第3章习题
3-1 半径为a 的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率ω旋转形成电流，求电流面密度。
解：圆盘以角频率ω旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为
ϕ
ωρρˆr v J s s s ==
3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28
105.8⨯个自由电子。如果铜线的横截面为2
10cm ，电
流为A 1500。计算
1） 电子的平均漂移速度； 2） 电流密度； 解：2）电流密度 m A S I J /105.110
10150064⨯=⨯==
- 1） 电子的平均漂移速度
v J ρ= ， 3102819/1036.1105.8106.1m C eN ⨯=⨯⨯⨯==-ρ
s m J
v /101.110
36.1105.14
10
6-⨯=⨯⨯==ρ
3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电
流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。 解：电流面密度为 m A L I J S /7.1663
.050μ=== 因为 v J S S ρ=
2/33.820
7.166m C v J S S μρ===
3-4 如果ρ是运动电荷密度，U
是运动电荷的平均运动速度，证明：
0=∂∂+∇⋅+⋅∇t
U U ρρρ
解：如果ρ是运动电荷密度，U
是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为
U J
ρ=
代入电荷守恒定律
t J ∂∂-=⋅∇ρ
得 0=∂∂+∇⋅+⋅∇t U U ρ
ρρ 3-5 由m S /1012.17
⨯=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。
求两端面之间的电阻。 解：用两种方法
（1）⎰⎰===2
12
22)(tan z
z z dz S dl R ασπσ)11()(tan 12
12z z -=ασπ
01.02
02
.0tan ==
α
题3.5图
m r z .1001.0/1.0tan /11===α，m r z 1201.0/12.0tan /21===α
Ω⨯=-⨯⨯⨯=-=--64
7212107.4)121
101(101012.11)11()(tan 1πασπz z R （2）设流过的电流为I ，电流密度为
2
r I
S I J π==
电场强度为 2r I J E πσσ== 电压为 dz z I
Edz V z z z z ⎰⎰==2
1212
)tan (σ
απ ⎰==2
122)(tan z
z z
dz I V R απσΩ⨯=-6107.4 3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为2,/10011==r m S εσ，电流密度的大小为
2/50m A ，方向和界面法向的夹角为030；媒质2的参数为4,/1022==r m S εσ。求媒质
2中的电流密度的大小、方向和界面法向的夹角，以及界面上的电荷面密度。 解：根据边界条件
n n J J 21=，t t E E 21=，
2
21
1σσt
t
J J =
，t t J J 11
2
2σσ=
2
2121221121212212
2222/37.43100
1
414350)(sin )()(cos )(m A J J J J J J t n t n =⨯+⨯=+=+=
+=ασσασσ
媒质2中的电流密度和界面法向的夹角为2α
0577.0tan 1.0tan cos sin tan 111
2111112
222=⨯====
αασσαασσαJ J J J n
t
023.3=α 1
11σn
n J E =
，2
1222σσn
n
n J J E ==
111
122011122112212cos )()(
ασε
σεεσεσεεερJ J E E D D r r n n n n n s -=-=-=-= 210/1053.1m C -⨯=
3-7 同轴电缆内导体半径为cm 10，外导体半径为cm 40，内外导体之间有两层媒质。内层从
cm 10到cm 20，媒质的参数为2,/5011==r m S εμσ；外层从cm 20到cm 40，媒质的参数为4,/10022==r m S εμσ；求 （1） 每区域单位长度的电容； （2） 每区域单位长度的电导； （3） 单位长度的总电容； （4） 单位长度的总电导。
解： 内外导体之间的两层媒质是非理想的，那么设同轴电缆内导体之间单位长度的漏电流为I 那么在半径为r 的圆柱面上电流均匀，电流密度为 r
I J r π2=
电场强度为 r
I J E r
r 11
2πσσ=
= b r a <<
r
I
E r 22πσ=
c r b <<
第一层的电压为 a
b I
dr E V b a
r ln 211πσ=
=
⎰ 第二层的电压为 b
c I
dr E V c
b
r ln 222πσ=
=⎰
第一层单位长度的电导为 S a
b V I G 3611110453.02ln 10502ln 2--⨯=⨯⨯===
ππσ 第二层单位长度的电导为 S b
c V I G 3622210906.02ln 101002ln 2--⨯=⨯⨯===
ππσ 单位长度的总电导为 S b
c a b V V I V I G 3212
1100302.0ln 1ln 12-⨯=+=+==
σσπ 利用静电比拟
