《空间向量与立体几何》教材分析与建议

人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教案及教学反思1. 教学目的本节课是人教B版选修2课程的一部分，主要教授空间向量在立体几何中的应用。

本课程将帮助学生：•深入理解空间向量的概念及其运算法则•掌握将空间向量应用于立体几何中的方法和技巧•发展自己的独立思考能力和解决问题的能力2. 教学内容2.1 知识点本节课的重点知识点为：•空间向量的定义•空间向量的基本运算法则•点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法•空间向量在几何问题中的应用2.2 教学步骤本节课教学步骤如下：第一步：导入教师简单介绍空间向量及其基本运算法则，引发学生对此概念的兴趣。

第二步：概念讲解教师详细讲解空间向量的概念，以及点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法。

为了增强学生的理解，教师可以使用相关的图形和实例进行讲解。

第三步：举例说明教师通过几个实例，向学生展示如何使用空间向量解决立体几何问题。

在示例中，教师应尽可能地让学生自己思考并尝试解决问题，同时指导学生正确的解决方法，让学生深入理解知识点。

第四步：练习安排学生进行一定数量和难度的练习，让学生掌握应用相关知识解决问题的方法和技巧。

第五步：讲解与总结最后，教师应总结本节课的主要内容，并对学生的问题进行讲解和解答。

3. 教学反思本节课的教学方法主要采用“以实例为主，以问题为导向”的方式，让学生能够在探究中理解和掌握知识点。

这种探究式学习的方法能够有效激发学生的主动学习意识和自主学习能力。

在实际教学中，教师应充分发挥学生的主观能动性，让他们能够独立思考和解决问题。

同时，教师还应充分利用技术手段，如音视频、实例演示等方式进行综合教学，探索出适合学生的多元化、个性化的教学方式。

在上述教学步骤中，教师尤其需要注意：•难度掌握：教师在设计实例和练习时，应根据学生的实际情况及能力水平，掌握好难度，以确保学生的接受能力和理解能力•差异处理：同学的学习能力和理解能力会存在差异，教师需要采用差异化教学方法，根据学生的特点进行教学•评估方法：教师应采用多种评估方法，对学生进行全面评价，如通过小组讨论、思维导图、课堂测验等方式，合理衡量学生的学习成果和进步情况总之，人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教学，应侧重于实践探究和知识应用，培养学生的独立思考和解决问题的能力，让学生能够掌握并应用相关知识，提高学生的立体几何解题能力，为日后的数学学习打下基础。

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P 27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P 92 练习 Ⅳ. 教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业⒈课本P 106 1、2、⒉预习课本P 92～P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？ 板书设计：§9.5 空间向量及其运算（一）一、平面向量复习 二、空间向量 三、例1⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结 ⒊运算律 ⒊运算律教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，理解向量是有大小和方向的量。

学习如何用坐标表示空间中的向量，包括二维和三维空间中的向量。

1.2 向量的加法和数乘学习向量的加法运算，掌握三角形法则和平行四边形法则。

学习向量的数乘运算，理解数乘对向量大小和方向的影响。

1.3 向量的长度和方向学习向量的长度（模）的定义和计算方法。

学习向量的方向，理解余弦定理在向量夹角计算中的应用。

1.4 向量垂直与向量积学习向量垂直的概念，掌握向量垂直的判定方法。

学习向量积的定义和计算方法，理解向量积的几何意义。

第二章：立体几何基础2.1 平面和直线学习平面的定义和表示方法，掌握平面的基本性质。

学习直线的定义和表示方法，掌握直线的性质和判定方法。

2.2 点、线、面的位置关系学习点、线、面之间的位置关系，包括点在线上、点在面上、线在面上的判定。

学习线与线、线与面、面与面之间的位置关系。

2.3 空间角的计算学习空间角的定义和计算方法，包括二面角和平面角的计算。

学习空间角的性质和应用，理解空间角在立体几何中的重要性。

2.4 立体几何中的定理和公式学习立体几何中的重要定理和公式，如欧拉公式、施瓦茨公式等。

学会运用定理和公式解决立体几何问题。

后续章节待补充。

空间向量与立体几何第六章：空间向量的应用6.1 向量在几何中的应用学习利用向量解决几何问题，如计算线段长度、向量夹角、向量垂直等。

掌握向量在三角形和平面几何中的应用。

6.2 向量在物理中的应用引入物理中的向量概念，如速度、加速度、力等。

学习利用向量解决物理问题，如计算物体的运动轨迹、速度变化等。

6.3 向量在坐标变换中的应用学习坐标变换的基本概念，如平移、旋转等。

掌握利用向量进行坐标变换的方法和应用。

第七章：立体几何中的特殊形状7.1 柱体和锥体学习柱体和锥体的定义和性质，包括圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等。

掌握计算柱体和锥体的体积、表面积等方法。

7.2 球体学习球体的定义和性质，掌握球体的方程和参数。

空间向量与立体几何复习与小结教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。

二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程〔一〕题型探析1、利用空间向量证明平行、垂直问题例1、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

〔1〕证明：PA//平面EDB；〔2〕证明：PB⊥平面EFD；〔3〕求二面角C—PB—D的大小。

如下图建立空间直角坐标系，D为坐标原点。

设DC=a。

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。

依题意得。

∵底面ABCD是正方形。

∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴那么而，∴PA//平面EDB。

（2）依题意得B〔a，a，0〕，又，故∴PB⊥DE由EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD。

〔3〕解析：设点F的坐标为，那么从而所以由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。

点评：〔1〕证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．〔2〕证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．〔3〕证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．〔4〕证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．〔5〕证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．〔6〕证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．2、用空间向量求空间角例2、正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：〔1〕异面直线AE与CF所成角的余弦值；〔2〕二面角C—AE—F的余弦值的大小。

空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

3、探究题型，掌握解法。

二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。

探究题型，掌握解法。

三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。

在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。

四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。

设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。

所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。

因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。

在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。

空间向量与立体几何》的教材分析以及教学建议一、内容安排本章是选修2-1 的第3 章，包括空间向量的基本概念和运算，及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容。

通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养学生的空间想象能力。

空间向量为处理例题几何问题提供了新的视角，它是解决空间中图形的位置关系和角度问题的非常有效的根据。

本章以平面向量的学习委基础，通过类比的方法，引导学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，然后通过典型例题引导学生学习用向量方法处理空间几何问题的基本思想方法。

二、主要特点1、强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法，充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生自己将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关的内容相互沟通，又使学生学习类比、推广、特殊化、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平。

空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素灯，都是通过与平面向量的类比完成的。

在空间向量运算中，还注意了与数的运算的对比。

另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行了比较，引导学生对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行认识。

2、突出用空间向量解决立体几何问题的基本思想。

根据问题的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（距离和夹角等问题）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决例题图形的问题。

3、用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。

使用了大量的“探究”、思考”等，引导学生对相应的数学内容进行深入研讨。

例如，在对空间向量的各种运算和相应的平面向量的运算的异同比较与证明、空间向量的正交分解定理的推导及向空间向量基本定理的推广、如何对各种几何元素及其关系进行恰当的向量表示和坐标表示、如何根据具体问题的需要选择恰当的方法等，都用“探究” 、“思考”等方式提出问题，帮助学生形成积极主动的学习态度，转变学生的学习方式。

空间向量与立体几何的教学实证设计1. 引言空间向量与立体几何是高中数学的重要组成部分，对于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。

然而，在传统教学中，由于缺乏直观的教学手段和有效的实践机会，许多学生对这部分知识难以理解和掌握。

为了改善这种状况，我们设计了一系列的教学实证活动，旨在提高学生对空间向量与立体几何的理解和应用能力。

2. 教学目标（1）让学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算方法。

（2）培养学生对立体几何图形的认识，提高空间想象能力。

（3）培养学生运用空间向量解决立体几何问题的能力。

（4）通过实践操作，增强学生的动手能力和合作意识。

3. 教学内容（1）空间向量的基本概念及坐标表示。

（2）空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

（3）空间向量的模长和夹角。

（4）立体几何的基本概念，如点、线、面、棱、柱、锥等。

（5）利用空间向量解决立体几何问题，如求体积、表面积等。

4. 教学方法（1）采用问题驱动的教学模式，引导学生主动探索、发现问题。

（2）利用多媒体技术和实物模型，直观展示空间向量和立体几何的关系。

（3）设计实践性任务，让学生通过动手操作，加深对知识的理解。

（4）组织小组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。

（5）开展课后拓展活动，鼓励学生运用所学知识解决实际问题。

5. 教学实证活动设计5.1 活动一：空间向量坐标游戏（1）目的：让学生理解空间向量的概念，熟悉坐标表示方法。

（2）内容：学生分组，每组用乐高积木搭建一个立体几何模型，如正方体、长方体等。

然后，用坐标系表示该模型的每个顶点，并进行向量运算。

（3）过程：学生自主搭建模型，记录顶点坐标，进行向量运算。

教师巡回指导，解答学生疑问。

（4）评价：以小组为单位，提交坐标表示和向量运算的结果。

对表现优秀的小组给予奖励。

5.2 活动二：空间向量拼图比赛（1）目的：培养学生空间想象能力，巩固空间向量知识。

课程教育研究Course Education Research 《空间向量与立体几何》是高中数学选修2-1的第三章内容,本章内容既是必修四《平面向量》在空间的推广与引申,一些结论和定理在空间仍然成立,也是必修二《立体几何》的初步延伸,空间向量为立体几何在证明线线、线面、面面平行与垂直的证明,以及求解线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角提供了一种运用向量或者坐标解决问题的方法和途径。

在《新课程标准》对本章内容明确提出:“通过本章的学习使学生在对已由平面向量的基础上进一步学习空间向量并运用空间向量研究立体几何中的问题,进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用。

”在江苏高考中本模块知识是江苏高考理科学生选考的一个知识点。

在江苏高考中空间向量与立体几何的知识是作为附件分40分中的一题,在试题中仅仅是以解答题的形式出现、主要考查是通过建系求线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角等相关知识。

高考大纲中要求如下:本章教材在编写方面在内容的章节安排上采取了与空间向量对应的方式、在例题的处理上也大同小异,在内容的安排、例题的选取与方法有一些不尽人意的得分,在对本章的教学中,教师要合理的运用教材、开发教材,在教材的使用上要注意以下两点:一、调整课时、合并内容、适当调整《高中数学课程标准》上安排《平面向量与立体几何》部分在课时上安排了12课时(其中包括小结与复习1课时),如下表,由于本教材在内容上是空间向量的延续。

在课堂教学中针对江苏高考的特点以及《高中数学新课程标准》并且再参考学生已由的知识的基础上,我们对教材在内容安排上进行如下调整:如下表。

其中前面的内容由于是在平面向量的基础上的推广与延伸,所以课时进行适当的压缩,由于本章的重点与难点是空间向量的运用,重点是解决线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角,所以在在内容安排上尽量多安排,安排了4课时比较合适。

因此,对课时进行了如下调整:空间向量的特点、空间向量共线、共面的充要条件(1课时)空间向量的特点、空间向量共线、共面的充要条件(1课时)。