空间中直线与直线的位置关系

知识点一、公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（传递性）；符号表示：a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .作用：判断或证明空间中两条直线平行.知识点二、 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.注：等角定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补.推论：1. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．2. 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角） 相等．知识点三、空间中两条直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.题型一、平行线的传递性【例1】如图，△ABC 的各边对应平行于△111A B C 的各边，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，且1,3AE AB AF ==13AC ，则EF 与11B C 的位置关系是________. 第6讲 直线与直线的位置关系 知识梳理例题分析模块一：空间直线的位置关系 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【难度】★题型二、等角定理【例1】已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，若∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于（ ）A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．以上结论都不对【难度】★【例2】给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【难度】★【例3】若111AOB A O B ∠=∠，且11OA O A ∥，OA 与11O A 方向相同，则下列结论正确的有（ ）A ．11OB O B ∥且方向相同B ．11OB O B ∥，方向可能不同C ．OB 与11O B 不平行D ．OB 与11O B 不一定平行 【难度】★题型三、空间直线的位置关系【例1】已知三条直线1l ，2l ，3l 满足12l l ∥且23l l ⊥，则1l 与3l （ ）A ．平行B ．垂直C ．共面D ．异面【难度】★【例2】若直线//a b ，直线c a A =，则直线b 、c 的位置关系为______.（用文字表述）【难度】★【例3】若直线a 与直线b ，c 所成的角相等，则b ，c 的位置关系为（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上答案都有可能【难度】★★【例4】如图，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是平行直线的图是________(填序号).【难度】★★【例5】如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④【难度】★★【例6】如图是正方体的平面展开图，在原来的正方体中（1）BM 与ED 平行； （2）CN 与BE 是异面直线； （3）CN 与BM 成60︒； （4）DN 与BM 垂直其中正确的序号是_____________．【难度】★★知识点一、异面直线的定义把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；画法：（通常用平面衬托）知识点二、异面直线的判定1. 判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线.符号表示：A α∉, B α∈，B a ∉，a AB α⊂⇒与l 是异面直线（如图）.2. 异面直线的判定方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面；③判定定理法知识点三、异面直线所成的角1. 定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角.2. 范围：两条异面直线所成角的范围是0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（090θ︒<≤︒）. 3. 异面垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．记作a ⊥b ．模块二：异面直线 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 知识梳理4. 平移法求异面直线所成角①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②证明：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，取它的补角.题型一、异面直线的判定【例1】正方体1111ABCD A B C D −中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则直线MN 与D 1C 的位置关系是_________.【难度】★【例2】若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则（ ）A ．a ∥cB ．a ，c 是异面直线C ．a ，c 相交D ．a ，c 平行或相交或异面【难度】★★【例3】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是1AB AA ､的中点.求证： （1）1CE D F DA ､､三线共点；（2）直线BC 和直线1D F 是异面直线.【难度】★★例题分析【例4】已知：平面α平面a β=，b α⊂，b a A ⋂=，c β⊂且c ∥a ，求证：b 、c 是异面直线．【难度】★★题型二、异面直线所成的角【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是_________.【难度】★【例2】在正方体1111ABCD A B C D −中，AC 与BD 相交于点O ，则异面直线1B O 与1A D 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【难度】★★【例3】已知，点A 是BCD △所在平面外一点，且AB AD AC BC BD CD =====，点E 是边BC 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为___________.【难度】★★【例4】在正方体1111ABCD A B C D −中，与1AD 成60°角的面对角线的条数是________【难度】★★【例5】已知点M 是正方体1111ABCD A B C D −的与1BB 上的中点，求异面直线1MD 与1A B 所成的角．【难度】★★题型三、空间四边形【例1】如图所示，已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则MN 12(AC ＋BD ).【难度】★【例2】已知空间四边形ABCD ，连接AC 和BD ，且1AB AC AD BC CD BD ======，点N 是线段AD 的中点，则异面直线BD 和CN 所成的角的余弦值是______．【难度】★★【例3】如图，在空间四边形ABCD 中，E ，G 分别为,AB CD 的中点且6,8===EG AC BD ，则异面直线AC 和BD 所成角是_________．【难度】★★题型四、综合问题【例1】如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.（1）求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；（2）若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小；【难度】★★【例2】如图，已知正方体ABCD A B C D −''''的棱长为1.（1）正方体ABCD A B C D −''''中哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？（2）若,M N 分别是A B '，BC '的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.【难度】★★【例3】如图所示，点A 是△BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，当EF ＝22AD 时，求异面直线AD 和BC 所成的角． 【难度】★★师生总结1. 空间中有两个角α、β，且角α、β的两边分别平行.若60α=，则β=________.【难度】★2. 如图，在正方体中，A 、B 、C 、D 分别是顶点或所在棱的中点，则A 、B 、C 、D 四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）．【难度】★3. 如图是正方体的表面展开图，E ，F ，G ，H 分别是棱的中点，则EF 与GH 在原正方体中的位置关系为______.【难度】★4. 若a ，b 为两条异面直线，α，β为两个平面，a α⊂，b β⊂，l αβ=，则下列结论中正确的序号是 .①l 至少与a ，b 中一条相交②l 至多与a ，b 中一条相交③l 至少与a ，b 中一条平行④l 必与a ，b 中一条相交，与另一条平行【难度】★5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 .【难度】★★巩固练习6. 如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN ＝________.【难度】★★7. 在空间中，直线AB 平行于直线EF ，直线BC EF 、为异面直线，若120ABC ∠=︒，则异面直线BC EF 、所成角的大小为______．【难度】★★8. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成的角的大小为_________.【难度】★★9. 设A 、B 、C 、D 是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（ ）.A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定 【难度】★★10. 已知直线a、b是正方体上两条面对角线所在的直线，且a、b是异面直线，则直线a、b所成的角的大小为_____．【难度】★★11. 已知a，b是异面直线，直线//c a且c不与b相交，求证：b、c是异面直线.【难度】★★12. 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是PC、PD的中点，已知=.PD CDPD CD⊥，且2（1）求证：A、B、E、F在同一平面上；（2）求异面直线PC与AB所成角的大小.【难度】★★13. 已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点， （1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【难度】★★14. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为AB 中点，F 为1AA 中点，（1）求证：E 、C 、D 1、F 四点共面；（2）求异面直线1C E 与1CD 所成的角.【难度】★★1. 正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成120 的二面角，则异面直线EF与AG所成角的正切值为（）A．32B．34C．72D．74【难度】★★★能力提升。

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。

2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】（一）空间两条直线的位置关系（1）相交直线——在同一平面内，有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

若从有无公共点的角度看，可分两类： ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看，也可分两类：①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线（三）异面直线1、异面直线的画法：aba bαα2、异面直线所成角（1）异面直线所成角的范围：____________（2）两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是（ ）A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中，正确的有（ ）①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。

②垂直于同一条直线的两条直线平行。

③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。

④若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线。

A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有（ ） A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度。

空间中直线与直线之间的位置关系之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日[学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的界说,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系(1)界说：分歧在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：①异面直线的界说标明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交,也不服行.②不能误认为分别在分歧平面内的两条直线为异面直线.如图中,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个分歧的平面内,可是因为a∩b＝O,所以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时,为了充沛显示出它们既不服行也不相交,即不共面的特点,经常需要画一个或两个辅助平面作为烘托,以加强直观性、立体感.如图所示,a与b为异面直线.(3)判断方法方法内容界说法依据界说判断两直线不成能在同一平面内(1)按两条直线是否共面分类⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 相交直线：同一平面内有且只有一个公共点平行直线：同一平面内没有公共点异面直线：分歧在任何一个平面内没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类⎩⎪⎨⎪⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点⎩⎪⎨⎪⎧ 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？(2)两条垂直的直线必相交吗？答 (1)纷歧定.可能相交、平行或异面.(2)纷歧定.可能相交垂直,也可能异面垂直.知识点二 公理4(平行公理)文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行,这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b 图形语言知识点三 空间等角定理文字语言 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 符号语言 OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′B ′⇒∠AOB ＝∠A ′O ′B ′或∠AOB ＋∠A ′O ′B ′＝180° 图形语言作用判断或证明两个角相等或互补如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.思考 如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗？答 纷歧定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四 异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.(1)在空间任取一点O,过点O分别作a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角,然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O,过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a),则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角),然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1 若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面谜底D解析可借助长方体来判断.如图,在长方体ABCD－A′B′C′D′中,A′D′所在直线为a,AB 所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′,CC′,DD′.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.谜底(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面解析序号结论理由(1)平行因为A1D1綊BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C(2)异面A1B与B1C分歧在任何一个平面内(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)异面AB与B1C分歧在任何一个平面内题型二公理4、等角定理的应用例2 E,F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点,求证：四边形B1EDF是平行四边形.证明设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.因为E是AA1的中点,所以.又因为在矩形A1B1C1D1中,,所以..又因为Q,F分别是矩形DD1C1C两边D1D,C1C的中点,所以.所以四边形DQC1F为平行四边形.所以.又因为,所以.所以四边形B1EDF为平行四边形.跟踪训练2 如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证：E,F,G,H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形,求证：AC⊥BD.证明(1)在△ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH∥BD.同理FG∥BD,则EH∥FG.故E,F,G,H 四点共面.(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.又∵四边形EFGH 是矩形,∴EH⊥GH.故AC⊥BD.题型三 异面直线所成的角例 3 如图所示,在空间四边形ABCD 中,AB ＝CD,AB⊥CD,E,F 分别为BC,AD 的中点,求EF 和AB所成的角.解 如图,取BD 的中点G,连接EG,FG.因为E,F 分别为BC,AD 的中点,AB ＝CD,所以EG∥CD,GF∥AB,且EG ＝12CD,GF ＝12AB. 所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角,EG ＝GF.因为AB⊥CD,所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE＝45°,即EF 与AB 所成的角为45°.跟踪训练3 空间四边形ABCD中,AB＝CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的年夜小.解取AC的中点G,连接EG,FG,则EG 12AB,GF12CD.故直线GE,EF所成的锐角即为AB与EF所成的角,直线GE,GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF＝30°或150°.由AB＝CD,知EG＝FG,∴△EFG为等腰三角形.当∠EGF＝30°时,∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时,∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.转化与化归思想例5 在空间四边形ABCD中,AD＝BC＝2a,E,F分别是AB,CD的中点,EF＝3a,求异面直线AD,BC所成的角.分析要求异面直线AD,BC所成的角,可在空间中找一些特殊点,将AD,BC平移至一个三角形中.此题已知E,F分别为AB,CD的中点,故可寻找一边中点,如BD的中点M,则∠EMF(或其补角)为所求角.解如图,取BD的中点M.由题意,知EM为△BAD的中位线,所以EM∥AD 且EM ＝12AD.同理,MF∥BC 且MF ＝12BC.所以EM ＝a,MF ＝a,且∠EMF(或其补角)为所求角.在等腰△MEF 中,取EF 的中点N,连接MN,则MN⊥EF.又因为EF ＝3a,所以EN ＝32a.故有sin∠EMN＝EN EM ＝32.所以∠EMN＝60°,所以∠EMF＝2∠EMN＝120°.因为∠EMF＝120°＞90°,所以AD,BC 所成的角为∠EMF 的补角,即AD 和BC 所成的角为60°.反证法的合理应用例6 如图,三棱锥P －ABC 中,E 是PC 上异于点P 的点.求证：AE与PB 是异面直线.分析利用界说直接证明,即从分歧在任何一个平面内中的“任何”开始入手,一个平面一个平面地寻找是不成能实现的,因此必需找到一个间接证法来证明,反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线,设AE与PB都在平面α内,因为P∈α,E∈α,所以PE⊂α.又因为C∈PE,所以C∈α.所以点P,A,B,C都在平面α内.这与P,A,B,C不共面(P－ABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立,所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )3.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( )4.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点,则暗示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填序号)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )2.已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α＝60°,则β即是( )A.60°B.120°C.30°D.60°或120°3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线BA1与CC1所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°4.下面四种说法：①若直线a、b异面,b、c异面,则a、c异面；②若直线a、b相交,b、c相交,则a、c相交；③若a∥b,则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中正确的个数是( )5.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( )6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,则过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为( )7.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )D.AE与B1C1所成的角为60°二、填空题8.在四棱锥P－ABCD中,各棱所在的直线互相异面的有________对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________.10.如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成的角为______.三、解答题11.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,BC＝＝1,DA若2,DA⊥AC,DA⊥AB,且为BE与求异面直线,DA的中点ECD所成角的余弦值.12.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB＝AH∶HD＝m,CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E,F,G,H四点共面；(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明：EG＝FH.当堂检测谜底1.谜底D 解析若直线a和b共面,则由题意可知a∥b；若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.2.谜底B 解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC＝B,DD1与BC是异面直线,故选B.3.谜底A解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l′∥l,以l′为轴,与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.解析①中,∵G,M 是中点,∴AG 綊BM,∴GM 綊AB 綊HN,∴GH∥MN,即G,H,M,N 四点共面；②中,∵H,G,N 三点共面,且都在平面HGN 内,而点M 显然不在平面HGN 内,∴H,G,M,N 四点不共面,即GH 与MN 异面；③中,∵G,M 是中点,∴GM 綊12CD,∴GM 綊12HN,即GMNH 是梯形,则HG,MN 必相交,∴H,G,M,N 四点共面；④中,同②,G,H,M,N 四点不共面,即GH 与MN 异面.5.谜底 13解析 设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,所以∠AED1就是异面直线AE 与A1B1所成的角.在△AED1中,cos∠AED1＝D1E AE ＝1232＝13. 课时精练谜底一、选择题1.谜底 D解析 可能相交也可能异面,但一定不服行(否则与条件矛盾).解析 由等角定理,知β与α相等或互补,故β＝60°或120°.3.谜底 B解析 如图,在正方体ABCD －A1B1C1D1中,BB1∥CC1,故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角,故为45°.4.谜底 D解析 若a 、b 异面,b 、c 异面,则a 、c 相交、平行、异面均有可能,故①分歧毛病.若a 、b 相交,b 、c 相交,则a 、c 相交、平行、异面均有可能,故②分歧毛病.若a⊥b,b⊥c,则a 、c 平行、相交、异面均有可能,故④分歧毛病.③正确.5.谜底 D解析 如图,因为BD⊥AC,且BD ＝AC,又因为E,F,G,H 分别为对应边的中点,所以FG EH 12BD,HG EF 12AC.所以FG⊥HG,且FG ＝HG.所以四边形EFGH 为正方形.6.谜底 B解析 设截面四边形为EFGH,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中＝6)＋2×(4周长为6,∴＝BD 12＝HE ＝4,FG ＝AC 12＝GH ＝,∴EF 点20.7.谜底 C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A毛病；由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC 相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B毛病；同理AE与B1C1是异面直线,C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D毛病.综上所述,故选C.二、填空题8.谜底8解析以底边所在直线为准进行考察,因为四边形ABCD是平面图形,4条边在同一平面内,不成能组成异面直线,而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线,所以共有4×2＝8(对)异面直线.9.谜底①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.10.谜底60°解析连接BC1,A1C1,∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中,A1B＝BC1＝A1C1,∴∠A1BC1＝60°,故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.三、解答题11.解 取AC 的中点F,连接EF,BF,在△ACD 中,E,F 分别是AD,AC 的中点,∴EF∥CD,∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角).1,＝AC ＝AC,∴AB ＝,AB 2＝,BC 中Rt△ABC 在 .52＝,∴BE 12＝AD 12＝1,AE ＝,AB 中Rt△EAB 在 .22＝,∴EF 12＝,AE 12＝AC 12＝,AF 中Rt△AEF 在 .52＝,∴BF 12＝1,AF ＝,AB 中Rt△ABF 在 ,1010＝2452＝12EF BE ＝,cos∠FEB 中EBF 在等腰三角形 .1010所成角的余弦值为CD 与BE 异面直线∴12.(1)证明 因为AE∶EB＝AH∶HD,所以EH∥BD.又因为CF∶FB＝CG∶GD,所以FG∥DB.所以EH∥FG.所以E,F,G,H 四点共面.(2)解 当且仅当EH∥FG,EH＝FG 时,四边形EFGH 为平行四边形.BD.m m ＋1＝EH 所以,m m ＋1＝AE AE ＋EB ＝EH BD 因为 n.＝m 得FG,＝EH 由BD,n n ＋1＝FG 同理故当m ＝n 时,四边形EFGH 为平行四边形. (3)证明 当m ＝n 时,AE∶EB＝CF∶FB,所以EF∥AC.又因为AC⊥BD,而∠FEH 是AC 与BD 所成的角, 所以∠FEH＝90°,从而平行四边形EFGH 为矩形,所以EG ＝FH.。

空间中直线与直线之间的位置关系教案第一章：直线与直线之间的基本概念1.1 直线的基本概念：直线的定义，直线上的点，直线的性质。

1.2 直线之间的位置关系：平行，相交，异面，共面。

1.3 直线之间的距离：直线之间的最短距离，直线之间的垂直距离。

第二章：直线的平行性质2.1 平行直线的定义与性质：同一直线上的点，到另一条直线的距离相等。

2.2 平行直线的判定：同一直线上的两个点，到另一条直线的距离相等。

2.3 平行直线的应用：平行线的性质在几何图形中的应用，如平行四边形，梯形等。

第三章：直线的相交性质3.1 相交直线的定义与性质：在一点相交的两条直线，交点称为垂足。

3.2 相交直线的判定：两条直线在同一平面内，且交点为一个点。

3.3 相交直线的应用：相交线的性质在几何图形中的应用，如矩形，菱形等。

第四章：直线与平面的位置关系4.1 直线与平面的定义与性质：直线与平面相交，直线在平面内。

4.2 直线与平面的判定：直线上的任意一点都在平面内，或者直线与平面相交。

4.3 直线与平面的应用：直线与平面的位置关系在立体几何中的应用，如直线与平面垂直，直线与平面平行等。

第五章：直线与直线，直线与平面的综合应用5.1 直线与直线，直线与平面的交点：求解直线与直线，直线与平面的交点。

5.2 直线与直线，直线与平面的距离：求解直线与直线，直线与平面的距离。

5.3 直线与直线，直线与平面的应用：解决实际问题，如计算几何图形的大小，求解物体的位置等。

第六章：异面直线与异面直线的位置关系6.1 异面直线的定义与性质：不在同一平面内的两条直线。

6.2 异面直线的判定：两条直线不在同一平面内。

6.3 异面直线的位置关系应用：异面直线在立体几何中的特点和应用。

第七章：直线与平面的交点求解7.1 直线与平面交点的求解方法：利用方程组求解直线与平面的交点。

7.2 直线与平面交点的性质：交点的坐标与直线的方程之间的关系。

7.3 直线与平面交点的应用：解决实际问题，如求解几何图形上的点等。