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函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0−f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0+f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。
如果limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)。
二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。
（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但limx→x0f(x)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且limx→x0f(x)在x0处的极限也存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。
如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。
如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。
如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。
至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。
历年真题1、函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |的可去间断点的个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2013，数三，4分)【解析】函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |在x =−1,0,1处没定义，lim x→−1f (x )=lim x→−1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→−1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→−1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→−11(x +1)=∞lim x→0f (x )=lim x→0|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→0e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→0xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→01(x +1)=1lim x→1f (x )=lim x→1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→11(x +1)=12所以x =0和x =1为可去间断点。
函数连续性与间断点例题和知识点总结在高等数学中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解这部分知识对于后续学习微积分等内容有着至关重要的作用。
接下来，我们将通过一些例题来深入探讨函数的连续性与间断点，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，并且当＄x$ 趋近于＄x_0$ 时，函数值＄f(x)＄趋近于＄f(x_0)＄，则称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言可以表示为：＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄二、函数连续性的条件函数在某点连续必须满足以下三个条件：1、函数在该点有定义；2、函数在该点的极限存在；3、函数在该点的极限值等于函数值。
三、函数间断点的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处不满足连续的条件，则称点＄x_0$ 为函数＄f(x)＄的间断点。
四、间断点的类型间断点主要分为以下三类：1、第一类间断点：左右极限都存在的间断点。
可去间断点：左右极限相等，但不等于函数在该点的函数值，或者函数在该点无定义。
跳跃间断点：左右极限存在但不相等。
2、第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点。
无穷间断点：函数在该点的极限为无穷大。
振荡间断点：函数在该点的极限不存在且函数值在某两个值之间来回振荡。
五、例题解析例 1：讨论函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
首先，当＄x ＼neq 1$ 时，＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝＼frac{（x ＋ 1)（x 1)｝｛x 1} ＝ x ＋ 1$而当＄x ＝ 1$ 时，函数在该点无定义。
＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} （x ＋ 1) ＝ 2$由于函数在＄x ＝ 1$ 处无定义，且极限存在为 2，所以＄x ＝1$ 为可去间断点。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 2, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
高等数学,函数连续性
本文的核心内容是关于“函数连续性”的一些基本概念和定义，以及它在高等数学中的重要性和应用。
首先，让我们来看看“函数连续性”有什么定义。
“函数连续性”是一个数学概念，它涉及函数在其定义域内的区域特性，例如这个区域是否拥有连续的导数、是否处于某种微分方程之中等等。
具体来讲，函数连续性指的是，当函数的定义域内的点存在一定的关系时，由这些点确定的函数值也会保持连续性，即无论处于哪种情况，函数值的变化都是均匀的。
因此，函数连续性有其它函数特性，如有界性、对称性和复制对称性等，可以用来衡量函数是否能够保持一致。
接下来，让我们来看看函数连续性在高等数学中的重要性。
首先，函数连续性是高等数学中极其重要的概念。
它不仅可以帮助理解函数的定义，还可以用来证明某些数学定理，并用于解决各种数学问题。
例如，它可以帮助理解和证明函数极限的概念，从而指出函数的行为特征，从而能够有效地解决函数未知区间的问题。
它也可以应用于积分等方面，可以有效地用来计算函数变化之间的微分和整体值。
最后，函数连续性也被用来求解多元函数问题，例如方程组和曲线拟合问题，可以有效地求解函数变化之间的积分和微分。
总之，函数连续性是数学中非常重要的概念，它可以有效地帮助我们理解数学定理，并使用它来解决某些数学问题，具有重要的实际意义。
综上所述，函数连续性在高等数学中具有重要的意义，可以帮助我们理解和证明一些重要的数学概念，并可以用来求解多元函数的问题，从而实现理论研究和实际应用的双重效果。
函数连续性判定方法例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
它不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际问题的解决中也有着广泛的应用。
本文将通过一些例题来详细讲解函数连续性的判定方法，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在区间内的每一点都连续，就称函数在该区间上连续。
二、函数连续性的判定方法1、利用定义判定直接根据连续性的定义，计算函数在某点的极限是否等于该点的函数值。
例 1：判断函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} x^2 ＝ 1^2 ＝ 1$，而＄f(1) ＝ 1^2 ＝ 1$，因为＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝ f(1)＄，所以函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处连续。
2、左右极限相等且等于该点函数值如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 3, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：左极限＄＼lim_{x ＼to 1^｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^｝（x ＋1) ＝ 2$，右极限＄＼lim_{x ＼to 1^＋｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^＋｝（x 1) ＝ 0$，因为左极限和右极限不相等，所以函数＄f(x)＄在＄x＝ 1$ 处不连续。
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
第三章 函数的连续性
一，函数连续性的定义（极限定义）
1 第一定义：设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果极限()
a x x f →lim 存在并且
()
a x x f →lim =()a f 则称函数()x f 在a 点连续或称a 是()x f 的一个连续点。
解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义)
2 第二定义： 设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果对于任意的正数ε>0,存在()0,0δδ∈使得当()δ,a U x ∈时有 ()()a f x f -<ε则称()x f 在a 点连续,特别地,若记a x x -=∆，()()a f x a f y -∆+=∆.则有a x x
→∆lim =0时, a x y
→∆lim =0。
解析：⑴连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量x 的改变量(∆x )非常小时函数()x f 相应的改变量也非常小,则()x f 就叫做连续函数。
⑵ 由于∆x 的引入使得在某点连续扩展到区间连续。
⑶ 该定义体现了自变量x 所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出. ⑷ 表明了可导与连续的关系。
⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤：①检查函数()x f 在点a 处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限a x x f →)
(lim ㈡根据自变量的初值a 和终
值x a ∆+求出函数的增量()()a f x a f y -∆+=∆③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验a x x f →)
(lim 与()a f 是否相等㈡求极限0lim →∆∆x y
是否为0。
3 单侧连续（左（右）连续）：设()x f 在某个[)δ+a a ,（或(]a a ,δ-）上有定义，如果()
+→a x x f lim =()a f （或()-→a x x f lim =()a f ）则称()x f 在点x =a 右（左）连续。
左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。
解析:类比于单侧极限。
4. 一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I 上有定义,如果对于任意给定的正数ε总存在着正数δ使得对于区间I 上的任意两点21,x x 当δ<-21x x 时就有ε<-)()(21x f x f ,那么称函数()x f 在区间I 上是一致连续的.如果函数()x f 在[]b a ,上
连续那么它在该区间上一致连续。
解析: ⑴与柯西(Cauchy)准则的联系。
⑵如果函数在某区间上每一点都连续则称在该区间上连续.如果函数在非开区间内每一点连续,而在端点处单侧连续(即在左端点右连续,在右端点左连续)则称在整个区间上一致连续。
二，函数的间断点及其分类:
1 定义:使函数不连续的点0x 叫做函数()x f 的间断点(或不连续点)。
解析: 间断情况的三种情形(函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义)⑴在x =0x 没有定义。
⑵虽然在x =0x 有定义但()
0lim x x x f →不存在。
⑶虽在x =0x 有定义且()0lim x x x f →存在但
()
0lim x x x f →≠()0x f 。
2 间断点的分类(按照函数()x f 在间断点0x 处的左右极限是否存在)⑴第一类间断点:当()x f 在间断点0x 的左右极限都存在时, 0x 就叫做()x f 的第一类间断点。
(其中第一类间断点包括可去间断点(对该点通过补充定义可以连续)和不可去间断点(或跳跃间断点))即:①第一类可去间断点:函数()x f 在点0x 处无定义,但()
0lim x x x f →存在或函数()x f 在点0x 处
有定义为()0x f 但()
0lim x x x f →≠()0x f (特点:函数在点0x 处间断但有极限)②不可去间断点
(或跳跃间断点): 函数()x f 在点0x 处的两个单侧极限存在,但函数在该点无极限,即()
+
→0lim x x x f ≠()-
→0lim x x x f ③第一类间断点定理:设函数()x f 在开区间I 上单调,如果存在间断点
的话,则函数()x f 在开区间I 上只有第一类间断点⑵第二类间断点:当函数()x f 在间断点0x 处的左右极限至少有一个不存在时, 0x 就叫做()x f 的第二类间断点.( 其中第二类间断点包括无穷大间断点和无穷振荡间断点)即:①无穷大间断点:如果在点0x 处函数()x f 的极限为无穷大,则称点0x 为第二类无穷大间断点②第二类无穷振荡间断点:如果当0x x →时函数()x f 产生无穷振荡(函数值在某一范围之间变动无限多项)则点0x 称为函数()x f 的第二类无穷振荡间断点。
三，连续函数的性质:
1 四则运算性质:有限个连续函数的和差积商仍为连续函数。
2 复合运算: 有限个连续函数的复合仍为连续函数。
3 连续函数与函数极限的关系:若函数()x f 为连续函数,那么进行极限运算时可将极限符号移入函数符号之内,达到简化目的。
4 局部性质(极限角度) (1). 局部保号性:设函数f :I R →在点I x ∈0连续且()()()u x f u x f <>00,则存在0>δ当()I x U x ⋂∈δ,0时有()()()u x f u x f <>,⑵局部有界性:设函数f :I R →在点I x ∈0连续,则存在0>δ使()x f 在()I x U x ⋂∈δ,0上有界。
5 如果函数()x f 在点0x 连续则()x f 在点0x 也连续(利用极限定义证明)特别地,若()x f 及()x g 都是连续函数则,()()(){}x g x f x ,max =ϕ及()()(){}x g x f x ,min =ψ也是连续的即:()()()()()[]()()()()()[]x g x f x g x f x x g x f x g x f x --+=ψ-++=2
1,21ϕ。
6 闭区间上连续函数的性质: ⑴最值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值和最小值(有界性)
解析:在闭区间上连续的函数在这个区间上取得最大(小)值是唯一的（值域的角度）,但取得最大(小)值的最大(小)值点则不一定是唯一的（定义域的角度）。
⑵介值定理:设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续且在区间的端点取不同的函数值: ()a f =A 及()b f =B ,那么对于A 与B 之间的任意一个数c 在开区间()b a ,内至少有一点ξ使得()c f =ξ (a <ξ<b )。
解析: ⑴几何意义:连续曲线弧y =()x f 与水平直线y =c 至少有一个交点。
⑵该定理表明:通过闭区间端点值的属性来研究开区间内函数值的性质。
⑶推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
⑶零点定理:设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续且()a f 与()b f 异号(即()()0<b f a f )那么在开区间()b a ,内至少有一点ξ使()0=ξf 。
解析: ⑴介值定理与零点定理的统一性。
⑵与方程根的分布及近似解有关进而引进了一种求解高次代数方程或其他类型方程近似根的有效方法——二分法。
可使其根可达到任意精度。
其方法的过程：判断一根在[]b a ,之间，则为加强其精度，则取其中点，再应用零点定理对中点与端点进行符号判断，依次进行下去，进而无限二分，无限应用零点定理直至比较精确为止。
其误差小于
()a b n
-21。
⑶应用该定理时需构造函数,其具有试验的意味。
⑷此定理与单调性的结合判断“只有性”问题。
四，几类函数的连续性:
1 复合函数的连续性:设函数()[]x g f y =是由函数()u f y =与函数()x g u =复合而成,()g Df x U ⊂0若函数()x g u =在0x x =连续且()00u x g =而函数()u f y =在0u u =连续则复合函数()[]x g f y =在0x x =也连续。
2 反函数的连续性:如果函数y =()x f 在区间上严格单调且连续,那么其反函数也在对应的区间上严格单调且连续。
解析:函数是区间上为单值,严格单调的函数。
3 分段函数的连续性的判断:⑴判断各子区间上的连续性⑵判断衔接点处的连续性。
4 初等函数的连续性:一切初等函数在其定义区间．．．．
内都是连续的。
五,函数连续性的证明方法
1 利用定义证明(通法)。
2 利用其性质证明。
