高考总复习 数学文科 (新人教B版)--第九章 第4节--(附解析及答案)

基础巩固强化1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D.34[答案] C[解析] ∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AA 1→＋12AD →.∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.2．(2012·银川质检)若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确 [答案] B[解析] ∵a ·b ＝2×(－6)＋4×9＋(－4)×6＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2[答案] C[解析] AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.故选C.4．已知二面角α－l －β的大小为60°，点B 、C 在棱l 上，A ∈α，D ∈β，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则AD 的长为( ) A.14 B.13 C ．2 2D ．2 5 [答案] C[解析] 由条件知|AB →|＝2，|BC →|＝1，|CD →|＝3，AB →⊥BC →，BC →⊥CD →，〈AB →，CD →〉＝120°，AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＋2AB →·CD →＝4＋1＋9＋2×2×3×cos120°＝8，∴|AD →|＝2 2.5．平面α经过三点A (－1,0,1)、B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，－1 B ．(6，－2，－2)C ．(4,2,2)D ．(－1,1,4) [答案] D[解析] 设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D.6．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋ BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝116＋96cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∴〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.7.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．[答案] 1[解析] 以D 1为原点，直线D 1A 1、D 1C 1、D 1D 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，设DF ＝t ，CE ＝k ，则D 1F ＝1－t ，∴F (0,0,1－t )，E (k,1,1)，要使B 1E ⊥平面ABF ，易知AB ⊥B 1E ，故只要B 1E ⊥AF 即可，∵AF →＝(－1,0，－t )，B 1E →＝(k －1,0,1)，∴AF →·B 1E →＝1－k －t ＝0，∴k ＋t ＝1，即CE ＋DF ＝1.8．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →＝0,2AB →2＋BD →2＝4，若将其沿BD 折成直二面角A －BD －C ，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为________．[答案] 43π [解析] 因为AB ⊥BD ，二面角A －BD －C 是直二面角，所以AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AD ⊥DC .故△ABC ，△ADC 均为直角三角形．取AC 的中点M ，则MA ＝MC ＝MD ＝MB ，故点M 即为三棱锥A －BCD的外接球的球心．由2AB →2＋BD →2＝4⇒AB →2＋BD →2＋CD →2＝AC →2＝4，∴AC ＝2，∴R ＝1.故所求球的体积为V ＝43π.9．(2012·厦门质检)已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为________．[答案] 65[解析] |a |＝22＋(－1)2＋22＝3， |b |＝22＋22＋12＝3，a ·b ＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝49，sin 〈a ，b 〉＝659，S 平行四边形＝|a ||b |·sin 〈a ，b 〉＝65.10.(2012·天津调研)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴PB 与平面ABCD 所成的角为∠PBA ＝45°.∴AB ＝1，由∠ABC ＝∠BAD ＝90°，易得CD ＝AC ＝2，∴AC ⊥CD .又∵P A ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面P AC ⊥平面PCD .(2)分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z－1)，PD →＝(0,2，－1)．∵PE →∥PD →，∴y ·(－1)－2(z －1)＝0①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB .∴CE →⊥AD →.∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0，∴y ＝1.将y ＝1代入①，得z ＝12.∴E 是PD 的中点，∴存在E 点使CE ∥平面P AB ，此时E 为PD 的中点.能力拓展提升11.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．求证：CE ⊥A ′D .[证明] 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝CD →－CA ′→＝12(CA →＋CB →)－(CA →＋CC ′→)＝－12CA →＋12CB →－CC ′→＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .12．在棱长为1的正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ACD 1；(2)BO 1∥平面ACD 1.[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则B (1,0,0)，O 1(12，12，1)，D 1(0,1,1)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，B 1(1,0,1)，∴B 1D →＝(－1,1，－1)，AD 1→＝(0,1,1)，AC →＝(1,1,0)，BO 1→＝(－12，12，1)．(1)∵B 1D →·AD 1→＝0，B 1D →·AC →＝0，∴B 1D →⊥AD 1→，B 1D →⊥AC →，∵AD 1→与AC →不共线，∴B 1D →⊥平面ACD 1，∴B 1D ⊥平面ACD 1.(2)∵B 1D →·BO 1→＝0，∴B 1D →⊥BO 1→，∴BO 1→∥平面ACD 1.又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.[点评] 第(2)问还可以通过证明BO 1→＝OD 1→(其中O 为AC 中点)证明．13.如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 、F 、O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.(1)设G 是OC 的中点，证明FG ∥平面BOE ；(2)证明在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .[证明](1)如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，由条件知，OA ＝OC ＝8，PO ＝6，OB ＝8，则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)， 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0. 又直线FG 不在平面BOE 内， 所以FG ∥平面BOE .(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)． 要使FM ⊥平面BOE ，只需FM →∥n ， 因此x 0＝4，y 0＝－94， 即点M 的坐标是(4，－94，0)．在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .14．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 、F 分别为AB 、CC 1的中点，各棱长都是4.(1)求证CH ∥平面F A 1B . (2)求证平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .(3)设E 为BB 1上一点，试确定E 的位置，使HE ⊥BC 1. [解析] 在正三棱柱中，∵H 为AB 中点，∴CH ⊥AB ，过H 作HM ⊥AB 交A 1B 1于M ，分别以直线AB 、HC 、HM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (0，23，0)，F (0,23，2)，A (－2,0,0)，A 1(－2,0,4)，C 1(0，23，4)．(1)证明：∵HC →＝(0,23，0)，F A 1→＝(－2，－23，2)，BF →＝(－2，23，2)，∴HC →＝12(BF →－F A 1→)，∵BF →与F A 1→不共线，∴HC →∥平面F A 1B ， ∵HC ⊄平面F A 1B ，∴HC ∥平面F A 1B .(2)证明：平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝HC →＝(0,23，0)， 设平面F A 1B 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BF →＝0，n ·F A 1→＝0，∴⎩⎨⎧－2x ＋23y ＋2z ＝0，－2x －23y ＋2z ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝x ，y ＝0.令x ＝1得n ＝(1,0,1)，∵n ·n 1＝0，∴n ⊥n 1，∴平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .(3)∵E 在BB 1上，∴设E (2,0，t )，(t >0)，则HE →＝(2,0，t )，BC 1→＝(－2,23，4)，∵HE ⊥BC 1，∴HE →·BC 1→＝－4＋4t ＝0，∴t ＝1，∴E 是BB 1上靠近B 点的四等分点(或BE ＝14BB 1)．15．如图，已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 、R 分别是AB 、PC 、CD 的中点．求证：(1)直线AR ∥平面PMC ； (2)直线MN ⊥直线AB .[证明] 证法1：(1)连接CM ，∵ABCD 为矩形，R 、M 分别为AB 、CD 的中点，∴MA 綊CR ，∴AMCR 为平行四边形，∴CM ∥AR ，又∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .(2)连接MR 、NR ，在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥AB ，AB ⊥平面P AD ，∵MR ∥AD ，NR ∥PD ，∴平面PDA ∥平面NRM ， ∴AB ⊥平面NRM ，则AB ⊥MN .证法2：(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AD ＝b ，AP ＝c ，则B (a,0,0)，D (0，b,0)，P (0,0，c )，C (a ，b,0)，∵M 、N 、P 分别为AB 、PC 、CD 的中点，∴M (a 2，0,0)，N (a 2，b 2，c 2)，R (a2，b,0)，∴AR →＝(a 2，b,0)，PM →＝(a 2，0，－c )，MC →＝(a2，b,0)，设AR →＝λPM →＋μMC →，⎩⎪⎨⎪⎧a 2λ＋a 2μ＝a 2，bμ＝b ，－cλ＝0.∴⎩⎨⎧λ＝0，μ＝1.∴AR →＝MC →，∴AR ∥MC ，∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .(2)MN →＝(0，b 2，c 2)，AB →＝(a,0,0)， ∵MN →·AB →＝0，∴MN →⊥AB →，∴MN ⊥AB .1．(2011·绍兴月考)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量方法求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明](1)如图，EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →) ＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，由共面向量定理知：E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 且E 、H 、B 、D 四点不共线，∴EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH . 2.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E 、F 、E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .[证明] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1(1，12，2)．设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎨⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)． 设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)，∴⎩⎨⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎨⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，则m ＝(－1,0,1)． ∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝0，∴平面C1E1F⊥平面CEF.3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.[证明]∵AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形． ∴C (12，32，0)，E (14，34，12)．设D (0，y,0)，∵AC ⊥CD ，∴AC →·CD →＝0，∴y ＝233，∴D (0，233，0)，∴CD →＝(－12，36，0)． 又AE →＝(14，34，12)，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＋0×12＝0， ∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)方法1：∵P (0,0,1)，∴PD →＝(0，233，－1)． ∴AE →·PD →＝14×0＋34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD →⊥AE →，∴PD ⊥AE . ∵AE →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0， ∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ， ∴PD ⊥平面ABE .方法2：设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵AB →＝(1,0,0)，AE →＝(14，34，12)，∴⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－ 3. ∵PD →＝(0，233，－1)，显然PD →＝33n . ∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .。

基础巩固强化1.已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β[答案] C[解析]如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，B1C1为l，则排除A、B；又取平面ADD1A1为α，平面BCC1B1为β，B1C1为l，排除D.2．(文)已知m、n是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n、m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个[答案] B[解析]垂直于同一直线的两个平面平行，故①正确；对于②，若平面α上的三点在平面β的异侧，则它们相交，故②错；根据线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，可知③正确．(理)一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF②AB与CM成60°③EF与MN是异面直线④MN∥CD其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③[答案] D[解析]本题考查学生的空间想象能力，将其还原成正方体如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD.只有①③正确，故选D.3．(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误．．的是()A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β[答案] D[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．4．(文)(2011·安徽省合肥市高三教学质量检测)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是() A．若a⊥α，b∥α，则a⊥bB．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bD．若a∥α，a∥β，则α∥β[答案] D[解析]对于选项D，可能会出现α∥β或α与β相交．故选项D错误．[点评]对于A，过b作平面δ∩α＝b1，则∵b∥α，∴b∥b1，∵a ⊥α，∴a⊥b1，∴a⊥b；对于B，∵a⊥α，b∥a，∴b⊥α，∵b⊂β，∴α⊥β；对于C，∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又∵b⊥β，∴a∥b.(理)对于平面α和共面的直线m、n，下列命题是真命题的是() A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n[答案] D[解析]正三棱锥P－ABC的侧棱P A、PB与底面成角相等，但P A与PB相交应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行或相交，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C.∵m、n共面，设经过m、n的平面为β，∵m⊂α，∴α∩β＝m，∵n∥α，∴n∥m，故D正确．5．(2011·河南省郑州市模拟)设α、β是两个不同的平面，a、b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是() A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b[答案] C[解析]∵a ⊥α，a ∥b ，∴b ⊥α.又b ⊥β，∴α∥β.选项C 正确；对于A 选项可能出现两直线相交或异面的情况；选项B 中可能出现两平面相交的情况；三棱锥P －ABC 中，P A 、AB 、AC 两两垂直，且相等，显然PB 、PC 在平面ABC 内的射影AB 、AC 垂直，而∠BPC ＝60°，故D 错．.6．(2011·青岛模拟)设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] ⎭⎬⎫l ⊥αl ∥β⇒α⊥β； ⎭⎬⎫α⊥βl ⊥α⇒/ l ∥β，此时可能l ⊂β， ⎭⎬⎫l ∥βα⊥β⇒/l ⊥α，此时l 与α还可能平行、斜交，故选C.7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________．[答案]64cm2[解析]如图，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，易求S△ACE＝64cm2.8．(2012·北京东城区综合练习)在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.其中正确命题的序号为________．[答案]②[解析]①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α内的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．9．(2011·浙江五校联考)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.其中正确命题的序号是________．[答案]②④[解析]命题①中，直线m、n不一定相交，即命题①不正确；命题②中，垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以平行或相交，若相交，其交线必与第三个平面垂直，∴m⊥γ，又n⊂γ，∴m⊥n，即命题②正确；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α⊥β，则n∥β或n⊂β，即命题③不正确；由线面平行的判定与性质定理可知命题④正确．则正确命题的序号为②④.10．(文)(2012·辽宁文，18)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S为底面面积，h 为高)．[分析] (1)欲证MN ∥平面A ′ACC ′，须在平面A ′ACC ′内找到一条直线与MN 平行，由于M 、N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点，B ′C ′与平面A ′ACC ′相交，又M 为直三棱柱侧面ABB ′A ′的对角线A ′B 的中点，从而M 为AB ′的中点，故MN 为△AB ′C ′的中位线，得证．(2)欲求三棱锥A ′－MNC 的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M 、N 为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解决，视A ′MC 为底面，则S △A ′MC ＝12S △A ′BC ，∴V A ′－MNC ＝12V N －A ′BC ，又V N －A ′BC ＝V A ′－NBC ，易知A ′N 为三棱锥A ′－NBC 的高，于是易得待求体积．[解析] (1)证明：连接AB ′，AC ′，由题意知，ABB ′A ′为平行四边形，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(2)连接BN，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，∴A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故V A′－MNC＝V N－A′MC＝12V N－A′BC ＝12V A′－NBC＝16.[点评]本题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的问题，对于(1)还可以利用面面平行(平面MPN∥平面A′ACC′，其中P 为A′B′的中点)来证明；(2)还可利用割补法求解．(理)(2012·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值．[分析](1)①欲证EF∥A1D1，∵B1C1∥A1D1，∴只需证EF∥B1C1，故由线面平行的性质定理“线面平行⇒线线平行”可推证．②要证BA1⊥平面B1C1EF，需证BA1⊥B1C1，BA1⊥B1F，要证BA1⊥B1C1，只需证B1C1⊥平面AA1B1B，要证BA1⊥B1F，通过在侧面正方形AA1B1B中计算证明即可．(2)设BA1与B1F交于点H，连接C1H，则∠BC1H就是所求的角．[解析](1)证明：①∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面A1D1DA.又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，∴C1B1∥EF，∴A1D1∥EF.②∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.∴B1C1⊥BA1. 在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝22，即∠A1B1F＝∠AA1B，∴BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连接C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF 所成的角．在矩形AA1B1B中，由AB＝2，AA1＝2，得BH＝46.在Rt△BHC1中，由BC1＝25，BH＝46得，sin∠BC1H＝BHBC1＝3015.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是3015.[点评]本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.能力拓展提升11.(2011·广东省广州市质检)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF 平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条[答案] D[解析]由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质3知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l 平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.12．(文)如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确．．．的是()A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台[答案] D[解析]∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1∴B1C1∥平面EFGH，B1C1∥FG，∴Ω是棱柱，故选D.(理)(2011·苏州模拟)下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a ∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件[答案] D[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥l，∴a∥b∥c∥d，故C真；在正三棱锥P－ABC中，P A、PB与底面ABC成等角，但P A与PB相交，故D假．13．(2012·南昌二模)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．[答案]①③④[解析]①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l、m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P 也可能没有一条直线与l、m都相交；④是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l、m都异面，这无数条直线在过点P且与l、m都平行的平面上．[点评]第③个命题易判断错误．当点P与l确定的平面α∥m时，或点P与m确定的平面β∥l时，过点P与l、m都相交的直线不存在．14．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．[答案]①③[解析]如图①，∵MN∥AD，NP∥AC，∴平面MNP∥平面ADBC，∴AB∥平面MNP.如图②，假设AB∥平面MNP，设BD∩MP＝Q，则NQ为平面ABD与平面MNP的交线，∴AB∥NQ，∵N为AD的中点，∴Q为BD的中点，但由M、P分别为棱的中点知，Q为BD的1分点，矛盾，∴4AB∥\ 平面MNP.如图③，∵BD綊AC，∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB∥CD，又∵M、P为棱的中点，∴MP∥CD，∴AB∥MP，从而可得AB∥平面MNP.如图④，假设AB∥平面MNP，并设直线AC∩平面MNP＝D，则有AB∥MD，∵M为BC中点，∴D为AC中点，这样平面MND∥平面AB，显然与题设条件不符，∴AB∥\ 平面MNP.15．(文)(2011·广东揭阳一模)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F－ABCD的体积．[解析](1)证法1：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴H为FC的中点．又∵G是FD的中点，∴GH∥CD.∵GH⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.证法2：连接EA，∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点．∴在△EAB中，GH∥AB.又∵AB∥CD，∴GH∥CD.∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，且F A⊥AD，∴F A⊥平面ABCD.∵AD＝BC＝6，∴F A＝AD＝6.又∵CD＝2，DB＝42，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD. ∵S▱ABCD＝CD·BD＝82，∴V F－ABCD＝13S▱ABCD·F A＝13×82×6＝16 2.(理)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB ＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．[解析](1)证明：设AC与BD交于点G，联结EG、GH.则G为AC中点，∵H是BC中点，∴GH綊12AB，又∵EF綊12AB，∴四边形EFHG为平行四边形．∴FH∥EG.又EG⊂平面EDB，而FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：∵EF∥AB，EF⊥FB.∴AB⊥FB.又四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，又FB∩BC＝B，∴AB⊥平面BFC.∵FH⊂平面BFC，∴AB⊥FH.又∵FB＝FC，H是BC中点，∴FH⊥BC.又AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC. 又EG∥FH，∴EG⊥AC，又AC⊥BD，BD∩EG＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F，∴BF⊥平面CDEF，即BF⊥平面DEF.∴BF为四面体B—DEF的高．又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2.四边形CDEF为直角梯形，且EF＝1，CD＝2.∴S△DEF＝12(1＋2)×2－12×2×2＝22∴V B—DEF＝13×22×2＝13.16.(2012·辽宁大连市、沈阳市联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD＝2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AB；(2)在线段AD上是否存在一点O，使得BO⊥平面P AC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO⊥平面P AC；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明：∵EF∥CD，CD∥AB，∴EF∥AB，又∵EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB.(2)在线段AD上存在一点O，使得BO⊥平面P AC，此时点O为线段AD的四等分点，且AO＝14AD，∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BO，又∵长方形ABCD中，AD＝2AB，∴△ABO△DAC，∴∠ABO＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴AC ⊥BO，又∵P A∩AC＝A，∴BO⊥平面P AC.1．(2012·四川文，6)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行[答案] C[解析] 本题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等位置关系的判定与性质，对于A 选项，两条直线也可相交，B 选项若三点在同一条直线上，平面可相交．D 选项这两个平面可相交(可联系墙角)，而C 项可利用线面平行的性质定理，再运用线面平行的判定与性质可得．本题需要我们熟练掌握各种位置关系的判定与性质．2．(2012·石家庄二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m 、n ，其中m 2＋n 2＝6，则该三棱锥体积的最大值为( )A.12B.8327C.33D.23[答案] D[解析] 令m ＝n ，由m 2＋n 2＝6得m ＝n ＝3，取AB 的中点E ，则BE ＝22，PB ＝3，∴PE ＝102，CE ＝102，∴EF ＝2，∴V P －ABC ＝13S △PEC ·AB ＝13×(12×2×2)×2＝23，∵23>12，∴23>33，23>8327，故选D.3．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1、BC 上移动，且始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[答案] C[解析] 过M 作ME ⊥AD 于E ，连接EN ，则平面MEN ∥平面DCC 1D 1，所以BN ＝AE ＝x (0≤x <1)，ME ＝2x ，MN 2＝ME 2＋EN 2，则y 2＝4x 2＋1，y 2－4x 2＝1(0≤x <1，y >0)，图象应是焦点在y 轴上的双曲线的一部分．故选C.4．(2012·东营市期末)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α；②若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；③若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；④若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β.其中真命题的序号是________．[答案] ①④⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫[解析] m ⊥n m ⊥α⇒n ∥α或n ⊂α n ⊄α⇒n ∥α，故①真； 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABCD 与ADD 1A 1分别取作平面α，β，其交线AD 为m ，取直线AB 1为n ，则满足n ⊥m ，知②错；m ⊥β，α⊥β时，可能m ∥α，也可能m ⊂α，知③错；⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫m ⊥n m ⊥α⇒n ∥α或n ⊂α n ⊥β⇒α⊥β，故④真．。

§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).知识拓展1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. (3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(6)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) 题组二 教材改编2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2， 所以所求弦长为2 2. 题组三 易错自纠4．若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[－22，22] C ．[－2－1，2－1] D ．[－22－1,22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.5．(2018·石家庄模拟)设圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2答案 C解析 因为圆C 1，C 2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a ，a )，则|a |＝(a －4)2＋(a －1)2，解得a ＝5＋22或a ＝5－22，可取C 1(5＋22，5＋22)，C 2(5－22，5－22)， 故|C 1C 2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.6．过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为______________． 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)， ∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1,2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2， 即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.题型一 直线与圆的位置关系1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离 d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 答案 C解析 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 题型二 圆与圆的位置关系典例 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62 B.32 C.94D ．2 3 答案 C解析 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据均值不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.引申探究1．若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解 由C 1与C 2内切得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝1. 即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.2．若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解 由题意把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程． 思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．跟踪训练 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切； (2)m 取何值时两圆内切；(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5， 故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0，所以公共弦长为2(11)2－(|4×1＋3×3－23|42＋32)2＝27.题型三 直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题典例 (2016·全国Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3， 由|OM |＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33， 所以直线l ：x －3y ＋6＝0.由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围典例 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题典例 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 跟踪训练 (1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案 2 2解析 设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(2)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质． 一、与圆有关的最值问题典例1 (1)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )， ∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )． 故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.(2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 的面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 的方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22，得k ＝－33.⎝⎛⎭⎫也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33.答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， ∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)． ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 答案 (1)C (2)A1．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8答案 B解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.2．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．3．(2018·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14答案 B解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.4．(2017·广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．5．(2017·福建漳州八校联考)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2.∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r ＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C.6．(2018·洛阳二模)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|P A |的最小值为( ) A.12B ．1 C.2－1D ．2－ 2 答案 D解析 方法一 由题意可知，直线P A 与坐标轴平行或重合，不妨设直线P A 与y 轴平行或重合， 设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)， ∴|P A |＝|2－cos α－sin α|＝⎪⎪⎪⎪2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， ∴|P A |的最小值为2－2，故选D.方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝22＝2，∴圆C 上一点到直线x ＋y ＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|P A |min ＝2(2－1)＝2－2，故选D.7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.答案 4解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12， 得y 2－33y ＋6＝0， 解得x 1＝－3，y 1＝3；x 2＝0，y 2＝23，∴A (－3，3)，B (0,23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.8．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是______．答案 35－5解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝3 5.所以|PQ |的最小值是35－5.9．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 32解析 由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|P A |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32. 10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43. 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1. 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0， 则k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0， 即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4， 所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．13．(2017·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎤0，125 B ．[0,1] C.⎣⎡⎦⎤1，125 D.⎝⎛⎭⎫0，125 答案 A解析 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由a 2＋(2a －3)2≥1，得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋(2a －3)2≤3，得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.故选A. 14．(2017·郑州一模)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．答案 4解析 ⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1所在直线对称，∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍，∴|AB |＝2×5×255＝4.15．(2017·石家庄一模)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34答案 D解析 由已知可得圆心(0,0)到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b 2， 则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b 2＝23， 化简得4a 2＋b 2＝4.∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2] ＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负值)．故选D.16．(2017·日照一模)曲线y ＝x 2＋4x的一条切线l 与直线y ＝x ，y 轴围成的三角形记为△OAB ，则△OAB 外接圆面积的最小值为( )A ．82πB ．8(3－2)πC ．16(2－1)πD ．16(2－2)π答案 C解析 y ′＝x 2－4x 2，设直线l 与曲线的切点坐标为(x 0，y 0)， 则直线l 的方程为y －x 20＋4x 0＝x 20－4x 20·(x －x 0)， 即y ＝x 20－4x 20x ＋8x 0.不妨设直线l 与直线y ＝x 的交点为A ，与y 轴的交点为B ， 可求得A (2x 0,2x 0)，B ⎝⎛⎭⎫0，8x 0. ∴|AB |2＝4x 20＋⎝⎛⎭⎫2x 0－8x 02＝8x 20＋64x 20－32≥32(2－1)，当且仅当x 20＝22时取等号． 由正弦定理可得△OAB 的外接圆的半径R ＝12·|AB |sin 45°＝22|AB |，则△OAB 外接圆的面积S ＝πR 2＝12π|AB |2≥16(2－1)π.故选C.。

9-6A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A.5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率． 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a . ∵M 点在双曲线上， ∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D.【答案】 D2．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解． 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba ×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 D3．(2015·湖南)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54C.43D.53【解析】 由渐近线过点(3，－4)可得ba 的值，利用a ，b ，c 之间的关系a 2＋b 2＝c 2可消去b 得a ，c 之间的关系，求出离心率e .由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.【答案】 D4．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ， ∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴（a －4）2＋（－b ）2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.【答案】 A5．(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．【解析】 先表示出直线的方程和点P 的坐标，再将点P 的坐标代入直线的方程可得关于a ，b ，c 的方程，化简可以求出离心率．如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba，又直线l 过右焦点F (c ，0)， 则直线l 的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)， 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝ba (2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.【答案】 2＋ 36．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为____________；渐近线方程为____________．【解析】 设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入上式，得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .【答案】 x 23－y 212＝1 y ＝±2x7．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫am3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ， 所以AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2.设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52.【答案】528．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】 根据双曲线的定义等价转化|PF |，分析何时△APF 的周长最小，然后用间接法计算S △APF . 由双曲线方程x 2－y 28＝1可知， a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 |PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |. 因为|AF |＝32＋（66）2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 【答案】 12 69．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．【解析】 (1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．【解析】 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2【解析】 分别表示出e 1和e 2，利用作差法比较大小．由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝（a ＋m ）2＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），且a >0，b >0，m >0，a ≠b ，所以当a >b 时，m （a －b ）a （a ＋m ）>0，即b ＋m a ＋m >ba .又b ＋m a ＋m>0，ba >0，所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m2>⎝⎛⎭⎫b a 2，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，即e 2>e 1；同理，当a <b 时，m （a －b ）a （a ＋m ）<0，可推得e 2<e 1.综上，当a >b 时，e 1<e 2； 当a <b 时，e 1>e 2. 【答案】 D12．(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解． 由题作出图象如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a ，0)，F (c ，0)． 易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a （c －a ），∴k CD ＝a （a －c ）b 2.∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a （a －c ），∴k BD ＝－a （a －c ）b 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a （a －c ）b 2(x －c )，即y ＝－a （a －c ）b 2x ＋ac （a －c ）b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a （a －c ）b 2(x －c )，即y ＝a （a －c ）b 2x －ac （a －c ）b 2－b 2a.∴x D ＝c ＋b 4a 2（a －c ）.∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2（a －c ）.∴b 4a 2（c －a ）<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1. ∴0<b a <1或－1<b a <0.【答案】 A13．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点，若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．【解析】 先求双曲线的渐近线方程，再结合图形求c 的最大值．所求的c 的最大值就是双曲线的一条渐近线x －y ＝0与直线x －y ＋1＝0的距离，此距离d ＝12＝22. 【答案】2214．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．【解析】 方法一：设出双曲线方程，然后利用双曲线过点(4，3)求解． ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.方法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 x 24－y 2＝115．(2015·湖南)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．【解析】 根据题意建立a ，c 间的联系，再利用离心率公式计算． 不妨设F (－c ，0)，PF 的中点为(0，b )． 由中点坐标公式可知P (c ，2b )． 又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca ＝ 5. 【答案】 516．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．【解析】 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 且满足⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9. ∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1. (2)由(1)得A (－5，0)，B (5，0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5，2y 0)．将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 2025＋y 209＝1，（2x 0－5）225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0. 解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332. 由此可得M ⎝⎛⎭⎫－52，332，∴P (－10，33)． 当P 为(－10，33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)， 即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1， 得2x 2＋15x ＋25＝0.∴x ＝－52或－5(舍去)，∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴． ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

§9.7 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质知识拓展1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三易错自纠4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A．4 B．6 C．8 D．12答案 B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是() A．y2＝±22x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±42x答案 D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝±42x.故选D.2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．答案[－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义及应用典例设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质命题点1 求抛物线的标准方程典例 (2017·深圳模拟)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x答案 D解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3， 所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， 所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x . 命题点2 抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 因为⎝⎛⎭⎫p 2，0在抛物线内部， 所以直线与抛物线必有两交点． 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)(2017·广西三市调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意得3x 0＝x 0＋p 2，即x 0＝p 4，即A ⎝⎛⎭⎫p 4，2，代入抛物线方程，得p22＝2， ∵p >0，∴p ＝2.故选D.(2)(2017·郑州二模)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97 D ．2答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.题型三 直线与抛物线的综合问题命题点1 直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则抛物线C 与直线必有两个交点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16. 因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题典例 (2016·全国Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2， 则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ， 设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练 (2018届武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝x p，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p.同理y BN ＝x 2p x －x 222p .又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎨⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x222p ，解得N ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2， S △ABN ＝12·|AB |·d＝p (pk 2＋2)3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14m .[2分] (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分] (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0，得m >－12.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝⎛⎭⎫1m ，y P ，∴Q ⎝⎛⎭⎫1m ，1m ，[8分] 得QA →＝⎝⎛⎭⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎫x 2－1m ，mx 22－1m . 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝⎛⎭⎫x 1－1m ·⎝⎛⎭⎫x 2－1m ＋⎝⎛⎭⎫mx 21－1m ⎝⎛⎭⎫mx 22－1m ＝0，[10分] 结合(*)式化简得－4m 2－6m＋4＝0， 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，－12∉⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案 D解析 分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.2．(2018届云南昆明一中摸底)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 答案 B解析 由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝23|FK |＝43，∴|BF →|＝|BH →|＝43，∴|AF →|＝3|BF →|＝4，故选B.3．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2y D ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2017·赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎨⎧ x 0＋p2＝2x 0，S△OAF ＝12·p2·y 0＝1，即⎩⎨⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝⎛⎭⎫p 2，4p ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上， ∴16p 2＝2p ×p2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B. 5．(2017·汕头一模)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线的斜率为1，则|AF |等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 设B (x 1，y 1)，因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，所以1|x x y '＝＝x 1＝1，则B ⎝⎛⎭⎫1，12， 因为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以直线l 的方程为y ＝12， 故|AF |＝|BF |＝1.6．(2017·昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2， 消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋p 2⎝⎛⎭⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．(2017·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________． 答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M (x M ，y M )． 根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x .8．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________． 答案 6解析 由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －32， 当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫－32，33， 因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33， 可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫92，33， 根据抛物线的定义可知|PF |＝|P A |＝92－⎝⎛⎭⎫－32＝6.9．(2017·江西九校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________. 答案 2 3解析 y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形，因此不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p 3，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p 3，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而p 23－p 24＝1，又p >0，所以p ＝2 3.10．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.11．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0. 由题意知，方程必有两个不等实根． 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．(2017·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 由题意知，直线l 的斜率必存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0， 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．13．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为( ) A ．2－55 B ．25－1 C ．1－2121D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PM |取最小值20，此时|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2， 所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为(25－1)·cos ∠PMO ＝2－55. 14．(2017·安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝⎛⎭⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________． 答案 2解析 将P ⎝⎛⎭⎫32，1代入到y 24＋x 2b 2＝1中，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.15．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( )A.33 B ．1 C.233D ．2答案 A解析 过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos 120° ＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |，∴⎝⎛⎭⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝⎛⎭⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝⎛⎭⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，∴|MN ||AB |的最大值为33.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________． 答案 (2,4)解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，则有－23<y0<2 3.因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋y20＝r2，故r2＝y20＋4<12＋4＝16.又y20＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.。

§9.2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系已知两条直线的方程为：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交的条件是：A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)． (2)l 1与l 2平行的条件是：A 1B 2－A 2B 1＝0，而B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0；或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．(3)l 1与l 2重合的条件是：A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)；或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)． (4)l 1与l 2垂直的条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.(5)两条斜率存在且分别为k 1，k 2的直线l 1和l 2垂直的条件是k 1k 2＝－1.2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 知识拓展1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )题组二 教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1. 解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ， 所以m ＝1.题组三 易错自纠4．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案 324 解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0， 则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2－122＝324.6．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的位置关系典例 (2018·青岛模拟)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在， ∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0.∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.(*) 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.(**)由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即a b＝1－a ，① 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 跟踪训练 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3， l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1， 综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， 由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23. 题型二 两条直线的交点与距离问题1．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是_____．答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行) ∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12. 方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A ＜k ＜k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12. ∴－16＜k ＜12. 2．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________________．答案 x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析 方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1， 即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)， 即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13， 直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)， 即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称典例 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2点关于直线对称典例如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3 3 B．6C．210 D．2 5答案 C解析直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题典例已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵直线m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 跟踪训练 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎨⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 对称的直线方程为 －4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)， 关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)． l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．思想方法指导因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．规范解答解由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．典例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．规范解答解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋C 1＝0，解得C 1＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系典例3 (2017·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为____________．思想方法指导 可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解． 答案 4x －3y ＋9＝0解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， ∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝⎛⎭⎫x ＋53， 即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， 代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.方法三 由题意可设所求直线方程为 (2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．不能确定答案 C解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1. 故选C.2．(2018·邢台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1， 解得a ＝－1，故选C.3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4．(2017·兰州一模)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O ′A |＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2.故选B.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423B ．4 2 C.823 D ．2 2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)答案 B解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12， 解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9．(2017·浙江嘉兴一中月考)已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________． 答案 1 (3,3)解析 ∵直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋1×(a －2)＝0，即a ＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －y ＝0，易得x ＝3，y ＝3，∴P (3,3)．10．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)． (2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510，所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)． 若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．13．(2017·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－2,4) B ．(－2，－4) C ．(2,4) D ．(2，－4)答案 C解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2， ∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)， 即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)， 即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 则C (2,4)．故选C.14．(2017·岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为________． 答案 94解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3， 所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．15.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)． 16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是______________．答案 6x －8y ＋1＝0解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，6－b －3m 4，∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18. ∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.。

第九单元 解三角形卷B一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在ABC △中，下列等式总能成立的是（ ）． A ．cos cos a C c A = B ．sin sin b C c A = C ．sin sin a C c A =D ．sin sin ab C bc B =2．在ABC △中，“21sin =A ”是“30A =︒”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，若60A =︒，3=BC ，2=AC ，则角B 的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．135︒D ．45︒或135︒4．在ABC △中，3BC =，4CA =，且BC CA ⋅=-ABC △的面积是（ ）A ．6B ．C ．3D5．在ABC △中，π3A =，3BC =，则ABC △的周长为（ ）A ．π33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．π36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．π6sin 33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．π6sin 36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．在ABC △中，、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，S 为三角形的面积，已知22()S a b c =--，则c o s A =（ ）A ．817B ．1517C ．1315D ．13177．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为（ ） A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时D ．2小时8．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A ．π(0,]6B ．π[,π)6C ．π(0,]3D ．π[,π)39．在ABC △中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则ABC △是（ ）． A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形10．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人（ ）A ．不能做出这样的三角形B ．能做出一个锐角三角形C ．能做出一个直角三角形D ．能做出一个钝角三角形11．已知锐角A 是ABC △的一个内角，a ，b ，c 是三边，若221sin cos 2A A -=，则有（ ） A ．2b c a +>B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥12．在ABC △cos cos )4cos cos B B C C B C --=，且4=+AC AB ，则BC 的取值范围为（ ） A ．()4,2 B ．(]4,2C ．[)4,2 D ．[]4,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知x 中，若120C =︒，则222sin sin sin sin sin C B A B A--= ．14．设12+a ，a ，12-a 为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ．15．在ABC △中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=，6b c +=，则a = ．16．在ABC △中，已知A B C >>且2A C =，A ，B ，C 所对的边为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等差数列且4b =，则a c -= ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分)在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，21AB BC ⋅=-． （1）求ABC △的面积； （2）若7a =，求角C ．18．(12分)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距)13(5+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西30︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西30︒且与B 点相距20海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为710海里/小时，该求援船到达D 点需要多长时间？19．(12分)在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+- （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin =+C B ，试判断ABC △的形状．20．(12分)在ABC △中，设内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，向量14⎫=⎪⎪⎝⎭m ，(cos ,sin )A A =-n ，+=m n ． （1）判定ABC △的形状；（2）若2b =，a =，求ABC △的外接圆与内切圆的面积比．21．(12分)在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且aca b C 53cos +=． （1）求A sin ，（2）若28=a ，10=b ，求BA 在BC 上的投影．22．(12分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45︒且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=090θ︒<<︒）且与点A 相距其中海里的位置C ．（1）求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明由．第九单元 解三角形卷B一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C 【解析】由正弦定理CcA a sin sin =可得sin sin a C c A =，故选C ． 2．【答案】B 【解析】由1sin 2A =，且A 为ABC △为三角形的内角，∴30A =︒或150A =︒，故选B ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin AC A B BC ⋅==AC BC <，∴B A <，即60B <︒，∴45B =︒，故选B ． 4．【答案】C【解析】设ACB θ∠=，∵cos(π)34cosBC CA BC CA θθ⋅=⋅-=-⨯=-cos θ=， ∵0πθ<<，∴1sin 2θ=，∴111sin 343222ABC S BC CA θ=⋅=⨯⨯⨯=△，故选C ． 5．【答案】D【解析】用特例法取90B ︒＝验证即可；或由正弦定理3ππ2πsin sin sin sin 333a b cBB ++=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，可求得2π1sin sin 3sin sin 32a b c B B B B B ⎤⎫⎛⎫++=++-=++⎪⎥ ⎪⎪⎝⎭⎦⎭ 3π3sin 6sin 326B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，故选D ． 6．【答案】B【解析】22222()2S a b c a b c bc =--=--+，又1sin 2S bc A =， ∴2221sin 22bc A a b c bc =--+，由余弦定理知，2222cos b c a bc A +-=，∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，即sin 4(1cos )A A =-，∴217cos 32cos 150A A -+=， 解得15cos 17A =或cos 1A =（舍去），故选B ．7．【答案】B【解析】设t 小时后，B 城市处于危险区内，则有余弦定理得：222(20)4022040cos4530t t +-⨯⨯︒≤．化简得：072842≤+-t t ，∴2221=+t t ，4721=⋅t t ，从而121t t -，故选B ． 8．【答案】C【解析】∵222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，∴由正弦定理得，222a b c bc ≤+-，即222b c a bc +-≥，∴222122b c a bc +-≥，即1cos 2A ≥，∵A 是三角形的内角，∴π03A <≤，故选C ．9．【答案】D【解析】由余弦定理得22222222222()()()()222ab a c b ac a b c b c b c a ac ab bc+-+--+--=， ∴22222222222()()()()b a c b c a b c b c b c a c b bc+-+--+--=，整理得222a c b =+或c b =，故选D ． 10．【答案】D【解析】假设能做出ABC △，设ABC △的面积为S ，则三条高113，111，15对应的边分别为26a S =，22b S =，10c S =，由余弦定理得，222222(22)(10)(26)23cos 022*******b c a S S S A bc S S +-+-===-<⨯⨯，∴A ∠为钝角，故选D ．11．【答案】C【解析】∵221sin cos 2A A -=，∴1cos22A =-，又A 为锐角，∴π3A =，∴1cos 2A =， 由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴222222222244442336()3()()a b c bc b c bc b c bc b c b c b c =+-=++++-=++-≥+， 即2a b c ≥+，故选C ． 12．【答案】C【解析】)cos cos 4cos cos B BC C B C --=3sin sin cos cos sin )cos cos 4cos cos B C B C B C B C B C ⇔++=)3cos()sin B C B C A A +=-+⇔=，∴3tan =A ，60A =︒，∴22222cos ()3163BC AB AC AB AC A AB AC AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=-⋅，∵202AB AC AB AC +⎛⎫<⋅≤ ⎪⎝⎭，∴40≤⋅<AC AB ，∴1642<≤BC ，42<≤BC ，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】1【解析】∵120C =︒，∴222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，∴222222sin sin sin sin 1sin C B A B c b ab A a ----==．14．【答案】(2,8)【解析】∵210a ->，∴12a >，∴最大边为21a +，∴21a +对的角为钝角， ∴222(21)(21)02(21)a a a a a-+-+<-，解得80<<a ．又∵2121a a a -+>+，∴2a >， ∴28a <<．15．【答案】【解析】∵cos 2A =，∴223cos 2cos 12125A A =-=⨯-=⎝⎭，∵3AB AC ⋅=， ∴cos 3bc A =，则5bc =，又6b c +=，∴15b c =⎧⎨=⎩或51b c =⎧⎨=⎩，故2222cos a b c bc A =+-325125205=+-⨯⨯=，∴a == 16．【答案】85【解析】由sin sin a c A C =且2A C =得，2s i n c o s s i n a c C C C =，∴cos 2a C c =，又222c o s 2a b c C ab+-=，∴22222a a b c c ab+-=，又28a c b +==，解得4a c ==，或245a =，165c =，∵A B C >>，∴a c >， 故24168555a c -=-=．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）14；（2）45︒．【解析】（1）∵21AB BC ⋅=-，21BA BC ⋅=，cos BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅∴35ac =，∵1ABCS =（2）∵35ac =，7a =，∴5c =，由余弦定理得，2222cos 32b a c ac B =+-=，∵c b <且B 为锐角，∴C 一定是锐角，∴45C =︒． 18．【答案】1小时．【解析】由题意知45DAB ∠=︒，60DBA ∠=︒，∴75ADB ∠=︒． 在ADB △中，有sin 45sin75BD AB =︒︒，∴sin 4510sin75AB BD ︒==︒，又120CBD ∠=︒，∴100CD == 因为求援船的航行速度为710海里/小时，所以求援船到达D 点需要1小时．19．【答案】）（1）60︒；（2）正三角形． 【解析】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-， 由正弦定理得c b c b c b a)2()2(22-+-=，即222a c b bc -+=，∴212cos 222=-+=bc a c b A ，∴60A =︒． （2）∵180A B C ++=︒，∴180120B C A +=︒-=︒．由3sin sin =+CB ，得sin sin(120)B B +︒-=∴3sin 120cos cos 120sin sin =-+B B B，∴3cos 23sin 23=+B B ，∴1cos 21sin 23=+B B ，即sin(30)1B +︒=，∵120B C +=︒，∴0120B ︒<<︒， ∴3030150B ︒<+︒<︒，∴3090B +︒=︒，∴60B =︒，∴60A B C ===︒， 所以ABC △为正三角形．20．【答案】（1）直角三角形；（2）3+【解析】（1）∵1cos ,sin 4A A ⎫+=-⎪⎪⎝⎭m n 且+=m n ，∴2213cos sin 44A A ⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即223113cos sin sin 161624A A A A +++-+=11sin 22A A -=-， 即π1cos 62A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角，∴π2A =，故ABC △为直角三角形．（2）由（1）知222b c a +=，又2b =，a =，∴2c =，a =；∴ABC △外圆的半径12R a =22b c a r +-== ∴面积比为223)22(2222+=-=r R ．21．【答案】（1）45；（2 【解析】（1）∵3cos 5b c C a a =+，∴3cos 5a Cbc =+，由正弦定理得3sin cos sin sin 5A C B C =+，∴3sin cos sin()sin 5A C A C C =++，即3sin cos sin cos cos sin sin 5A C A C A C C =++，∴3cos sin sin 05A C C +=，∵(0,π)C ∈，sin 0C >，∴3cos 5A =-，∴4sin 5A =．（2）由正弦定理得B b A a sin sin =，∴410sin sin b A B a ⨯=== ∵53cos-=A ，∴A 为钝角，∴B 为锐角，∴π4B =．∵ac a b C 53cos +=，由余弦定理得222325a b c b cab a a +-=+，把28=a ，10=b 代入，解得2=c ．所以BA 在BC上的投影为cos cos BA B c B =22．【答案】（1）海里/小时)；（2）会，见解析．【解析】（1）如图，240=AB ，1310=AC ，其中BAC θ∠=，2626sin =θ， 由于090θ︒<<︒，所以cos θ，由余弦定理得BC所以船的行驶速度为3=海里/小时)． （2）如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ，在ABC △中，由余弦定理得，222222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠===⋅从而sin ABC∠===，在ABQ△中，由正弦定理得：sinsin45AB ABCAQABC∠=︒-∠（），由于5540AE AQ=>=，所以点Q位于点A和点E之间，且15QE AE AQ=-=．过点E作BCEP⊥于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在Rt QPE△中，sin sin(45)157PE QE PQE QE ABC=⋅∠=⋅︒-∠==，所以若该船不改变航行方向继续行驶，船会进入警戒水域．。

9．2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有唯一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________．3．距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝____________．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________．4．过两直线交点的直线系方程若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程．自查自纠1．(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝-1 l 1⊥l 22．相交 交点的坐标 无公共点 平行 3．(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C 1-C 2A 2＋B 2(2016·金华月考)直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定解：两直线的斜率分别为k 1＝-2和k 2＝-12，由k 1≠k 2知两直线不平行，由k 1k 2≠-1知两直线不垂直，因此两直线的位置关系为相交但不垂直．故选C .(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y -1＝0与直线l 2：mx -y ＝0平行，则实数m 的值为( )A ．-12B ．12C ．2D ．-2解：因为直线l 1：x ＋2y -1＝0与直线l 2：mx -y ＝0平行，所以m 1＝-12≠0，解得m ＝-12.故选A .(2016·丽江月考)直线mx ＋4y -2＝0与直线2x -5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．-12B ．-2C ．0D ．10解：因为两直线的斜率分别为-m 4和25，则-m 4×25＝-1，所以m ＝10，则直线mx ＋4y -2＝0可以写成5x ＋2y -1＝0，过点(1，p )，有5＋2p -1＝0，则p ＝-2，且点(1，-2)又在2x -5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，所以n ＝-12.故选A .(2016·苍南月考)已知平行直线l 1：2x ＋y -1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是__________．解：利用两条平行直线间的距离公式得d ＝(-2)x＋3x y距离不大于m2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝-kx ＋92对称，求实数k 的取值范围．解：设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于已知直线对称，显然k ≠0，所以x 21-x 22x 1-x 2＝1k ，即x 1＋x 2＝1k.又线段MN 的中点在直线y ＝-kx ＋92上，所以x 21＋x 222＝-k ·x 1＋x 22＋92＝-k ·12k ＋92＝4. 由于线段MN 的中点必在抛物线内，有x 21＋x 222>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，即4>⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2，所以k 2>116，解得k <-14或k >14.所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞，-14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.。

§9.3圆的方程圆的定义与方程知识拓展1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)题组二教材改编2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A3．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±4答案 A解析 ∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选A.题型一 圆的方程典例 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________． 答案 (x －3)2＋y 2＝2解析 方法一 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过点B 且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.方法二 设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 因为点A (4,1)，B (2,1)都在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2， 又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________．答案 x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，①3D －E ＋F ＝－10. ② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36， 得D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练 (2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________． 答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .① 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．② 又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 题型二 与圆有关的最值问题典例 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，yx 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． 跟踪训练 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值与最小值．解 (1)方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4.yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，如图①所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，如图②所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b＝6±22，所以x＋y的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.题型三与圆有关的轨迹问题典例(2017·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 (2017·河北衡水中学调研)已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02， 所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧ 1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116答案 B解析 由题意可知A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的圆心为点⎝⎛⎭⎫－4＋62，－5－12，即(1，－3)，半径为(6＋4)2＋(－1＋5)22＝29，故以线段AB 为直径的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.故选B.2．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是() A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.3．(2017·豫北名校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.4．(2017·厦门联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.5．(2018·长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.6．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．8．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 9．(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．10．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________．答案 x ＋y －1＝0解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1， ∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.12．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42>2 2.所以点Q 在圆C 外，所以|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 因为直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．(2017·运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为_________________． 答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b的最小值是( ) A ．2 3 B.203C ．4D.163 答案 D解析 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3a b，即a ＝b 时取等号，故选D. 16．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为______________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝5解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部， ∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。

§9.6双曲线1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，集合P为双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，集合P为两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，集合P为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质知识拓展 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二 教材改编2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3．经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案 x 28－y 28＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8(舍负)， 故所求方程为x 28－y 28＝1.题组三 易错自纠4．(2016·全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53答案 D解析 由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，∴3ba ＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.6．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________．答案 x 24－y 2＝1解析 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型一 双曲线的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹方程典例 (2018·大连月考)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)， ∴M (0,12)为双曲线的一个顶点， 故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题典例 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.2．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．跟踪训练 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________． 答案 x 216－y 29＝1解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1.(2)(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.题型二 双曲线的几何性质典例 (1)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.(2)(2016·山东)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是______． 答案 2解析 由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2，得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2.思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.跟踪训练 (2016·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析 离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.题型三 直线与双曲线的综合问题典例 (2018·福州模拟)已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的取值范围是______． 答案 (1，2)解析 由直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1联立方程组，消y 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 因为该方程有两个不等且都大于1的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，－k1－k 2>1，(1－k 2＋2k －2)(1－k 2)>0，解得1<k < 2.思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．跟踪训练 (2017·贵州贵阳第一中学月考)已知双曲线x 22－y 23＝1上存在两点P ，Q 关于直线y＝x ＋b 对称，且PQ 的中点M 在抛物线y 2＝9x 上，则实数b 的值为( ) A ．0或－10 B ．0或－2 C ．－2 D ．－10答案 A解析 因为点P ，Q 关于直线y ＝x ＋b 对称，所以PQ 的垂直平分线为y ＝x ＋b ，所以直线PQ 的斜率为－1.设直线PQ 的方程为y ＝－x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 22－y 23＝1，得x 2＋4mx －2m 2－6＝0， 所以x P ＋x Q ＝－4m ，所以x M ＝－2m ， 所以M (－2m,3m )．因为PQ 的中点M 在抛物线y 2＝9x 上， 所以9m 2＝9(－2m )，解得m ＝0或m ＝－2， 又PQ 的中点M 也在直线y ＝x ＋b 上， 得b ＝5m ，∴b ＝0或－10，故选A.直线与圆锥曲线的交点典例 若直线y ＝kx ＋2与曲线x ＝y 2＋6交于不同的两点，那么k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 错解展示：由直线y ＝kx ＋2与曲线x 2－y 2＝6相切，得x 2－(kx ＋2)2＝6，Δ＝16k 2－4(1－k 2)(－10)＝0，解得k ＝±153，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，153. 错误答案 A 现场纠错解析 曲线x ＝y 2＋6表示焦点在x 轴上的双曲线的右支，由直线y ＝kx ＋2与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x ＝y 2＋6，消去y ，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0. 由直线与双曲线右支交于不同两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，4k1－k2>0，－101－k 2>0，Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>0，解得k ∈⎝⎛⎭⎫－153，－1.故选D. 答案 D纠错心得 (1)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法． (2)直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质，数形结合求解．1．(2018·新余摸底)双曲线x 2a 2－y 24a 2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x答案 A解析 根据双曲线的渐近线方程知， y ＝±2aax ＝±2x ，故选A.2．(2017·山西四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53B.355C.63D.62答案 B解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c＝b ＝2.∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3， ∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355. 3．(2017·新乡二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 答案 D解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D. 4．(2017·龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4 答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝b a x 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．(2018·开封模拟)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2 C ．2 D.263答案 C解析 由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)．由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0， 得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.6．(2018·武汉调研)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc 3，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.53 C.132 D.133 答案 D解析 由题意可求得|AB |＝2bc a ，所以S △OAB ＝12×2bc a ×c ＝13bc 3，整理得c a ＝133，即e ＝133，故选D.7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ，y ＝－b a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )． 由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4，∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3.∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1. 8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，52B.⎝⎛⎦⎤1，72 C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ 答案 C解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52. 9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案 1 2解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为____________．答案 x 24－y 2＝1 解析 设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r >2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ |CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2， ∴||CC 1|－|CC 2||＝4<25＝|C 1C 2|，即圆心C 的轨迹L 是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L 的方程为x 2⎝⎛⎭⎫422－y 2(5)2－⎝⎛⎭⎫422＝1， 即x 24－y 2＝1. 11．(2018·南昌调研)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案 52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ， 所以AB 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2. 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝54a 2， 所以e ＝c a ＝52. 12．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＜m 2＋42，42＜(m ＋2)2＋m 2， 解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.13．(2017·黄冈二模)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( ) A ．3B ．2C ．－3D ．－2答案 B解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2， ∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14， ∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B. 14．(2017·安庆二模)已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 2D ．2 3答案 B解析 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知，取A 点坐标为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，取B 点坐标为⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则C 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－b 22a 且F 1(－c,0)．由AC ⊥BF 1知AC →·BF 1→＝0，又AC →＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，BF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ，可得2c 2－3b 42a 2＝0，又b 2＝c 2－a 2，可得3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，则有3e 4－10e 2＋3＝0，可得e 2＝3或13，又e >1， 所以e ＝ 3.故选B.15．(2017·福州质检)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△P AF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝3，则E 的离心率是( )A ．2 3 B. 5 C. 3 D. 2答案 C解析 如图所示，设PF 1，PF 2分别与△P AF 2的内切圆切于M ，N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|,2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝33＝3，故选C. 16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，求此双曲线的离心率e 的最大值．解 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2， 即e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2. ∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝⎛⎭⎫1，53. 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53， 综上，e 的最大值为53.。