一、选择题1．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D，且CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．72BC ．3D．2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B BA A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）ABC ．3 D3．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）A ．360sinnnπ︒ B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 4．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S = AB．C ．2 D ．45．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边，若b =60B =︒，若ABC 仅有一个解，则a 的取值范围是（ ）A．({}2⋃B ．30,2C ．{}30,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．26．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2-D17．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，a =tan C 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-8．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若3a =，2b =，45B =︒，则A =（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒9．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点间的距离为（ ）A ．80B ．803C ．160D ．80510．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，25CD =ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A ．25B ．35C ．45D ．6511．在ABC 中，tan sin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( ) A ．(2,2B ．(2,4⎤⎦C ．(4,222+D ．(222,6⎤+⎦12．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．22C ．3D ．23二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，且2C A =，则a =______.14．在△ABC 中,若2,23,30,a b A ===︒则角B 等于______ .15．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ，b ，c ．若()224c a b =-+，23C π=，则ABC 的面积是________． 16．在ABC 中，3A π∠=，D 是BC 的中点.若34AD BC ≤，则sin sin B C 的最大值为____________.17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．18．凸四边形ABCD 中，已知AB =4BC =，5CD =，1tan 2B =-，3cos 5C =，则sin D =__________.19．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，b =2ac +的最大值为______．20．若钝角三角形ABC 的三边长a ，8，b ()a b <成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是________.三、解答题21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c CB A b a-=-+.（1）求A ； （2）若2a =，求11tan tan B C+的最小值. 22．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2a ，3c sin B =4a sin C ． （1）求cos B ； （2）求sin(2)6B π+的值．23．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B ，sin 4sin C A =.（1）求B ；（2）在ABC 的边AC 上存在一点D 满足4AD CD =，连接BD ，若BCD △的面积为b . 24．现有三个条件①sin()sin ()sinc A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答． 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______． （1）求角B ；（2）若a c +=，求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积． 25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积为b c +的值．26．如图，观测站C 在目标A 的南偏西20方向，经过A 处有一条南偏东40走向的公路，在C 处观测到与C 相距31km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走20km 到达D处，此时测得,C D 相距21km ，求,D A 之间的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得c ===. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．A解析：A 【分析】由条件整理可得ABC 是等边三角形，利用OACB AOBABC S SS=+可化简得2sin 3OACB S πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【详解】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=， sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=，即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =， ∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+211||||sin ||222OA OB AB θ=⋅+⨯)22121sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯+-⋅sin 1221cos )θθ=++-⨯⨯⨯sin 4θθ=+2sin 34πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为538532++=. 故选：A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理，考查三角恒等变换的应用，解题的关键是利用三角形面积公式结合三角恒等变换化简得532sin 3OACB S πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 3．C解析：C 【分析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯=所以2180sin180cos nn n nnππ==⨯ 故选C 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．4．C解析：C 【解析】12sin1202S c ==⨯︒ ，解得c =2. ∴a 2=22+22−2×2×2×cos 120°=12， 解得a =，∴24sin a R A === ， 解得R =2.本题选择C 选项.5．A解析：A 【分析】根据b =60B =︒，由正弦定理得到sin 2sin sin b Aa A B==，然后作出函数2sin =y A 的图象，将问题转化为y a =与2sin =y A 的图象只有一个交点求解. 【详解】因为b =60B =︒， 由正弦定理得sin sin a b A B=， 所以sin 2sin sin b Aa A B==， 因为()0,120∈︒A ，2sin =y A 的图象如图所示：因为ABC 仅有一个解，所以y a =与2sin =y A 的图象只有一个交点， 所以03a <≤或2a =， 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及三角函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.6．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.8．C解析：C 【解析】∵45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即sin sin 2a B A b ===∵a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C9．D解析：D 【分析】如图，BCD △中可得30CBD ∠=︒，再利用正弦定理得BD =ABD △中，由余弦定理，即可得答案； 【详解】如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴30CBD ∠=︒， 由正弦定理得80sin135sin 30BD =︒︒，解得BD =ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ，ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠2280280cos135=+-⨯⨯︒ 2805=⨯，∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．故选：D. 【点睛】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10．C解析：C 【分析】先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ． 【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022AC AD ACD ACD ∠=∠=， 可得sin 5ACD ∠=，ACD ∠为锐角，可得4cos 155ACD ∠=-=在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有45AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得225sin 5sin 455CD ACD A AD ⨯∠=， 由sin sin AC BC B A=可知10sin 55sin 2AC ABC B ⨯===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．11．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>， 综上可得：ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.12．B解析：B 【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解. 【详解】∵cos cos 2a B b A +=，∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，∴2c =，∵sin sin 3sin A B C += ∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长 以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、填空题13．8【分析】根据大边对大角可得可设由已知条件利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可【详解】由题意可得又角ABC 的对边abc 为三个连续偶数故可设由由余弦定理得所以即解得故故答案为：【点睛解析：8 【分析】根据大边对大角，可得a c <, 可设22,2,22a n b n c n =-==+,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于n 的方程求解即可. 【详解】由题意可得A C <,a c ∴<,又角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，故可设22,2,22,a n b n c n =-==+由2,sin sin 2,sin 2sin cos ,C A C A C A A =∴=∴=sin sin a b A B=,()sin 1cos 2sin 221C c n A A a n +∴===-,由余弦定理得()()()()()()22222224414144cos 222222121n n n b c a n n n A bc n n n n n ++--+-++====+++. 所以()()142121n n n n ++=-+,即()()()2114,n n n +=-+ 解得5n =,故228a n =-=.故答案为：8. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.14．或【解析】∵∴由正弦定理得：∵∴或故答案为或解析：060或0120 【解析】∵2,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 2b A B a ===∵b a > ∴60B =︒或120︒ 故答案为060或012015．【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得：在中由余弦定理得：即所以即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题【分析】利用余弦定理，结合()224c a b =-+，23C π=求出43ab =，利用1sin 2ABCS ab C =，即可求出三角形的面积． 【详解】由()224c a b =-+可得：22224c a b ab =+-+，在ABC 中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 即222c a b ab =++， 所以24ab ab -+=， 即43ab =，所以114sin 223ABCSab C ==⨯=【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.16．【分析】设三角形三条边长分别为先分析得到再利用余弦定理得到最后利用正弦定理即得解【详解】设三角形三条边长分别为那么因为所以故由题意得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形意在考查学 解析：1532【分析】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ，先分析得到222138b c a +≤，再利用余弦定理得到258bc a ≤，最后利用正弦定理即得解. 【详解】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ， 那么2243,169x a x a ≤∴≤， 因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠= 所以2222422+=+x a b c ，故2222222213168849,8x b c a a b c a =+-≤∴+≤由题意得222222221135cos ,,2288b c a A b c bc a a bc a bc +-==∴+=+≤∴≤255315sin sin sin =88432B C A ∴≤=⨯.故答案为：1532【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B 的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可. 【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA = 12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭故答案为3- 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【分析】如图设先求出再求出再利用正弦定理求出即得解【详解】如图设在△中因为所以由余弦定理得所以在△中所以在△中由正弦定理得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形意在考查学生对这些知识 解析：7210【分析】如图，设,ACB ACD αβ∠=∠=，先求出37AC =，再求出cos ,sin 3737αα==，cos ,sin 537537ββ==，32=AD ，再利用正弦定理求出sin D 即得解. 【详解】如图，设,ACB ACD αβ∠=∠=，在△ACB 中，因为1tan 2B =-，所以cos 55B ==由余弦定理得2516254cos 2185(375AC B =+-=-=， 所以37AC =在△ACB中，cos (0,),sin 2πααα==∈∴=所以34cos cos()sin 55DCB βαβ=∠-=+=∴=在△ACD 中，225372518,AD AD =+-⨯=∴=sin D =∴==..【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中 解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，∴2sin ,2sin a A c C ==． ∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A AA A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为： 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．20．【分析】由题意结合余弦定理可得再根据三角形三边关系可得即可得解【详解】由题意得且三角形为钝角三角形即即又由三角形三边关系可得即故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用属于中档题 解析：24d <<【分析】由题意结合余弦定理可得22640a b +-<，再根据三角形三边关系可得8b a -<，即可得解. 【详解】由题意得16a b +=且8a b <<， 三角形ABC 为钝角三角形，∴222cos 02a c b B ac+-=<即22640a b +-<，∴2264b a ->即()1664b a ->， ∴4b a ->，又由三角形三边关系可得8b a -<，∴48b a <-<即428d <<， ∴24d <<.故答案为：24d <<.【点睛】本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）3π；（2 【分析】（1）根据题设条件和正弦定理，化简得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得2bc a ≤，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R aR B R C B bcC ⋅⋅==⋅+，即可解. 【详解】 （1）由()sin sin sin b c CB A b a-=-+，可得()()()sin sin sin b c C B A b a -=-+，由正弦定理得()()()b c c b a b a -=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，可得3A π=. （2）由（1）知3A π=，设三角形的外接圆的半径为R，可得2sin a R A ==， 又由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥， 即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号， 又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B CB C B C B C++=+= ()sin sin sin sin sin sin B C AB CB C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅2R a bc ⋅==≥=， 其中R 是ABC 外接圆的半径， 所以11tan tan B C +的最小值为3. 22．（1）14-；（2） 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合2b c a +=，把,b c 用a 表示，然后由余弦定理得cos B ；（2）由同角关系求出sin B ，利用二倍角公式求得sin 2,cos 2B B ，再由两角和的正弦公式求得结论． 【详解】（1）因为3c sin B =4a sin C ，由正弦定理得34cb ac =，所以43b a =， 又2b c a +=，所以23c a =，所以222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅．（2）因为(0,)B π∈，所以sin B ==sin 22sin cos B B B ==27cos 212sin 8B B =-=-， 所以sin(2)sin 2coscos 2sin666B B B πππ+=+71()82=+-⨯= 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 23．（1）3π；（2【分析】（1）利用正弦定理把sin cos b A B =化为sin sin cos A B A B =，从而可得tan B ，进而可求出角B ；（2）由于4AD CD =，所以51ABC BCDSAC SDC ==，从而可得ABC 的面积为用三角形面积公式可得8ac =，而由sin 4sin C A =得 4c a =，从而可求出,a c 的值，再利用余弦定理可求出b 的值. 【详解】解：（1） ∵sin cos b AB =，∴sin sin cos A B A B=， ∴tan B ∵()0,B π∈ ∴3B π=；（2）依题意可知：51ABC BCDS AC SDC ==，∵BCD △，∴ABC 的面积为∵ABC 的面积为1sin 2S ac B ==∴8ac =， ∵sin 4sin C A =，∴4c a =，c =a=∴b . 24．（1）3π；（2）. 【分析】若选①：（1）利用诱导公式和正弦定理化简，再利用余弦定理即可求出角B ；（2）由（1）得到()223b a c ac =+-，再利用基本不等式求出b 的最小值及此时等号成立的条件，再利用面积公式即可求出面积.若选②：（1）利用正弦定理以及同角三角函数的基本关系化简求解即可；（2）由（1）得到()223b a c ac =+-，再利用基本不等式求出b 的最小值及此时等号成立的条件，再利用面积公式即可求出面积. 若选③：（1）利用正弦定理以及辅助角公式化简整理即可求出角B ；（2）由（1）得到()223b a c ac =+-，再利用基本不等式求出b 的最小值及此时等号成立的条件，再利用面积公式即可求出面积. 【详解】若选①：（1）sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-， sin()sin sin sin c C b B c A a A π-=+-， sin sin sin sin c C b B c A a A =+-，222c b ac a =+-， 222a c b ac +-=，2221cos 22a cb B ac +-==，0B π<<， 3B π∴=；（2）由（1）知：()22223b a c ac a c ac =+-=+-，22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c ==()()()()2222231344b ac ac a c a c a c ∴=+-≥+-+=+，又a c +=则()(22211544b ac ≥+=⨯=，又0b >，所以b ≥则ABC 周长的最小值为：=；此时a c b ===所以ABC 的面积为：1sin 602ac ︒=若选②：（1）由tan 2sin b a B A=， 得2sin tan b A a B =， 则sin 2sin cos AsinBAsinB B=， 又0,0A B ππ<<<<， 则sin 0,sin 0A B >>，所以1cos 2B =， 即3B π=；（2）由（1）知：()22223b a c ac a c ac =+-=+-， 22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c == ()()()()2222231344b ac ac a c a c a c ∴=+-≥+-+=+，又a c +=则()(22211544b ac ≥+=⨯=，又0b >，所以b ≥则ABC 周长的最小值为：=；此时a c b ===所以ABC 的面积为：1sin 602ac ︒=若选③：（1）(1cos )sin a B A +=，sin (1cos )sin A B A B +，0A π<<，sin 0A ∴>，1cos +=B B ，2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 66B ππ∴-=或566B ππ-=， 即3B π=或B π=（舍）；（2）由（1）知：()22223b a c ac a c ac =+-=+-，22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c == ()()()()2222231344b ac ac a c a c a c ∴=+-≥+-+=+，又a c +=则()(22211544b ac ≥+=⨯=，又0b >，所以b ≥则ABC 周长的最小值为：=；此时a c b ===所以ABC 的面积为：1sin 602ac ︒= 【点睛】思路点睛：本题首先利用正弦定理，同角三角函数的基本关系，诱导公式，辅助角公式以及余弦定理进行化简求角；其次利用余弦定理，基本不等式，三角形面积公式求解. 25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =， 所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =， 所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．15公理.【分析】先求出cos BDC ∠，进而设ADC α∠=，则sin ,cos αα可求，在ACD △中，由正弦定理求得AD ，即可得到答案.【详解】由题意知21,31,20CD BC BD ===,在BCD △中，由余弦定理可得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯， 设ADC α∠=，则1sin 7αα==，可得11sin()sin cos cos sin 33372πππααα+=+=+= 在ACD △中，由正弦定理得21sin()sin 33ADππα=+，所以sin()153AD πα=+=， 即所求的距离为15公理.【点睛】平面图形中计算问题的解题关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用共同条件，求出结果.。
