上海市普陀区2015届高三12月质量调研(一模)数学文试题

上海市普陀区2015届高三数学第三次模拟调研考试试题 文（含解析）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1.设复数(1)z i i =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =_________. 【答案】i --1考点：复数的运算及共轭复数的概念.2.已知幂函数)(x f y =图像过点（，则该幂函数的值域是_____________.【答案】[0,)+∞ 【解析】试题分析：设幂函数的解析式为αx y =因为幂函数)(x f y =图像过点（，所以21,22=∴=αα，所以该幂函数的解析式为0≥=x y . 考点：幂函数的定义及值域.3.设向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 上的投影为 . 【答案】-1考点：向量的投影.4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为_________.【答案】(1,1)-考点：解不等式. 5.若二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a 的值是__________.【答案】-2 【解析】试题分析：二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则6341≠=a a 解得2-=a . 考点：二元一次方程组的解法. 6.若02x π≤≤，则函数cos()sin()26y x x ππ=-+的最大值是___________.【答案】24+考点：求最大值.7.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 2cm ．【解析】试题分析：球的半径是1cm ，则它的体积ππ341343=⨯=V ,设圆锥的高为h ，由题意h 213134⨯=ππ，解得4=h ，则圆锥的母线长为,174122=+=l 所以圆锥的侧面积是=rl π.考点：求圆锥的侧面积.8.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++，其中435a =-，m R ∈，则01237a a a a a +++++= ．【答案】0考点：二项式定理的应用.9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF的一个方向向量为，则||PF =______． 【答案】4 【解析】试题分析：P 是抛物线上一点，所以可设点P 的坐标为),4(2y y ，则),1(y E -，又因为F )0,1(，所以),,2(y -=直线EF 的一个方向向量为，所以32,32-==-y y ，所以)32,3(-p ，所以),32,2(-=所以4)32()2(||22=+-=，所以||PF =4.考点：求线段的长度.10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于___________.【答案】48考点：求三角形的面积.11.函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数(1)1f -=，，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++的值是___ __.【答案】2031120 【解析】试题分析：因为(1)(1)()xf x x f x +=+，所以)(1)1(,0,0)0(x f xx x f x f +=+≠=，由题意=)1(f (1)1f -=，所以n n f f f f f =====)(,3)2(23)3(,2)1(2)2( ，20311202)20150(201620153210)2015()2()1()0(=+=+++++=++++ f f f f .考点：抽象函数.12.若矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式a b c d 的值为正数的概率为__________. 【答案】13考点：行列式与概率.13.设,x y 满足约束条件：32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则a bab+的最小值为 .【答案】【解析】试题分析： 画出32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩的可行域易得A(0，0),B(23，0),C(2,4),易得直线a zy x b b=-+(0,0)a b >>过点C 时目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，即24b 2a +=，11112()(2)33a b a b a b ab a b a b b a +=+=++=++≥+当且仅当212a b a b b a+=⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，所以答案为考点：线性规划.14.已知集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，，对于,n U V A ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数，若给定n U A ∈，则所有的(,)d U V 和为__________. 【答案】12n n -【解析】试题分析：由题意可得集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，中，共有2n个元素，记为123(1,2.3,4,,2),V (b ,,,)n k n V k b b b ==，b 0i =的k V 共有12n -个，b 1i =的k V 共有12n -个，111122(,)2(|0||1||0||1||0||1|)n 2n n n n d U V a a a a a a --∴=-+-+-+-++-+-=⨯.故答案为1n 2n -⨯. 考点：推理与证明.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. “0a b +>”是“任意的[]0,1x ∈，0ax b +>恒成立”的……………………………（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C考点：充分必要条件的判断.16.若0||2=+⋅，则ABC ∆为………………………………………………（ ） A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：由题意0||2=+⋅，可得()0AB BC AB AB AB BC AB AB AC ⋅+⋅=⋅+=⋅=，所以00,,90AB AC AB AC BAC ⋅=∴⊥∴∠=,所以ABC ∆为直角三角形 .考点：三角形形状的判断.17.函数ln |1|y x =-的图像与函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于……………………………………………………………………………………（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A【解析】试题分析：函数ln |1|y x =-的图像关于直线x=1对称，函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像也关于直线x=1对称，画出图像，两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6. 考点：对数函数与余弦函数的图象与性质.18.已知x 、y 均为实数，记,max{,},x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩.若i 表示虚数单位，且11a x y i =+，22,b x y i =+1122,,,x y x y R ∈，则…………（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.max{||,||}max{||,||}a b a b a b +-≤C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222max{||||}||||a b a b a b +-≥+，【答案】D考点：复数的几何意义.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数21()21x x f x -=+.（1）求函数()f x 的零点，并求反函数1()f x -；（2）设21()2log x g x k +=，若不等式1()()f x g x -≤在区间12[,]23上恒成立，求实数k 的范围.【答案】（1）0，121()log 1xf x x-+=-(11)x ∈-，,（2）03k <≤ 【解析】试题分析：(1)函数的零点即求当y=0时，x 的值；反函数的实质是x 与y 的互换；(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立试题解析：（1）函数()f x 的零点是0x =，（2分） 反函数121()log 1xf x x-+=-，(11)x ∈-，,（6分），考点：零点，反函数恒成立问题.20.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知正四棱柱ABCD A B C D １１１１－中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F .（1）求证：1A C ⊥平面BDE ； （2）求三棱锥C BDE -的体积.【答案】（1）答案见解析（2）23【解析】试题分析：（1）证明线线垂直一般要通过证明线面垂直，线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(2) 在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析：（1）连接AC,因为正四棱柱所以 11BD AC BD BD AA AC AA A⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面11A AC BD AC ⇒⊥；（3分）同理可得1111111BE B C BE BE A B B CA B B ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面111A B C BE AC ⇒⊥；又因为BD BE B = 所以1A C ⊥平面BDE . （6分） （2）容易得到1CE =，（8分） 所以112122323C BDE E BDC V V --==⨯⨯⨯⨯=.（14分） 考点：线线垂直及三棱锥的体积.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角EFG ∆，E 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口E 是AB 的中点，,F G 分别落在,AD BC上，且20,AB m AD ==,设GEB θ∠=.（1）试将污水管道的长度l 表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l 为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度.D AF【答案】（1）11110(+),[,]sin cos sin cos 63l ππθθθθθ=+∈；（2）max 20(31)m l =+ 试题解析：（1）因为101010,,F cos sin sin cos EG EF G θθθθ===，（3分） 11110(+),[,]sin cos sin cos 63l ππθθθθθ=+∈ （6分） （2）1sin cos 10sin cos l θθθθ++=，令31sin cos 2)[2]42t πθθθ=+=+∈，（8分） 所以201l t =-在312]2上减，（10分） 所以当6πθ=或3π时，max 20(31)l = （13分） 答：当6πθ=或3π时，max 20(31)m l =.（14分） 考点：利用三角函数解应用题.22.（本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q ，使得1(0)n n c pc q p +=+≠对于任意的*n N ∈都成立，我们称这个数列{}n c 是“M 类数列”.（1）若*2,32,n n n a n b n N ==⋅∈，判断数列{},{}n n a b 是否为“M 类数列”,并说明理由；（2）若数列{}n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++、1{}n n a a +⋅是否一定是“M 类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{}n a 满足：*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求nS 的表达式，并判断{}n a 是否是“M 类数列”.【答案】（1）是；（2）112(2,)23(21,n n n n k k Z S n k k Z ++⎧=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩-2，，），不是【解析】试题分析：(1)对于数列的新定义，一定要明确满足什么条件是M 类数列，然后解析判断，（2）由*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈如何求n S ，分n 为偶数与n 为奇数两种情况，注意把1n n a a ++看做整体对待，进行求和，由n S 进一步求出n a ，在根据新定义判断{}n a 是否是“M 类数列”.试题解析：（1）因为12n n a a +=+，12p q ==，是“M 类数列”，（2分） 12n n b b +=，20p q ==，是“M 类数列”（4分）.（2）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以121+()2n n n n a a p a a q +++=++，因此，1{}n n a a ++是“M 类数列”.（7分） 因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以221211()()n n n n n n a a p a a pq a a q ++++=+++，当0q =时，是“M 类数列”；（9分）当0q ≠时，不是“M 类数列”；（10分）假设{}n a 是“M 类数列”，当n 为偶数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=-=+=++⇒==-，当n 为奇数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=+=+=-+⇒==，得出矛盾，所以{}n a 不是“M 类数列”.（16分）考点：数列的新定义.23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D .记m nλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . （1）当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值；；（2）设直线:(0)l y kx k =>，若123S S =，证明：,B C 是线段AD 的四等分点（3）当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】(1)1λ=+;(2)证明见解析；（3） 当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .【解析】试题分析：（1）解决有关椭圆问题时，注意椭圆的对称性得应用；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（3）设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :(0)y kx k =≠22221y kx x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩222222a m x m a k ⇒=+ 即222222A a m x m a k =+ （12分） 同理可得,222222B a nx n a k =+ 又BDM ∆和ABN ∆的高相等12B D B AA B A BS x x x x BD S AB x x x x -+∴===--若存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B x x λλ-=+,即()()222222222211n a k n a k λλλλ-+=++,解得()()2322224211n k a λλλλ=--+ （16分） ∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤时,20k ≤,不存在这样的直线l . （18分） 考点：椭圆的综合问题.。

2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷数学（文）2013.12一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A . 2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e a +=与21e e m b -=平行，则实数=m .3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .4. 在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .5. 若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9. 若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .10．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 11.在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S .12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为第10题},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种.13.若函数2cos 1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的………………………………………………………………（ ）)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）)(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+baa b . )(C 4)11)((≥++ba b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：①||||||||21OA OA OA OA n ==== ；第13题②||i OA 的最小值一定是||OB ； ③点A 、i A 在一条直线上；④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C :x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标； （2）求||PQ 的最小值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的值域，并写出函数)(x f 的单调递增区间； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值. 21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？ （2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注:3310001mm cm =）第21题22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.已知数列{}n a 中，13a =，132nn n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.3.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求(f 的值；（2）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =()y f x x =-在)8,1(上无零点；（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k +⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. )0,3(-； 2.1-； 3. 4；4.3； 5.1； 6. =-)(1x f)0(21≤+x x （不标明定义域不给分）；7. 8； 8.32； 9.)2,21( 10．32； 11.【文科】 14--n n （*N n ∈）； 【理科】1006； 12.31； 13.【文科】150；【理科】49π； 14.2<a ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22= （1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分 （2）||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分当1=x 时，3||m in =PQ ……………………………………12分（不指出0≥x ，扣1分）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分【文科】由于2)62sin(22≤+≤-πx ，所以函数)(x f 的值域为]2,2[-………4分由πππππk x k 22)6222+≤+≤+-得ππππk x k +≤≤+-63所以函数)(x f 的单调的增区间为]6,3[ππππ+-k k ，Z k ∈………6分（文科不写Z k ∈，不扣分；不写区间，扣1分）【理科】由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(m ax =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分 其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分 21. （本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分. 【解】（1）设每分钟滴下k （*N k ∈）滴，………………1分则瓶内液体的体积πππ1563294221=⋅⋅+⋅⋅=V 3cm ………………3分k 滴球状液体的体积75340103432ππk mm k k V ==⋅⋅⋅=3cm ………………5分 所以15675156⨯=ππk ，解得75=k ，故每分钟应滴下75滴。

2015学年第一学期普陀区高三文理科数学质量调研卷评分标准2015.12一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分。

1.}4,3{2. x -+11（10≤≤x ）3. 560-.4. []1,1-5.【文科】2.【理科】16. ),1(+∞.7.3π 8. 3450.9. 3π 10. 3log 2.11. 34 12. 55213. 200 14. 43二、选择题（本大题20分）本大题共有4小题，每小题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分。

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤。

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

【解】（1）由椭圆192522=+y x 得，5=a ，4=c ，……2分 8925221=-=F F连接2PF ,设1PF 0>=m ，则0102>-=m PF ……3分 在△21F PF 中，由余弦定理得，878264)10(22⨯⨯⨯-+=-m m m （100<<m ）……5分 整理得366=m ，解得6=m ，故1PF 6=.……6分（2）在△A PF 1中，1PF 6=，=+=c a A F 19 (7)87cos 21=∠F PF ，所以815sin 21=∠F PF ……9 故2111sin 211F PF A F PF S A PF ∠⨯⨯⨯=∆……11分 81527=……12分x20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

【解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ，根据题意可知 （1）ππ242=r ，12=r cm ，1h 16122022=-=cm ……2分所以“笼具”的体积12231h r h r V ππ-=……4分9.111583552161443130144≈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-⨯=ππ3cm ……6分（2）圆柱的侧面积ππ72021==rh S cm 2……8分 圆柱的底面积ππ14422==r S ……9分圆锥的侧面积ππ2403==rl S ……11分所以“笼具”的侧面积π1104321=++=S S S S 侧2cm ……12分故造50个“笼具”的总造价：2511041085011044ππ=⨯⨯元……13分 答：这种“笼具”的体积约为9.111583cm ；生产50个笼具需要251104π元.……14分21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

2015届普陀区高三二模数学试卷（文科）2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.若1m ii i+=+（i 为虚数单位），则实数m = . 2.若函数()()sin sin 022x xf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω= .3.集合{{}2,4,R A x y B x y x x ====∈，则A B I .4. 若22x ππ-≤≤，则函数cos cos 2y x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为 . 5.直线1230l x y -+=：与210l x y -+=：的夹角的大小为 .（结果用反三角函数表示）6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-u u u r u u u r，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数())1f x x =≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = . 8.若非负实数x y 、满足240230x y x y +-≥⎧⎨+-≥⎩，则x y +的最小值为 .9.一个底面置于水平面的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 .10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.经过充分混合后，从袋中随机地取出2个小球.则至少有一个黑球的概率为 （结果用最简分数作答）.12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r则326a b c +-=r r r .13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为.6第题图北AC B •D60o10第题图14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 . 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ）A.若//a b ，//a α，则//b αB. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥αC. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a bD.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 17.在*22)()nn N x∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m +++=L ；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，四棱锥E ABCD -的体积为43，求异面直线BE 与11B A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.1A 1D A B1B C1C D E20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =+. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]1,2内有解，求实数m 的取值范围；22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =u u r ，()()21,0d k k =->u u r，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MON S k∆=，当P 变化时，求OT 的取值范围.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-L ，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的最大值.2015届普陀区高三二模数学试卷（文科）答案2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.若1m ii i+=+（i 为虚数单位），则实数m = 1- . 2.若函数()()sin sin 022x xf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω=2 .3. 集合{{}2,4,R A x y B x y x x ====∈，则A B I []0,1 . 4. 若22x ππ-≤≤，则函数cos cos 2y x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为 44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， . 5.直线1230l x y -+=：与210l xy -+=：的夹角的大小为 .（结果用反三角函数表示）6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-u u u r u u u r，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 22182x y += .7.函数())1f x x =≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = 1 . 8.若非负实数x y 、满足240230x y x y +-≥⎧⎨+-≥⎩，则x y +的最小值为 73 .9.一个底面置于水平面的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 2π. 10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米. 11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.经过充分混合后，从袋中随机地取出2个小球.则至少有一个黑球的概率为1121（结果用最简分数作答）.6第题图北AC B •D60o10第题图12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r则326a b c +-=r r r 5 .13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 12π+ .14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 4- . 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ D ）A.若//a b ，//a α，则//b αB. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥αC. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a bD.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.非充分非必要条件 17. 在*22)()nn N x∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m +++=L ；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（ B ）A.0个B.1个C.2个D.3个 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，四棱锥E ABCD -的体积为43，求异面直线BE 与11B A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 解：2,a =直线BE 与11B A 所成的角的大小为1A 1D A B1B C1C D E20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =+. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.解：（1）()21cos2cos 2xf x x +==， 其对称轴为2,,2k x k x k Zππ==∈， 因为直线线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以,2k a k Z π=∈， 又因为()122g x x =+，所以()()()1122=22g a g k k ππ==+ 即()122g a =. (2)由（1）得 ()()()1cos2212sin 216h x f x g x x x x π=+=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦Q所以()h x 的值域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]1,2内有解，求实数m 的取值范围； 解：（1）23x =（2）93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =u u r ，()()21,0d k k =->u u r，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MON S k∆=，当P 变化时，求OT 的取值范围. 解：（1（2）1122k =或； （3）设()()()1122,,,,,M x kx N x kx T x y -，120,00x x k >>>，， 设直线OA 的倾斜角为α，则22tan ,sin21kk k αα==+，根据题意得 ()12112222x x x y x x k x x k y y x x OM x k ON x +⎧=⎪⎪⎧=+-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎪=⎪⎩ 代入11sin22MON S OM ON k α∆==化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1OT k∴= 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，OT 取得最小值1k.所以，OT 的取值范围是1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-L ，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的最大值. 解：（1）*12,N n b n n =-∈ (2)由tan 2tan 2n nn n n n a a θθ⋅==得代入()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭得12tan n n nS θ=，当2n ≥时，111112tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-==， 因为tan 2n n n a θ=，代入上式整理得()1tan tan 2n n θθ-=，02nπθ<<所以1112,02n n n n θθθθ--==≠的常数.当1n =时，111111111,,0,tan 1,424n a S a a a a πθθ⎛⎫=⋅=>∴===⎪⎝⎭Q 所以数列{}n θ是等比数列，首项为4π，公比为12，其通项公式为11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）得*11tan ,N 22n n n a n π+=∈，它是个单调递减的数列， 所以 11111,0,2222n n n n a a a a a ≤=-≤∴-=-123111122222n n n c a a a a nS =-+-+-++-=-L对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，所以()min n m c ≤. 由111110222n n n n n c c n n S S a ++++⎛⎫---=- ⎝-≥⎪⎭=知，1n n c c +≥ 所以数列{}n c 是单调递增的，n c 最小值为10c =，()min 0n m c ≤= 因此，实数m 的取值范围是(],0-∞,m 的最大值为0.。