D. 23y x =【练7】 函数()2xf x -=0x ，则0x 必属于区间( )A ．1(0,)3B ．11(,)32C ．1(,1)2D ．(1,2)【练8】 以下关于函数y x α=当0α=时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错【练9】 已知幂函数()f x 的图象经过点(2,2，则(4)f 的值为 ( ) A ． 16 B ．116C ．12D ． 2 【练10】已知幂函数的图象223(,0)m m y x m Z x --=∈≠与),x y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ． -1或1B ． -1,1或3C ． 1或3D ． 3【练1】 证明函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点.【练2】 分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系. ①y ＝x -1,y ＝x -2,y=x -3;②y ＝x21-,y ＝x31-;③y=x,y=x 2,y=x 3;④y=x 21,y ＝x 31.1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( )A.14 B ．4 C.22D. 22．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f (12)的值为( )A ．－3B ．－13C ．3D.133．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．35 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64} 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．67．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 9．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，12则m 的取值范围是________．11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．课程顾问签字： 教学主管签字：。
幂函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x 12，的图像，了解它们的变化情况.2、通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解.一、定义：一般地，我们把形如()ay x a R =∈的函数叫做幂函数，其中a 为常数。
特别提醒：幂函数的基本形式是 y =x a ，其中x是自变量，a是常数. 要求掌握y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x 12，y =x −1 这五个常用幂函数的图象.二、幂函数性质：1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都通过点()1,1；2、如果0a >，则幂函数的图像经过原点，并且在区间[)0,+∞上为增函数；如果0a <，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间()0,+∞上为增函数令a qp=（p 、q 互质） a <0 0<a <1 a >1q py x =（p 、q 互质）p 、q 是奇数p是奇数、q是偶数p是偶数、q是奇数y x=y x=（1）当a>0时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,+∞)上是增函数.（2）当a<0时，图象过定点(1,1)；在(0,+∞)上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.三、如图,,,,,a b c d e f的大小关系为：a b c d e f<<<<<类型一幂函数的定义例1：在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3练习1：有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝1x；⑤y＝x23；⑥y＝2x.其中，是幂函数的有________(只填序号)．练习2：函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是()O xyO xyA ．k ＝3B ．k ＝－2C ．k ＝3或k ＝－2D ．k ≠3且k ≠－2类型二 幂函数的图象和性质例2：幂函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p ，y ＝x q的图象如图，则将m 、n 、p 、q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．练习1：(2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k －α＝( ) A ．12B ．1C ．32D ．2练习2：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6类型三 函数值大小的比较例3：比较下列各组数的大小练习1：下列关系中正确的是( )A ．(12)23 <(15)23 <(12)13B ．(12)23 <(12)13 <(15)23C ．(15)23 <(12)13 <(12)23D ．(15)23 <(12)23 <(12)13练习2：比较下列三个值的大小1.112，1.412，1.113；1、如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－122、下列命题中正确的是( ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、函数y ＝12x 的图象大致为( )4、设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)5、若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________．6、(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2,8)，则f (x )＝______________._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．如图所示为幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＜1D ．n ＜－1，m ＞12．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则下列结论中正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年产量确定4．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )A ．12hB ．4hC ．3hD ．2h5．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )能力提升6．若幂函数y＝(m2－3m＋3)x m2－m－2的图象不过原点，则m是__________．7．如果幂函数y＝x a的图象，当0<x<1时，在直线y＝x的上方，那么a的取值范围是________．8. 已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2＋m－1，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．9．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．10. 已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值。
第12讲幂函数的图象和性质【人教A版2019】·模块一幂函数的概念·模块二幂函数的图象与性质·模块三课后作业1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数.只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【考点1对幂函数的概念的理解】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为幂函数的是（）A．=22B．=22−1C．=2D．J2【解题思路】根据幂函数的定义即可求解.【解答过程】由幂函数的定义可知：J2是幂函数，=22，=22−1和=2的系数不为1，故不是幂函数，故选：D.【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（）A．=B．=3C．=3D．=−1【解题思路】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.【解答过程】对于选项A，==12，故它是幂函数．故A项正确；对于选项B，=3是幂函数，故B项正确；对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；对于选项D，=−1是幂函数，故D项正确.故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）现有下列函数：①=3；②=；③=42；④=5+1；⑤=−12；⑥=；⑦=(>1)，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据幂函数的定义逐个辨析即可【解答过程】幂函数满足=形式，故=3，=满足条件，共2个故选：B.【变式1.2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）A．=3B．=12C．=22D．=+1【解题思路】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.【解答过程】对于A，由幂函数的定义知=3=13是幂函数，由题意可知op的定义域为R,o−p= 3−=−3=−op，所以op是奇函数，符合题意；故A正确；对于B，由幂函数的定义知=12=−2是幂函数，由题意可知op的定义域为−∞,0∪0,+∞,o−p==12=op，所以op是偶函数，不符合题意；故B错误；对于C，由幂函数的定义知=22不是幂函数，不符合题意；故C错误；对于D，由幂函数的定义知=+1不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.【考点2求幂函数的函数值、解析式】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝（）A．−3B．−13C．3D．13【解题思路】代点的坐标求出α的值，得到函数op的解析式，即得解.【解答过程】由题意f(2)＝2α＝2=212，所以α＝12，所以f(x)＝，所以f(9)＝9＝3.故选：C.【例2.2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知幂函数的图象过点4,=（）A．−12B．−2C．12D．2【解题思路】设幂函数=,将4,，即得答案.【解答过程】设幂函数=，由于的图象过点4,故4=12,∴=−12，即=−12，故选：A.【变式2.1】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足o6)o2)=4，则）A．2B．14C．−14D．−2【解题思路】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【解答过程】依题意，设=，则o6)o2)=62=3=4，所以o13)=(13)=13=14.故选：B.【变式2.2】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点3,2在幂函数=−1的图象上，则（）A．=−1B．=212C．=3D．=13【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【解答过程】∵函数=−1是幂函数，∴−1=1，即=2,∴点8,2在幂函数=的图象上，∴8=2，即=13，故=13.故选：D.1．常见幂函数的图象与性质幂函数图象定义域R R R 值域R R奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上为增函数，增函数，减函数在R 上为增函数在上为增函数，减函数，增函数定点（1,1）温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a >0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．2．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y =x 的图象是一条直线.②当α=0时，y ==1(x ≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：（p 、q 互质）p ，q 都是奇数p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.3．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)(3)的值域为(-,-2]∪[2,+).(4)奇偶性：函数为奇函数.(5)单调性：由函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【考点1幂函数的定义域、值域】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）给出5个幂函数：①=−2；②=45；③=14；④=23；⑤=−45，其中定义域为R的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案.【解答过程】①=−2=12的定义域为U≠0，不符合.②=45=54的定义域为R，符合.③=14=4的定义域为U≥0，不符合.④=23=32的定义域为R，符合.⑤=−45=的定义域为U≠0，不符合.所以符合的是②④.故选：C.【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数op=的图像过点(8,4)，则op=的值域是（）A．−∞,0B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.【解答过程】∵幂函数op=的图像过点(8,4)，∴8=4，解得=23，∴op=23=32≥0，∴op的值域是0,+∞.故选：D.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）函数=−1+12的定义域为（）A．−∞,+∞B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【解答过程】因为=−1+12=1+，则≠0≥0，可得>0，故函数的定义域为0,+∞.故选：D.【变式1.2】（2023秋·北京·高一校考期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）A．=13B．=−12C．=53D．=23【解题思路】由幂函数性质可得解.【解答过程】A中定义域和值域都是；,定义域和值域都是(0，+∞)；B中=−12=C中定义域和值域都是；D中=23=(13)2定义域为R，值域为[0，+∞)故选：D.【考点2幂函数的图象】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A．①=−1，②=12，③=13B．①=−1，②=13，③=12C．①=13，②=12，③=−1D．①=13，②=−1，③=12【解题思路】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.【解答过程】由函数=−1=1是反比例函数，其对应图象为①；函数=12=的定义域为(0,+∞)，应为图②；因为=13的定义域为R且为奇函数，故应为图③.故选：A.【例2.2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点4,2在幂函数的图象上，则的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．【解答过程】设幂函数op=，将点4,2代入，得4=2，解得=12，所以op=12，定义域为[0,+∞)，且在定义域内单调递增，大致图像为B，故选：B．【变式2.1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数=（s∈且p与q互质）的图像如图所示，则（）A．p、q均为奇数且<0B．p为奇数，q为偶数且<0C．p为奇数，q为偶数且>0D．p为偶数，q为奇数且<0【解题思路】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.【解答过程】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定<0，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.【变式2.2】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数=在第一象限的图象，已知取±2，±12四个值，则相应于1，2，3，4的依次为（）A．−2，−12，12，2B．2，12，−12，−2C．−12，−2，2，12D．2，12，−2，−12【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.【解答过程】解：根据幂函数=的性质，在第一象限内的图象:当>0时，越大，=递增速度越快，故1的=2，2的=12；当<0时，越大，曲线越陡峭，所以曲线3的=−12，曲线4的=−2.故选:B.【考点3由幂函数的图象与性质求参数】【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）幂函数=2−3在第一象限内是减函数，则=（）A．2B．2C．−2D．−2【解题思路】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解.【解答过程】由幂函数的定义可知2−3=1，解得=±2，由幂函数的单调性可知<0，所以=−2．故选:D．【例3.2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知幂函数op=2−2−2K2的图象经过原点，则=（）A．－1B．1C．3D．2【解题思路】令2−2−2=1求解，再根据函数图象经过原点判断.【解答过程】解：令2−2−2=1，解得=−1或=3.当=−1时，=−3的图象不经过原点.当=3时，=的图象经过原点.故选：C.【变式3.1】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知幂函数=2+2−2⋅2−2在0,+∞上是减函数，则n的值为（）A．−3B．1C．3D．1或−3【解题思路】先由函数是幂函数，得到=−3或=1，再分别讨论，是否符合在0,+∞上是减函数的条件.【解答过程】因为函数是幂函数，则2+2−2=1，所以=−3或=1.当=−3时，=15在0,+∞上是增函数，不合题意.当=1时=−1在0,+∞上是减函数，成立.故选：B.【变式3.2】（2023秋·广西贵港·高一统考期末）若幂函数=−2+2r259的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在−∞,0上单调递减，则=（）A．19B．19或499C．−13D．−13或73【解题思路】由题意知是偶函数，在−∞,0上单调递减,可得−2+2+259为正偶数，再根据−2+2+259的范围可得答案.【解答过程】由题意知是偶函数，因为在−∞,0上单调递减,所以−2+2+259为正偶数，又−2+2+259=−(−1)2+349≤349，∴−(−1)2+349=2，解得=73或−13．故选：D．【考点4比较幂值的大小】【例4.1】（2023春·浙江·高一校联考期中）记=0.20.1,=0.10.2,=(2)−0.5，则（）A．>>B．>>C．>>D．>>。
