矩阵不可约的充要条件

关于不变⼦空间与特征⼦空间的专题讨论不变⼦空间命题：设σ为欧⽒空间V的对称变换，则σ的不变⼦空间W的正交补也是σ的不变⼦空间命题：设σ为n维欧⽒空间V的正交变换，则σ的不变⼦空间W的正交补W⊥也是σ的不变⼦空间，且W与W⊥均为σ−1的不变⼦空间参考答案命题：σ∈L(V,n,F)，σ有n个不同特征值λ1,⋯,λn，⽽W是σ的⼀个r维不变⼦空间，则σ在W上的限制σ|W有r个不同特征值，并且为λ1,⋯,λn中的r个命题：设T为有限维线性空间V的线性变换，W为V的T−不变⼦空间，则T|W最⼩多项式整除T的最⼩多项式命题：设σ∈L(V,n,F)，f(λ)为σ的特征多项式，则f(λ)在数域F上不可约的充要条件是V⽆关于σ的⾮平凡不变⼦空间命题：设σ是n维线性空间V的可对⾓化的线性变换，W是σ的不变⼦空间，则(1)存在σ的不变⼦空间W′，使得V=W⊕W′(2)设σ|W是σ在W上的限制线性变换，则σ|W可对⾓化命题：设f(x)为数域F上的线性空间V的线性变换σ的最⼩多项式，f(x)=p(x)q(x)，其中p(x)q(x)为数域F上的不同的不可约多项式，则存在σ的不变⼦空间V1,V2，使得V=V1⊕V2，且σ|V1的最⼩多项式为p(x)，σ|V2的最⼩多项式为q(x)命题：设σ∈L(V,n,F)，λ1,λ2,⋯,λs是σ的互不相同的特征值，且V=Vλ1⊕Vλ2⊕⋯⊕VλsW是σ的不变⼦空间，则(1)W=W∩Vλ1⊕W∩Vλ2⊕⋯⊕W∩Vλs(2)W的每⼀个向量η可唯⼀表⽰为η=ξ1+ξ2+⋯+ξs，其中ξi∈Vλi∩W,i=1,2,⋯,s(3)若σ有n个互异的特征根，求出σ的所有不变⼦空间命题：设σ是n维线性空间V的⼀个线性变换，V有由σ的特征向量构成的基，证明：V的任意⾮零的σ不变⼦空间W必有由σ的特征向量构成的基1命题：(10中科院六)设σ为n(n⩾维实线性空间V的线性变换，证明：\sigma⾄少有⼀个维数为1或2的不变⼦空间特征⼦空间\bf命题：设A为n阶矩阵，若存在n维列向量\alpha ，使得\alpha ,A\alpha , \cdots ,{A^{n - 1}}\alpha 线性⽆关，则A的特征⼦空间都是⼀维的\bf命题：附录(不变⼦空间)\bf命题：设\sigma为复线性空间V的线性变换，证明：\sigma相似于对⾓阵充要条件是对任意的\sigma不变⼦空间U，都有\sigma不变⼦空间W，使得V = U \oplus W1\bf命题：()()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。

不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。

定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。

反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

图的连通分支数的邻接矩阵判定王晓【摘要】连通性是图的基本性质之一,由定义来判断顶点数和边数较大的图的连通性和连通分支数比较困难.结合图的邻接矩阵,给出判断图的连通性的两个充要条件,并给出判断图的连通分支数的一个兖要条件和非负对称不可约矩阵的一个充要条件.【期刊名称】《商洛学院学报》【年(卷),期】2014(028)006【总页数】3页(P6-7,22)【关键词】图的连通性;连通分支数;邻接矩阵【作者】王晓【作者单位】商洛学院数学与计算机应用学院,陕西商洛726000【正文语种】中文【中图分类】O157.5图的连通性[1-2]是图论中基本概念之一，设G=(V(G)，E(G))表示一个图，V(G)和E(G)分别表示图G的顶点集和边集。

对u，v∈V(G)，图G中连接顶点u与v的点和边的交错序列称为uv链，内部点互不相同的链称为路。

图G中若存在连接顶点u与v的路，则称u与v是连通的。

顶点集V(G)上顶点之间的连通关系是等价关系，这种等价关系将V(G)分成等价类V1，V2，…，Vω，使得u，v∈Vi当且仅当u和v是连通的。

这些顶点子集的导出子图G[V]1，G[V]2，…，G[V]ω称为图G的连通分支，ω称为连通分支数，记为ω(G)。

若ω(G)=1则称为连通图，否则称为非连通图。

图的连通性是图论中研究的经典问题，一直是国内外学者研究[3-5]的重点,图的很多性质都与它连通性密切相关[6-8]。

对于结构简单的图判断其连通性及连通分支数利用定义即可，但对于顶点和边数较多的图来说，就比较困难，尤其不利于应用计算机程序来解决。

图的邻接矩阵是研究图的代数性质很好工具[9-10]。

本文利用图的邻接矩阵，给出判断图的连通性的两个充要条件，并给出判断图的连通分支数的一个充要条件，最后给出判断非负对称不可约矩阵的一个充要条件。

图G=(V(G)，E(G))的顶点集为V(G)={v1，v2，…，Vn}，则图G的邻接矩阵为A(G)=(aij)n×n，其中，由此，给出判断图的连通性的两个充要条件。

不可约M-矩阵的一种判别法许晓玲(闽江学院数学系，福建，福州350108)关晋瑞(厦门大学数学科学学院，福建，厦门361005)摘要：本文中我们提出了一个判定不可约M-矩阵的实用算法，给出了相应的理论分析，并用数值算例展示了该算法的有效性和优越性。

关键词：M-矩阵；判别法；不可约中图分类号：O151.211 引言M-矩阵是一类很重要的特殊矩阵，自1937年由Ostrowski 提出之后，由于它的重要性和优美的性质，得到了深入的研究和广泛的应用。

从那时起，新的性质和等价条件不断被发现，1977年Plemmons 在[11]中总结的非奇异M-矩阵的等价条件已有40个，在后来的专著[2]中又扩充到多达50个。

另一方面，M-矩阵的应用十分广泛，数学上应用在矩阵理论，微分方程数值解，Markov 链，线性互补问题，线性方程组迭代法等问题中，其他学科如物理，生物，经济中也有着广泛的应用。

这方面的详细内容可参考[2][7][8][15]。

下面我们给出M-矩阵的定义及一些基本性质，主要来自[2] [15]。

记{}()|0,n n n ij ij A a a i j ⨯==∈≤∀≠。

对任意的n A ∈，我们总可以将A 表示为A cI B =-，其中0c ≥为常数，0B ≥是一个非负矩阵。

若()c B ρ≥，我们称A 是一个M-矩阵。

特别的，当()c B ρ>时称A 是一个非奇异M-矩阵，当()c B ρ=时称A 是一个奇异M-矩阵。

关于非奇异M-矩阵我们有下面几个常见的等价条件。

定理1.1 设n A ∈，则下列各条件等价：(1) A 是一个非奇异的M-矩阵；(2) A 可逆，且10A -≥；(3) 存在0x >，使得0Ax >；(4) A 的任意特征值都有正实部；(5) A 的对角元素都为正的，且存在正的对角矩阵D ，使得AD 是严格对角占优矩阵。

在实际应用中我们最关心的问题是，一个给定的矩阵A 是否为M-矩阵，以便作进一步的研究。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

行列式的降阶定理及其应用行列式的计算是高等代数以及整个数学上非常重要的内容，行列式的降解定理对计算行列式有着重要作用，尤其是在解决分块矩阵或是对某一矩阵的所有的元素加上一个固定的值后计算行列式，本文主要介绍行列式的降阶定理及其应用。

首先我们介绍行列式的定义以及相关性质。

行列式定义：性质：1）若行列式有两行（列）对应元素成比例或完全相同，则该行列式为0.2）若行列式有一行（列）的元素都为0，则该行列式为0。

3）把行列式某一行（列）的元素乘以同一倍数后加到另一行（列），行列式的值不变。

4）行列式每一行（列）的元素的公因式可以提到行列式外。

5）行列式转置，值不变。

6）互换行列式的两行（列），行列式改变符号。

7）。

：对于分块矩阵，在应用上，我们常取主对角块A ij为方阵，有如下引理：设|A|=|A ij|n×n是你阶分块矩阵，则以非零阵B左（右）乘其每一行（列）加到另一行（列）上去得到的新的分块行列式与原行列式相等。

接下来我们介绍两种降阶定理以及推论：（第一降阶定理）对于分块矩阵M=且为方阵，A是非奇异阵，则|M|==|A||D-CA-1B|，证明：假设E=D-CA-1B，则==|A||E|=|A||D-CA-1B|，与上述第一阶级定理证明相同，行列换种方式变化时，会出现另一形式：|M|==|D||A-BD-1C|上述定理是当A、B、C、D皆为方针时成立，接下来我们介绍不全为方阵时的情况。

推论：设A是n阶非奇异阵，D是m阶阵，B与C分别是n×m阵和m×n阵，则=|A||D-CA-1B|.（第二降阶定理）设A与D分别为n阶和m阶非奇异阵，B与C分别是n×m阵和m×n阵，则|D-CA-1B|=|A-BD-1C|，证明由上述来看显然。

降阶公式在已知|A|并且B=A+αE，求解|B|时有着重要的作用，降阶公式的变形：当n>m时，|αE n-AB|=αn-m|αE m-BA|。

非奇异H-矩阵的一组判定条件∗崔静静;陆全;徐仲;安晓虹【摘要】Nonsingular H-matrices has a wide range of applications in computational mathe-matics, physical mathematics, biology, matrix theory and control theory, etc. How to specify nonsingular H-matrices effectively has always been paid attention. In the paper, by applying k-partition of matrices index set, a set of determinate conditions for nonsingular H-matrices are given, which improve and generalize some recent related results. The effectiveness of these determinate conditions in this paper is illustrated with numerical examples.%非奇异H-矩阵在计算方法、物理数学、生物学、矩阵论、控制理论等领域有着广泛的应用，如何有效地判定一个矩阵是否为非奇异H-矩阵，一直是人们关心的问题。

本文利用矩阵指标集的k-级划分，给出了非奇异H-矩阵的一组判定条件，改进和推广了近期的相关结果，并用数值算例说明本文判定方法的有效性。

【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2016(033)002【总页数】12页(P163-174)【关键词】非奇异H-矩阵;对角占优矩阵;不可约;非零元素链【作者】崔静静;陆全;徐仲;安晓虹【作者单位】西北工业大学应用数学系，西安710072;西北工业大学应用数学系，西安710072;西北工业大学应用数学系，西安710072;西北工业大学应用数学系，西安 710072【正文语种】中文【中图分类】O151.211 引言在实际应用中如何有效地判定一个矩阵是否为非奇异H-矩阵，一直是人们关注的问题.近年来国内外众多学者对非奇异H-矩阵进行了深入的研究[1-11].本文利用矩阵指标集的k-级划分给出了非奇异H-矩阵一组判定条件，该判定条件推广和改进了已有的相关结果，丰富和完善了非奇异H-矩阵的判定方法.用Cn×n表示n×n阶复矩阵的集合.设矩阵的指标集的k-级划分为记在本文总假设定义1 设如果则称A为严格对角占优矩阵，为A∈D；若存在正对角矩阵X，使得AX∈D，则称A为广义严格对角占优矩阵(即A为非奇异H-矩阵)，记定义2 设若存在使得则称A为α-对角占优矩阵，记为若式中的不等式均严格成立，则称A为严格α-对角占优矩阵，记为若存在正对角矩阵X，使得则称A为广义严格α-对角占优矩阵，记为若式中至少有一个严格不等式成立且A不可约，则称A为不可约α-对角占优矩阵，记为；若对式中每个等式成立的下标i，都存在非零元素链满足则称A 为具非零元素链α-对角占优矩阵，记为引理1[1] 设若满足下列条件之一，则1)2)3)引理2[2] 设若存在正对角矩阵X，使得则2 非奇异H-矩阵的一组判定条件利用α-对角占优矩阵的性质，并利用划分矩阵指标集的方法，给出了如下的判定非奇异H-矩阵的新充分条件.记定理1 设存在使得对任意的，有令Wα为所有满足以上严格不等式的Nt之并集，若下列条件之一成立，则1)Wα=N；2)A为不可约矩阵，且3)对任意的存在非零元素链，使得证明由Ri/=0知，N.对，由Wα定义知从而存在正数ε，使得取正对角矩阵令其中不失一般性，设1)对任意的由(1)、(2)及得2)对任意的有综上所知：且：1)若Wα=N，则2)因B不改变A的不可约性，且故由定义2知3)因B不改变A的非零元素链，故由定义2知于是，由引理1知再由引理2知注1 文献[4]中定理2.1(III)是本文定理1当k=1时特例；文献[7]中定理2为本文定理1当k=2,α=1时特例；文献[9]中定理1为本文定理1当α=1时特例.记定理2 设存在使得对任意的有且若A还满足下列条件之一，则1)2)A为不可约矩阵，且3)对任意的存在非零元素链使得图1中阴影部分为空白部分为图1:J1(α),J2,(α),J3(α)之间关系图证明由Ri/=0知且由式(3)，有取正对角矩阵令其中下证(a)对任意的首先，考虑情形.当时，有从而其次，考虑与至少有一个不为零的情形. 故对任意的(b)对任意的当时，有当时，有综上所述：且：1)由(b)可知，当J1(α)=Ø时，有由(a)可知，当时，有故当时，2)当时，有由于故由(a)及(b)可知，当时又因B不改变A的不可约性，故若则3)由于对任意的存在非零元素链使得故B具非零元素链，则于是由引理1知再由引理2知注2 文献[4]中定理2.2(II)是本文定理2当k=2时特例；文献[9]中定理2为本文定理2当α=1时特例；文献[10]中定理1为本文定理2当都是单点集，并且都是A的对角占优行，而Nk是A的非对角占优行集时特例.3 数值算例例1 设矩阵则用文献[3]中定理1(3°)，文献[4]中定理2.1(III)，文献[10]中定理1及文献[11]中定理1均不能判定A是否为非奇异H-矩阵，而用本文定理1可判定A为非奇异H-矩阵.事实上，对文献[3]中定理1，有对文献[10]中定理1，有且对文献[11]中定理1，有且而对本文定理1，取α=0.1,k=3，即则满足本文定理1条件(1)，故用本文定理1可判定A为非奇异H-矩阵.事实上，取正对角矩阵D=diag(1,1,5,0.5,1,1,1,0.5,1)时，有即A确为非奇异H-矩阵.例2 设矩阵则用文献[3]中定理2(2°)，文献[4]中定理2.2(II)，文献[10]中定理1及文献[11]中定理1均不能判定A是否为非奇异H-矩阵，而用本文定理2可判定A为非奇异H-矩阵.事实上，在文献[3]中，有且在文献[4]中，对任意的均有且令则对任意的有在文献[10]中，有且而对本文定理2，取α=0.1,k=3，即则且满足本文定理2条件(1)，故用本文定理2可判定A为非奇异H-矩阵.事实上，取正对角矩阵D=diag(1,1,2,0.5,0.5,1,1,0.5,1)时，有即A确为非奇异H-矩阵.参考文献：[1]Sun Y X.An Improvement on a theorem by ostrowski and its applications[J].Northeastern Mathematical Journal,1991,7(4):497-502 [2]Liu J Z,Zhang C Q.Some criteria for nonsingular H-matrices[J].Natural Science Journal of Xiangtan University,2008,30(3):21-29[3]徐仲，陆全.判定广义严格对角占优矩阵的一组充分条件[J].工程数学学报，2001,18(3):11-15 Xu Z,Lu Q.A set of sufficient condition for identifying generalized strictly diagonally dominant matrices[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2001,18(3):11-15[4]匡巧英.H-矩阵和广义H-矩阵的一些判别方法[D].湘潭：湘潭大学，2013 Kuang Q Y.Some determinate conditions for nonsingular H-matrices and generalized H-matrices[D].Xiangtan:Xiangtan University,2013[5]孙玉祥.广义对角占优矩阵的充分条件[J].高等学校计算数学学报，1997,19(3):216-233 Sun Y X.Sufficient condition for generalized dominant matrices[J].Numerical Mathematics a Journal of ChineseUniversities,1997,19(3):216-233[6]王磊磊，席博彦，刘建州.非奇异H-矩阵的几个充分条件[J].高校应用数学学报，2014,29(1):55-62 Wang L L,Xi B Y,Liu J Z.Several sufficient conditions for judging nonsingular H-matrices[J].Applied Mathematics a Journal of Chinese Universities,2014,29(1):55-62[7]侯进军，李斌.H-矩阵的一组新判定[J].应用数学学报，2008,31(2):266-270 Hou J J,Li B.Some new condition for nonsingular H-matrices[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2008,31(2):266-270[8]谢清明.判定广义对角占优矩阵的几个充分条件[J].工程数学学报，2006,23(4):757-760 Xie Q M.Sufficient condition for generalized diagonally dominant matrices[J].Chinese Journal of EngineeringMathematics,2006,23(4):757-760[9]冷春勇.非奇异H-矩阵的判定[J].应用数学学报，2011,34(1):50-56 Leng CY.Criteria for nonsingular H-matrices[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2011,34(1):50-56[10]黄廷祝.非奇H-矩阵的简捷判据[J].计算数学，1993,15(3):318-328 Huang T Z.Some simple determinate conditions for nonsingular H-matrices[J].Mathematical Numerica Sinica,1993,15(3):318-328[11]Gan T B,Huang T Z.Simple criteria for nonsingular H-matrices[J].Linear Algebra and its Applications,2003,374:317-326。

非奇H矩阵判别条件的推广
冉瑞生;杨鹏;黄廷祝
【期刊名称】《电子科技大学学报》
【年(卷),期】2004(33)1
【摘要】应用不可约矩阵的特性研究非奇H矩阵,得到了不可约矩阵是非奇H矩阵的实用判据.利用具非零元素链矩阵的性质得到其为非奇H矩阵的实用判据.所得结果不要求矩阵的对角占优条件,适用范围广,可作为非奇H矩阵的实用充分条件.【总页数】3页(P102-104)
【作者】冉瑞生;杨鹏;黄廷祝
【作者单位】电子科技大学应用数学学院,成都,610054;电子科技大学应用数学学院,成都,610054;电子科技大学应用数学学院,成都,610054
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6;O151.2
【相关文献】
1.非奇H-矩阵的一组新迭代判别法 [J], 石玲玲;徐仲;陆全
2.非奇H-矩阵的细分迭代判别准则∗ [J], 尹军茹;徐仲;陆全
3.关于非奇H矩阵判别条件的注记 [J], 李庆春
4.非奇H-矩阵的判别条件 [J], 张恺鋆;杨晋;张荣芳
5.非奇H-矩阵判别的充要条件 [J], 张骁;陆全;徐仲;崔静静
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。