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解析几何中的直线与直线的位置关系解析几何中，直线与直线间的位置关系是一个重要的研究课题。
直线的位置关系可以分为三种基本情况：平行、相交和重合。
在本文中，我们将深入探讨这三种情况，并给出相应的例子和证明。
1. 平行的直线在解析几何中，如果两条直线的斜率相等且不相交，我们称它们为平行直线。
平行直线永远不会相交，它们在平面内或空间中始终保持相同的距离。
下面我们举个例子来说明平行直线的情况。
例1：已知直线L1的方程为y = 2x + 3，直线L2的方程为y = 2x + 5，证明L1与L2平行。
解：我们需要比较L1和L2的斜率以判断它们的位置关系。
可以观察到L1和L2的斜率都是2，且不相等。
因此，根据定义，L1与L2是平行的。
2. 相交的直线相交的直线是指两条直线在平面内或空间中有一个公共点。
相交的直线可以进一步分为两种情况：相交于一点和相交于一条直线。
2.1 相交于一点如果两条直线在平面内或空间中有且仅有一个公共点，我们称它们为相交于一点的直线。
下面我们给出一个例子。
例2：已知直线L3的方程为y = 2x + 3，直线L4的方程为y = -x + 5，证明L3与L4相交于一点。
解：为了证明L3与L4相交于一点，我们需要找到它们的交点。
将L3和L4的方程联立解方程组：2x + 3 = -x + 53x = 2x = 2/3将x的值代入L3或L4的方程中，可以求得y的值：y = 2(2/3) + 3y = 8/3因此，L3与L4相交于点(2/3, 8/3)。
2.2 相交于一条直线有时候，两条直线有无数个公共点，我们称它们为相交于一条直线的直线。
这种情况经常出现在平面解析几何中，例如两条直线分别表示平面上的两个边界。
例3：已知直线L5的方程为y = 2x + 3，直线L6的方程为y = 2x - 1，证明L5与L6相交于一条直线。
解：我们可以观察到L5和L6的方程中，它们的斜率相等。
因此，直线L5和L6的斜率相等且不相交，根据定义，它们相交于一条直线。
必修二数学空间两直线的位置关系知识点一、引言在必修二数学课程中，空间几何是一个重要的组成部分。
掌握空间中两直线的位置关系对于理解和解决空间几何问题至关重要。
本文档将详细介绍空间中两直线的位置关系及其相关的数学知识点。
二、空间直线的基本概念1. 直线的定义直线是一维的几何对象，没有端点，可以无限延伸。
直线可以用向量表示，即由一个方向向量和一个位置向量唯一确定。
2. 直线的方程标准式方程：( x = x_1 + \lambda_1 \cdot d_1 ), ( y = y_1 +\lambda_2 \cdot d_2 ), ( z = z_1 + \lambda_3 \cdot d_3 )，其中((x_1, y_1, z_1))是直线上的一点，(d_1, d_2, d_3)是直线的方向向量，(\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3)是参数。
三、空间中两直线的位置关系1. 相交两直线相交于一点，即它们有且仅有一个公共点。
相交直线的方程可以表示为：( \mathbf{r_1} = \mathbf{a} + \lambda_1\cdot \mathbf{d_1} ), ( \mathbf{r_2} = \mathbf{b} + \lambda_2 \cdot\mathbf{d_2} )，其中(\mathbf{r_1})和(\mathbf{r_2})分别是两直线上任意一点的向量表示，(\mathbf{a})和(\mathbf{b})是两直线上的已知点，(\mathbf{d_1})和(\mathbf{d_2})是方向向量，(\lambda_1)和(\lambda_2)是参数。
2. 平行两直线平行，即它们没有交点，且方向相同或相反。
平行直线的方程可以表示为：( \mathbf{r_1} = \mathbf{a} + \lambda_1\cdot \mathbf{d} ), ( \mathbf{r_2} = \mathbf{b} + \lambda_2 \cdot\mathbf{d} )，其中(\mathbf{d})是任意一条直线的方向向量。
空间直线的直线方程与位置关系在空间几何中，直线是一种基本的几何元素，研究直线方程及其位置关系是解决各种空间几何问题的关键。
本文将探讨空间直线的直线方程表示方法以及直线的位置关系。
一、空间直线的直线方程表示方法空间直线存在于三维空间中，与平面相交或平行于平面，直线方程则是用来描述直线的数学表达式。
下面将介绍几种常见的直线方程表示方法。
1. 参数方程表示法空间直线的参数方程表示法是最常用的一种表示方法，它通过引入一个参数来表示直线上的任意一点。
设直线上一点为P，直线上某一点P0的坐标为(x0, y0, z0)，直线的方向向量为(a, b, c)，则直线上任一点P(x, y, z)可表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，可以任意取值。
2. 对称式方程表示法对称式方程表示法是直线的另一种常用表示方法，它通过直线上任意两点的坐标关系来表示直线。
设直线上两点分别为P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，则直线的对称式方程表示为：(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z - z1)/(z2 - z1)3. 一般式方程表示法直线的一般式方程表示法是直线方程的标准形式，它通过直线的法向量与一个已知点的坐标关系来表示直线。
设直线的方向向量为(a, b, c)，已知点P0(x0, y0, z0)，则直线的一般式方程表示为：a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0二、空间直线的位置关系在空间中，多条直线可以相互交叉、平行或重合，它们之间的位置关系对于解决几何问题具有重要意义。
下面将介绍几种常见的空间直线位置关系。
1. 相交关系两条直线在空间中有且只有一个公共点，称为相交关系。
当两条直线的方向向量不平行时，它们必相交于一点。
2. 平行关系两条直线在空间中没有公共点，但它们的方向向量平行，称为平行关系。
第九章 直线与圆的方程§9.1 直线方程与两直线的位置关系【知识梳理】一、 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴① 与直线l ② 之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的取值范围：③ . （3）tan [0,)(,)22k ππααπ=∈的函数图象： 2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的④ 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝⑤ ，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在．(2)经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为⑥ . (3) 应用：证明A,B,C 三点共线⑦ . 二．直线方程的五种形式注：(1)等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点. 4.过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.5. 设直线方程的常用技巧求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解.因此根据题设条件选择相应的直线方程是解题的关键，常用的设法技巧如下：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+（需保证斜率存在）；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 5．重要的坐标公式(1)若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⑪ 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．(2)若△ABC 的三个顶点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)，则△ABC 的重心为123123(,)33x x x y y y ++++. 三、两条直线平行与垂直的判定 1.两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔⑫ ，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． 2.两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔⑬ .②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 3.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系的判断 （1）平行⇔⑭ （斜率）且 （在y 轴上截距）； （2）相交⇔⑮ ；（3）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=； （4）垂直⇔⑯ . 注：111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B CA B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！ 4．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解． 四．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝⑰ . 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2) 点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离⑱d = . 注：求点到直线的距离，需先把直线方程化成一般式.(3) 两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为⑲ d = . 注：求两条平行线间的距离，需保证两条直线的x y 、前面的系数对应相等.答案：①正方向；②向上方向；③[0，π)；④正切值；⑤tan α；⑥k=y 2－y 1x 2－x 1=y 1－y 2x 1－x 2；⑦AB BC k k =；⑧y －y 1＝k (x －x 1)；⑨y ＝kx ＋b ；⑩x a ＋y b＝1(ab ≠0)；⑪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，；⑫k 1＝k 2；⑬k 1k 2＝－1；⑭12210A B A B -=且12210B C B C -≠；⑮12210A B A B -≠；⑯12120A A B B +=；⑰(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2；⑱d=⑲ d=.【课前自测】1．【教材习题改编】直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为 ( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 答案：B提示：∵k ＝3＝tan α而0°≤α＜180°，∴α＝60°.2. 【天津市新华中学2014届第三次月考】倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x答案:D提示:直线的斜率为tan1351k ==-，所以满足条件的直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.3. 【山东省济南市2014届第一次模拟】已知两条直线012)1(:1=++-y x a l ，03:2=++ay x l 平行，则=a （ ）A ．-1B ．2C ．0或-2D ．-1或2 答案:D提示:若0a =，两直线方程为210x y -++=和3x =-，此时两直线相交，不平行.所以0a ≠.当0a ≠时，两直线若平行，则有12113a a -=≠，解得1a =-或2a =. 4. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 答案：[0,10]提示：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．5.平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________． 答案:132提示: 直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝132. 【课标示例题】【例1】直线的倾斜角与斜率（1）若ab <0，则过点P (0，－1b )与Q (1a ，0)的直线PQ 的倾斜角的取值范围是 .（2）已知曲线32y x ax =-在R 上的切线的倾斜角的取值范围为3(,]24ππ，则实数a 的范围为 . 解析：（1）k PQ ＝－1b －00－1a ＝a b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为(π2，π)．（2）322,32,tan ,y x ax y k x a k α'=-∴==-=【举一反三】1.直线l 经过(2,1)A 、2(1,)()B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0,)π B ．3[0,][,)44πππ C ．[0,]4πD ．[0,](,)42πππ 答案与提示：设直线的倾斜角为θ，则221tan 1112m m θ-==-≤-，又 ∵[)0,θπ∈， ∴[0,](,)42ππθπ∈． 2.直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )． A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1答案与提示：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k＜3，解不等式为k ＞12或k ＜－1．【例2】求直线的方程已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16;（3）直线的截距相等.解析：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是 －4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)(4k ＋3)＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.(3) 因直线的截距相等，故设直线方程为1(0)x y a a a +=≠，则有213,6,2a a a a =∴=∴=∴直线l 的方程为0.x y +=【举一反三】3.已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点．(1)当△AOB面积最小时，直线l 的方程是__________；(2)当|MA |·|MB |取得最小值时，直线l 的方程是________． 答案与提示：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，A (2－1k，0)，B (0，1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )(2－1k )＝12[4＋(－4k )＋(－1k )]≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. (2)∵|MA |＝1k 2＋1，|MB |＝4＋4k 2，∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2 k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.【例3】两条直线平行与垂直的判定及应用 【举一反三】4.已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．答案与提示：(1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0，解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．【例4】距离公式的应用（1） 已知点()P x,y 在直线10x y --=上运动，则()()2222x y -+-的最小值为 . （2）在△OAB 中，O 为坐标原点，A （1，cos θ），B(sin θ，1)，则△OAB 的面积的取值范围是 . （3）已知直线l1:mx+8y+n=0与l 2:2x+my-1=0互相平行，且l 1,l 2求直线l 1的方程.解析：（1）将()()22222x y -+-=()()2222x y -+-(),P x y 到点()2,2之间的距离，而点(),P x y 在直线10x y --=，点(),P x y 到点()2,2的最短距离就是点()2,2到直线20x y --=的距离，即点()2,2到直线10x y --=的距离2d ==()()2222xy -+-的最小值为22122d ⎛== ⎝⎭.(2)【举一反三】5.已知点A （2，-1），（1）求过点A 且与原点距离为2的直线l 的方程.（2）求过点A 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过点A 且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.答案与提示：(1)由过点A 的直线l 与原点距离为2，而点A 的坐标为(2，－1)，可知当斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时，原点到直线l 的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0， 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0，综上可知：直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过点A 与原点O 距离最大的直线是过点A 与AO 垂直的直线， 由l ⊥AO ，得k l k OA ＝－1，所以k l ＝－1k OA＝2.由直线的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过点A 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点A 不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过点A 且与原点距离为6的直线． 【课标创新题】【2013年江苏高考】在平面直角坐标系xoy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y xx=>图象上一动点. 若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为 .解析：依题意，定点(,)A a a 在直线y x =上，直线y x =与曲线1y x=的交点(1,1)--，(1,1)，由两点间的距离公式得这两点间的距离为，∴1a =-满足条件.设00(,)P x y 0(0)x >，则||PA ==设001t x x =+，∵00x >，∴2t ≥，||PA ==≥=a =，而0a >，∴a =.故满足条件的实数a 的所有值为1-【举一反三】6.【2013届上海市嘉定一模】若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0 上的射影为M ，点N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是 ．答案与提示： a 、b 、c 成等差数列⇒a -2b +c =0⇒ a ⋅1+b ⋅(-2)+c =0，∴直线l ：ax+by+c =0过定点 Q (1,-2)，又P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，∴∠PMQ =90︒，∴M 在以PQ 为直径的圆上,圆心为C (0, -1)，半径r =222||222121=+=PQ ，线段MN 长度的最小值即 是N (0, 3)与圆上动点M 距离的最小值=|NC |-r =4-2. 【课标自测题】一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．直线2130x my m -+-=，当m 变动时，所有直线都通过定点（ ）A ．1(,3)2-B ．1(,3)2 C ．1(,3)2- D ．1(,3)2--答案:D提示：∵2130x my m -+-=，∴21(3)0x m y +-+=，当21030x y +=⎧⎨+=⎩，即123x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线恒过点(2,1)-． 2. 【2013年四川高考】抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ） A.121答案:B提示：抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，双曲线2213y x -=0y ±=，于是点F 到渐近线的距离2d ==，选B. 3. 已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x >0时，f (x )<1，则方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )答案：C提示:由已知可得a ∈(0，1)，从而斜率k ∈(0，1)，且在x 轴上的截距的绝对值大于在y 轴上的截距的绝对值，故选C.4. 【2013届湖北省黄冈市黄冈中学二模】 “2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A提示: 若直线214a y ax y x =-+=-与垂直，则=14aa -⨯-，即2a =±，故由“2a =”能够推出两条直线垂直，但反之不成立，故选A.5.若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行 ，则a 的值为（ ）A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-2答案：A提示:直线1l 的方程为42ay x =-+，若1a =-，则两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，则有282114a a -=≠=-+，由211a a =+，解得1a =或2a =-。
直线与方程 知识点 总结姓名 李正才 学生姓名 填写时间 2013- 12 - 14学科 数学年级高三教材版本 人教版 阶段 观察期□：第（ ）周 维护期□课时统计第（ ）课时 共（ ）课时 课题名称直线与直线方程上课时间教学目标同步教学知识内容个性化学习问题解决教学重点直线方程的求法 直线的位置关系 过定点 有关最值问题教学难点直线有关最值问题 实际运用 综合运用教学过程课后作业备注提交时间教研组长审批一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值与两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=∙k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。
3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=推导方法：构造直角三角形“勾股定理”； ②点到直线距离：2200B A C By Ax d +++=推导方法：构造直角三角形“面积相等”；③平行直线间距离：2221BA C C d +-= 推导方法：在y 轴截距),0(1C 代入②式；4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ 推导方法：构造直角“相似三角形”；5．到角和夹角公式：1．1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角θ，θ()π,0∈且tan θ=21121k k k k +-(121k k ≠-)；（2）1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角,(0,]2πθθ∈且tan θ=︱21121k k k k +-︱(121k k ≠-)。
提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。
三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）：①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果； ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。
2、动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：①PB PA +的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ②PB PA -的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； ③22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
3、直线必过点：① 含有一个未知参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 => 必过点(-2,3)② 含有两个未知参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7)4．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；2．知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；4．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
5、易错辨析：① 讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。
） ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况： <1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。
（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。
）yxo题型分类总结题型1：直线的倾斜角与斜率倾斜角0 ()︒︒90,0︒90()︒︒180,90斜率取值()+∞,0不存在()0,∞-增减性/递增/递增考点1：直线的倾斜角例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( )A 、1B 、4C 、1或3D 、1或4例2、：直线023tan =++y x π的倾斜角α是A.3π B. 6π C. 32π D. 3π-例3.（2001上海春，14）若直线x =1的倾斜角为α，则α（ ）变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ）A 、︒60B 、︒30C 、︒120D 、︒150变式2：已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围考点2：直线的斜率及应用斜率公式1212x x y y k --=与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同；斜率变化分两段，2π是分界线，遇到斜率要特别谨慎例1：已知R ∈θ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是（ ）A 、[]︒30,0B 、[)︒︒180,150C 、[][)︒︒︒180,15030,0D 、[]︒︒150,30例2、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则ba 11+的值等于例3、过点P(－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段A 的中心，求直线l 的斜率和倾斜角.例1. 已知两点A (－1,2)、B (m,3)，求：(1)直线AB 的斜率k 与倾斜角α； (2)求直线AB 的方程； (3)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的范围．例4、已知直线l :y=kx-2和两点P （1，2）、Q （-4，1）,若l 与线段PQ 相交，求k 的取值范围；变式1、 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值变式2：若()3,2-A 、()2,3-B 、⎪⎭⎫⎝⎛m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ） A 、2-B 、2C 、21-D 、21变式3、．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为__________．变式4、已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α，且oo13545<<α，试求实数m 的取值范围。
5.若直线的方向向量是(3,1)a =，则该直线的斜率为 ，倾斜角为 .6．若直线k 的斜率满足－3<k <33，则该直线的倾斜角α的范围是 .7．（2002北京文）若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围（ ） A ．)3,6[ππ B ．)2,6(ππ C ．)2,3(ππ D ．]2,6[ππ变式8.在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，则1+x y的取值范围是考点3：两条直线的平行和垂直对于斜率都存在且不重合的两条直线21l l 、，2121//k k l l =⇔，12121-=⋅⇔⊥k k l l 。
若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意例1、已知点()2,2M ，()2,5-N ，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。
(1)OPN MOP ∠=∠(O 是坐标原点)；(2) MPN ∠是直角例2 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，１），Q （－1，2），判断直线BA 与P Ｑ的位置关系，并证明你的结论.变式训练1.若A(-2,3),B(3,-2),C(21,m)三点共线，则m 的值为( ) A.21 B.-21C.-2D.22. 直线l 1：ax+3y+1=0，l 2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k 1，k 2. （1）a=_____________时，α1=150°； （2）a=_____________时，l 2⊥x 轴； （3）a=_____________时，l 1∥l 2；（4）a=_____________时，l 1、l 2重合； （5）a=_____________时，l 1⊥l 2.3、两直线的斜率相等是两直线平行的：（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件题型2：直线方程名称 方程的形式 已知条件局限性点斜式 ()00x x k y y -=- ()11y x 、为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 b kx y +=k 为斜率，b 是直线在y 轴上截距两点式 121121x x x x y y y y --=--(21x x ≠且21y y ≠) ()11y x 、，()22y x 、是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 1=+by a x b a 、是直线在轴上的非零截距一般式0=++C By Ax B A 、不同时为零C B A 、、为系数；无限制，可表示任何位置的直线考点1：直线方程的求法例1、下列四个命题中的真命题是（ ）A 、经过定点()00y x P 、的直线都可以用方程()00x x k y y -=-表示B 、经过任意两个不同的点()111y x P 、和()222y x P 、的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示C 、不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D 、经过定点()b A ,0的直线都可以用方程b kx y +=表示例2、若()()0134422=+⋅+-+⋅-y m m x m 表示直线，则（ ）A 、2±≠m 且1≠m ，3≠mB 、2±≠mC 、1≠m 且3≠mD 、m 可取任意实数例3、 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x +y –6=0上，顶点A 的坐标是(1, –1)，求边AB , AC 所在的直线方程.例4．已知直线的点斜式方程为()y x -=--1342，求该直线另外三种特殊形式的方程。
