2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数 学 Ⅰ 试 题
2018.5
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部
分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的
指定位置．
3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答
一律无效．
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆
珠笔． 方差公式：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-+
+-,其中121
()n x x x x n
=++
+.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1．若复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ ． 2．设集合{2,4}A =，2{,2}B a =（其中a < 0），若A B =，则实数a = ▲ ．
3．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4)P -到抛物线28y x =-的准线的距离为 ▲ ．
4．一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶 图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ▲ ． 5．右图是一个算法流程图，若输入值x ∈[0,2]，则输出值S 的取值范围是 ▲ ．
6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ▲ ．
（第6题图）
（第5题图）
S ←2x ?x 2
S ←1
输出S 结束 开始 输入x x ＜1
Y N 7 8
8 2 4 4 9 2
（第4题图）
7．已知函数()sin() (02)f x x ??=π+<<π在2x =时取得最大值，则?= ▲ ． 8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
1054S S =，则14a
d
= ▲ ． 9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ▲ ．
10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足3
cos cos 5
a B
b A
c -=，则
tan tan A
B
= ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(2,0)A ，若圆C 上存在点,
M
12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB
上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ?的取值范围为 ▲ ．
13．已知函数1
(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ?++?=??>?，≤，
，
， 若存在实数c b a <<，
满足)()()(c f b f a f ==，则)()()(c cf b bf a af ++的最大值 是 ▲ ．
14．已知,a b 为正实数，且23()4()a b ab -=，则
11
a b
+的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ?ABCD 中，90ADB ∠=?，
CB CD =，点E 为棱PB 的中点．
（1）若PB PD =，求证：PC ⊥BD ； （2）求证：CE ∥平面P AD ．
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16．（本小题满分14分）
在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，
A
B
C
D
P E （第15题图）
且22243()S a c b =+-． （1）求∠B 的大小；
（2）设向量sin ()2,3cos A A =m ，3,2cos ()A =-n ，求m ·n 的取值范围．
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17．（本小题满分14分）
下图（Ⅰ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（Ⅱ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ,CD 距离之比为21∶4，且P 对两塔顶的视角为135?．
（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；
（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．
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18．（本小题满分16分）
如图，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A ，
B ，
C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点
D ，交x
轴于点M (x 1，0)，直线AC 与直线BD 交于点N (x 2，y 2).
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若MD CM 2=，求直线l 的方程； （3）求证：12x x ?为定值.
19．（本小题满分16分）
已知函数32()1f x x ax bx =+++，a b ∈R ，.
D
C
B A
（第17题图（Ⅰ））
（第17题图（Ⅱ））
D
M C
B
A y
x
O
（1）若02=+b a ，
① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；
② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；
（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且214k k =，求a b ，满足的关系式.
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20．（本小题满分16分）
已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的
*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．
（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列1
{}2
n b +为等比数列，求d 的值；
（3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．
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