第一章力学CAT体系

力学知识结构体系
（力学部分包括静力学、运动学和动力学三部分）（注：点击下载效果最好）1、静力学
2、运动力学
3、动力学
热学知识结构体系
（热学包括热力学、统计物理学，分子动理论是热现象微观理论的基础）
电磁学知识结构体系
电磁学包括：电学和磁学两大部分。

包括电性和磁性交互关系，主要研究电磁波、电磁场以及有关电荷、带电物体的动力学，二者很难清晰分割。

电磁场和电磁波
电磁场是电磁作用的媒递物，具有能量和动量，物质存在的一种形式。

其性质、特征及运动变化规律由麦克斯韦方程组确定。

电磁场总是以光速向四周传播，形成电磁波。

——四个方程：电动力学基本方程——麦克斯韦方程；——三个关系：，，；——两个假说：涡旋电场和位移电流；
光学知识结构体系
原子物理学知识结构体系。

力学知识体系“哎呀，力学可太重要了呀！”力学知识体系那可是相当广泛和关键的呢。

力学主要研究物体的运动和相互作用。

先来说说牛顿运动定律，这可是基础中的基础啊。

就好比说，你推一个静止的箱子，它就会沿着你推的方向动起来，这就是牛顿第一定律，物体在没有受到外力作用时会保持静止或匀速直线运动状态。

牛顿第二定律呢，就是力等于质量乘以加速度，你用力越大，物体加速度就越大，比如一辆车，发动机马力越大，加速就越快。

牛顿第三定律，作用力与反作用力大小相等方向相反，就像你打墙，你给墙一个力，墙也会给你一个同样大小的反作用力，让你的手疼。

再说说摩擦力，这个在生活中太常见了。

比如你走路，就是靠鞋底和地面的摩擦力，要是地面太滑，摩擦力小了，你就容易摔倒。

汽车刹车也是靠摩擦力，刹车片紧紧抱住车轮，产生很大的摩擦力让车停下来。

还有重力，我们都生活在地球上，都受到地球的重力。

你往上扔一个东西，它最终还是会掉下来，就是因为重力。

像建筑设计的时候，就得考虑重力，要保证房子能稳稳地立在地上。

举个例子吧，比如说建一座桥。

工程师们在设计的时候，就得考虑桥的结构能不能承受车辆和行人的重力，还有风的作用力等等。

他们要根据力学知识来计算，选择合适的材料和结构，确保桥的安全和稳定。

如果力学知识掌握不好，那桥可能就会出现问题，甚至倒塌，这后果可就严重了。

另外，像飞机的飞行也是力学的完美体现。

飞机的机翼设计就是利用了空气动力学原理，通过机翼上下表面的压力差产生升力，让飞机能飞起来。

飞行员在驾驶飞机的时候，也要根据力学知识来控制速度、高度和方向。

力学知识体系无处不在，从日常生活到高科技领域都有着极其重要的作用。

我们只有深入理解和掌握力学知识，才能更好地认识和改造这个世界啊。

第一篇 力学力学的研究对象是机械运动，所谓机械运动就是物体的空间位置随时间变化的过程．地球绕太阳运动，火车在铁路上行驶，吊车吊起重物等都是机械运动的例子．力学就是研究机械运动的规律及其应用的学科．力学分为三部分：运动学——只从几何观点来研究物体的运动，不考虑产生或改变运动的原因．动力学——联系改变运动状态的原因(力)来研究运动．静力学——研究作用在物体上的力的平衡条件．本篇第一章是运动学的内容，第二至第五章是动力学内容．静力学内容本书不拟介绍。

第一章 质点运动学§1－1 参考系 质点一、参考系和坐标系宇宙间一切物体都在运动．桌子上的书对于桌子和房间里其他物体是静止的，但相对于太阳是运动的，因为地球绕它自己的轴转动，同时又绕太阳作椭圆运动，所以书和房间里其他物体也跟着地球绕太阳运动；太阳也在运动，它以每秒几百公里的速度绕着银河系的中心运动，地球随太阳一起绕银心运动一周约需2亿年；在浩瀚的宇宙中银河系相对于其他星系也在运动，直径大约有10万光年的银河系的巨大银盘在不停地旋转，在引力相互作用下，距离地球约230万光年有着美丽的旋涡状结构的仙女星系与银河系正在相互接近，此外，1923年美国天文学家哈勃用反射望远镜观察，发现距离我们更远的河外星系正在背离我们而去，速度与其距离成正比；绝对静止的物体是没有的，这就是运动的绝对性． 既然一切物体都在运动，为了描述一个物体的机械运动，必须另选一个物体作参考，然后研究这一物体相对于被选作参考的物体的运动，这个被选作参考的物体称为参考系．例如要研究物体A 相对于物体R 的运动（图1－1），就要选择R 作为参考系，然后研究物体A 相对于参考系的运动．参考系的选择可以任意，通常要看问题的性质和研究的方便．例如研究地面上物体的运动，通常选择地球作为参考系．研究地球或其他行星的运动，通常选择太阳作为参考系． 同一物体的运动，由于我们选取的参考系不同，对它的运动的描述就不相同．例如，对于铁路边的标志杆上一个脱落的螺丝，如图1－2所示，若以地面为参考系(即从地面上的人看来)，下落过程中螺丝作直线运动；如以沿水平方向作匀速直线运动的火车机车为参考系(即从机车中的人看来)，此过程中螺丝作平抛运动．选用不同的参考系对同一物体的运动有不同的描述，这个事实称为运动图l －1 图l －2描述的相对性．由于对运动的描述是相对的，所以描述物体的机械运动时必须指明或暗中明确所用的参考系．为了定量地描述物体相对于参考系的运动情况，只有参考系是不够的，还要有一种说明物体相对于参考系的位置的方法．用数值来说明位置的方法是在参考系上选择一个固定的坐标系，如图1－1中固定于物体R的正交坐标系Oxyz，坐标系选定以后，任一时刻物体A中任一点P的位置就可以用该时刻它在这个坐标系中的坐标来描述．例如在图1－2中可以分别选取固定于地面的正交坐标系Oxyz，或者固定于火车机车的正交坐标系O’x’y’z’，任一时刻螺丝的位置就可以用该时刻它在相应坐标系中的坐标来描述了．二、质点任何物体都有一定的大小和形状．在一般情况下，物体运动时，它内部各点的运动情况是各不相同的，而且物体的形状和大小也可能发生变化，例如地球上动物和植物的运动，潮汐的涨落，地震、火山爆发以及由此而引起的海啸等都是地球的大小和形状发生变化的例子．但在某些问题中物体的形状和大小不起作用或所起作用甚小，是次要因素．为了抓住主要因素和掌握它的基本运动情况，我们有必要忽略物体的形状和大小，而把它看作是一个具有质量而没有大小和形状的理想物体，这样的物体称为质点．图l－3质点是一个理想化的模型．物理学中常用理想模型来代替实际研究的对象，突出它的主要性质，忽略它的次要性质，以便简化问题的研究．这样做是必要的，否则即使是最简单的问题也会使我们感到非常复杂，无法下手．除质点外，以后要讲到的刚体、理想气体、绝对黑体等都是理想模型．一个物体能否看作质点要视所研究问题的性质来定．例如，研究地球绕太阳公转时，由于地球的平均半径（约为6.40×10３km）比地球与太阳间的距离（约为1.50×10８km）小得多（图1－3），地球上各点对太阳的运动可视为相同．这时，就可以忽略地球的大小和形状，把地球当作一个质点．但是研究地球的自转时，如果仍然把地球看作一个质点，显然就没有意义了．三、时间和时刻我们要区别“时间”和“时刻”这两个概念．什么是时刻？时刻就是时间的某一瞬时．例如火车八点钟从甲站开出，十点钟到达乙站，这个八点钟和十点钟就是时刻，从八点到十点经过两小时，这两小时就是时间间隔，或简称为时间．质点运动时，它所经过的某一位置对应于某一时刻，质点所走的某一段路程对应于某一时间间隔．§1－2 质点的位移、速度和加速度为了突出位置矢量和位移的矢量性，突出速度和加速度的瞬时性和矢量性，在这一节里我们将从曲线运动讲起，就曲线运动情形介绍位置矢量和位移以及瞬时速度和瞬时加速度概念，然后把所得结果应用于直线运动，求出直线运动的位置矢量、位移、速度和加速度的表示式．一、质点的运动方程 轨道为简单起见，我们讨论平面运动情形(很容易推广到空间运动)．设质点在一平面上运动，在这平面上取坐标系Oxy ，质点P 对于这坐标系的位置由两个正交坐标x 、y 确定，如图l －4．当质点运动时，它的坐标随时间而变化，是时间t 的函数：)()(t y y t x x == （1－1） （1－1）式给出质点在任一时刻t 的位置，所以它表示质点的运动规律，称为质点的运动方程．知道了质点的运动方程，就可以求出质点在各个时刻的坐标，因而就可以画出质点运动的路线．质点运动的路线称为质点运动的轨道，（1－1）式就是轨道的参数方程．由（1－1）式中两式消去t 便得到轨道的正交坐标方程：0),(=y x f如果质点的轨道是一直线，则其运动称为直线运动；如果质点的轨道是一曲线，则其运动称为曲线运动．质点P 的位置还可以用由原点O 到P 点的径矢r 表示，r 称为质点的位置矢量，简称位矢．质点的坐标x 、y 是r 在坐标轴Ox 、Oy 上的分量（图l －4），它们之间有如下关系： j i r y x += （1－2） 其中i 、j 为x 、y 轴上的单位矢．质点的运动方程亦可用矢函数表示如下式：)(t r r = （1－3）（1－3）式和（1－1）式是等效的．如果质点在一直线上运动，并取这直线为x 轴，则质点的位置由一个坐标x 确定．在此情形，质点的运动方程由一个函数表示为)(t x x =二、位移假设质点在如图1-5所示的曲线上运动，在时刻t 质点位于P 点，位矢为r ，在时刻t +Δt 质点运动到Q 点，位矢为r １，则从P 点到Q 点的径矢Δr 称为质点在Δt 时间内的位移．位移是矢量，其大小等于由P 点到Q 点的直线距离，其方向为由P 点到Q 点的方向．由图l-5得知r r r -=1Δ矢量差r １－r 就是位矢r 在Δt 时间内的增量，故用Δr 表示．应区别位移与路程．路程是标量，在Δt 时间内质点通过的路程是弧PQ 的图1—4长度Δs ．而位移是矢量，在Δt 时间内的位移的大小等于割线PQ 的长度r Δ，Δs 与r Δ一般不相等，只当0Δ→t 时，Δs 与r Δ才可视为相等．在直线运动情形，如果质点始终朝一个方向运动，则位移的大小和路程的长度相等，如果从P 点运动到Q 点，然后又回到P 点，则位移的大小为零，但路程的长度等于PQ 的两倍(图1－6)．三、速度假设质点在如图1－7所示的曲线上运动，其运动方程由矢函数)(t r r =表示，在时刻t 质点的位矢为)(t r ，在时刻t +Δt 质点的位矢为)Δ(1t t +=r r ，则在Δt 时间内质点的位移为r r r -=1Δ，位移r Δ与时间Δt 的比值tΔΔr ，称为质点在此时间内的平均速度，用v 表示，则 t ΔΔr =v 符号的上面加一横线“-”表示平均的意思．平均速度是矢量，其大小为t ΔΔr；其方向为r Δ的方向(图1－7)．平均速度(大小或方向或两者)一般与所取时间间隔有关，所以给出平均速度时必须说明是哪一段时间内的平均速度．平均速度不能说明质点在某一时刻或某一位置的运动情况．为了说明在时刻t 的运动情况，就要把Δt 取得很小．Δt 越小，比值tΔΔr 就越能表示时刻t 的运动情况．因此，我们用0Δ→t 时tΔΔr 的极限来描述质点在时刻t 的运动情况，图1－5 图1－6图1—7这个极限称为质点在时刻t 的瞬时速度，简称为速度或在位置P 的速度，用v 表示，即tt t d d ΔΔlim 0Δr r ==→v （1－4） 瞬时速度是矢量，它的方向为0Δ→t 时位移r Δ的极限方向．由图1－7看出，位移r Δ是沿割线PQ 的方向，当0Δ→t 时，Q 点趋近于P 点，而割线PQ 的方向趋近于P 点的切线PT 的方向．所以瞬时速度v 的方向是曲线于P 点的切线的方向．设Δs 为割线PQ 所对应的弧的长度，则速度v 的大小为ts s t s s t t t t t ΔΔlim ΔΔlim ΔΔΔΔlim ΔΔlim 0Δ0Δ0Δ0Δ→→→→⨯===r r r v 因为 1ΔΔl i m 0Δ=→st r 所以 ts t st d d ΔΔl i m 0Δ==→v （1－5） 弧长Δs 为Δt 时间内质点所通过的路程的长度，比值ts ΔΔ称为质点在Δt 时间内的平均速率，而ts d d 则称为在时刻t 的瞬时速率．（1－5）式表示瞬时速度的大小等于瞬时速率．瞬时速度在x 、y 轴上的分量可求之如下：j i r y x +=将此式两边对时间t 求导数得j i r ty t x t d d d d d d +==v （1－6） 如果令x v ，y v 表示v 在x 、y 轴上的分量，则有j i y x v v +=v （1－7）比较（1－6）和（1－7）两式得ty t x y x d d ,d d ==v v （1－8） 所以速度的大小又可写为 2222d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x y x v v v （1－9）设θ角为速度v 与x 轴所成的角，则由图l －8得tx t y x y d d d d tan ==v v θ （1－10） 例题1－1 已知质点的运动方程为t R y t R x ωωsin ),cos 21(=+= （1－11） 其中R 及ω为常量，求质点的轨道及速度．解 将（1－11）式改写为t R y t R x ωωsin ,cos 2==-将以上二式两边平方及相加得 2222R y R x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 这就是轨道的正交坐标方程．上式表示质点的轨道是半径为R 的圆周，圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ,2R 处，如图1-9所示．由（1－11）式求得速度的分量为t R ty t R t x y x ωωωωcos d d ,sin d d ==-==v v 由此得速度的大小 R t t R ωωωω=+=22cos sin v （1－12）v 为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动．又当t 从零增加时，x v 为负，y v 为正，所以质点在圆周上以逆时针方向绕圆心运动．速度v 与x 轴所成的角θ由下式决定：t x yωθcot tan -==v v四、加速度图l －8 图l －9假设质点的运动方程由)(t r r =表示，在时刻t 质点在P 点，速度为v （图l －10），经过Δt 时间后，质点运动到Q 点，速度为1v ，则在Δt 时间内速度的增量为v v v -=1Δ，从O ’点作矢量v 及1v ，则由矢量v 的末点到矢量1v 的末点的矢量即为v Δ．速度增量v Δ与时间Δt 的比值t ΔΔv 称为质点在此时间内的平均加速度，用a 表示，即 tΔΔv =a 当0Δ→t 时，平均加速度趋近于一极限，这一极限称为质点在时刻t 的瞬时加速度，简称为加速度，用a 表示，则tt t d d ΔΔlim 0Δv v ==→a （1－13） 加速度是矢量，它的方向为v Δ的极限方向，因为v Δ总是指向曲线凹的一侧(当Δt 足够小时)，所以加速度a 总是指向曲线凹的一侧．因 td d r =v 故 22d d d d tt r a ==v （1－14） 又 j i r y x +=由微分得j i r a 222222d d d d d d ty t x t +== （1－15） 由此得瞬时加速度a 在x 、y 轴上的分量为2222d d ,d d ty a t x a y x == （1－16） 由此得加速度的大小：22222222d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a y x （1－17）图l －10设ϕ为加速度a 与x 轴所成的角，则有2222d d d d tan t x t y a a x y ==ϕ （1－18） 加速度等于速度对时间的变化率．不论速度的大小变化或方向变化，速度都发生变化（图1－10），因而都有加速度．例题1－2 设质点的运动方程仍由例题l －1中（1－11）式表示，求加速度． 解 利用（1－16）式及例题1－l 的结果可得t R tt y a t R t t x a y y x x ωωωωsin d d d d cos d d d d 222222-===-===v v 由此得加速度的大小：R R t t R a 22222 sin cos v ==+=ωωωω （1－19） 上式中最后等式是利用了(1—12)式得出的．如果把加速度写成矢量式，则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-= 2 sin cos 222j i j i a y R x t R t R ωωωωω （1－20） 令ρ表示从圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ,2R 到质点（x ，y ）的径矢（图1－8），则 j i ρy R x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2 （1－21） 合并（1－20）及（1－21）式便得到ρa 2ω-=可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向．在以上两个例题中，假设已知运动方程，用微分法求速度和加速度．反之，如果已知加速度)(t a 及初始时刻的速度及坐标，用积分法可求出速度和运动方程．例题1－3 假设以初速度0v 把物体抛出去，0v 与水平方向成0θ角，忽略空气阻力，求物体的速度及运动方程．解 取y 轴竖直向上，0v 轴与x 成0θ角，在不考虑空气阻力的情况下，物体的加速度a 等于重力加速度，其大小为g ，方向竖直向下，即j a g -=用分量式表示则为g ty a t x a y x -====2222d d ,0d d 积分得21d d ,d d C gt ty C t x y x +-====v v （1－22) 其中C 1、C 2为积分常数．取抛出物体时为初始时刻，0=t ，有 0000sin ,cos θθv v v v ==y x代入（1－22）式可决定C 1及C 2：002001sin ,cos θθv v ==C C将C 1、C 2的值代入（1－22）式得gt t y t x y x -====0000sin d d cos d d θθv v v v （1－23)再积分得220010021)sin ()cos (C gt t y C t x +-=+=θθv v 取物体的初始位置为坐标原点，则当0=t 时，0==y x ，所以 0 ,021==C C代入上式得2000021)sin ( ,)cos (gt t y t x -==θθv v （1－24） （1－23）式给出物体的速度，（1－24）式为物体的运动方程．由(1—24)式中两式消去t 得轨道的正交坐标方程： 022020cos 2tan θθv gx x y -=此式表明物体的轨道为一抛物线，如图1—11所示． 五、直线运动情形以上就曲线运动情形介绍了位移、速度和加速度等概念，这些概念对于直线运动也是适用的．如图1－12，取运动所在的直线为x 轴，i 为x 轴上的单位矢量，设在时刻t 质点位于P 点，坐标为x ，经过t Δ时间后质点运动到Q 点，坐标为x 1，则在t Δ时间内质点的位移为i i i i r x x x x x Δ)(Δ11=-=-= （1－25)图l －11其中x x x -=1Δ，质点的位移r Δ或与i 同向，或与i 反向．如果x Δ为正，则r Δ与i 同向；如果x Δ为负，则r Δ与i 反向．所以在直线运动中，质点的位移r Δ的大小和方向完全可用x x x -=1Δ来表示．x Δ表示位移的大小，x Δ的正负号表示位移的方向．x Δ为正时位移沿x 轴的正方向；x Δ为负时，位移沿x 轴的负方向．由（1－4）式及（1－25）式得质点在t 时刻的瞬时速度：i i r tx t x t t t d d ΔΔlim ΔΔlim 0Δ0Δ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→v （1－26） 瞬时速度v 或与i 同向或与i 反向，如果tx d d 为正，则v 与i 同向；如果t x d d 为负，则v 与i 反向．所以在直线运动中，质点的瞬时速度v 的大小和方向完全可以用t x d d 来表示，tx d d 表示速度的大小，t x d d 的正负号表示速度的方向，t x d d 为正时，速度沿x 轴的正方向；tx d d 为负时，速度沿x 轴的负方向．所以矢量式（1－26）可代以标量式：tx d d =v （1－27） 又由（1－13）式及（1－26）式得质点在时刻t 的瞬时加速度： i i a 22d d d d d d d d tx t x t t =⎪⎭⎫ ⎝⎛==v （1－28） 由(1-28)式看出，如果22d d tx 为正，则加速度a 与i 同向，如果 22d d t x 为负，则加速度a 与i 反向，所以在直线运动情形加速度的方。